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正弦函数的图像和性质


1 定义 编辑 数学术语 正弦函数是三角函数的一种. 定义与定理 定义:对于任意一个实数 x 都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数) ,而这个角又对应 着唯一确定的正弦值 sin x,这样,对于任意一个实数 x 都有唯一确定的值 sin x 与它对应, 按照这个对应法则所建立的函数,表示为 f(x)=sin x,叫做正弦函数。 正弦函数的定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 a/sin A=b/sin B=c/sin C 在直角三角形 ABC 中,∠C=90°,y 为一条直角边,r 为斜边,x 为另一条直角边(在坐标 系中,以此为底) ,则 sin A=y/r,r=√(x^2+y^2) 2 性质 编辑 图像 图像是波形图像(由单位圆投影到坐标系得出) , 叫做正弦曲线(sine curve) 正弦函数 x∈&amp 定义域 实数集 R 值域 [-1,1] (正弦函数有界性的体现) 最值和零点 ①最大值:当 x=2kπ +(π /2) ,k∈Z 时,y(max)=1 ②最小值:当 x=2kπ +(3π /2) ,k∈Z 时,y(min)=-1 零值点: (kπ ,0) ,k∈Z 对称性 既是轴对称图形,又是中心对称图形。 1)对称轴:关于直线 x=(π /2)+kπ ,k∈Z 对称 2)中心对称:关于点(kπ ,0) ,k∈Z 对称 周期性 最小正周期:y=sinx T=2π 奇偶性

奇函数 (其图象关于原点对称) 单调性 在[-π /2+2kπ ,π /2+2kπ ],k∈Z 上是单调递增. 在[π /2+2kπ ,3π /2+2kπ ],k∈Z 上是单调递减. 3 正弦型函数及其性质 编辑 正弦型函数解析式:y=Asin(ω x+φ )+h 各常数值对函数图像的影响: φ (初相位) :决定波形与 X 轴位置关系或横向移动距离(左加右减) ω :决定周期(最小正周期 T=2π /|ω |) A:决定峰值(即纵向拉伸压缩的倍数) h:表示波形在 Y 轴的位置关系或纵向移动距离(上加下减) 作图方法运用“五点法”作图 “五点作图法”即当ω x+φ 分别取 0,π /2,π ,3π /2,2π 时 y 的值. 单位圆定义 图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。 设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角θ ,并与单位圆相交。这个交点的 y 坐标等 于 sinθ 。 在这个图形中的三角形确保了这个公式; 半径等于斜边并有长度 1, 所以有了 sin θ =y/1。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于 1 查看无限数目 的三角形的一种方式。即 sinθ =AB,与 y 轴正方向一样时正,否则为负 sina 对于大于 2π 或小于 0 的角度,简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下,正弦变成了周 期为 2π 的周期函数。[1] 4 诱导公式 编辑

sin cos tαn cot sec csc π /2(90°)-α cos sin cot tαn csc sec π /2(90°)+α

cos -sin -cot -tαn -csc sec π (180°)-α sin -cos -tαn -cot -sec csc π (180°)+α -sin -cos tαn cot -sec -csc 3π /2(270°)-α -cos -sin cot tαn -csc -sec 3π /2(270°)+α -cos sin -cot -tαn csc -sec 2π (360°)-α -sin cos -tαn -cot sec -csc 2kπ (k*360°)+α sin cos

tαn cot sec csc 助记方法: “奇变偶不变,符号看象限。 ” (π /2 的奇数倍或偶数倍, “变” 就是三角函数名的改变。 ) [1] 符号、单调性

1 2 3 4 x+ y+ xysin +,+ +,-,-,+ 0 1 0 -1 cos +,-,-,+ +,+ 1 0 -1 0 tαn +,+ -,+ +,+ -,+ 0 +1/00

+1/0cot +,-,+,-,-1/0+ 0 -1/0+ 0 sec +,+ -,+ -,+,1 +1/0-1 -1/0+ csc +,+,+ -,+ -,-1/0+ 1 +1/0-1 注:1/0 表示不存在,+1/0=1/0+=+∞,1/0-=-1/0=-∞,左边的符号是左趋近,右边的符号是 右趋近,第一个是符号,第二个是单调性 四则运算 sin(α ±β )=sin α cos β ±cos α sin β sin2α=2sin αcos α sin(α +2kπ )=sin α sin(-α )=-sin α sin(π -α )=sin α sin(π /2-α )=cos α sin α =cos(π /2-α ) sin(π +α )=-sin α sin(3π /2-α )=-cos α sin(3π /2+α )=-cos α


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