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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课件:第2章 第5节 函数的图象



第二章 函数、导数及其应用

第五节

函数的图象

第二章 函数、导数及其应用

[主干知识梳理] 一、利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线,首先:①确定函数的定
义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质 ( 奇偶性、 单调性、周期性);其次:列表(尤其注意特殊点、零点、 最大值点、最小值点、与坐标轴的交点 ) ;最后:描点, 连线.

第二章 函数、导数及其应用

二、利用基本函数的图象作图

1.平移变换
(1)水平平移:y=f(x±a)(a>0)的图象,可由y=f(x)的图象 向 左 (+)或向 右 (-)平移 a个 单位而得到. (2)竖直平移:y=f(x)±b(b>0)的图象,可由y=f(x)的图象 向 上 (+)或向 下 (-)平移 b个 单位而得到.

第二章 函数、导数及其应用

2.对称变换 (1)y=f(-x)与y=f(x)的图象关于 y轴 对称. (2)y=-f(x)与y=f(x)的图象关于 x轴 对称. (3)y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于 原点 对称.

(4)要得到y=|f(x)|的图象,可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分
以 x轴 为对称轴翻折到x轴上方,其余部分不变. y轴的对称性,作出x<0时的图象. (5)要得到y=f(|x|)的图象,可将y=f(x),x≥0的部分作出,再利 用偶函数的图象关于

第二章 函数、导数及其应用

3.伸缩变换

(1)y=Af(x)(A>0)的图象,可将y=f(x)图象上所有点的纵坐
标变为 原来的A倍 , 横坐标 不变而得到.

(2)y=f(ax)(a>0)的图象,可将 y=f(x)图象上所有点的横坐标 1 变为 原来的a倍 ,纵坐标 不变而得到.

第二章 函数、导数及其应用

[基础自测自评] 1 . 一次函数 f(x) 的图象过点 A(0 , 1) 和 B(1 , 2) ,则下列各点

在函数f(x)的图象上的是
A.(2,2) C.(3,2) B.(-1,1) D.(2,3)

(

)

D [一次函数f(x)的图象过点A(0,1),B(1,2), 则f(x)=x+1,代入验证D满足条件.]

第二章 函数、导数及其应用

2.函数y=x|x|的图象大致是

(

)

A [函数y=x|x|为奇函数,图象关于原点对称.]

第二章 函数、导数及其应用

3 . ( 教材习题改编 ) 在同一平面直角坐标系中,函数 f(x) = ax 与g(x)=ax的图象可能是下列四个图象中的 ( )

B [因a>0且a≠1,再对a分类讨论.]

第二章 函数、导数及其应用

4.(教材习题改编)为了得到函数y=2x-3的图象,只需把函数 y=2x的图象上所有的点向______平移______个单位长度. 答案 右 3

第二章 函数、导数及其应用

5.若关于 x 的方程|x|=a-x 只有一个解,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析 令 由题意 a=|x|+x

? ?2x,x≥0, y=|x|+x=? ? ?0,x<0,

图象如图所示,故要使 a=|x|+x 只有一解则 a>0. 答案 (0,+∞)

第二章 函数、导数及其应用

[关键要点点拨]

1 .作图一般有两种方法:直接作图法、图象变换法.其中
图象变换法,包括平移变换、伸缩变换和对称变换,要 记住它们的变换规律. [注意] 对 于 左、右平移变换 , 可熟记口诀:左加右

减.但要注意加、减指的是自变量,否则不成立.

第二章 函数、导数及其应用

2.一个函数的图象关于原点(y轴)对称与两个函数的图象关 于原点(y轴)对称不同,前者是自身对称,且为奇(偶)函数, 后者是两个不同的函数对称.

第二章 函数、导数及其应用

作函数的图象
[典题导入] 分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg x|; (2)y=2x 2;


(3)y=x2-2|x|-1.

第二章 函数、导数及其应用
? ?lg x,x≥1, (1)y=? 图象如图 ? ?-lg x,0<x<1.

[听课记录]

1.

(2)将 y=2x 的图象向左平移 2 个单位.图象如图 2.
2 ? ?x -2x-1,x≥0, (3)y=? 2 图象如图 ? ?x +2x-1,x<0.

3.

第二章 函数、导数及其应用

[规律方法] 画函数图象的一般方法

(1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本
函数时,就可根据这些函数的特征直接作出. (2)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平 移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换 顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注

意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练] 1.作出下列函数的图象: (1)y=|x-x2|; x+2 (2)y= . x-1

第二章 函数、导数及其应用

2 ? ?x-x ,0≤x≤1, 解析:(1)y=? 2 ? ?-(x-x ),x>1或x<0,

1?2 1 ? ? x-2? + ,0≤x≤1, ?-? 4 ? ? 即 y=? ? ?2 1 1 ??x- ? - ,x>1或x<0, ?? 2? 4 其图象如图 1 所示(实线部分).

第二章 函数、导数及其应用

(x-1)+3 3 3 (2)y= =1+ , 先作出 y=x 的图象, 再将其向右平 x-1 x-1 x+2 移 1 个单位,并向上平移 1 个单位即可得到 y= 的图象, x-1 如图 2.

第二章 函数、导数及其应用

识图与辨图

[典题导入]
(2012·湖北高考)已知定义在区间 [0 ,2]上的函数y=f(x)的图 象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为 ( )

第二章 函数、导数及其应用

第二章 函数、导数及其应用

[听课记录]

解法一:由 y=f(x)的图象知

? ?x(0≤x≤1), f(x)=? ? ?1(1<x≤2).

当 x∈[0,2]时,2-x∈[0,2], 所以 故
? ?1(0≤x≤1), f(2-x)=? ? ?2-x(1<x≤2),

? ?-1(0≤x≤1), y=-f(2-x)=? ? ?x-2(1<x≤2).

第二章 函数、导数及其应用

解法二:当 x=0 时,-f(2-x)=-f(2)=-1;当 x=1 时, -f(2-x)=-f(1)=-1.观察各选项,可知应选 B. 答案 B

第二章 函数、导数及其应用

[规律方法]

“看图说话”常用的方法
(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象 的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题. (2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题. (3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,

利用这一函数模型来分析解决问题.

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练] 2.(1)如图,函数 f(x)的图象是曲线 OAB,其中点 O,A,B 的坐 标分别为(0, 0), (1, 2), (3, 1), 则
? 1 ? ? f?f(3)? ?的值等于________. ? ?

第二章 函数、导数及其应用

第二章 函数、导数及其应用

(2)(2014·德州一模)若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0,且a≠1)
在R上既是奇函数,又是减函数,则函数g(x)=loga(x+k)的 图象是 ( )

第二章 函数、导数及其应用

A [∵f(x)在R上为奇函数,∴f(0)=0,

∴(k-1)-1=0,
∴k=2. ∴f(x)=ax-a-x. 又∵f(x)在R上为减函数,∴a∈(0,1). ∴g(x)=loga(x+2),故选A.]

第二章 函数、导数及其应用

函数图象的应用 [典题导入] 已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,

那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象的交点共有
( A.10个 C.8个 B.9个 D.1个 )

第二章 函数、导数及其应用

[听课记录] 图如下:

根据f(x)的性质及f(x)在[-1,1]上的解析式可作

第二章 函数、导数及其应用

可验证当x=10时,y=|lg 10|=1; 0<x<10时,|lg x|<1;

x>10时|lg x|>1.
结合图象知y=f(x)与y=|lg x|的图象交点共有10个. 答案 A

第二章 函数、导数及其应用

[互动探究]
若本例中f(x)变为f(x)=|x|,其他条件不变,交点个数为 .

解析 根据f(x)的性质及f(x)在[-1,1]上的解析式可作图如下:

由图象知共10个交点.
答案 10

第二章 函数、导数及其应用

[规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质

对于已知或易画出在给定区间上图象的函数,其性质(单调性、
奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究,但 一定要注意性质与图象特征的对应关系.

第二章 函数、导数及其应用

2.利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的

根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标,
方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标.

第二章 函数、导数及其应用

[跟踪训练] 3.(2014· 石家庄模拟)若直角坐标平面内 A,B 两点满足条件: ①点 A,B 都在函数 f(x)的图象上;②点 A,B 关于原点对称, 则对称点(A,B)是函数 f(x)的一个“姊妹点对”(点对(A,B)与 (B,A)可看作同一个“姊妹点对”).已知函数
2 x ? ? +2x,x<0, f(x)=? 2 则 f(x)的“姊妹点对”有__________个. ,x≥0, ? ? ex

第二章 函数、导数及其应用

解析

x2+2x,x<0, ? ? 作出函数 f(x)=? 2 的图 x,x≥0, ? ?e

2 象,再作出函数 y=ex(x≥0)关于原点对称的 图象,即函数 y=-2ex(x≤0)的图象,这样 问题就转化为求函数 y=-2ex(x≤0)与 y=x2+2x(x<0)的图象的交 点个数.结合图象可知 f(x)的“姊妹点对”有 2 个. 答案 2

第二章 函数、导数及其应用

【创新探究】 数形结合思想在求参数中的应用
|x2-1| (2012· 天津高考)已知函数 y= 的图象与函数 y= x-1 kx-2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是__________.

第二章 函数、导数及其应用

【思路导析】

先化简函数,分x2-1≥0与x2-1<0讨论后,

并作出图象,利用图象建立k的不等关系可求解. 【解析】 先去掉绝对值符号, 在同一直角坐标系中作出函数的

图象,数形结合求解.

第二章 函数、导数及其应用

|x2-1| 根据绝对值的意义,y= x-1
? ?x+1(x>1或x<-1), =? ? ?-x-1(-1≤x<1).

在直角坐标系中作出该函数的图象,如图中实线所示.根据图象 可知,当 0<k<1 或 1<k<4 时有两个交点. 【答案】 (0,1)∪(1,4)

第二章 函数、导数及其应用

[体验高考]

1.(2013·山东高考)函数y=xcos x+sin x的图象大致为(

)

第二章 函数、导数及其应用

D [因 f(-x)=-x· cos(-x)+sin(-x)=-(xcos x+sin x)=-f(x), 故该函数为奇函数,排除 B, 又
? π? ? x∈?0, ? ,y>0,排除 ? 2? ?

C,而 x=π时,y=-π,排除 A,

故选 D.]

第二章 函数、导数及其应用

2.(2013·江西高考)如图,已知l1⊥l2,圆心在 l1上、半径为1 m的圆O在t=0时与l2相切于 点A,圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动, 圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=

cos x,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数
y=f(t)的图象大致为 ( )

第二章 函数、导数及其应用

第二章 函数、导数及其应用

B [设经过 t(0≤t≤1)秒直线 l2 与圆交于 M,N 两点,直线 l1 与圆 被直线 l2 所截上方圆弧交于点 E, 则∠MON=x,AE=t,OA=1-t. x OA 1-t 所以 cos 2=OM= 1 =1-t, 所以 y=cos x=2cos 2-1=2(1-t)2-1=2t2-4t+1.故其对应的图 象为 B.]
2x

第二章 函数、导数及其应用

3.(2013· 新课标全国Ⅰ高考)已知函数 |f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是 A.(-∞,0] C.[-2,1]

2 ? ?-x +2x,x≤0, f(x)=? 若 ? ln ( x + 1 ), x > 0. ?

( B.(-∞,1] D.[-2,0]

)

第二章 函数、导数及其应用

D [可画出|f(x)|的图象如图所示.

第二章 函数、导数及其应用

当 a>0 时,y=ax 与 y=|f(x)|恒有公共点,所以排除 B,C; 当 a≤0 时,若 x>0,则|f(x)|≥ax 恒成立. 若 x≤0,则以 y=ax 与 y=|-x2+2x|相切为界限,
? ?y=ax, 2 由? 得 x -(a+2)x=0. 2 ? ?y=x -2x,

∵Δ=(a+2)2=0,∴a=-2. ∴a∈[-2,0].故选 D.]

第二章 函数、导数及其应用

课时作业



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