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人教A版数学必修五 第二章数列 《等比数列》学习过程



2.4 等比数列 学习过程 知识点 1:等比数列定义: 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数 列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示(q≠0) ,即: an =q(q≠0) a n ?1 1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) { an }成等比数列 ? a n ?1 ? =q( n ? N

,q≠0) an 2? 隐含:任一项 an ? 0且q ? 0 “ an ≠0”是数列{ an }成等比数列的必要非充分条件. 3? q= 1 时,{an} 为常数。 知识点 2:等比数列的通项公式 等比数列的通项公式 1: an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) 由等比数列的定义,有: a2 ? a1q ; a3 ? a2 q ? (a1q)q ? a1q 2 ; a4 ? a3 q ? (a1q 2 )q ? a1q 3 ; ? ? ? ? ? ? ? an ? an?1q ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) 王新敞 奎屯 新疆 等比数列的通项公式 2: an ? am ? q m?1 (a1 ? q ? 0) 知识点 3:等比中项: 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比 中项. 即 G=± ab (a,b 同号) 如 果 在 a 与 b 中 间 插 入 一 个 数 G , 使 a,G , b 成 等 比 数 列 , 则 G b ? ? G 2 ? ab ? G ? ? ab , a G 反之,若 G =ab,则 ≠0) 2 G b 2 ? ,即 a,G,b 成等比数列。∴a ,G,b 成等比数列 ? G =ab(a·b a G 学习结论 1.等比数列定义: 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数 列就叫做等比数列.这个常数叫做 等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示(q ≠0) ,即: an = q(q≠0) a n ?1 2.等比数列的通项公式 等比 数列的通项公式 1: 等比 数列的通项公式 2: 3.等比中项: 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比 中项. 典型例题 例 1、已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*), 那么数列{an}.[ ] A.是等比数列 B.当 p ≠0 时是等比数列 C.当 p≠0,p≠1 时是等比数列 D.不是等比数列 答案:D 解析: 由 Sn=pn(n∈N*),有 a1=S1=p,并且当 n≥2 时 , an=Sn-S n-1=pn-pn-1=(p-1)pn-1 an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) an ? am ? q m?1 (a1 ? q ? 0) ? ? ?p≠ 0 ? 故a 2 = (p-1)p,因此数列{a n }成等比数列 ? ?p-1≠ 0 ? n ?1 p( p ? 1) ? (p ? 1)p n?2 ? ? p ? ( p ? 2) p 但满足此条件的实数 p 是不存在的,故本题应选 D. 例 2、已知等比数列 1,x1,x2,?,x2n,2,求 x1·x2·x3·?·x2n. 解析: ∵1 ,x 1,x2,?,x2n,2 成等比数列,公 比 q ∴2=1·q2n+1 x1x2x3?x2n=q·q2·q3?q


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