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1.3简单的逻辑联结词


1.3

简单的逻辑联结词

例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题, 指出它的真假。 (1)请全体同学起立! (2)x2+x>0. (3)对于任意的实数a,都有a2+1>0. (4)x=-a. (5)91是质数. (6)中国是世界上人口最多的国家. (7)这道数学题目有趣吗? (8)若|x-y|=|a-b|,则x-y=a-b. (9)任何无限小数都是无理数.

我们再来看几个复杂的命题: (1)10可以被2或5整除. (2)菱形的对角线互相垂直且平分. (3)0.5非整数. “或”,“且”, “非”称为逻辑联结词.含有 逻辑联结词的命题称为复合命题,不含逻辑联 结词的命题称为简单命题. 复合命题有以下三种形式: (1)P且q. (2)P或q. (3)非p.

思考?
下列三个命题间有什么关系? (1)12能被3整除;

(2)12能被4整除;
(3)12能被3整除且能被4整除.

一般地,用逻辑联结词 “且” 把命题p和命题q联结起来.就得到一 个新命题,记作

p?q
读作“ p且q”.

思考:观察下列各组命题,命题p∧q的 真假与p、q的真假有什么联系?
p:12能被3整除; q:12能被4整除; p∧q:12能被3整除且能被4整除;

真 真 真

真 P:等腰三角形两腰相等; 假 q:等腰三角形三条中线相等; p∧q:等腰三角形两边相等且三条中线相等. 假
p:6是奇数; q:6是素数; p∧q:6是奇数且是素数.

假 假 假

规定:
1、当p,q都是真命题时, p ? q 是真命题; 2、当p,q两个命题中有一个命题是假命 题时, p ? q 是假命题.
p q

一假必假
串联电路

例1:将下列命题用“且”联结成新命题, 并判断他们的真假: (1)p:平行四边形的对角线互相平分, q:平行四边形的对角线相等; (2)p:菱形的对角线互相垂直, q:菱形的对角线互相平分; (3)p:35是15的倍数, q:35是7的倍数. 解:(1)p∧q:平行四边形的对角线互相平分且相等. ∵ p是真命题, q是假命题,∴p∧q是假命题.
(2)p∧q :菱形的对角线互相垂直且平分. ∵p、q都是真命题, ∴ p∧q是真命题. (3) p∧q : 35是15的倍数且是7的倍数. ∵ p是假命题, q是真命题,∴ p∧q是假命题.

例2:用逻辑联结词“且”改写下列命题, 并判断它们的真假. (1)1既是奇数,又是素数; (2)2和3都是素数.
解:(1) 1是奇数且1是素数 ,假命题. (2) 2是素数且3是素数,真命题.

含有“……和……”、“……与……”、 “既……,又…..”等词的命题能用“且” 改写成“p∧q”的形式.

思考?
下列三个命题间有什么关系?
(1)27是7的倍数; (2)27是9的倍数;

(3)27是7的倍数或是9的倍数.

一般地,用逻辑联结词 “或” 把命题p和命题q联结起来.就得到一 个新命题,记作

p?q
读作“ p或q”.

思考:观察下列各组命题,命题p∨q的 真假与p、q的真假有什么联系?
p:12能被3整除; q:12能被4整除; p∨q:12能被3整除或能被4整除;

真 真 真

真 P:等腰三角形两腰相等; 假 q:等腰三角形三条中线相等; p∨q:等腰三角形两边相等或三条中线相等. 真
p:6是奇数; q:6是素数; p∨q:6是奇数或是素数.

假 假 假

规定: 1、当p,q两个命题中有一个是真命 题时, p ? q 是真命题; 2、当p,q两个命题都是假命题时, p ? q 是假命题. p
q

一真必真
并联电路

例3:判断下列命题的真假: (1)2≤2; (2)集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集; (3)周长相等的两个三角形全等或面积相等的 两个三角形全等.
解:(1)p:2=2 ;q:2<2 ∵ p是真命题,∴p∨q是真命题. (2)p:集合A是A∩B的子集;q:集合A是A∪B的子集 ∵q是真命题, ∴p∨q是真命题. (3)p:周长相等的两个三角形全等; q:面积相等的两个三角形全等. ∵命题p、q都是假命题, ∴ p∨q是假命题.

思考?
1、如果 p ? q 为真命题,那么 p ?

q 一定

是真命题吗?
2、如果 p ? q 为真命题,那么 是真命题吗?

p ? q 一定

思考?
下列三个命题间有什么关系? (1)35能被5整除; (2)35不能被5整除.

一般地,对一个命题p全盘否定, 就得到一个新命题,记作

?p

读作”非p”或”p的否定” 规定:

? p 1、若p是真命题,则 必是假命题;
真假相反

2、若p是假命题,则? p 必是真命题.

例4:写出下列命题的否定,并判断它们的真假: y ? sin x是周期函数; (1 )p : (2 )p : 3? 2 ; (3)p:空集是集合A的子集. 解:(1)﹁p:y ? sin x 不是周期函数. ∵ p是真命题, ∴ ﹁p是假命题. (2)﹁p: 3? 2 ; ∵p是假命题, ∴ ﹁p是真命题. (3)﹁p:空集不是集合A的子集. ∵ p是真命题, ∴ ﹁p是假命题.

例:写出命题p: “正方形的四条边相等” 的否定与它的否命题.

命题p的否定(┓p):正方形的四条边不相等.
p的否命题: 若一个四边形不是正方形,则它的四 条边不相等.

思考:否命题与命题的否定的区别?
(1)否命题:否定条件,也否定结论. (2)命题的否定:只否定结论,不否定条件. (3)原命题: 若 p , 则 q . 否命题: 若 ┐p , 则┐q . 命题的否定: 若 p ,则┐q .

练习:

写出命题p:“菱形的对角线互相 垂直”的否定与它的否命题.
解:原命题的否定:菱形的对角线不互相垂直.
否命题:不是菱形的对角线不互相垂直.

下面是一些常见结论的否定形式.
正面词语
等于

否定

正面词语
任意的 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个

否定

不等于 不大于 不小于 不是 不都是

某个 一个也没有 至少有两个 至多有(n-1)个 至少有(n+1)个

大于 小于 是 都是 所有的

某些

练习
1.命题“方程 x ? 1的解是 x ? ?1”中, 使用逻辑词的情况是( B) A.没有使用逻辑联结词 B.使用了逻辑联结词“或” C.使用了逻辑联结词“且” D.使用了逻辑联结词“或”与“且”

2.在下列命题中 (1)命题“不等式 | x ? 2 |? 0 没有实数解”; (2)命题“-1是偶数或奇数”; (3)命题“ 2 既属于集合 Q ,也属于集合R ”; (4)命题“A ? A ? B ” (2)(4) 其中,真命题为_____________.

3. 命题p:“不等式 {x | x ? 0或x ? 1}”;命题q:“不等式 x 2 ? 4 的解集为 {x | x ? 2} ”,则 ( D ) A.p真q假 B.p假q真 C.命题“p且q”为真 D.命题“p或q”为假

x ?0 的解集为 x ?1

4.在一次模拟射击游戏中,小李连 续射击了两次,设命题p:“第一次 射击中靶”,命题q:“第二次射击 中靶”,试用,p、q及逻辑联结词 “或”“且”“非”表示下列命题: p∧q (1)两次射击均中靶; (2)两次射击至少有一次中靶. p∨q

5.若命题“﹁p”与命题“p∨q”都是真 命题,那么( B ) A.命题p与命题q的真假相同 B.命题q一定是真命题 C.命题q不一定是真命题 D.命题p不一定是真命题

6.设命题p:实数x满足 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,
命题q:实数x满足 x ? x ? 6 ? 0 ,
2

若p且q为真,则实数 x的取值 范围为 1 ? x ? 3 .

课堂小结
1、掌握逻辑联结词“且、或、非”的含义 2、正确应用逻辑联结词“且、或、非”解决问题 3、掌握真值表并会应用真值表解决问题
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假


p

假 假 真 真

4、命题的否定与否命题的区别

课后作业
1、分别指出由下列各组命题构成的“p 或q”“p且q”“非p”形式复合命题的真假. (1)p:3>3,q:3=3. (2)p: ? ? {0} ,q: 0?? . 2、写出下面命题的否定和否命题. 面积相等的三角形是全等三角形.


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