9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2013版高考数学一轮复习精品学案:6.1不等式



2013 版高三数学一轮精品复习学案:
第六章
【知识特点】
(1)不等式应用十分广泛,是高中数学的主要 工具,试题类型多、方法多、概念要求较高,特别是 不等式性质的条件与结论,基本不等式的条件等。 (2)不等式的性质本身就是解题的手段和方法,要认真理解和体会不等式性质的条件与结论,并运 用它去解题。 (3)一元二次不等式的解法及求解程序框图一定要在

理解的基础上掌握,因为求解的程序框图就是 求解的一般方法与步骤。 (4)二元一次不等式组与简单的线性规划是解决最优化问题的一个重要手段,但画图时一定要细心, 然 后求出目标函数的最值。 (5)基本不等式的条件是解题的关键,一定要认真体会,会运用基本不等式来证明或求解问题。 (6)推理与证明贯穿于每一个章节,是对以前所学知识的总结与归纳,概念较多,知识比较系统, 逻辑性较强,在高中数学中有着特殊地位。

不等式、推理与证明

【重点关注】
不等式、推理与证明的学习应立足基础,重在理解,加强训练,学会建模,培养能力,提高素质,因 此在学习中应重点注意以下几点: (1)学习不等式性质时,要弄清条件与结论,要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势,要以比较准 则和实数的运算法则为依据解决问题。 (2)解某些不等式时,要与函数的定义域、值域、单调性联系起来,注重数形结合思想,解含参数 不等式时要注重分类讨论的思想。 (3)利用基本不等式求最值时,要满足三个条件:一正,二定,三相等。 (4)要强化不等式的应用意识,同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系,充分利用函数方 程思想、数形结合思想处理不等式问题。 (5)利用线性规划解决实际问题,充分利用数形结合思想,会达到事半功倍的效果,因此力求画图 标准。 (6)深刻理解合情推理的含义,归纳解决这类问题的规律和方法,掌握分析法、综合法、反证法的 证明过程和解题特点。 (7)合情推理中主要包括类比推理与归纳推理两种推理模式,类比、归纳的数学思想是在进行问题 探讨、研究时常见的思想方法。

(8)数学归纳法是证明数列、等式、不等式的有效方法,证明问题时要注意充分利用归纳假设,同 时注意项数的变化,在证明不等问题时,注意放缩、作差等方法的应用。

【地位和作用】
不等式通常会和函数,方程结合起来考查学生的综合能力,一般有一道小的选择或计算及填空出现在 高考试题中,学好不等式的证明及计算是很重要的。涉及不等式的大题有时也会和求函数的最值结合大概 可以占到 20-30 分。 推理与证明主要包括:合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法(理科)等内容,其 中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识,代表研究性命题的发展趋势,选择题、 填空题、解答题都可能涉及到,该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方 面,在新的高考中都会涉及和渗透,但单独出题的可能性较小; 总得说来,这一章在高考命题上将会呈现以下特点: 1、考查题型以选择题、填空为主,偶以解答题形式出现,但多数是解答题中的一部分,如与数列、 函数、解析几何等结合考查,分值约占 10%左右,既有中低档题也会有高档题出现; 2、重点考查不等式解法、不等式应用、线性规划以及不等式与其他知识的结合,另在推理与证明中 将会重点考查。 合情推理与演绎推理及证明方法,偶尔对数学归纳法的考查,注重知识交汇处的命题; 3、预计本章在今后的高考中仍将在不等式的解法、基本不等式应用、线性规划以及推理与证明与其 他知识的交汇处命题,更加注重应用与能力的考查。

6.1 不等式
【高考新动向】
一、不等关系与不等式 1、考纲点击 (1)了解现实世界和日常生活中的不等关系; (2)了解不等式(组)的实际背景; (3)掌握不等式的性质及应用。 2、热点提示 (1)不等式的性质为考查重点,对于不等关系,常与函数、数列、简易逻辑及实际问题相结合进行 综合; (2)用待定系数法求参数的范围问题是重点,也是难点; (3)题型以选择题和填空题为主,主要在与其他知识点交汇处命题。

二、一元二次不等式及其解法 1、考纲点击 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型; (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系; (3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图。 2、热点提示 (1)以考查一元二次不等式的解法为主,兼顾二次方程的判别式、根的存在性等知识; (2)以集合为载体,考查不等式的解法及集合的运算; (3)以函数、数列、解析几何为载体,以二次不等式的解法为手段,考查求参数的范围问题; (4)以选择、填空题为主,偶尔穿插于解答题中考查。 三、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1、考纲点击 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组; (2)了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组; (3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。 2、热点提示 (1)重点考查线性目标函数的最值,兼顾考查代数式的几何意义(如斜率、距离、面积等) ; (2)多在选择、填空题中出现,有时会在解答题中出现,常与实际问题相联系,列出线性约束条件, 求出最优解。 四、基本不等式 1、考纲点击[来源:学科网 ZXXK] (1)了解基本不等式的证明过程; (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。 2、热点提示 (1)以考查基本不等式的应用为重点,兼顾考查代数式变形、化简能力,注意“一正、二定、三相等” 的条件; (2)考查方式灵活,可出选择题、填空题,也可出以函数为载体的解答题; (3)以不等式的证明为载体,与其他知识结合在一起来考查基本不等式,证明不会太难。但题型多 样,涉及面广。

【考纲全景透析】
一、不等关系与不等式

1、比较两实数大小的方法——求差比较法

即:

a ? b ? a ?b ? 0; a ? b ? a ?b ? 0; a ? b ? a ? b ? 0 。[来源:学_科_网]
2、不等式的基本性质 定理 1:若 a ? b ,则 b ? a ;若 b ? a ,则 a ? b .即 a ? b ? b ? a 。 注:把不等式的左边和右边交换,所得不等式与原不等式异向,称为不等式的对称性。 定理 2:若 a ? b ,且 b ? c ,则 a ? c 。 注: 此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数; 定理 2 称不等式的传递性。 定理 3:若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c 。 注: (1)不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向; (2)定理 3 的证明相当于比较 a ? c 与 b ? c 的大小,采用的是求差比较法; (3)定理 3 的逆命题也成立; (4)不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边。 定理 3 推论:若 a ? b, 且c ? d , 则a ? c ? b ? d 。 注: (1)推论的证明连续两次运用定理 3 然后由定理 2 证出; (2)这一推论可以推广到任意有限个同 向不等式两边分别相加,即:两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向; (3) 同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;异向不等式:两个不等号方向相反的不等式。 定理 4.如果 a ? b 且 c ? 0 ,那么 ac ? bc ;如果 a ? b 且 c ? 0 ,那么 ac ? bc 。 推论 1:如果 a ? b ? 0 且 c ? d ? 0 ,那么 ac ? bd 。 注: (1)不等式两端 乘以同一个正数,不等号方向不变;乘以同一个负数,不等号方向改变; (2)两

边都是正数的同向不等式的两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向; (3)推论 1 可以推广到任意有限 个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说,两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边 分别相乘,所得不等式与原不等式同向。
n n 推论 2:如果 a ? b ? 0 , 那么 a ? b (n ? N且n ? 1) 。

n n 定理 5:如果 a ? b ? 0 ,那么 a ? b (n ? N且n ? 1) 。

[来源:学科网 ZXXK]

3、不等式的一些常用性质 (1)倒数性质

1 1 ? . a b 1 1 ②a ? 0 ? b ? ? . a b a b ③ a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? ? c d
① a ? b, ab ? 0 ? ④ 0 ? a ? x ? b或a ? x ? b ? 0 ? (2)有关分数的性质 若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则

1 1 1 ? ? . b x a

①真分数的性质:

b b?m b b?m ? ; ? (b ? m ? 0). a a?m a a?m
②假分数的性质:

a a?m a a?m ? ; ? (b ? m ? 0) b b?m b b?m
4、基本不等式
2 2 定理 1:如果 a, b ? R ,那么 a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取“ ? ”) 。

注: (1)指出定理适用范围: a, b ? R ; (2)强调取“ ? ”的条件 a ? b 。

a?b ? ab a, b 是正数,那么 2 定理 2:如果 (当且仅当 a ? b 时取“=”)
a?b 为a , b a, b ? R? ; 注: (1)这个定理适用的范围: (2)我们称 2 的算术平均数,称 ab为a, b 的
几何平均数。即:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 二、一元二次不等式及其解法 1、一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表:

注:当 a<0 时,可利用不等式的性质将二次项系数化为正数,注意不等号的变化,而后求得方程两根, 再利用“大于号取两边,小于号取中间”求解。 2、用程序框图来描述一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)的求解的算法过程为:

三、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1、二元一次不等式(组)表示的平面区域 ( 1 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 直 线 Ax ? By ? C ? 0 将 平 面 内 的 所 有 点 分 成 三 类 : 一 类 在 直 线

Ax ? By? C ?0 上 , 另 两 类 分 居 直 线 Ax ? By ? C ? 0 的 两 侧 , 其 中 一 侧 半 平 面 的 点 的 坐 标 满 足 Ax ? By ? C ? 0 ,另一侧的半平面的点的坐标满足 Ax ? By ? C ? 0 ;
(2)二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax ? By ? C ? 0 某一侧的平面 区域且不含边界,直线作图时边界直线画成虚线,当我们在坐标系中画不等式 Ax ? By ? C ? 0 所表示的 平面区域时,此区域应包括边界直线,此时边界直线画成实线。 (3)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的交集,因而是各个不等式所表示平面 区域的公共部分。 2、线性规划的有关概念 名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 意 义

由变量 x,y 组成的不等式组 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 关于 x,y 的函数解析式,如 z=2x+3y 关于 x,y 的一次解析式

可行解 可行域 最优解 线性规划问题

满足线性约束条件的解(x,y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

注:最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解,最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个。 四、基本不等式 1、基本不等式
2 2 定理 1:如果 a, b ? R ,那么 a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取“ ? ”) 。

注: (1)指出定理适用范围: a, b ? R ; (2)强调取“ ? ”的条件 a ? b 。

a?b ? ab 定理 2:如果 a, b 是正数,那么 2 (当且仅当 a ? b 时取“=”)
a?b 为a , b 注: (1)这个定理适用的范围: a, b ? R ; (2)我们称 2 的算术平均数,称 ab为a, b 的
?

几何平均数。即:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 2、常用字的几个重要不等式

注:上述不等式成立的条件是 a=b 3、利用基本不等式求最佳问题 已知 x>0,y>0,则: (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 (简记:积定和最小) ;

(2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 4、算术平均值与几何平均值

。 (简记:和定积最大)

设 a>0,b>0,则 a,b 的的算术平均值为

,几何平均值为

,均值不等式可叙述为:两个正实

数的自述平均值大于或等于它们的几何平均值。

【热点难点精析】
一、不等关系与不等式 (一)应用不等式表示不等关系 ※相关链接※ 1、将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号 之间的正确转换,这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系。常见的文字语言与数学符号之间的转换 关系如下表:

2、注意区分“不等关系”和“不等式”的异同,不等关系强调的是关系,可用 表示,不等式则是表现不等关系的式子,对于实际问题中的不等 关系可以从“不超过”、“至少”、“至多”等关键词上去把握,并考虑到实际意义。 ※例题解析※ 〖例〗某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超过 1000 万元的资金购买单价分别 为 40 万元、90 万元的 A 型汽车和 B 型汽车。根据需要,A 型汽车至少买 5 辆,B 型汽车至少买 6 辆,写 出满足上述所有不等关系的不等式。 思路解析:把握关键点,不超过 1000 万元,且 A、B 两种车型分别至少 5 辆、6 辆,则不等关系不难 表示,要注意取值范围。

?40x ? 90y ? 1 000 ?4x ? 9y ? 100 ?x ? 5 ?x ? 5 ? ? 解答:设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆,则 ? ,? ? . ?y ? 6 ?y ? 6 ?x, y ? N ?x, y ? N ? ?
(二)比较大小 ※相关链接※ 比较实数或代数式的大小的方法主要是作差法和作商法。 1、“作差法”的一般步骤是: (1)作差; (2)变形; (3)判断符号; (4)得出结论。用“作差法”比较

两个实数大小的关键是判断差的正负,常采用配方、因式分解、有理化等方法。常用的结论有 , 2、作商法的一般步骤是: (1)作商; (2)变形; (3)判断商与 1 的大小; (4)得出结论。 等。当两个式子都为正时,有时也可以先平方再作差。



注: 当商与 1 的大小确定后必须对商式的分母的正负做出判断方可得出结论, 如: ; 3、特例法 若是选择题还可以用特殊值法比较大小,若是解答题,也可以用特殊值法探路.



※例题解析※ 〖例〗(1)(2012· 南平模拟)若 a、b 是任意实数,且 a>b,则下列不等式成立的是( )

(A)a 2 ? 1>b 2 ? 1 (C)lg ? a ? b ?>0

b (B) <1 a 1 a 1 b (D) ) <( ) ( 3 3

(2)已知 a1,a2∈(0,1),记 M=a1a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关 系是( ) (B)M>N ( )M=N (D)不确定

(A)M<N

(3)已知 a>b>0,比较 aabb 与 abba 的大小. 【方法诠释】(1)运用特殊值验证即可.(2)可用作差法求 解.(3)利用作商法求解判断. 解析:(1)选 D.令 a ? ?

1 , b=-1,则 A、B、 均不成立,故选 D. 2

(2)选 B.∵M-N=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1) =(a1-1)(a2-1) 又 a1,a2∈(0,1), 故(a1-1)(a2-1)>0,故 M>N.

(3)∵

aa b b a a ?b a ? a ?b ? ( ) a ? b , b a ab b b

又 a>b>0,故 >1, a-b>0,

a b

∴( )

a b

a ?b

>1, 即

aa b b >1, 又 abba>0, b a ab

∴aabb>abba, ∴aabb 与 abba 的大小关系为:aabb>abba.

(三)不等式性质的应用 〖例〗(1)(2011· 浙江高考)若 a、b 为实数,则“0<ab<1”是“ a< 或b> ”的( (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ( )充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (2)已知函数 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求 f(-2)的取值范围. 【方法诠释】(1)利用不等式的基本性质进行判断. (2)利用待定系数法寻找 f(-2)与 f(-1),f(1)之间的关系,即用 f(-1),f(1)整体表示 f(-2),再利用不等式的 性质求 f(-2)的取值范围. 解析:(1)选 A.0<ab<1 可分为两种情况: 当 a>0,b>0 时,由 0<ab<1 两边同除以 b 可得 a< ; 当 a<0, b<0 时,两边同除以 a 可得 b> . ∴“0<ab<1”是“ a< 或b> ”的充分条件,

1 b

1 a

)

1 b

1 a

1 b

1 a

1 1 b a 1 1 “ a< 或b> ”的不必要条件,故应为充分不必要条件. b a
(2)方法一:设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n 为待定系数),则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b). 即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b. 于是得 ?

反之,当 a< 或b> 时,可能有 ab<0,∴“0<ab<1”是

?m ? n ? 4 ?m ? 3 ,解得 ? , ?n ? m ? ?2 ?n ? 1

∴f(-2)=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 即 5≤f(-2)≤10. 方法二:

1 ? [ , ? ?f ? ?1? ? a ? b, ?a ? 2 f ? ?1? ? f ?1?] ? 即? ? ?f ?1? ? a ? b. ?b ? 1 f ?1? ? f ? ?1?] ? [ . ? ? 2
∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 即 5≤f(-2)≤10.

(四)不等式的证明 〖例〗已知 a>0,b>0,且 a+b=1 证明:证法一: (分析综合法) 欲证原式,即证 4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0,
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

求证

新疆
源头学子 小屋
http://w ww .xjktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://w ww .xjktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

(a+

1 1 25 )(b+ )≥ 。 b a 4

1 即证 4(ab) -33(ab)+8≥0,即证 ab≤ 4 或 ab≥8
2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≥8 不可能成立

1 ∵1=a+b≥2 ab ,∴ab≤ 4 ,从而得证。
证法二: (均值代换法)

1 1 设 a= 2 +t1,b= 2 +t2。 1 1 ∵a+b=1,a>0,b>0,∴t1+t2=0,|t1|< 2 ,|t2|< 2 ,

1 1 a2 ? 1 b2 ? 1 ? (a ? )(b ? ) ? ? a b a b 1 1 1 1 2 2 ( ? t1 ) 2 ? 1 ( ? t 2 ) 2 ? 1 ( ? t1 ? t1 ? 1)( ? t 2 ? t 2 ? 1) 4 ? 2 ? 2 ? 4 1 1 1 1 ? t1 ? t2 ( ? t1 )( ? t 2 ) 2 2 2 2 1 1 5 2 2 2 2 ( ? t1 ? t1 ? 1)( ? t 2 ? t 2 ? 1) ( ? t 2 ) 2 ? t 2 4 ? 4 ? 4 1 1 2 2 ? t2 ? t2 4 4 25 3 2 25 4 ? t2 ? t2 25 ? 16 2 ? 16 ? . 1 1 2 4 ? t2 4 4

1 显然当且仅当 t=0,即 a=b= 2 时,等号成立
证法三:(比较法)

1 ab ,∴ab≤ 4 , ∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥2
1 1 25 a 2 ? 1 b 2 ? 1 25 4a 2b 2 ? 33ab ? 8 (1 ? 4ab)(8 ? ab) (a ? )(b ? ) ? ? ? ? ? ? ?0 a b 4 a b 4 4ab 4ab 1 1 25 ? (a ? )(b ? ) ? a b 4
证法四:(综合法)

1 ab ,∴ab≤ 4 , ∵a+b=1, a>0,b>0,∴a+b≥2

25 ? 2 ?(1 ? ab) ? 1 ? 16 (1 ? ab) 2 ? 1 25 1 3 9 ? ?1 ? ab ? 1 ? ? ? (1 ? ab) 2 ? ? ? ? ? 4 4 16 ? 1 ab 4 ?4 ? ab ?
证法五:(三角代换法)

1 1 25 即(a ? )(b ? ) ? a b 4 。

?
∵ a>0,b>0,a+b=1,故令 a=sin α,b=cos α,α∈(0, 2 ),
2 2

1 1 1 1 ( a ? )( b ? ) ? (sin 2 ? ? )(cos 2 ? ? ) 2 a b sin ? cos 2 ? sin4 ? ? cos 4 ? ? 2 sin2 ? cos 2 ? ? 2 ( 4 ? sin2 ? ) 2 ? 16 ? ? 4 sin2 2? 4 sin2 2? 2 2 ? sin 2? ? 1,? 4 ? sin 2? ? 4 ? 1 ? 3. 4 ? 2 sin2 2? ? 16 ? 25? ? ( 4 ? sin2 2? ) 2 25 ? ?? 1 1 4 4 sin2 2? ? ? 2 sin 2? 4 ? 1 1 25 即得( a ? )( b ? ) ? . a b 4
方法提示: 由 a<f(x,y)<b,c<g(x,y)<d,求 F(x,y)的取值范围,可利用待定系数法解决,即设 F(x,y)=mf(x,y)+ ng(x,y), 用恒等变形求得 m,n,再利用不等式的性质求得 F(x,y)的取值范围. 提醒:同时应用多个不等式时,容易改变不等式的范围,特别是多次运用同向不等式相加这一性质, 因不是等价关系,易导致出错.

二、一元二次不等式及其解法 (一)一元二次不等式的解法 ※相关链接※ 解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形,使一端为 0 且二次项系数大于 0,即[来源:学科网 ZXXK] ; (2)计算相应的判别式; (3)当 Δ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集。 ※例题解析※ 〖例〗解下列不等式: (1)2x2+4x+3<0;(2)-3x2-2x+8≤0;(3)8x-1≥16x2. 思路解析:首先将二次项系数转化为正数,再看二次基项式能否因式分解,若能,则可得方程的两根, 且大于号取两边,小于号取中间,若不能,则再“Δ”,利用求根公式求解方程的根,而后写出解集。 解答: (1)∵Δ=42-4× 3=16-24=-8<0,∴方程 2x2+4x+3=0 没有实根,∴2x2+4x+3<0 的解集为 Φ; 2× (2)原不等式等价于 3x2+2x-8≥0 ? (x+2)(3x-4)≥0 ? x≤-2 或 x≥

4 3

(3)原不等式等价于 16x2-8x+1≤0 ? (4x-1)2≤0,∴只有当 4x-1=0,即 x= 式的解集为 ? ? (二)含字母参数的不等式的解法 ※相关链接※

1 时,不等式成立。 故不等 4

?1 ? ?4?

含参数的一元二次不等式关于字母参数的取值范围问题,其主要考查二次不等式的解集与系数的关系 以及分类讨论的数学思想。 1、解答分类讨论问题的基本方法和步骤是: (1)要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围; (2)确定分类标准,正确进行合理分类; (3)对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果; (4)进行归纳总结,综合得出结论。 2、对于解含有参数的二次不等式,一般讨论的顺序是: (1)讨论二次项系数是否为 0,这决定此不等式是否为二次不等式; (2)当二次项系数不为 0 时,讨论判别式是否大于 0; (3)当判别式大于 0 时,讨论二次项系数是否大于 0,这决定所求不等式的不等号的方向; (4)判断二次不等式两根的大小。 ※例题解析※ 〖例〗解关于 x 的不等式(1-ax)2<1 思路解析:将不等式左边化为二次三项式,右边等于 0 的形式,并将左边因式分解,据 a 的取值情况 分类讨论。 解答:由(1-ax)2<1 处 a2 x2 ? 2ax ? 1 ? 1,即ax(ax ? 2) ? 0. (1) 当a ? 0时,不等式转化为0 ? 0, 故x无解。

2 2 ? 2 ? (2)当a ? 0时,不等式转化为x(ax-2)>0,即x(x- )<0. ? ? 0,?不等式的解集为 ? x | ? x ? 0?. a a ? a ?

2 2? ? (3)当a>0则,即原不等式转化为x(ax-2)<0,又 >0, 即原不等式的解集炒 ? x | 0 ? x ? ? ? a a? ?

综上所述,当a=0时,原不等式解集为?; ? 2 ? 当a<0时,则原不等式解集为 ? x | ? x ? 0 ? ? a ? 2? ? 当时,则原不等式解集为 ? x | 0 ? x ? ? . a? ?
注:解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对参数进行分类讨论;若不能因式分解,则 可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏。若二次项系数含参数,则不要忘了二次项系数是否为零的情 况。 (三)一元二次不等式的实际应用 ※相关链接※ 1、实际应用问题是新课标下考查的重点,突出了应用能力的考查,在不等式应用题中常以函数模型 出现,如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型,解题时要理清题意,准确找出其中不等关系再利用 不等解法求解; 2、不等式应用题一般可按如下四步进行:

即: (1)阅读理解、认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系; (2)引进数学符号,用不等式表示不等关系; (3)解不等式; (4)回归实际问题。 ※例题解析※ 〖例〗 国家原计划以 2400 元/吨的价格收购某种农产品 m 吨, 按规定, 农户向国家纳税为: 每收入 100

元纳税 8 元(称作税率为 8 个百分点,即 8%) 。为了减轻农民负担,决定降低税率。根据市场规律,高效 率降低 x 个百分点,收购量能增加 2x 个百分点。试确定 x 的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入 不低于原计划的 78%。 思路解析:表示高效率调低后的税收收入 ?列不等关系 ?解不等关系 ?得结论 解答:设税率调低后的税收总收入为 y 元,则

12 m( x 2 ? 42 x ? 400). 25 由题意知,? x ? 8, 要使税收总收入不低于原计划的78%,须y ? 2400m ? 8% ? 78%, 0 y ? 2400m(1 ? 2 x%) ? (8 ? x)% ? ? 整理,得x2 ? 42 x ? 88 ? 0, 解得 ? 44 ? x ? 2, 又0 ? x ? 8,? 0 ? x ? 2, 所以x的取值范围是(0,2]
(四)一元二次不等式恒成立问题 〖例〗求使

x? y

≤a

x? y

(x>0,y>0)恒成立的 a 的最小值。[来源:学科网]

思路解析:本题解法三利用三角换元后确定 a 的取值范围,此时我们习惯是将 x、y 与 cosθ、sinθ 来

?
y 对应进行换元, 即令 x =cosθ, =sinθ(0<θ< 2 =, 这样也得 a≥sinθ+cosθ, 但是这种换元是错误的
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com



原因是:(1)缩小了 x、y 的范围;(2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件,显然这是不对 的。 除了解法一经常用的重要不等式外,解法二的方法也很典型,即若参数 a 满足不等关系,a≥f(x),则 amin=f(x)max
新疆
源头学子 小屋
http://w ww .xjktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

新疆
源头学子 小屋
http://w ww .xjktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

若 a≤f(x),则 amax=f(x)min,利用这一基本事实,可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数

的值域问题。还有三角换元法求最值用的恰当好处,可以把原问题转化。 解答:解法一:由于 a 的值为正数,将已知不等式两边平方, 得:x+y+2

xy

≤a2(x+y),即 2

xy

≤(a2-1)(x+y),

① ②

∴x,y>0,∴x+y≥2

xy



当且仅当 x=y 时,②中有等号成立。 比较①、②得 a 的最小值满足 a2-1=1, ∴a2=2,a= 2 (因 a>0),∴a 的最小值是 2 。

u?
解法二:设

x? y x? y

?

( x ? y )2 x ? y ? 2 xy 2 xy ? ? 1? x? y x? y x? y
xy
(当 x=y 时“=”成立),

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

∵x>0,y>0,∴x+y≥2

2 xy 2 xy ∴ x ? y ≤1, x ? y 的最大值是 1。

从而可知,u 的最大值为 1 ? 1 ? 2 , 又由已知,得 a≥u,∴a 的最小值为 2 , 解法三:∵y>0,

∴原不等式可化为

x y +1≤a

x ?1 y ,



x ? y =t anθ,θ∈(0, 2 )。

2 ∴tanθ+1≤a tan ? ? 1 ,即 tanθ+1≤asecθ

?
∴a≥sinθ+cosθ= 2 sin(θ+ 4 ), ③

?

?

又∵sin(θ+ 4 )的最大值为 1(此时 θ= 4 )。 由③式可知 a 的最小值为 2 。 注: (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数。一般地,知道谁的范围,谁就是变量, 求谁的范围,谁就是参数; (2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴 上方,恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方。 三、二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 (一)二元一次不等(组)表示平面区域 ※相关链接※ 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法 (1)直线定界,特殊点定域 注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线。若直线不过原点, 特殊点常选取原点。 (2)同号上,异号下 即 当 时 , 区 域 为 直 线 ,区域为直线 Ax+By+ =0 的下方。 ※例题解析※ 〖例〗如图 ΔAB 中,A(0,1),B(-2,2), (2,6),写出 ΔAB 区域所表示的二元一次不等组。 Ax+By+ =0 的 上 方 , 当

思路解析:通过三点可求出三条直线的方程,而后利用特殊点验证。因三条直线均不过原点,故可由 原点(0,0)验证即可。

解答:由已知得直线 AB、B 、 A 的方程分别为:直线 AB:x+2y-2=0,直线 B :x-y+4=0,直线 A: 5x-2y+2=0.∴原点(0,0)不在各直线上,将原点坐标代入到各直线方程左端,结合式子的符号可得不等式组 为:

(二)求目标函数的最值 ※相关链接※ 1、求目标函数的最值,必须先准确地作出线性可行域,再作出目标函数对应的直线,据题意确定取 得最优解的点,进而求出目标函数的最值。 2、最优解的确定方法 线性目标函数 z=ax+by 取最大值时的最优解与 b 的正负有关,当 b>0 时,最优解是将直线 ax+by=0 在 可行域内向上方平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的;当 b<0,则是向下方平移。 ※例题解析※

?2 x ? y ? 40 ? x ? 2 y ? 50 ? 〖例〗若变量 x,y 满足 ? , 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值是( ) ?x ? 0 ?y ? 0 ?
A 90 B 80 70 D 40 思路解析:作出可行域 ?作出直线 3x+2y=0 ?找到最优解 ?求得最大值 解答:选 。线性不等式组表示的区域如图中阴影部分所示。

可知 z ? 3x ? 2 y 在 A 点处取最大值,由 ? (三)线性规划的实际应用 ※相关链接※ 解决线性规划实际应用题的一般步骤:

?2 x ? y ? 40 ,解得 A(10,20) 。∴ zmax ? 70. 故选 。 x ? 2 y ? 50 ?

(1)认真审题分析,设出未知数,写出线性约束条件和目标函数; (2)作出可行域; (3)作出目标函数值为零时对应的直线 l (4)在可行域内平行移动直线 l ,从图中能判定问题有唯一最优解,或是有无穷最优解或无最优解; (5)求出最优解,从而得到目标函数的最值。 注:解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的,所以作图应尽可能精确,图上操作尽可能规范,假 若图上的最优点并不明显时,不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来,然后逐一检验,以“验明正身”。 另外对最优整数解问题,可使用“局部微调法”,此方法的优点是思路清晰,操作简单,便于掌握。用“局部 微调法”求整点最优解的关键是“微调”,其步骤可用以下十二字概括:微调整、求交点、取范围、找整解。 ※例题解析※ 〖例〗某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物,6 个单 位的蛋白质和 6 个单位的维生素 ; 一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单 位的维生素 .另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个 单位的维生素 . 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应 当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 【方法诠释】设出午餐和晚餐的单位个数,列出不等式组和费用关系式,利用线性规划求解. 解析:方法一:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所花的费用为 z 元, 则依题意得 z=2.5x+4y,且 x,y 满足

?x ? 0,x ? N ?x ? 0, x ? N ?y ? 0, y ? N ?y ? 0, y ? N ? ? ? ? 12x ? 8y ? 64 , 即 ?3x ? 2y ? 16 . ? ?6x ? 6y ? 42 ?x ? y ? 7 ? ? ?6x ? 10y ? 54 ?3x ? 5y ? 27 ? ?
作出线性约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分的整数点,

让目标函数表示的直线 2.5x+4y=z 在可行域上平移,由此可知 z=2.5x+4y 在 B(4,3)处取得最小值.[来 源:学&科&网 Z&X&X&K] 因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满足要求. 方法二:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所花的费用为 z 元,则依题意 得 z=2.5x+4y,且 x,y 满足

?x ? 0,x ? N ?x ? 0, x ? N ?y ? 0, y ? N ?y ? 0, y ? N ? ? ? ? 12x ? 8y ? 64 , 即 ?3x ? 2y ? 16 . ? ?6x ? 6y ? 42 ?x ? y ? 7 ? ? ?6x ? 10y ? 54 ?3x ? 5y ? 27 ? ?
作出线性约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分的整数点,

z 在可行域的四个顶点 A(9,0),B(4,3), (2,5),D(0,8)处的值分别是 zA=2.5× 9+4× 0=22.5, zB=2.5× 4+4× 3=22, z =2.5× 2+4× 5=25, zD=2.5× 0+4× 8=32. 经比较得 zB 最小,因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满足要求. 注:求线性规划问题的整点最优解常用以下方法: (1)平移直线法:先在可行域中画网格,再描整点,平移直线 l ,最先经过或最后经过的整点坐标就 是 最优解; (2)检验优值法:当可行域中整点个数较少时,可将整点坐标逐一代入目标函数求值,经过比较得 出最优解; (3)调整优值法;先求非整点最优解,再借助于不定方程知识调整最优值,最后筛选出整点最优解。 (四)线性规划的综合应用

?x ? y ?1 ? 0 ? . 〖例〗实数 x,y 满足 ? x ? 0 ?y ? 2 ?
(1)若 z ?

y ,求 z 的最大值和最小值,并求 z 的取值范围。 x
2 2

(2)若 z ? x ? y ,求 z 的最大值和最小值,并求 z 的取值范围。 思路解析: (1) z ?

y y 表示的是区域内的点与原点连线的斜率。故 z ? 的最值问题即为直线的斜率 x x
2 2

的最大值与最小值。 (2) z ? x ? y 的最值表示的是区域内的点与原点的两点距离的平方的最大值、最小

值。

?x ? y ?1 ? 0 ? . 作出可行域如图阴影部分所示: 解答:由 ? x ? 0 ?y ? 2 ?

(1) z ?

y y 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此 的范围为直线 OB 的斜率到直线 OA x x

的斜率(OA 斜率不存在) 。而由 ? ∴ z 的取值范围是[2,+∞) 。

?x ? y ?1 ? 0 2 得 B(1,2) ,∴ kOB ? ? 2. ∴ zmax 不存在, zmin ? 2 , 1 ?y ? 2

(2) z ? x 2 ? y 2 表示可行域内的任意一点与坐标原点的两点间距离的平方。因此 x 2 ? y 2 的范围最小 为 | OA |2 ( 取 不 到 ) 最 大 为 | OB |2 。 由 ? ,

?x ? y ?1 ? 0 得 A ( 0 , 1 ) ∴ | OA |2 = ( 0 ? 1)2 ? 1 , , x?0 ?

| OB |2 = ( 12 ? 22 )2 ? 5 。∴ zmax ? 5 , z 无最小值。
故 z 的取值范围是 ?1,5? . 注: 本例与常规线性规划不同, 主要是目标函数不是直线形式, 此类问题常考虑目标函数的几何意义, 常见代数式的几何意义主要有以下几点:
2 2 2 2 (1) x ? y 表示点(x,y)与原点(0,0)的距离; ( x ? a ) ? ( y ? b) 表示点(x,y)与(a,b)的距离 。

(2)

y y?a 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率; 表示点(x,y)与(a,b)连线的斜率。 x?b x

这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化,往往是解决问题的关键。 四、基本不等式 (一)利用基本不等式求最值 ※相关链接※ 1、创设应用基本不等式的条件 (1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧,而拆与凑的目标在于使等号成立,且每项为正值,必要 时需出现积为定值或和为定值;

(2)当多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注意取等号的条件的 一致性, 否则就会出错, 因此在利用基本不等式处理问题时, 列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤, 而且也是检验转换是否有误的一种方法。 2、利用基本不等式求最值需注意的问题 (1)各数(或式)均为正; (2)和或积为定值; (3)等号能否成立,即一正、二定、三相等,这三个条件缺一不可。 3、基本不等式的几种变形公式 对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等, 如:

※例题解析※ 〖例〗求下列各题的最值。 (1)已知 x ? 0, y ? 0,lg x ? lg y ? 1, ,求 z ? (2) x ? 0, 求f ( x) ?

2 5 ? 的最小值。 x y

12 ? 3 x的最小值。 x 4 ? x的最大值。 (3) x ? 3, 求f ( x) ? x ?3 5 2 的最小值。 (4) x ? R, 求f ( x) ? sin x ? 1 ? 2 sin x ? 1
思路解析: (1)由 lg x ? lg y ? 1 得 xy ? 10 ,故可用基本不等式。 (2)由 x ? 0, 故可直接利用基本不等式(3)因

12 ? x ? 36 是常数, 3 x

4 4 ?x 不是常数,故需变形。 f ( x) ? ? x ? 3 ? 3, 又x ? 3 ? 0 ,故 x ?3 x ?3 5 2 ? 5(常数) ,但利用基本不等式时,等号取不到,所以利用函数的 需变号。 (4)虽然 (sin x ? 1)? 2 sin x ? 1
单调性。 解答: (1)方法一: 由已知条件 lg x ? lg y ? 1, 可得xy ? 10.则 ?

2 x

5 2 y ? 5x 2 10 xy ? ? ?2。 y 10 10

∴( ?

2 x

5 ) min ? 2 。当且仅当 2 y ? 5x ,即 x ? 2, y ? 5 时等号成立。 y
10 2 x 2 5 2 x . ? ? ? ? ? 2 。当且仅当 ? ,即 x ? 2, y ? 5 时等号 x x 2 x y x 2

方法二:由 lg x ? lg y ? 1 得 y ?

成立。 (2)? x ? 0,? f ( x) ? ∴ f ( x)的最小值是12 (3)

12 12 12 ? 3x ? 2 ? x ? 12.等号成立的条件是 ? 3x, 即x ? 2, 3 x x x

? x ? 3,? x ? 3 ? 0,?3 ? x ? 0,? f ( x) ?
当且仅当

4 4 4 4 ?x? ? ( x ? 3) ? 3 ? ?[ ? ( x ? 3)] ? 3 ? ?2 ? x ? 3) ( x ?3 x ?3 x ?3 x ?3

4 ? 3 ? x ,即 x=1 时,等号成立。故 f(x)的最大值为-1. 3? x 5 2 (4) 令 sin x ? 1 ? t , 则t ? [1, 2], 故g (t ) ? t ? .任取t1 , t2 ? [1, 2]且t1 ? t2 , 则 t 5(t ? t ) 5 5 5 g (t1 ) ? g (t2 ) ? (t1 ? t2 ) ? ( ? ) ? (t1 ? t2 ) ? 1 2 ? (t1 ? t2 )(1 ? ) t1 t2 t1t2 t1t2

t t ?5 ? (t1 ? t2 )? 1 2 .? t1 ? t2且t1 , t2 ? [1, 2],? t1 ? t2 ? 0, t1t2 ? 5 ? 0, 故g (t1 ) ? g (t2 ) ? 0,? g (t1 ) ? g (t2 ), t1t2 ? g (t )在[1, 2]上是减函数, g (t ) min ? g (2) ? 2 ? ? 5 9 9 ? ,? f ( x) min ? , 2 2 2 2 2 2 等号成立的条件是 sin x ? 1 ? 2.sin x ? 1,sin x ? ?1,

? x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) 9 2

故f ( x)的最小值是

(二)利用基本不等式 证明不等式 ※ 相关链接※ 1、利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,其实质就是从已知的不等式入手, 借助不等式性质和基本不等式,经过逐步的逻辑推理,最后推得所证问题,其特征是“由因导果”。 2、证明不等式时要注意灵活变形,多次利用基本不等式时,注意每次等号是否都成立。同时也要注 意应用基本不等式的变形形式。 ※ 例题解析※ 〖例 1〗 (1)已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:

1 1 ? ? 4. (2)证明: a4 ? b4 ? c4 ? d 4 ? 4abcd a b
2 2

思路解析: (1)利用 a+b=1 将要证不等式中的 1 代换,即可得证。 (2)利用 a ? b ? 2ab 两两结合 即可求证,但需两次利用不等式,注意等号成立的条件。 解答: 方法一: a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1,? (1) ?

1 1 a?b a?b b a b a ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4(当 a b a b a b a b

且仅当 a=b=

1 1 1 时等号成立) 。∴ ? ? 4 。∴ 原不等式成立。 2 a b

方法二:∵ a>0,b>0,a+b=1,∴ ? 且仅当 a=b=

1 a

1 1 1 b a b a 1 1 ? (a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 4.? ? ? 4 (当 b a b a b a b a b

1 时等号成立) 原不等式成立。 。∴ 2

(2) a4 ? b4 ? c4 ? d 4 ? 2a2b2 ? 2c2d 2 ? 2(a2b2 ? c2d 2 ) ? 2? abcd ? 4abcd 。故原不等式得证, 2 等号成立的条件是 a ? b 且c ? d 且a b ? c d
2 2 2 2 2 2 2 2

〖例 2〗已知不等式 ( x ? y)( ?

1 x

a ) ? 9 对任意 x 、 y 的正实数恒成立,求正数 a 的最小值。 y

思路解析:展开后,利用基本不等式,而后解不等式可求 a 值。 解 答 : ? ( x ? y )( ?

1 x

a ax y ) ? 1 ? ? ? a ? a ? 1 ? 2 a (a ? 0), ∴要 使 原 不 等 式 恒 成 立 , 则 只 需 y y x

a ? 1 ? 2 a ≥9,即 ( a ? 2)( a ? 4) ? 0, 故 a ? 2,即a ? 4 ∴正数 a 的最小值是 4。
注: 利用基本不等式求参数的值或范围时, 只需求出式子的最小值或最大值, 使其满足已知条件即可。 (三)基本不等式的实际应用 〖例〗某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平

面图如图所示) ,

,如果池四周围墙建造单价为 400 元/米 2,中间两道隔墙建造单价

为 248 元/米 2,池底建造单价为 80248 元/米 2,水池所有墙的厚度忽略不计。 (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过 16 米,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并 求出最低总造价。 思路解析: (1)由题意设出未知量 ?构建函数关系式 ?变形转化利用基本不等式 ?求得最值 ? 结 论; (2)由(1)函数关系 ?确定 x 的范围 ?判断函数单调性 ?利用单调性求最值 ? 结论。 解答: (1)设污水处理池的宽为 x 米,则长为

162 米。则总造价为 x

f ( x) ? 400 ? (2 x ?

162 1296 ?100 100 ) ? 248 ? 2 x ? 80 ?162 ? 1296 x ? ? 12960 ? 1296( x ? ) ? 1296 x x x

100 100 ? 1296 ? 2 x? ? 12960 ? 38880(元)。当且仅当x ? ( x ? 0), 即x ? 10时取等号。 x x ?当长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38880元

?0 ? x ? 16 1 100 1 ? (?10 ? x ? 16), 由函数性质 (2)由限制条件知 ? , ?10 ? x ? 16. 设 g ( x) ? x ? 162 8 x 8 ?0 ? x ? 16 ?
易知 g ( x) 在 [10 ,16] 上是增函数,∴ x ? 10 时(此时 当

1 1 162 ? 16 ) g ( x) 有最小值,即 f ( x) 有最小值 , 8 8 x 1 800 1 1296 ? (10 ? ) ? 12960 ? 38882(元)。 当长为16米,宽为10 米时,总造价最低,为38882元。 ? 8 81 8

注: (1)解应用题时,一定要注意变量的实际意义,即其取值范围; (2)在求函数最值时,除应用基 本不等式外,有时会出现基本不等式取不到等号,此时要利用函数的单调性。

【高考零距离】
1. (2012· 浙江高考文科· T10)设 a>0,b>0,e 是自然对数的底数 A.若 ea+2a=eb+3b,则 a>b B.若 ea+2a=eb+3b,则 a<b .若 ea-2a=eb-3b,则 a>b D. 若 ea-2a=eb-3b,则 a<b 【解题指南】构造函数,利用其单调性转化为函数值之间的大小关系.
x x 【解析】选 A.设 f ( x) ? 2 ? 2x ,则 f ( x) ? 2 ? 2x 为增函数



?2

a

? 2a ? ? ? 2b ? 2b ? ? b ? 0

∴a ? b 2. (2012· 湖南高考文科· T7)设 a>b>1, c ? 0 ,给出下列三个结论:
c c a >b
c c ;② a < b ; ③ logb (a ? c) ? loga (b ? c) ,



其中所有的正确结论的序号是 __ .[中*国教育@^出~版网#] A.① B.①② .②③ D.① ② ③

【解题指南】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ 中的指数函数的图像与性质、对数函数 的图像与性质,不等关系,考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ 是常考知识点., 由不等式的性质可得① 正确,幂函数的单调性可得② 正确,引入中间变量 确。
1 1 c c ? 【解析】选 D. 由不等式及 a>b>1 知 a b ,又 c ? 0 ,所以 a > b ,① 正确;由指数函数

loga (a - c)

可得③ 正

的图像与性质知② 正确;由 a>b>1,c ? 0 知 a ? c ? b ? c ? 1 ? c ? 1 ,由对数函数的图像与性质 知③ 正确.故选 D。 3.(2012· 陕西高考数学文科· T1)与(2012· 陕西高考理科· T1)相同
2 集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x ? 4} ,则 M ? N ? (

)

(A)(1,2)

(B) [1,2)

( ) (1,2]

(D)[1,2]

【解题指南】集合与不等式的综合,需要解对数不等式和一元二次不等式,描述法表示集合 通常是先化简集合,再结合数轴求交集. 【解析】选 . ∵lg x ? 0 ,∴x ?1
2 ∵x ? 4 ,∴?2 剟x

2 ,∴M ? N ? {x |1 ? x ? 2} ,即 M ? N ? (1, 2] .

2 0,??? 4.(2012· 江苏高考数学科· T13)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b(a, b ? R) 的值域为 ? ,若

关于 x 的不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m, m ? 6) ,则实数 c 的值为 【解题指南】以一元二次不等式的解法为主,兼顾二次方程的判别式、根的存在性及二次 函数的图象与性质等知识。解题关键是是利用不等式解集的端点是对应方程的两根。
2 【思路点拨】由题意 a ? 4b ? 0 ,所以 f ( x) ? c

?m ? m ? 6 ? ?a a2 ? x ? ax ? ? c ? 0 ? ? a2 4 m(m ? 6) ? ? c ? ? 4 可换为
2

?c ?

a2 (2m ? 6)2 ? m(m ? 6) ? ? m(m ? 6) ? 9 4 4

【答案】9 5. (2012· 新课标全国高考文科· T5)已知正三角形 AB 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 在 第一象限,若点(x,y)在△AB 内部,则 z=-x+y 的取值范围是( (A)(1- 3,2) (B)(0,2) ( )( 3-1,2) )

(D)(0,1+ 3)

【解题指南】先求得点 的坐标,然后画出可行域,通过平移目标函数,求得 z 的取值范 围。 【解析】 A 由顶点 在第一象限且与 A、 构成正三角形可求得点 坐标为 选 B

?1 ?

3, 2

?,

将目标函数化为斜截式为 y ? x ? z ,结合图形可知当 y ? x ? z 过点 时 z 取到最小值,此时

zmin ? 1 ? 3 ,当 y ? x ? z 过点 B 时 z 取到最大值,此时 zmax ? 2 ,综合可知 z 的取值范围为

?1 ?

3, 2

?.

5 c b c 6. (2012· 江苏高考数学科· T14) 已知正数 a , , 满足: c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥ a ? c ln c ,则

b a 的取值范围是

【解题指南】从不等式的性质、和导数的应用,利用化归和转化的思想。关键是对不等式 的变形和构造函数 h( x) ? x ? ln x ,利用导数求最值。 【解析】 5c ? 3a ? b ? 4c ? a 变形为
5? 5? c b c ? 3 ? ? 4 ? ?1 a a a ,

所以

c c c c b c ? 3 ? 4 ? ? 1? 0 ? ? 2 ?3 ? 5 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 1 ? 7 a a a a a a ;所以 ⑴ b a a ? ? ln a c c;



c ln b ? a ? c ln c ? c(ln b ? ln c) ? a ? ln

因设

x?

a 1 1 , h( x) ? x ? ln x( x ? ) ( ,1) c 2 , 利用导数可以证明 h( x) 在 2 上单减, (1, ??) 上单增, 在 ln b b b ? 1? ? e e? ?7 a a a ⑵ ,由⑴ 可得 ⑵

所以 h( x) ? h(1) ? 1,故 答案: [e, 7] 一题多解

? a b ?3 ? ? ? 5 ? c c ?a b ? ? ?4 ?c c a ?b ? ? ec c 条件 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥ a ? c ln c 可化为: ? c 。

a b =x,y = , c ,则题目转化为:已知 x y 满足 设 c
?3 x ? y ? 5 ?x ? y ? 4 ? ? x ?y ? e y ? x > 0,y > 0 ? ,求 x 的取值范围。

作 出 ( x,y ) 所 在 平 面 区 域 ( 如 图 ) [ 来 。

源:Z|xx|k.Com] 求出 y =e 的切线的斜率 e ,设过切点 P ? x0,y0 ? 的切线为 y =ex ? m ? m ? 0? ,
x



y0 ex0 ? m m = =e ? x0 x0 x0

,要使它最小,须 m =0 。

y x ∴ x 的最小值在 P ? x0,y0 ? 处,为 e 。此时,点 P ? x0,y0 ? 在 y =e 上 A, B 之间。
? y =4 ? x ?5 y =20 ? 5 x y ?? ? y =7 x ? =7 ? x 当( x,y )对应点 C 时, ? y =5 ? 3x ?4 y =20 ? 12 x ,

y ∴ x 的最大值在 C 处,为 7。 b y ?e,7? ,即 a 的取值范围是 ?e,7? 。 ∴ x 的取值范围为
7. (2011· 安徽高考文科· T7)若数列 ?an ?的通项公式是 a n=(-1)n(3 n -2),则 a1 ? a2 ? … ?a10 ? (A)15 (B)12 ( ) ? 12 (D) ? 15

【思路点拨】观察数列 ?an ?的性质,得到 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a9 ? a10 ? 3. 【精讲精析】选 A. a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a9 ? a10 ? 3. 故 a1 ? a2 ? ? ? a10 ? 15.

【考点精题精练】
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(2012· 龙岩模拟)设 a,b∈ R,若 b-|a|>0,则下列不等式中正确的是( (A)a-b>0 ( )a2-b2>0 (B)a+b>0 (D)a3+b3<0 )

2. (2 012· 南平模拟)若 a,b∈ R,则 (A)b>a>0 ( )b<a

1 1 ? 2 成立的一个充分不必要条件是( 2 a b



(B)a>b>0 (D)a<b )

3.(易错题)若不等式 mx2+2mx-4<2x2+4x 对任意 x 均成立,则实数 m 的取值范围是( (A)(-2,2] (B)(-2,2)[来源:Zxxk.Com] ( )(-∞,-2)∪ [2,+∞)

(D)(-∞,2] 4.(2012· 秦皇岛模拟)如果 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的取值范围为( (A)0<a<4 (B)0≤a<4 ( )0<a≤4 (D)0≤a≤4 )

?x ? y ? 0 ? 5.(2012· 三明模拟)在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 (a 为常数) ,表示的平面区域的面积 ?x ? a ?
为 9,那么实数 a 的值为( )

? A? 3

2 ? 2??????????????? B? ? 3 2 ? 2???????????? C ? ? 5???????????????? D ?1

?3x ? y ? 6 ? 0 3 2 ? 6. 预测题) x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , ( 设 若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 12, 则 ? 的 a b ? x ? 0, y ? 0 ?
最 小值为( (A)4 (B) )

13 25

( )1

(D)2

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.若关于 x 的不等式 ax2-6x+a2<0 的解集为(1,m),则实数 m=_______.

?x ? 0 ? , 则 u=y-x 的取值范围是________ . 8.(2012· 湛江模拟)已知点(x,y)满足 ? y ? 0 ?x ? y ? 1 ?
9.(易错题)x,y,z 为正实数,x-y+2z=0,则 三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.解关于 x 的不等式 x2-(a+1)x+a≤0. 11.某公司计划 2013 年在 A、B 两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不超过 9 万元.A、 B 两个电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,假定 A、B 两个电视台为该公司所做的每 分钟广告,能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在两个电视台做广告的时间, 才能使公司的收益最大?最大收益是多少万元? 【探究创新】 (16 分)设矩形 AB D(AB>AD)的周长为 24,把它关于 A 折起来,

xz 的最大值为________. y2

AB 折过去后交 D 于点 P,如图,设 AB=x,求△ADP 的面积的最大值,及此时 x 的值.

答案解析 1.【解析】选 B.由 b-|a|>0 知 b>|a|≥0, ∴ 不论 a 是正还是负,都有 a+b>0. 2.【解析】选 A.

1 1 ? 2 即 b2>a2>0,显然 b2>a2 成立的一个充分不必要条件是 b>a>0,故选 A. 2 a b

3.【解析】选 A.原不等式等价于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0, ① m=2 时,对任意的 x 不等式都成立; 当 ② m-2<0 时,Δ=4(m-2)2+16(m-2)<0, 当 ∴ -2<m<2, 综合① 得 m∈ ② (-2,2]. 4.【解析】选 D.由题意可知 ax2-ax+1<0 的解集为 ? ∴ 当 a=0 时,不等式等价于 1<0 不成立. ① 此时 x∈ ?,即 a=0 符合题意. ② a≠0 时,若 ax2-ax+1<0 的解集为 ? 当 则必有 ?

?a>0 ?a>0 ?? 2 ?? ? 0 ?a ? 4a ? 0

得 0<a≤4, 由① 可得 a 的取值范围是 0≤a≤4. ②

?x ? y ? 0 ? 5.【解析】选 D.不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 表示的平面区域如图阴影部分. ?x ? a ?

1 1 S= |BC| a ? 2) ? ? 2a ? 4 ?? a ? 2 ? ? 9. ( ? ? 2 2

又 a>-2,故 a=1. 6.【解题指南】作出可行域确定最大值点,从而得 a,b 的关系式,利用“1”的代换求解. 【解析】选 A.作出可行域如图

由图可知目标函数过 A 点时 z 取最大值, 由?

?3x ? y ? 6 ? 0 ?x ? 4 得? , ?x ? y ? 2 ? 0 ?y ? 6
a b ? ? 1, 3 2

故 4a+6b=12,即 ∴ ? 即a ?

3 a

2 3 2 a b 3b 2a 3b 2a 当且仅当 3b=2a 时等号成立, 2a+3b=6, 又 ? ( ? )( ? ) ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? 2 ? ? 4, b a b 3 2 2a 3b 2a 3b
3 ,b=1 时等号成立. 2

7.【解析】由已知得 1,m 是 ax2-6x+a2=0 的两根,且 a>0, ∴ 2+a-6=0 得 a=2 或 a=-3(舍). a 又 1+m= 答案:2 8.【解析】作出可行域如图,

6 ,∴ m=2. a

作出 y-x=0,由 A(1,0),B(0,1), 故过 B 时 u 最大,umax=1, 过 A 点时 u 最小,umin=-1. 答案:[-1,1] 9.【解题指南】由已知用 x,z 代换 y 后,分子分母同除以 xz 后利用基本不等式求解. 【解析】

1 xz xz xz 1 = ≤ .等号当且仅当 x=2z 时取得. ? ? 2 2 2 2 y ? x ? 2z ? x ? 4xz ? 4z x ? 4z ? 4 8 z x

答案:

1 8

10.【解题指南】x2-(a+1)x+a≤0 可化为(x-a)(x-1)≤0,要对 a 与 1 的大小进行分类讨论. 【解析】原不等式可化为(x-a)(x-1)≤0. (1)当 a>1 时,1≤x≤a, (2)当 a=1 时,x=1, (3)当 a<1 时,a≤x≤1. 综上所述,当 a>1 时,不等式的解集为{x|1≤x≤a}; 当 a=1 时,不等式的解集为{x|x=1}; 当 a<1 时,不等式的解集为{x|a≤x≤1}. 【方法技巧】解答分类讨论问题的方法和步骤: (1)确定讨论对象; (2)确定分类标准,进行合理分类,不重不漏; (3)对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果; (4)归纳总结,综合得出结论. 11.【解题指南】设公司在 A 和 B 做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,由题意列出 x,y 的约束条件和目标 函数,然后利用线性规划的知识求解. 【解析】设公司在 A 和 B 做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,

? x ? y ? 300 ? 由题意得 ?500x ? 200y ? 90 000. ? x ? 0, y ? 0 ?
目标函数 z=3 000x+2 000y.

? x ? y ? 300 ? 二元一次不等式组等价于 ?5x ? 2y ? 900. ? x ? 0, y ? 0 ?
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图阴影部分.

作直线 l:3 000x+2 000y=0,即 3x+2y=0, 平移直线 l,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值. 联立 ?

? x ? y ? 300 , ?5x ? 2y ? 900

解得 ?

?x ? 100 . ? y ? 200

∴ M 的坐标为(100,200),[来源:学科网] 点 ∴ max=3 000× z 100+2 000× 200=700 000. 即该公司在 A 电视台做 100 分钟广告,在 B 电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最大收益是 70 万元. 【方法技巧】常见的线性规划应用题的类型 (1)给定一定量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源,使完成的任务量最大, 收益最大; (2)给定一项任务,问怎样统筹安排,使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小. 【探究创新】 【解析】∵ AB=x,∴ AD=12-x, 又 DP=PB′,AP=AB′-PB′=AB-DP,

即 AP=x-DP, ∴ (12-x)2+PD2=(x-PD)2, 得 PD=12-

72 , x 1 1 72 AD· DP= (12-x)(12) 2 2 x

∵ AB>AD,∴ 6<x<12, ∴ ADP 的面积 S= △ =108-6(x+

72 )≤108-6· 72 =108- 72 2 2 x 72 当且仅当 x ? 即 x ? 6 2 时取等号, x
∴ ADP 面积的最大值为 108 ? 72 2 ,此时 x ? 6 2. △



更多相关文章:
2013《金版新学案高三数学一轮复习 6-1 不等式的概念...
2013《金版新学案高三数学一轮复习 6-1 不等式的概念及性质练习(文) 全国.重庆专版 隐藏>> 第6章 第1节 (本栏目内容,学生用书中以活页形式单独装订成册!...
2012版高三数学一轮精品复习学案:6.1不等式
2013版高三数学一轮精品复... 26页 免费 2012高三数学一轮复习单元... 3页...2012版高三数学一轮精品复习学案:6.1不等式 2012版高三数学一轮精品复习学案全套...
2013高考数学一轮复习 14.4 不等式选讲精品教学案(教师...
2013高考数学一轮复习精品教学案 14.4 不等式选讲 (新课标人教 版,教师版) 【考纲解读】 1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明...
2013高考数学一轮复习 14.4 不等式选讲精品教学案(学生...
2013高考数学一轮复习精品教学案 14.4 不等式选讲 (新课标人教 版,学生版)【考纲解读】 1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下...
2013年普通高考数学一轮复习精品学案 第32讲 不等式...
2013年普通高考数学科一轮...1/2 相关文档推荐 ...普通高考数学一轮复习精品学案 第32讲 不等式解法...6.指数不等式 a f (x) ? a g(x) ? ( 1)...
2013高考数学一轮复习精品学案 数列求和及数列实际问题
2013高考数学一轮复习精品学案第 30 讲 数列求和...有关命题趋势: 1.数列是一种特殊的函数,而不等式...(n+1); 2 1 n(n+1)(2n+1); 6 1 13+23...
2013版高考数学一轮复习精品学案:1.1集合
2013 版高考数学一轮复习精品学案:第一章《集合与常用逻辑用语》 〖知识特点〗...2.常与函数、 方程、 不等式交汇, 考查学生借助 Venn 图、 数轴等工具解决...
2013《金版新学案高三数学一轮复习 6-5 均值不等式及...
2013《金版新学案高三数学一轮复习 6-5 均值不等式不等式的应用练习(文)...对生产的羊皮手套进行促 1 销. 1 年内, 在 据测算年销售量 S(万双)与...
2013版高考数学一轮复习 2.4二次函数精品学案
2013版高考数学一轮复习 2.4二次函数精品学案_高三数学_数学_高中教育_教育专区...三、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的综合问题 1.相关链接 二次...
2013年普通高考数学一轮复习精品学案 第22讲 任意角...
13页 1财富值 2013年普通高考数学科一轮... 6页...2013年普通高考数学一轮复习精品学案 第22讲 任意...决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等 ...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图