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江苏省扬州市邗江区2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题



邗江区 2015—2016 学年第一学期期中调研测试

高二数学参考答案与评分标准

2015.11

1 参考公式:1,棱锥的体积公式 V= sh,其中 s 为底面积,h 为高;2,球的表面积为 S 3 =4π R2,其中 R 表示球的半径.

一,填空题(本大题共 14 题,每题 5 分,共 70

分) :
1、命题:?x∈R,cos x<2 的否定是_____?x∈R,cos x≥2___________. 2、命题“若实数 a 满足 a≤2,则 a2<4”的否命题是___真___命题。(填“真”或“假”) 3、已知抛物线 y2=2px 的准线与双曲线 x2-y2=2 的左准线重合,则 p 的值为___2_____. 4、已知 α、β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“m⊥β”是“α⊥β”的___ 充分不必要条件___(选填“充分不必要条件”、 “必要不充分条件”、 “充要条件”或“既 不充分又不必要条件”中的一种). 5、若一个长方体水槽的长、宽、高分别为 3 3、1、2 2,则它的外接球的表面积为 36π __. 6、若“ x +2x-3>0 ”是“x <a ”的必要不充分条件,则实数 a 的最大值为___-3_____. 7、下列四个命题:①过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行;②过平面外一点有且只 有一条直线与该平面垂直;③ 如果两个平行平面和第三个平面相交,那么所得的两条交线 平行;④ 如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线 必在第一个平面内.其中所有真命题的序号是_____②③④_____. x2 y2 8、在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的右顶点为 A, 上顶点为 B,M 为 a b 线段 AB 的中点,若∠MOB=60° ,则该椭圆的离心率 e=____ 6 _____. 3
2

x2 y2 9、已知双曲线 - 2=1(b>0)的一条渐近线的倾斜角为 150°,则 b 的值为__ 3_____. 9 b BP 10、已知棱长为 6 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P、M 分别为线段 BD1、B1C1 上的点,若 PD1 =2,则三棱锥 M-PBC 的体积为______24______. 11、 圆心在抛物线 x2=2y 上, 并且和抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的标准方程为____ (x± 1)2 1 2 y- ? =1______. +? ? 2? 12、 有下面四个判断: ①命题“设 a、 b∈R, 若 a+b≠6, 则 a≠3 或 b≠3”是一个假命题; ②若 “p

1 ”的充 2 1 分不必要条件;④设向量 a ? (sin 2? , cos ? ) , b ? (cos ? ,1) ,则“ a//b ”是“ tan ? ? ” 2
或 q”为真命题,则 p、q 均为真命题;③在 ?ABC 中, “ A ? 30 ”是“ sin A ?
o

成立的必要不充分条件.其中所有错误的判断有

①②③

. (填序号)

13、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? 3) 的中心、左焦点、左顶点、左准线与 x 轴的交点依次为 O, a2 3

F,G,H,则
2

FG 取得最大值时 a 的值为 OH
2

2



x y 14、已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点为 A,上顶点为 B,右焦点为 F,设线段 AB 的中点 a b → → →2 为 M,若 2MA·MF+BF < 0,则该椭圆离心率的取值范围为____( 3-1,1)______. 二,解答题(本大题共 6 题,共 90 分) :

y2 x2 6 ? ? 1 的离心率 e ? ( 15、 (本题满分 14 分)已知命题 p :双曲线 , 2) ,命题 q : 5 m 2 x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,若“p 或 q”为真命题, 方程 “p 且 q”为假命题, 2m 9 ? m 求实数 m 的取值范围.
解:命题 p 等价于:2.5<m<5 ,(3 分) 命题 q 等价于:3<m<9 ,--------------(6 分) ∵“p 或 q”为真, “p 且 q”为假,∴p 真时 q 为假,即 2.5<m≤3,-------(9 分) p 假时 q 真,即 5≤m<9 , ----------------------------------------(12 分) 综上:2.5<m≤3 或 5≤m<9 .----------------------------------------(14 分) 16、 (本题满分 14 分)如图,在三棱锥 PABC 中,BC⊥平面 PAB.已知 PA=AB,点 D、E 分 别为 PB、BC 的中点.(1) 求证:AD⊥平面 PBC;(2) 若 F 在线段 AC 上,满足 AD∥平 AF 面 PEF,求 的值. FC

(1) 证明:∵ BC⊥平面 PAB,AD 在平面 PAB 内,∴ BC⊥AD.-----(3 分) ∵ PA=AB,D 为 PB 中点,∴ AD⊥PB.------------------------------------(6 分) ∵ PB∩BC=B,∴ AD⊥平面 PBC.------------------------------------------(7 分) (2) 解:连结 DC,交 PE 于 G,连结 FG.∵ AD∥平面 PEF,AD 在平面 ADC 内, 平面 ADC∩平面 PEF=FG,∴ AD∥FG.------------------------------------------(10 分) ∵ D 为 PB 中点,E 为 BC 中点,连结 DE,则 DE 为△BPC 的中位线,△DEG∽△CPG. ∴ DG DE 1 AF DG 1 = = .---------(12 分) ∴ = = .---------------------------------(14 分) GC PC 2 FC GC 2

17、 (本题满分 15 分)已知集合 A={x|x2-3x+2≤0},集合 B={y|y=x2-4x+a},集合 C={x|x2-ax-4≤0}.命题 p:A∩B≠?;命题 q:A∩C=A.

(1) 若命题 p 为假命题,求实数 a 的取值范围; (2) 若命题 p 且 q 为真命题,求实数 a 的取值范围. 解:(1) A=[1,2],B=[a-4,+∞), ---------------------------4 分 若 p 为假命题,则 A∩B= ? ,故 a-4>2,即 a>6. -------------------------7 分 (2) 命题 p 为真,则 a≤6. ------------------------------ 8 分 命题 q 为真,即转化为当 x∈[1,2]时,f(x)=x2-ax-4≤0 恒成立,--------10 分 ?f(1)=1-a-4≤0, ? (解法 1)则? 解得 a≥0. --------------------------13 分 ? ?f(2)=4-2a-4≤0, 4 4 4 x- ? = {(解法 2)当 x∈[1,2]时,a≥x- 恒成立,而 x- 在[1,2]上单调递增,故 a≥? ? x?max x x 0. ------------------13 分 } 故实数 a 的取值范围是[0,6]. -------------------------15 分
? 18 、 ( 本 题 满 分 15 分 ) 在 三 棱 柱 A B C? 1 中, AA , ?A A1 BC 1 ? BC 1 AC ? 60 , 1

AA1 ? AC ? BC ? 1, A1B ? 2 .
(1)求证:平面 A 1BC ⊥平面

ACC1 A1 ;

(2)如果 D 为 AB 的中点,求证:BC 1∥平面 ACD . 1 (第 18 题图)

证明: (1) 在△A1AC 中, ∠A1AC=60° , AA1=AC=1, ∴A1C =1,又△A1BC 中,BC=1,A1C=1,A1B= 2, ∴BC⊥A1C BC2 ? A1C 2 ? A1B2 ------------------------------------------3 分 又 AA1⊥BC,∴BC⊥平面 ACC1A1,--------5 分 ∵BC?平面 A1BC, ∴平面 A1BC⊥平面 ACC1A1----------------------- ---7 分 (2)连接 AC1,交 A1C 于 O,连接 DO, ∵ACC1A1 是平行四边形,∴O 为 AC1 的中点,---9 分 在△ABC1 中,∵D 为 AB 中点,∴OD 是中位线, ∴OD∥BC1,----------------------------------------- --11 分 又 OD?平面 A1DC,BC1?平面 A1DC,--------------13 分 ∴BC1∥平面 A1DC----------------------------------------15 分 19、 (本题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :



x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右准线 a 2 b2

方程为 x ? 4 ,右顶点为 A ,上顶点为 B ,右焦点为 F ,斜率为 2 的直线 l 经过点 A ,且

点 F 到直线 l 的距离为

2 5 .(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)将直线 l 绕点 A 旋转,它与 5

椭圆 C 相交于另一点 P ,当 B, F , P 三点共线时,试确定直线 l 的斜率.

y B l A P x

·
O F

解: (1)由题意知,直线 l 的方程为 y ? 2( x ? a) ,即 2 x ? y ? 2a ? 0 , ?????2 分

2 5 ,? a ? c ? 1 , ???? ?5 分 5 5 a2 a2 ? 4 ,所以 c ? 又椭圆 C 的右准线为 x ? 4 ,即 ,将此代入上式解得 a ? 2, c ? 1 , c 4 x2 y 2 2 ?b ? 3 ? 椭圆 C 的方程为 ? ? 1; ???? ?8 分 4 3 (2)由(1)知 B(0, 3) , F (1, 0) , ? 直线 BF 的方程为 y ? ? 3( x ?1) ,???10 分 8 ? ? y ? ? 3( x ? 1) x? ? ? 8 3 3 5 ? ?x ? 0 ? 联立方程组 ? x 2 y 2 , 解得 ? 或? (舍) , 即 P( , ? ) ,??? 5 5 ?1 ?y ? 3 ? ? ?y ? 3 3 ? 3 ?4 ? 5 ?

? 右焦点 F 到直线 l 的距离为

2c ? 2a

?

3 3 ) 5 ? 3 3 . ???16 分 14 分 ? 直线 l 的斜率 k ? 8 2 2? 5 方法二: 由(1)知 B(0, 3) , F (1, 0) , ? 直线 BF 的方程为 y ? ? 3( x ?1) ,----10 分由 题 A(2, 0) , 显 然 直 线 l 的 斜 率 存 在 , 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? k ( x ? 2) , 联 立 方 程 组 0 ? (?
? 2k ? 3 ?x ? ? y ? ? 3( x ? 1) k? 3 ? ? ,解得 ? , --------------------------------12 分 ? ? ? y ? k ( x ? 2) ? y ? ? 3k ? k? 3 ? 3 3 3 代入椭圆解得: k ? 或k ? ? , -------------------------------- 14 分 2 2 3 3 ? 3k 又由题意知, y ? .----------------16 分 ? 0 得 k ? 0 或 k ? ? 3 ,所以 k ? 2 k? 3
方法三:由题 A(2, 0) ,显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,联立方程

? y ? k ( x ? 2) 16k 2 ? 2 2 2 2 2 2 组?x ,得 ? 4k ? 3? x ? 16k x ? 16k ? 12 ? 0 , xA ? xP ? ,---10 分 y 4k 2 ? 3 ?1 ? ? ?4 3 ?12k 16k 2 8k 2 ? 6 ? 2 ? 所以 xP ? , yP ? , -----------------------------12 分 2 2 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k ? 3 ?12k ? 3 2 ? 3 当 B, F , P 三点共线时有, kBP ? kBF ,即 4k ?23 , ? 8k ? 6 1 4k 2 ? 3 3 3 3 解得 k ? 或k ? ? ------------------------------------14 分 2 2 3 3 ? 3k 又由题意知, y ? .---------------16 分 ? 0 得 k ? 0 或 k ? ? 3 ,所以 k ? 2 k? 3
x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,短 a 2 b2

20、 (本题满分 16 分)已知椭圆

轴两个端点为 A 、 B ,且四边形 F1 AF2 B 是边长为 2 的正方形. (1)求椭圆的方程; (2)若 C 、 D 分别是椭圆长轴的左、右端点,动点 M 满足 MD ? CD ,连结 CM ,交椭圆 于点 P .证明: OM ? OP 为定值; (3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q,使得以 MP 为直径的圆恒过 直线 DP, MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由. []
y A P C F1 B O F2 D x M

???? ? ??? ?

解: (1)如图,由题意得, 2b ? 2c ? 2 2 .? b ? c ?
?

2 ,a ? 2.
----------------4 分 ------------------------5 分

所求的椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

(2)由(1)知, C ( ?2 ,0) , D (2,0) .

由题意可设 CM : y ? k ( x ? 2) , P ( x1 , y1 ) . ? MD ? CD ,? M (2, 4k ) ---------------------6 分

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 2 2 由 ?4 整理得: (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 4 ? 0 . ----------------7 分 2 ? y ? k ( x ? 2) ?
? ?2x1 ?

8k 2 ? 4 2 ? 4k 2 , . x ? ? 1 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2 ? 4k 2 4k 4k , P ( , ) 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 1 ? 2k
----------------8 分

?

y1 ? k ( x1 ? 2) ?

???? ? ??? ? 2 ? 4k 2 4k 4(1 ? 2k 2 ) OM ? OP ? 2 ? ? 4 k ? ? ? 4. ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
即 OM ? OP 为定值. (3)设 Q ( x0 , 0) ,则 x0 ? ?2 .

???? ? ??? ?

------------------------------10 分 ------------------------------11 分

若以 MP 为直径的圆恒过 DP , MQ 的交点,则 MQ ? DP ,

???? ? ??? ? ? MQ ? DP ? 0 恒成立.
由(2)可知 QM ? (2 ? x0 , 4k ) , DP ? (

-------------------------12 分

???? ?

??? ?

?8k 2 4k , ). 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
--------------------14 分

???? ? ??? ? ?8k 2 4k ? 4k ? ? 0. ? QM ? DP ? (2 ? x0 ) ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

?

8k 2 x0 ? 0 恒成立. ? x0 ? 0 . 1 ? 2k 2

-----------------------15 分 ----16 分

存在 Q (0, 0) 使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP , MQ 的交点.



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