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广东省广州市培正中学高一数学下学期期中试题-课件



培正中学 2015-2016 学年第二学期期中考试试题 高一数学
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.下列命题正确的是( A.第一象限角是锐角 C.终边相同的角一定相等 2.函数 y ? cos x, x ? [? ) B.钝角是第二象限角 D.不相等的角,它们终边必不相同 )

r />
? ?

, ] 的值域是( 6 2

A.[0,1]

B.[-1,1]

C.[0,

3 ] 2

D. [ ?

1 ,1] 2


3. 设 A 是三角形的一个内角且 cos?? ? A? ?

3 ?? ? ,那么 cos? ? A ? 的值是( 2 ?2 ?
D. ?

A.

1 2

B.

3 2

C. ?

1 2

3 2


4.若

sin x sin x

?

cos x tan x ? ? ?1 ,则角 x 一定位于( cos x tan x

A. 第一或第二或第三象限 C.第二象限或第三象限

B.第二或第三或第四象限 D.第三象限或第四象 限 )

5.对于向量 a,b,c 和实数 ? ,下列陈述中正确的是(

b ? 0 ,则 a = 0 或 b = 0 A.若 a ?
2 2 C.若 a ? b ,则 a ? b 或 a = ?b

b = a? c ,则 b = c B.若 a ?
D.若 ? a = 0 ,则 ? ? 0 或 a ? 0

6.△ABC 中,∠C=120°, tan A ? tan B= ,则 tan A ? tan B ? ( A. 2 3 B. ?

1 3



3 3

C.

2 3 3

D. ? )

2 3 3

? ? ? ? 7.化简式子 cos 72 cos12 ? sin 72 sin12 的值是(

A.

1 2

B.

3 2

C.

3 3

D. 3

-1-

8 . 若 当 ? ? ? ? ? 0 时 , 函 数 y ? cos?2 x ? ? ??x ? R ? 是 奇 函 数 , 则 当 x ? ?0, ? ? 时 , 函 数

1 ? ? y ? ? sin? 2 x ? ? ? 的增区间是( 3 ? ?
A. ?0,



? ?? ? 3? ?

B. ?

? 5? ? ,? ? ? 6 ?

C. ?

? ? 5? ? , ?3 6 ? ?

D.以上都不是

9.如图,在△ ABC 中 , AD 、 BE 、 CF 分别是 BC 、 CA 、 AB 上的中线,它们交于点 G ,则 下列各等式中不正确 的是( ... )
F G B D C A E

???? 1 ???? A. DG ? AG 2 ??? ? 2 ??? ? C. BG ? BE 3

??? ? ??? ? B. CG ? 2GF ??? ? ??? ? ??? ? ? D. GA ? GB ? GC ? 0

10.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的 a=(m,n),b=(p,q),令 a⊙b=mq-np, 下面说法不正确 的是( ... B.a⊙b=b⊙a C.对 任意的 λ ∈R,有(λ a)⊙b=λ (a⊙b) D.(a⊙b) +(a·b) =|a| |b|
2 2 2 2



A.若 a 与 b 共线,则 a⊙b=0

二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分.

24 ,且 ? 是第三象限角,则 cos? ? . 7 ? ? ? ? 4sin ? ? 2 cos ? 12. 已知 a ? (3 , 1) , b ? (sin ? , cos ? ) ,且 a ∥ b ,则 = 5cos ? ? 3sin ?
11.若 tan ? ? → → 13.已知 A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量AB在CD上的投影为





π π 14.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0,- ≤φ ≤ )的图象上的两个相邻的最高点和最低点的 2 2 1 距离为 2 2,且过点(2,- ),则函数 f(x)= 2 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)
-2-

已知 sin ? ?

? ? 5 , ? ? ( , ?) ,试求(1) si n2 ? 的值; (2) tan( ? ? ) 的值. 2 3 5

16. (本小题满分 12 分) 已知 a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a ? ?1, 2 ? , (1) 若 | c |? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标; (2) 若| b |=

?

?

?

?

? ? ? ? 5 , 且 a +2 b 与 2a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 ? . 2

17. (本小题满分 14 分)

,x ? R . 已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1
(1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

π 个单位,再将图象上各点横坐标伸长 4

到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( x) 的最大 值及取得最大值时的 x 的集合.

18. (本小题满分 14 分) 设两个向量 e1、e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2 的夹角为 60°,若向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为偶函 数,图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2? .
-3-

(1) 求 f ( x ) 的解析式 (2) 若

; 且 f (? ?

? ? ? ? (? , )
3 2

?
3

)?

1 5? ) 的值. ,求 sin( 2? ? 3 3

20. (本小题满分 14 分) 设函数

x x f ( x) ? ? cos 2 x ? 4t ? sin cos ? 2t 2 ? 6t ? 2 2 2

(x?R) ,其中 t ? R ,将 f ( x ) 的最小值记为 g (t ) , (1) 求 g (t ) 的表达式; (2) 当 ? 1 ? t ? 1 时,要使关于 t 的方程 g (t ) ? kt 有且仅有一个实根,求实数 k 的取值范围.

-4-

培正中学 2015-2016 学年高一数学期中考试参考答案 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 B 5 D 6 D 7 A 8 C 9 A 10 B

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. ?

7 25

12.

5 7

2 10 13. 5

πx π 14.sin( + ) 2 6

三、解答题(6 小题,共 80 分) 15.解(1)由 sin ? ?

? 5 , ? ? ( , ?) ,得 2 5

cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ?

2 5 , 5
4 . 5

????3 分

∴ sin 2? ? 2 sin ? cos ? = ?

????6 分

5 sin ? 1 ? 5 ?? , (2)∵ tan? ? cos? 2 2 5 ? 5

???9 分

1 3 ? (? ) ? 3 2 ? 2 3 ? 1 ? 5 3 ? 8 .?12 分 ∴ tan( ? ? ) ? = ? 3 3 2? 3 1 ? tan tan? 1? 3 2
tan ? tan?
16.解: (1)设 c ? ( x, y), ? c // a, a ? (1,2),? 2x ? y ? 0,? y ? 2x ???2 分

?

?| c | ? 2 5 ,? x 2 ? y 2 ? 2 5 ,? x 2 ? y 2 ? 20 , x 2 ? 4 x 2 ? 20 ???3 分
∴?

?x ? 2 ? x ? ?2 或 ? ?y ? 4 ? y ? ?4

????5 分

(2)? (a ? 2b) ? (2a ? b),?(a ? 2b) ? (2a ? b) ? 0

2a ? 3a ? b ? 2b ? 0,? 2 | a | 2 ?3a ? b ? 2 | b | 2 ? 0

2

2

?| a | 2 ? 5, | b | 2 ? (

5 2 5 ) ? , 代入上式, 2 4

-5-

? 2 ? 5 ? 3a ? b ? 2 ?

5 5 ? 0?a ? b ? ? 4 2

????9 分

5 a ?b ?| a |? 5 , | b |? ,? cos? ? ? 2 | a |?|b|
?? ? [0, ? ] ?? ? ?

?

5 2

5 5? 2

? ?1,

?? ??12 分

17. 解: (1) f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ?

? ?

π? ? .?4 分 4?

,(k ? Z) 4 2 ? 3? 即 k? ? ? x ? k? ? ,(k ? Z) ?6 分 8 4 2
因此,函数 f ( x ) 的单调递增取间为 ? k? ? ,k? ? ???7 分 (k ? Z) 8 4? ? ? (2)有已知, g ( x) ? ∴当 sin( x ?

当 2 k? ?

?

? 2x ?

?

? 2 k? ?

?

?

?

3? ?

?
4

2 sin( x ? ) 4

?

??11 分

) ? 1,即 x ?

?

4

? 2 k? ?

?
2

,也即 x ? 2k? ?

?
4

(k ? Z) 时,

g ( x)max ? 2
∴ 当 ? x x ? 2k? ?

??13 分

? ?

?

? (k ? Z) ? , g ( x) 的最大值为 2 .???????14 分 4 ?

18. 解:由向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角, 得 (2te1+7e2)·(e1+te2) <0, |2te1+7e2|·|e1+te2| ???2 分 ???3 分
2

即 (2te1+7e2)·(e1+te2)<0.
2 2

整理得:2te1+(2t +7)e1·e2+7te2<0.(*) ∵|e1|=2,|e2|=1, 〈 e1,e2〉=60°. ∴(*)式化简得:2t +15t+7<0. 1 解得:-7<t<- . 2 ???8 分
2

???4 分 ∴e1·e2=2×1×cos 60°=1 ?5 分

???7 分

当向量 2te1+7e2 与 e1+te2 夹角为 180°时, 设 2te1+7e2 =λ (e1+te2) (λ <0). ???9 分

-6-

2t=λ ? ? 对比系数得?7=λ t ? ?λ <0

?λ =- 14 ? ,∴? 14 t=- ? 2 ? ? ?

??? 12 分

∴所求实数 t 的取值范围是?-7,-

14? ? 14 1? ?∪?- ,- ?. ???14 分 2 ? ? 2 2?

19. 解: (1) ? 图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2? ,

? T ? 2? , 则 ? ?

2? ? 1. T

? f ( x) ? sin(x ? ? ) . ?????3 分

? f ( x) 是偶函数, ? ? ? k? ?


?
2

(k ? Z ) ,

又 0 ? ? ? ? ,? ? ?

?
2



f ( x) ? cos x .

??????7 分

(2)由已知得 cos( ? ? 则 sin(? ?

?
3

)?

1 ? ? ? 5?   ,  ? ? ? (? , ) ,? ? ? ? (0, ) . 3 3 2 3 6
?????????10 分

?
3

)?

2 2   . 3

? sin(2? ?

5? 2? ? ? 4 2 ??14 分 ) ? ? sin(2? ? ) ? ?2 sin(? ? ) cos(? ? ) ? ? 3 3 3 3 9
2

20. 解: (1)由已知有: f ( x) ? ? cos x ? 4t ? sin

x x cos ? t 2 ? 6t ? 2 2 2

? sin 2 x ? 2t ? sin x ? 2t 2 ? 6t ? 1 ? (sin x ? t ) 2 ? t 2 ? 6t ? 1
由于 x ? R ,∴ ? 1 ? sin x ? 1 ?????????3 分
2 ∴ 当 t ? ?1 时,则当 sin x ? ?1 时, f ( x) min ? 2t ? 4t ? 2 ; 2 当 ? 1 ? t ? 1 时,则当 sin x ? t 时, f ( x) min ? t ? 6t ? 1 ; 2 当 t ? 1 时,则当 sin x ? 1 时, f ( x) min ? 2t ? 8t ? 2 ;

?2t 2 ? 4t ? 2, t ? (??, ?1) ?2 综上, g (t ) ? ?t ? 6t ? 1, t ? [?1,1] ?2t 2 ? 8t ? 2, t ? (1, ??) ?

???????7 分

2 (2)当 ? 1 ? t ? 1 时, g (t ) ? t ? 6t ? 1 ,方程 g (t ) ? kt 即:

t 2 ? 6t ? 1 ? kt
即方程

t 2 ? (k ? 6)t ? 1 ? 0 在区间 [?1,1] 有且仅有一个实根,?8 分

-7-

令 q(t ) ? t 2 ? (k ? 6)t ? 1 ,则有: 解法 1:①若 ? ? (k ? 6)2 ? 4 ? 0,即k=-4或k=-8;

当k=-4时,方程有重根t=1,当k=-8时,方程有重根t=-1
∴ t ? ?4或t ? ?8 ??10 分



?k ? 6 ?k<-8 ? 2 <-1 ? ? ?k<-8 ? k< ? 8 ?q(-1)<0 ? ? ?q(1)>0 ?k<-4 ? ? ? ?



?k ? 6 ? 2 >1 ?k>-4 ? ? ?q(-1)>0 ? ?k>-8 ? k> ? 4 ?q(1)<0 ?k>-4 ? ? ?

综上,当 k ? (??, ?8] ? [?4, ??) 时,关于 t 的方程 g (t ) ? kt 在区间 [?1,1] 有且仅 有一个实根. ??????????????14 分

解法 2:由 q(?1)q(1) ? 0,得(k ? 8)(k ? 4) ? 0 ? k ? (??,?8] ? [?4,??) .

-8-



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