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6.2.1等差数列概念及其表示



引例一

1+2+3+· · · +100=?

高斯,(1777— 1855) 德国著 名数学家。 得到数列 1,2,3,4, … ,100

引例二

姚明刚进NBA一周训练罚球的个数:
第一天:6000, 第二天:6500, 第三天:7000, 第四天:7500, 第五天:8000

, 第六天:8500, 第七天:9000.

得到数列: 6000,6500,7000,7500, 8000,8500,9000

引例三 匡威运动鞋(女)的尺码(鞋底长,单位是cm) 1 22 ,23, 23 1 ,24, 2 2 1 24 ,25, 25 1 ,26, 2 2 得到数列
1 22 ,23, ,24, 2 1 24 ,25, 25 1 ,26, 2 2

观察归纳 高斯计算的数列: 发现? 1,2,3,4, … ,100 姚明罚球个数的数列: 6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000
运动鞋尺码的数列

观察:以上数列有什么共同特点?

1 1 1 1 22 ,23, 23 ,24,24 ,25, 25 ,26 2 2 2 2

从第 2项起,每一项与前一项的差都等于同一 常数。

等差数列定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它 的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫 做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,通常 用字母d表示。 ①1,2,3,…,100; 公差d=1 ②6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000 公差d=500

1 1 1 1 22 ③ ,23, 23 ,24, 24 ,25, 25 ,26 2 2 2 2 1 递推公式an-an-1=d 公差d= 2

(d是常数,n≥2,n∈N*)

想一想
1、数列6,4,2,0,-2,-4?是否为等差数列?若是,
则公差是多少?若不是,说明理由

公差是-2

2、常数列a,a,a,…是否为等差数列?若是,则公差是多 少?若不是,说明理由

公差是0 不是

3、数列0,1,0,1,0,1是否为等差数列?若是,则公差是 多少?若不是,说明理由

公差d是每一项(第2项起)与它的前一项的差, 防止把被减数与减数弄颠倒,而且公差可以是正数, 小结:判断一个数列是不是等差数 负数,也可以为0 列,主要是由定义进行判断:an+1an是不是同一个常数?

通项公式
已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d

累差迭加法

a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d
……

(1) (2) (3)

an-an-1=d(n-1)
(1)式+(2)式+…+(n-1)式得:
即 an=a1+(n-1)d an-a1=(n-1)d,

等差数列的图象 1 10
9 8 ●



(1)数列:-2,0,2,4,6,8,10,…

7
6 5 ●

4
3 2 1 0 1 ● ● 2 3 ●



4

5

6

7

8

9

10

等差数列的图象 2 10
9 8 (2)数列:7,4,1,-2,…

7
6 5



4
3 2 1 0 1





2

3

4 ●

5

6

7

8

9

10

10

等差数列的图象3
9 8 (1)数列:4,4,4,4,4,4,4,…

7
6 5

4
3 2 1 0





















1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

等差数列各项对应的点都在同一条直线上

通项公式中含有a1,d,n,an四个量,从已 知和未知的角度看,若已知其中任意三个 量的值,即可利用方程的思想求出第四个 量的值(即知三求四).

? 通项公式的应用: ? ①可以由首项和公差求出等差数列中的 任意一项; ? ②已知等差数列的任意两项,可以确定 数列的任意一项。

例题讲解

例1 已知等差数列的首项 a1是3 ,公差 d 是2,求它 的通项公式。
分析:知道a1,d ,求an .代入通项公式。

解: ∵ a1=3 , d=2 ∴ an=a1+(n-1)d =3+(n-1) ×2 =2n+1

例题讲解

例2 求等差数列 10 ,8 , 6 ,…的

第20项。
分析: 根据a1=10,d= -2,先求出通项公式an , 再求出a20

解: ∵ a1=10, d=8-10= -2 , n=20 由an=a1+(n-1)d 得 ∴ a20 =a1+(n-1)d =10+(20-1)×(-2) = -28

试一试

1.100是不是等差数列2,9,16,?的项?如 果是,是第几项?如果不是,请说明理由
分析:先求出数列的通项公式,然后假设100 是等差数列中的项,求出n

解: ∵ a1=2 , d=7 ∴ an=a1+(n-1)7 =2+(n-1) ×7=7n-5 令100=7n-5 ∴n=15 ∴100是等差数列的第15项

例题讲解

例3 在等差数列{an}中 ,已知a6=12 , a18=36 ,求通项公式an
分析:此题已知a6=12 ,n=6 ;a18=36, n=18分别代入通 项公式an = a1+(n-1)d中,可得两个方程,都含a1与d两个 未知数组成方程组,可解出a1与d 。

解: 由题意可得 a1+5d=12,a1+17d=36 ∴ d = 2 ,a1 =2 ∴ an = 2+(n-1) ×2 = 2n

试一试

2.在等差数列{an}中,已知a5=10 ,a12=31 , 求通项公式an
分析: 此题已知a5=10,n=5 ;a12=31, n=12分别代入 通项公式an = a1+(n-1)d中,可得两个方程,都含a1与d两 个未知数组成方程组,可解出a1与d 。

解:设an=a1+(n-1)d,则有

a1+4d=10 ,a1+11d=31 ∴a1 =-2,d = 3, ∴an =-2+(n-1) ×3 = 3n-5

古题今解

我国古代算书《孙子算经》卷中第25题记 有:“今有五等诸侯,共分橘子六十颗。 人分加三颗。问:五人各得几何?”
分析: 此题已知a1+a2+a3+a4+a5=60,d=3, ∴ a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=60, ∴ a1=6, a2=9, a3=12, a4=15, a5=18 即为五等诸侯分到橘子的颗数。

等差中项
如果在 a 和 b 之间插入一个数A,使 a、A、b 成等差 数列,则 A 叫做 a、b 的__ ________。 等差中项
a?b A? ? 2A ? a ? b 有 ____________________ 2

也成立 反之 ______,
即若 a + b = 2A,则a、A、b 成 等差数列

一般地,在等差数列中,从第二项起,每一 项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前 一项与后一项的等差中项。即 2a n = a
n -1

+ an+1

(n≥2)

a?c 若a, b, c成等差数列,那么b ? ;2b ? a ? c; 2 b ? a ? c ? b; a ? b ? b ? c都是等价的。

例题分析
例1 (1 )已知数列{ an }的通项公式是an =3n-1, 求证:{an}为等差数列; (2) 已知数列{an}是等差数列, 求证:数列{an+an+1} 也是等差数列. 【小结】

①数列{ an }为等差数?

an=kn+b k、b是常数.;

②证明一个数列为等差数列的方法是 :

证明:

an+1 — an为一个常数.

.

例2 (1)等差数列11,8,5,…,的第19项是 -49 (2)等差数列-5,-9,-13,…的第 99 (3)已知{an}为等差数列,若a1=3,d= 则n = 13 ; (4)已知{an}为等差数列,若a17=
13 ? a10= 6 .



项是-307;

3 ,an=21, 2 2 ,则 3

5 , d= 2

【说明】在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n 任知 三 个,可求 另外一个 .

数列?a n ?是等差数列, m , n , p , q ? N ? , 且m ? n ? p ? q , 求证:a m ? a n ? a p ? a q .

?an ?的首项是 证明:设 a1 , 公差是 d,
则am ? a1 ? (m ? 1)d ,
a p ? a1 ? ( p ? 1)d ,

an ? a1 ? (n ? 1)d ,
aq ? a1 ? (q ? 1)d ,

? am ? an ? 2a1 ? (m ? n ? 2)d ,
a p ? aq ? 2a1 ? ( p ? q ? 2)d , ? m ? n ? p ? q,? am ? an ? a p ? aq .

等差数列的性质1
1. {an}为等差数列 ? ? an= a1+(n-1) d an+1- an=d ? an+1=an+d

? an= kn + b (k、b为常数)
b为a、c 的等差中项

2. a、b、c成等差数列 ? ?
a?c b? 2

?

2b= a+c

【说明】 3.更一般的情形,an=

an ? am am+(n - m) d ,d= n?m am+an=ap+aq 4.在等差数列{an}中,由 m+n=p+q

例题分析
例3 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20,求a1+a20
分析:由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12

及 a6+a9+a12+a15=20,可得a1+a20=10 (2)已知 a3+a11=10,求 a6+a7+a8

分析: a3+a11 =a6+a8 =2a7 ,又已知 a3+a11=10,
3 ∴ a6+a7+a8= (a3+a11)=15 2

已知{an}为等差数列 且 a4+a5+a6+a7=56,a4a7=187,求公差d. 三数成等差数列,它们的和为12,首尾二数的 积为12,求此三数.

结论归纳1: 数列{an}是公差为d 的等差数列。 数列a1,a3,a5,a7,……是公差为 2d 等差数列 数列a2,a4,a6,a8,……是公差为 2d 等差数列 数列ma2,ma4,ma6,ma8,……是公差为2md 等 差数列 数列a1+a2, a2+a3, a3+a4, a3+a4,……是公差 为 2d 等差数列

结论归纳2:
等差数列中有关项的设法

当等差数列{an}的项数为奇数时,可设中间一项为a, 再以公差为d向两边分别设项; 当等差数列{an}的项数为偶数时,可设中间两项分别 为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项 对称项设法的优点:若有n个数构成等差数列.利用对 称项设出这个数列,则其各项和为na.



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