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2012年华南师大附中高三5月综合测试数学理科


2012 年华南师大附中高三综合测试

数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填 写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内 的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、 多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. a+2i 1.已知 =b-i, (a,b∈R),其中 i 为虚数单位,则 a+b=( i A.-1 B.1 C.2 D.3
22 3



2.若{ a n }为等差数列, S n 是其前 n 项的和,且 S 11 ? A. 3 B. ? 3

? ,则 tan a 6 =(


3 3

C. ? 3

D. ?

) 3. 在 下 列 四 个 函 数 中 , 满 足 性 质 : 对 于 区 间 ( 1 , 2 上 的 任 意 x1 , x 2 ( x1? “

x 2),

| f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? | x 2 ? x1 | 恒成立”的只有(

) D. f ( x ) ? x
2

A. f ( x ) ?

1 x

B. f ? x ? ? | x |

C. f ( x ) ? 2

x

4.设?、?、? 为不同的三个平面,给出下列条件: ① a、b 为异面直线,a ? ?,b ? ?,a∥?,b∥?; ② ? 内不共线的三点到? 的距离相等; ③ ?⊥? ,?⊥? ; 则其中能使 ?∥? 成立的条件是( ) A.① B.② C.③ D.② ③ 5.已知函数 f ? x ? 是 R 上的偶函数,且在区间 ?0 , ?? ? 上是增函数.令
2? ? 5? ? 5? ? ? ? ? a ? f ? sin ? , b ? f ? cos ? , c ? f ? tan ? ,则 7 ? 7 ? 7 ? ? ? ?

A. b ? a ? c

.B. c ? b ? a

C. b ? c ? a

D. a ? b ? c

? x ? 2 y ? 19 ? 0, ? 6.设二元一次不等式组 ? x ? y ? 8 ? 0 , 所表示的平面区域为 M,使函数 y=ax(a>0,a≠ ? 2 x ? y ? 14 ? 0 ?

1)的图象经过区域 M 的 a 的取值范围是( A.[1,3] B.[2, 10 ] C.[2,9]

) D.[ 10 ,9] A B D C

7.如图,一环形花坛分成 A, B, C , D 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求 在每块里种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为( ) A.96 B.84 C.60 D.48
2

8. 如图, 设点 A 和 B 为抛物线 y ? 4 px ( p ? 0 ) 上除原点以外的两个动点, 已知 OA ? OB ,
OM ? AB ,则点 M 的轨迹方程为(

)
2

A.x +y +4px=0 C.x +y +4py=0
2 2

2

2

B.x +y -4px=0 D.x +y -4py=0
2 2

2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. ? ( e ? 2 x ) d x =_______
x

1

0

10.已知平面向量 a , b 满足 a ? 3 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 6 0 ,若 ( a ? m b ) ? a ,则 实数 m 的值为________ 11.若框图所给的程序运行结果为 S = 41,那么判断框中应填入的 关于 i 的条件是 __ .

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2 2 2 12.设 M ? ?( x , y ) || x | ? | y |? 1?, N ? ?( x , y ) | x ? y ? r , r ? 0 ? ,若 M ? N ? ? ,则 r

的最小值是________. 13.已知数组: ? ? , ?
?1? ? 1 2 ? ? 1 2 3 ? ? 1 2 3 4 ? , ?, ? , , ?, ? , , , ?,? , ?1? ? 2 1 ? ? 3 2 1 ? ? 4 3 2 1 ?

2 3 n ?1 n ? ?1 , ,? , , ? , ? 记该数组为: ( a 1 ), ( a 2 , a 3 ), ( a 4 , a 5 , a 6 ), ? ,则 a 2012 ? ______ ? , 2 1? ? n n ?1 n ? 2

(二)选做题(请考生在以下两个小题中任选一题做答) 14.(几何证明选讲选做题)如右图,已知 A B 是圆 O 的直径, A B ? 4 , C 为圆上任意一 点 , 过 C 点 做 圆 的 切 线 分 别 与 过 A, B 两 点 的 切 线 交 于 P , Q 点 , 则
C P ? C Q ? ____________.
? x ? 2 ? cos ? , ? y ? sin ?

15.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的参数方程为 ?

(? 为

参数) ,则曲线上 C 的点到直线 3 x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离的最大值为_____________.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ? A B C 中 , a , b , c 分 别 为 内 角 A , B , C 所 对 的 边 , 且 满 足 (
sin A ? 3 co s A ? 2 .

(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)现给出三个条件:① a ? 2 ; ② B ?

?
4

;③ c ?

3b .

试从中选出两个可以确定 ? A B C 的条件,写出你的选择并以此为依据求 ? A B C 的面 积.(只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) 17. (本小题满分12分)2012年3月2日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》. 其中规定:居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度 不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时 平均浓度的监测数据,数据统计如下: PM2.5(微克/立方 组别 米) 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 (0,15] (15,30] (30,45] (45,60] (60,75] (75,90) 4 12 8 8 4 4 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 频数(天) 频率

(Ⅰ) 写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程);

(Ⅱ)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从 PM2.5 的年平均浓度考虑, 判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由;

(Ⅲ)将频率视为概率,对于去年的某 2 天,记这 2 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平 均浓度符合环境空气质量标准的天数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E ? .

18 . (本小题满 分14分)如图, 在五面体 A B C D E F 中, A B ∥ D C , ? B A D ?
C D ? A D ? 2 , 四边形 A B F E 为 平行 四边形, F A ? 平 面

?
2
F


E

A B C D, F C ? 3, E D ?

7 .求:

(Ⅰ)直线 A B 到平面 E F C D 的距离; (Ⅱ)二面角 F ? A D ? E 的平面角的正切值.
C

B

A D

0) 1) 19. (本小题满分 14 分)设椭圆中心在坐标原点, A (2, , B (0, 是它的两个顶点,直线 y ? kx ( k ? 0 ) 与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点.

(Ⅰ)若 E D ? 6 D F ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 A E B F 面积的最大值.
? x ? 0, ? 20. (本小题满分14分)设不等式 ? y ? 0 , 所表示的平面区域记为 D n ,并记 D n 内的 ? y ? ? nx ? 3 n ?

????

????

格点( x , y ) ( x 、 y ∈Z)的个数为 f ( n ) ( n ∈ N ). (Ⅰ)求 f (1) ,f (2),f (3)的值及 f ( n ) 的表达式; (Ⅱ)记 T n ? 围; (Ⅲ) S n 为数列 b n } 设 { 的前 n 项和, 其中 b n = 2
f (n)
?

f ( n ) f ( n ? 1) 2
n

,若对于任意 n ∈ N ,总有 T n ≤m 成立,求实数 m 的取值范

?

, 问是否存在正整数 n 、 使 t,

S n ? tb n S n ? 1 ? tb n ? 1



1 16

成立?若存在,求出正整数 n ,t;若不存在,请说明理由.

1? ? 21. (本小题满分14分)设函数 f ( x ) ? ? 1 ? ? ( n ? N , 且 n ? 1, x ? R ) . n? ? 1? ? (Ⅰ)当 x=6 时, 求 ? 1 ? ? 的展开式中二项式系数最大的项; n? ?
x

x

(Ⅱ)对任意的实数 x, 证明

f (2 x) ? f (2) 2

> f ? ( x )( f ? ( x ) 是 f ( x )的导函数 );
1? ? < ( a ? 1) n 恒成立? 若存在, 试证明你的结论 k ?
k

(Ⅲ)是否存在 a ? N , 使得 an< ? ? 1 ?
k ?1

n

? ?

并求出 a 的值;若不存在, 请说明理由.

2012 年华南师大附中高三综合测试(三) 理科数学参考答案
一.选择题 1.解: 因为 a ? 2 i ? bi ? 1 ,所以 a ? 1, b ? 2 ,故 a+b=3,选 D. 2. 解: S 11 ?
11 ( a 1 ? a 11 ) 2
1 x 得 1 ? x1 x 2 ? 4 ? 1 4

? 11 a 6 ? a 6 =

2? ,所以 tan a 6 = ? 3 .选 B. 3
1 x1 ? 1 x2 |? | x 2 ? x1 | x1 x 2 , 因1 ? x1 ? 2,1 ? x 2 ? 2,

3.解 : 若 f ( x) ?

, 则 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) | ? | ? 1 x1 x 2

? 1, 故 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |? | x 2 ? x1 |

4.解:由①可推出?∥?;由②推不出?∥?;由③推不出?∥?,选 A. 5.解: b ? f (co s(? ?
c ? f (tan ( ? ? 2? 7
?
2 2? 7 )) ? f ( ? co s 2? 7 ) ? f (co s 2? 7 ),

)) ? f ( ? tan

2? 7
2? 7

) ? f (ta n
? sin 2? 7

2? 7

)
2? 7

因为

?
4

?

2? 7

?

,所以 0 ? co s

? 1 ? tan

,所以 b ? a ? c ,选 A.

6.解:通过画图知,平面区域 M 是以三点 A(1,9) 、B(2,10) 、C(3,8)为顶点的三角 形边界及其内部,函数 y ? a 的图象分别过 A(1,9) 、C(3,8)时,求得 a=9 或 a=2,依
x

条件知,其他函数的图象夹在 y ? 2 与 y ? 9 之间,故 2≤a≤9,选 C.
x x

A B

D C

7.解:分三类:种两种花有 A 4 种种法;种三种花有 2 A4 种种法; 种四种花有 A 4 种种法.共有 A4 ? 2 A4 ? A4 ? 8 4 .选 B.
4 2 3 4

2

3

另解:按 A ? B ? C ? D 顺序种花,可分 A、 C 同色与不同色有 4 ? 3 ? (1 ? 3 ? 2 ? 2) ? 84 , 选 B. 8. 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),M (x,y),AB 与 x 轴交于 N (m,0), 设直线 AB 的方程为 x=ky+m,代入 y =4px 得 y -4pky-4pm=0. ∴y1y2=-4pm,∴kOA·kOB= · =
2 2

y1 y2 y1 y2 16p2 4p =- =-1, 2· 2= x1 x2 y1 y2 y1y2 m 4p 4p

→ → ∴m=4p. 即直线 AB 过定点 N (4p,0).又 OM⊥AB,∴OM⊥NM, → → 2 又∵OM=(x,y),NM=(x-4p,y),∴x(x-4p)+y =0 =0.选 B. 故所求的轨迹方程为 x +y -4px
2 2

二.填空题
x 9.解: ? ( e ? 2 x ) d x = ( e ? x ) | =(e +1)-1=e.

1

x

2

1

0

0

? ? 0 10. 解 : 因 为 ( a - m b ) ? a , 所 以 ( a - m b)? a? | a | ? m a b 9 ? 6 mc o s 6 0?, 解 得
2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

m ?3.

11.解: i ? 6 ? .即 S ? 1 ? 2 ? 4 ? 7 ? 11 ? 16 ? 41 12.解:集合 M 是以四点 A(1,0) ,B(0,1) ,C(-1,0) ,D(0,-1)为顶点的正方 形外部的点组成的区域(包括正方形的边界) ,而集合 N 是以原点为圆心,1 为半径的圆内 的点组成的区域(包括边界) ,若 M ? N ? ? ,当圆 x ? y ? r 与正方形 ABCD 四边相
2 2 2

2 切时 r 最小,可求得最小值是 2 13.答案:
60 4

(也可表示成 15) 。由排数的规律得 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?
63 1

n ( n ? 1) 2

? 2012 ,计算得

n ? 63 ,第 63 组最后一项是 a 2016 ?

,? a 2012 ?

60 4

.

14.解:依条件有 BQ-AP=CQ-CP. 过 P 点作 BQ 的垂线,构造直角三角形,且有 PQ2 = AB2 +(BQ-AP)2 ? (BQ+AP)2=42+(BQ-AP)2 ? C P ? C Q ? 4。 15.解:曲线 C 的普通方程为(x-2)2 + y2 =1,圆心 C(2,0)到直线 3 x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离是 d

=

|3× 2-4× 0+4| =2,故曲线 C 上的点到直线 3 x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离的最大值为 3。 2 2 3 +4
?
3 4?

三.解答题 16.解:(Ⅰ)依题意得 2 sin ( A ? ∵ 0 ? A ? ? ,∴
?
3 ? A?
) ? 2 ,即 sin ( A ?

?
3

) ?1

?
3

?

,∴ A ?

?
3

?

?
2

,∴ A ?
?

?
6

3

(Ⅱ)方案一:选择①②. 由正弦定理
a sin A ? b sin B

,得 b ?

a sin A

2 sin sin B ? sin

?

4 ? 2 2,

6

? A ? B ? C ? ? ,? sin C ? sin ( A ? B ) ? sin A co s B ? co s A sin B ?
?S ? 1 2 a b sin C ? 1 2 ?2?2 2 ? 2 ? 4 6 ? 3 ?1.

2 ? 4

6

方案二:选择①③
2 2 2 2 2 2 由余弦定理 b ? c ? 2 b c co s A ? a ,有 b ? 3 b ? 3 b ? 4 ,则 b ? 2 , c ? 2 3 ,

所以 S ?

1 2

b c sin A ?

1 2

?2?2 3?

1 2

?

3 .

说明:若选择②③,由 c ? 在.

3 b 得, sin C ?

3 sin B ?

6 2

? 1 ,不成立,这样的三角形不存

17.解:(Ⅰ) 众数约为 22.5 微克/立方米, 中位数约为 37.5 微克/立方米. (Ⅱ)去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为
7.5 ? 0.1 ? 22.5 ? 0.3 ? 37.5 ? 0.2 ? 52.5 ? 0.2 ? 67.5 ? 0.1 ? 82.5 ? 0.1 ? 40.5 (微克/立方

米).

因为 4 0 .5 ? 3 5 , 所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准, 故该居民区的环境需要改进.

(Ⅲ) 记事件 A 表示 “一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准”则 P ( A ) ? ,

9 10

.

随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2.且? ~ B ( 2,

9 10

).

所以 P (? ? k ) ? C 2 (
k

9 10

) (1 ?
k

9 10

)

2?k

( k ? 0,1, 2) ,

所以变量 ? 的分布列为
?
p

0
1 100

1
18 100

2
81 100

E? ? 0 ?

1 100

? 1?

18 100

? 2?

81 100

? 1.8 (天)或 E ? ? nP ? 2 ?

9 10

? 1.8 (天).

18.解法一:(Ⅰ)∵AB∥DC,DC ?平面 E F C D , AB ?平面 EFCD,∴AB∥平面 EFCD,∴ AB 到面 E F C D 的距离等于点 A 到面 E F C D 的距离。∵FA⊥平面 ABCD,AB?平面 ABCD, ? ∴FA⊥AB.又由 ? B A D ? , 得 AD⊥AB,而 AF,AD ?平面
2
F E

ADF,AF∩AD=A,∴AB⊥平面 ADF。∵CD∥AB,∴CD ⊥平面 ADF, CD ?平面 CDEF, 而 ∴平面 CDFE⊥平面 ADF, 且平面 CDFE∩平面 ADF=FD。过点 A 作 A G ? F D 于 G, 则 AG⊥平面 CDEF,即 AG 长为点 A 到平面 EFCD 的距离. 由 上 述 证 明 知 CD ⊥ DF , △ CDF 为 直 角 三 角 形 , 由 CD=2,FC=3 ? FD= 5 ,又在直角△FAD 中,由 AD=2 ?AF = 1 ?AG =
2 5 5 2 5 5
C

G B A

D

,即直线 AB 到平面 E F C D的距离为


?
2

(Ⅱ)由己知,F A ? 平面 A B C D ,得 F A ? AD,又由 ? B A D ?

,知 AD ? AB ,而 AB,

AF ?平面 ABFE,故 A D ? 平面 ABFE ? D A ? A E ,所以 ? F A E 为二面角 F ? A D ? E 的 平面角,记为 ? . 在 R t △ A E D 中, A E ?
ED ? AD
2 2

?

7?4 ?

3 ,在平行四边形 ABFE 中,EF∥AB,

又 BA⊥平面 ADF,∴EF⊥平面 ADF,又 AF?平面 ADF,∴EF⊥AF。在直角△EFA 中,由 1 AE= 3 ,AF=1 ?cos? = ?tan? = 2 . 3 解法二: (Ⅰ) A 点为坐标原点, A B , A D , A F 的方向为 x , y , z 的正方向建立空间直角坐标 以 系,如图. 则 A(0,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0),设 F (0, 0, z 0 ) 可 得
??? ? F ?( C 2 ? ,0 2 z, , 由
( z0 ? 0)
F z

??? ???? ???? ?

E

??? ? | ) C |? 3 F

G

.


x B A

C

D y

2 ? 2 ? z0 ? 3 ,
2 2 2

解得 F (0, 0,1)

? AB ∥ DC , DC ? 面 EFCD ,

所以 AB∥平面 EFCD,故直线 AB 到面 E F C D 的距 离等于点 A 到面 E F C D 的距离。
? ? → ? → 设平面 CDF 的法向量为 n ? ( x 1 , y 1 , z 1 ) ,则 n ⊥ CD 且 n ⊥ DF

? n ·→ =0 ???? ???? ? ? CD ? ? 2 y1 ? z1 ? 0 ? ? ,又 C D ? ( ? 2, 0, 0 ) , D F ? (0, ? 2,1) ,故得 ? ?取 y1=1, ?? → ? ? 2 x1 ? 0 ? n · DF =0
→ ? | AD · n | ? ? 得 n ? ( 0 ,1, 2 ) ,则点 A 到平面 CDFE 的距离是 d= = |n | (Ⅱ)因四边形 A B F E 为平行四边形,则可设 E ( x 0 , 0,1)
???? | E D |? 7 得

2 2 5 = 5 5

???? ( x 0 ? 0 ) , E D ? ( ? x 0 2, ? 1) .由

x0 ? 2 ? 1 ?
2 2

7 ,解得 x

??? ? ? ? 2 .即 E ( ? 2 , 0,1) .故 A E ? ( ? 2 , 0,1) 0

由 A D ? (0, 2, 0) , A F ? (0, 0,1) ,易知 A D ? A E ? 0 , A D ? A F ? 0 ?AD⊥AE,AD⊥AF, 又平面 ADE∩平面 ADF=AD,故 ? F A E 为二面角 F ? A D ? E 的平面角。 → → AF · AE 1 cos∠FAE= = ?tan∠FAE= 2 . → → 3 | AF || AE | y 19.解: (Ⅰ)依题设得椭圆的方程为
x
2

????

????

???? ??? ?

???? ????

? y ?1,
2

B D

F

4

直线 A B, E F 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx ( k ? 0) . 如图,设 D ( x 0, kx 0 ), E ( x1, kx1 ), F ( x 2, kx 2 ) ,其中 x1 ? x 2 ,
2 2 且 x1, x 2 满足方程 (1 ? 4 k ) x ? 4 ,故 x 2 ? ? x1 ?

O E

x A

2 1 ? 4k
2

???①

由 E D ? 6 D F 知 x 0 ? x1 ? 6( x 2 ? x 0 ) ,得 x 0 ?

????

????

1 7

(6 x 2 ? x1 ) ?

5 7

x2 ?

10 7 1 ? 4k
2



由 D 在 A B 上知 x 0 ? 2 kx 0 ? 2 ,得 x 0 ?
2 3

2 1 ? 2k

.所以
3 8

2 1 ? 2k

?

10 7 1 ? 4k
2



化简得 24 k ? 25 k ? 6 ? 0 ,解得 k ?
2

或k ?



( Ⅱ ) 解 法 一 : 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 ① 式 知 , 点 E, F 到 A B 的 距 离 分 别 为

h1 ?

x1 ? 2 kx1 ? 2 5 x 2 ? 2 kx 2 ? 2 5
2 ?1 ?
2

?

2 (1 ? 2 k ?

1 ? 4k )
2 2



5(1 ? 4 k ) 2 (1 ? 2 k ? 1 ? 4k )
2 2

h2 ?

?



5(1 ? 4 k )
5 ,所以四边形 A E B F 的面积为
1 2 4 (1 ? 2 k ) 5(1 ? 4 k )
2

又 AB ?
S ? 1 2

A B ( h1 ? h 2 ) ?

?

5?

?

2 (1 ? 2 k ) 1 ? 4k
2

? 2

1 ? 4k ? 4k
2

1 ? 4k

2

2 1?

4k 1 ? 4k
2

? 2 1?

4 1 k ? 4k

≤2 2,

当且仅当

1 k

? 4 k ( k ? 0 ) 即当 k ?

1 2

时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 .

解法二:由题设, B O ? 1 , A O ? 2 . 设 y 1 ? kx1 , y 2 ? kx 2 ,由①得 x 2 ? 0 , y 2 ? ? y1 ? 0 , 故四边形 A E B F 的面积为
S ? S △ BEF ? S △ AEF ? x2 ? 2 y 2 ?
( x2 ? 2 y2 )
2

?

x2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2 ≤
2 2

2( x2 ? 4 y2 )
2 2

? 2 2 ,当 x 2 ? 2 y 2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 .

20.解: (Ⅰ) f (1) =3, f ( 2 ) =6,f (3)=9. 由 x >0,0< y ≤ ? nx ? 3 n ,得 0< x <3,又 x ∈ N ? ,∴ x =1,或 x =2. 当 x =1,0< y ≤2 n 时,共有 2 n 个格点; 当 x =2,0< y ≤ n 时,共有 n 个格点. 故 f (n ) ? n ? 2 n ? 3n . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 T n =
9 n ( n ? 1) 2
n

,则 T n ? 1 - T n =

9 ( n ? 1)( 2 ? n ) 2
n ?1

.

∴当 n ≥3 时, T n ? 1 < T n . 又 T 1 =9< T 2 = T 3 =
27 2

,所以对一切正整数 n,有 T n ≤

27 2

,故 m ≥

27 2

.

(Ⅲ)假设存在满足题意的 n 和 t , 由(1)知 b n = 2
3n
n = 8 ,故 S n ?

8 ( 8 ? 1)
n

.

7



S n ? tb n S n ? 1 ? tb n ? 1
n

?

8 ( 8 ? 1) ? 7 t ? 8
n

n n ?1

8 (8

n ?1

? 1) ? 7 t ? 8
1 16



1 16

.

变形得

8 (8 ? 7 t ) ? 8 8
n ?1

(8 ? 7 t ) ? 8



,即

8 ( 8 ? 7 t ) ? 15
n

2 [ 8 ( 8 ? 7 t ) ? 1]
n

<0.

∴1< 8 n (8- 7 t )<15,由于 n 、 t 均为正整数,所以 n = t =1. 附: S n ? tb n ? ?
?8 8 ? n ? t? ?8 ? , 7 ?7 ? ?8 ? n ?1 8 S n ? 1 ? tb n ? 1 ? ? ? t ? ? 8 ? . 7 ?7 ?

当 t ? 1 时, 由

S n ? tb n S n ? 1 ? tb n ? 1

?

1 16

n ,得 8 ? 15 ,? n ? 1 .

当 t ? 2 时, S n ? tb n ? 0 ,由 所以 n = t =1.

S n ? tb n S n ? 1 ? tb n ? 1

?

1 16

,得 ?8 ? 7 t ? ? 8 ? 15 , n 不存在.
n

20 ?1? 21.解(Ⅰ) :展开式中二项式系数最大的项是第 4 项,第 4 项是 T 4 = C 6 ? ? ? 3 . n ?n?
3

3

(Ⅱ)证法一:因 f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? ? 1 ?
?

?

1? ? n?

2x

1? ? ? ?1 ? ? n? ?

2

1? ? ? 2 ?1 ? ? n? ?
x

2x

1? ? ? ?1 ? ? n? ?

2

1? ? 1? 1? ? ? ? 2 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? n? ? n? n? ? ?
x

x

x

1? 1? 1? 1? ? ? ? ? ? 2 ? 1 ? ? ln ? 1 ? ? ? 2 ? 1 ? ? ln ? 1 ? ? ? 2 f ? ? x ? n? 2? n? n? ? ? ? ?

证法二: 因 f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? ?1 ?
?
x

?

1? ? n?

2x

1? 1? ? ? ? ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? n? n? ? ?

2

2x

1? ? ? ?1 ? ? n? ?

2

1? ? 1? ? ? 2 ?1 ? ? ? ?1 ? ? n? ? n? ?

x

1? 1? 1? 1? ? ? ? ? 而 2 f ? ? x ? ? 2 ? 1 ? ? ln ? 1 ? ? ,故只需对 ? 1 ? ? 和 ln ? 1 ? ? 进行比较。 n? n? n? n? ? ? ? ?

令 g ? x ? ? x ? ln x ? x ? 1 ? ,有 g ? ? x ? ? 1 ? 由
x ?1 x

1 x

?

x ?1 x

? 0 ,得 x ? 1 ,因为当 0 ? x ? 1 时, g ? ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递减;当 1 ? x ? ? ? 时,

g?? x? ? 0 , g ? x ? 单 调 递 增 , 所 以 在 x ? 1 处 g ? x ? 有 极 小 值 1 , 故 当 x ? 1 时 ,

1? 1? ? ? g ? x ? ? g ? 1 ? ? 1 ,从而有 x ? ln x ? 1 ,亦即 x ? ln x ? 1 ? ln x ,故有 ? 1 ? ? ? ln ? 1 ? ? 恒 n? n? ? ?

成立。所以 f ? 2 x ? ? f ? 2 ? ? 2 f ? ? x ? ,原不等式成立。 (Ⅲ)对 m ? N ,且 m ? 1
1 ? ? 有?1 ? ? m ? ?
m

? Cm
0

? 1 ? 2 ? 1 ? k ? 1 ? m ? 1 ? ? Cm ? ? ? Cm ? ? ? ? ? Cm ? ? ? ? ? Cm ? ? ?m ? ?m ? ?m ? ?m ?
1 2 k

2

k

m

m ? m ? 1? ? 1 ? m ? m ? 1? ? ? m ? k ? 1? ? 1 ? m ? m ? 1? ? 2 ?1 ? 1 ? ? 1?1? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 2! k! m! ?m ? ?m ? ?m ?

m

? 2?

1 ? 1 ? 1 ? 1 ?? 2 ? ? k ?1? 1 ? 1 ? ? m ?1? ?1 ? ? ?? ? ?1 ? ? ?1 ? ?? ?1 ? ? ?? ? ?1 ? ?? ?1 ? ? 2!? m? k !? m ?? m? ? m ? m !? m? ? m ?

? 2?

1 2!

?

1 3!
?

?? ?
1 3? 2

1 k!

?? ?
1

1 m!

? 2?

1 2 ?1

?? ?

k ? k ? 1?

?? ?

1 m ? m ? 1?

1? ?1 1? 1? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 2? ?2 3? ? ? k ?1 k ? ? m ?1 m ?

? 3?

1 m

?3,
k m

1 ? ? 1 ? ? 又因 C m ? ? ? 0 ? k ? 2, 3, 4, ? , m ? ,故 2 ? ? 1 ? ? m ? ?m ? ?
k

?3

1 ? ? ∵ 又 当 m ? 1时 , 有 2 ? ? 1 ? ? m ? ?
n

m

1? ? ? 3 ,从而有 2 n ? ? ? 1 ? ? ? 3 n ? n ? N , n ? 1 ? 成立, k ? k ?1 ?
n k

k

即存在 a ? 2 ,使得 2 n ?

1? ? ? ? 1 ? k ? ? 3 n 恒成立。 ? k ?1 ?



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