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§12.4 古典概型



2016~2017 学年度高三数学第一轮复习学案

《统计与概率》

第十二章

统计与概率

§12.4 古典概型
【知识回顾】 1.古典概型的两个特点 (1)有限性:在一次试验中,可能出现的结果只有_______个,即只有有限个不同的_______; (2)等可能性:每个基本事件发生的可

能性是_______. 2.古典概型的概率公式

P(A)= ______________________. 参考答案:1.(1)有限,基本事件;(2)均等的 事件A包含的基本事件数 2. . 试验的基本事件总数

【基础训练】

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其基本事件是“发芽 与不发芽”.(×) (2)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能 事件.(×) (3)在古典概型中,如果事件 A 中基本事件构成集合 A,所有的基本事件构成集合 I,则事件 card(A) A 的概率为 .(√) card(I) (4)从市场上出售的标准为 500± 5 g 的袋装食盐中任取一袋,测其重量,属于古典概型.(×) 2.从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距离不小于该正方 形边长的概率为( 1 A. 5 2 B. 5 ) 3 C. 5 4 D. 5

解析 根据题意知, 取两个点的所有情况为 C2 2 个点的距离小于该正方形边长的情况有 5种, 4 3 4 种,故所求概率 P=1- 2= ,故选 C. C5 5 答案 C 3.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加 公益活动的概率为( 1 A. 8 3 B. 8 ) 5 C. 8 7 D. 8

解析 由题意知,4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有 24 种情况,而 4 位同学都选周六有 1 种情况,4 位同学都选周日也有 1 种情况,故周六、周日都有同学参 第 1 页

2016~2017 学年度高三数学第一轮复习学案 24-1-1 14 7 加公益活动的概率为 P= = = ,故选 D. 24 16 8 答案 D 4.同时掷两个骰子,向上点数不相同的概率为________.

《统计与概率》

解析 掷两个骰子一次,向上的点数共 6×6=36 个可能的结果,其中点数相同的结果共有 6 5 6 个,所以点数不同的概率 P=1- = . 6×6 6 答案 5 6

5.从分别写 1,2,3,4,5 的五张卡片中任取两张,假设每张卡片被取到概率相等,且每 张卡片上只有一个数字,则取到的两张卡上的数字之和为偶数的概率为________. 解析 法一 从分别写有 1,2,3,4,5 的五张卡片中任取两张,可能情况有(1,2),(1, 3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4, 5),(4,6),(5,6),共 15 种,其中和为偶数的情况有(1,3),(1,5),(2,4),(2,6),(3, 2 5),(4,6),共 6 种,所以所求的概率是 . 5 法二 由题意知本题是一个古典概率模型,试验发生包含的事件是从 5 张中随机地抽 2 张,
2 共 C3 5=10 种结果.满足条件的事件分两种情况,一种为从 1,3,5 中任取两张,有 C3=3

种结果,另一种为从 2,4 中任取两张,有 C2 2=1 种,所以取到的两张卡片上的数字之和为 4 2 偶数共有 3+1=4 种结果,所以 P= = . 10 5 答案 2 5 【例题分析】 例 1.现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 2 道题解答.试求: (1)所取的 2 道题都是甲类题的概率; (2)所取的 2 道题不是同一类题的概率.
2 解 从 6 道题中任取 2 道有 n=C6 =15(种)取法.

(1)记“所取的 2 道题都是甲类题”为事件 A,则 A 发生共有 m=C2 4=6 种结果. m 6 2 ∴所求事件概率 P(A)= = = . n 15 5
1 (2)记“所取的 2 道题不是同一类题”事件为 B,事件 B 包含的基本事件有 C1 4C2=8(种),则

8 事件 B 的概率为 P(B)= . 15 规律方法 有关古典概型的概率问题, 关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本 事件数. (1)基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏, 第 2 页

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《统计与概率》

可借助“树状图”列举.(2)注意区分排列与组合,以及计数原理的正确使用. 变式练习 1:袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3;蓝色卡片两张, 标号分别为 1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率; (2)向袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两种卡片颜色 不同且标号之和小于 4 的概率. 解 (1)从 5 张卡片中任取两张,共有 n=C2 5=10 种方法.
1 记“两张卡片颜色不同且标号之和小于 4”为事件 A,则 A 包含基本事件 m=C1 2C2-1=3

个. m 3 由古典概型概率公式,P(A)= = . n 10 (2)从 6 张卡片中任取两张,共有 n=C2 6=15 个基本事件,
1 记“两张卡片颜色不同且标号之和小于 4”为事件 B, 则事件 B 包含基本事件总数 m=C1 1(C2 1 1 +C1 3)+(C2C2-1)=8,

m 8 ∴所求事件的概率 P(B)= = . n 15 例 2.将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (1)两数中至少有一个奇数的概率; (2)以第一次向上点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 x2+y2=15 的外部或圆上的概率. 解 由题意,先后掷 2 次,向上的点数(x,y)共有 n=6×6=36 种等可能结果,为古典概型. (1)记“两数中至少有一个奇数”为事件 B,则事件 B 与“两数均为偶数”为对立事件,记


为B.
1 ∵事件B包含的基本事件数 m=C1 3C3=9.
- -

∴P(B)=

- 9 1 3 = ,则 P(B)=1-P(B)= , 36 4 4

3 因此,两数中至少有一个奇数的概率为 . 4 (2)点(x,y)在圆 x2+y2=15 的内部记为事件 C,则C表示“点(x,y)在圆 x2+y2=15 上或圆的 外部”. 又事件 C 包含基本事件:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2) 共有 8 个.
- 8 2 2 7 ∴P(C)= = ,从而 P(C)=1-P(C)=1- = . 36 9 9 9 -

7 ∴点(x,y)在圆 x2+y2=15 上或圆外部的概率为 . 9 第 3 页

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《统计与概率》

规律方法 (1)一是本题易把(2,4)和(4,2),(1,2)和(2,1)看成同一个基本事件,造成计算 错误.二是当所求事件情况较复杂时,一般要分类计算,即用互斥事件的概率加法公式或考 虑用对立事件求解. (2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时,通常考虑用对立事件的概率公式


P(A)=1-P(A)求解. 变式练习 2:甲、乙两人参加法律知识竞答,共有 10 道不同的题目,其中选择题 6 道,判 断题 4 道,甲、乙两人依次各抽一题. (1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少? (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少? 解 甲、 乙两人从 10 道题中不放回地各抽一道题, 先抽的有 10 种抽法, 后抽的有 9 种抽法, 故所有可能的抽法是 10×9=90 种,即基本事件总数是 90. (1)记“甲抽到选择题、乙抽到判断题”为事件 A,下面求事件 A 包含的基本事件数: 甲抽选择题有 6 种抽法,乙抽判断题有 4 种抽法,所以事件 A 的基本事件数为 6×4=24, 24 4 ∴P(A)= = . 90 15 (2)先考虑问题的对立面:“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙 两人都未抽到选择题”,即都抽到判断题. 记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件 B, “至少一人抽到选择题”为事件 C,则事件 B 包 含的基本事件数为 4×3=12, 12 2 ∴P(B)= = . 90 15 由对立事件的性质可得 2 13 P(C)=1-P(B)=1- = . 15 15 例 3. 为了解学生身高情况, 某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样调查, 测得身高情况的统计图如下: 男生

女生



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《统计与概率》

(1)估计该校男生的人数; (2)估计该校学生身高在 170~185 cm 之间的概率; (3)从样本中身高在 165~180 cm 之间的女生中任选 2 人, 求至少有 1 人身高在 170~180 cm 之间的概率. 解 (1)样本中男生人数为 40,由分层抽样比例为 10%估计全校男生人数为 400. (2)由统计图知,样本中身高在 170~185 cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35(人), ∵样本容量为 70, 35 ∴样本中学生身高在 170~185 cm 之间的频率为 =0.5, 70 故估计该校学生身高在 170~185 cm 之间的概率 P=0.5. (3)样本中女生身高在 165~180 cm 之间的人数为 10,身高在 170~180 cm 之间的人数为 4. 设 A 表示事件“从样本中身高在 165~180 cm 之间的女生中任取 2 人,至少有 1 人身高在 170~180 cm 之间”,

C ?C ? C 2 C2 2 6 则 P(A)=1- 2 = (或 P(A) ? 6 42 4 ? ) . C10 3 C10 3
1 1 2

规律方法 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型, 已成为高考考 查的热点,概率与统计结合题,无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图 等给出信息,只需要能够从题中提炼出需要的信息,则此类问题即可解决. 变式练习 3:某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图 所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (1)根据茎叶图计算样本均值; (2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有 几名优秀工人? (3)从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率. 解
- 1 (1)由茎叶图可知:样本数据为 17,19,20,21,25,30.则 x = (17+19+20+21+25 6

+30)=22, 故样本均值为 22. (2)日加工零件个数大于样本均值的工人有 2 名,



5 页

2016~2017 学年度高三数学第一轮复习学案 2 1 故优秀工人的频率为 = . 6 3 1 该车间 12 名工人中优秀工人大约有 12× =4(名), 3 故该车间约有 4 名优秀工人.

《统计与概率》

1 (3)记“恰有 1 名优秀工人”为事件 A,其包含的基本事件总数为 C1 4C8=32,所有基本事件

的总数为 C2 12=66. 32 16 由古典概型概率公式,得 P(A)= = . 66 33 16 所以恰有 1 名优秀工人的概率为 . 33

【课后练习】 1.集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A,B 中各任意取一个数,则这两数之和等于 4 的 概率是( 2 A. 3 ) 1 B. 2 1 C. 3 1 D. 6

1 解析 从 A,B 中任意取一个数,共有 C1 2·C3=6 种情形,两数和等于 4 的情形只有(2,2),

2 1 (3,1)两种,∴P= = . 6 3 答案 C 2.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可 能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( 1 A. 3 1 B. 2 2 C. 3 ) 3 D. 4

解析 甲、乙两人都有 3 种选择,共有 3×3=9 种情况,甲、乙两人参加同一兴趣小组共有 3 1 3 种情况,∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率 P= = ,故选 A. 9 3 答案 A 3.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等, 则甲或乙被录用的概率为( 2 A. 3 2 B. 5 ) 3 C. 5


9 D. 10


解析 设事件“甲或乙被录用”为事件 A,则A表示甲、乙都未被录用,由古典概型,P(A) 1 1 1 9 = 3= ,∴P(A)=1- = . C5 10 10 10 答案 D 4.连掷两次骰子分别得到点数 m,n,则向量(m,n)与向量(-1,1)的夹角 θ>90°的概率是 ( ) 第 6 页

2016~2017 学年度高三数学第一轮复习学案 5 A. 12 7 B. 12 1 C. 3

《统计与概率》 1 D. 2

解析 ∵(m,n)· (-1,1)=-m+n<0,∴m>n. 基本事件总共有 6×6=36(个),符合要求的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4, 3),(5,1),?,(5,4),(6,1),?,(6,5),共 1+2+3+4+5=15(个). 15 5 ∴P= = ,故选 A. 36 12 答案 A 5.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是( 2 A. 3 2 B. 9 ) 1 C. 3 7 D. 9

2 2 解析 三位同学每人选择三项中的两项有 C2 其中有且仅有两人 3C3C3=3×3×3=27 种选法,

18 2 2 1 所选项目完全相同的有 C2 3C3C2=3×3×2=18(种)选法.∴所求概率为 P= = . 27 3 答案 A 6. 从 1, 2, 3, 6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数, 则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是________. 解析 从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数,有(1,2),(1,3),(1,6),(2,3), (2,6),(3,6),共 6 种情况. 2 1 满足条件的有(2,3),(1,6),共 2 种情况.故 P= = . 6 3 答案 1 3

7.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是 6 的概 率为________. 解析 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数有 C7 10种选法.要使抽取的
3 七个数的中位数是 6,则 6,7,8,9 必须取,再从 0,1,2,3,4,5 中任取 3 个,有 C6 种

C3 1 6 选法,故概率为 7 = . C10 6 答案 1 6

8. 10 件产品中有 7 件正品、 3 件次品, 从中任取 4 件, 则恰好取到 1 件次品的概率是________.
3 1 解析 从 10 件产品中任取 4 件共 C4 10种取法,取出的 4 件产品中恰有一件次品,有 C7C3种 1 C3 1 7C3 取法,则所求概率 P= 4 = . C10 2

答案

1 2

9.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1,2,3,4 的四个小球,现从甲、乙两个盒子中各



7 页

2016~2017 学年度高三数学第一轮复习学案 取出 1 个小球,每个小球被取出的可能性相等. (1)求取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率; (2)求取出的两个小球上的标号之和能被 3 整除的概率.

《统计与概率》

解 法一 利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球的所有可能结果:

可以看出,试验的所有可能结果数为 16 种. (1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有 1—2,2—1,2—3,3—2,3—4,4—3,共 6 种, 6 3 故所求概率 P= = . 16 8 (2)所取两个小球上的标号之和能被 3 整除的结果有 1—2,2—1,2—4,3—3,4—2,共 5 种. 5 故所求概率 P= . 16 法二 设从甲、乙两个盒子中各取 1 个小球,其标号分别记为 x、y,用(x,y)表示抽取结果, 则所有可能有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3, 2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共 16 种. (1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4, 3),共 6 种.故所求概率 P= 6 3 = . 16 8

(2)所取两个小球上的标号和能被 3 整除的结果有(1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2), 5 共 5 种.故所求概率 P= . 16 10.某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目; (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析,求抽到小学、中学各一所 的概率. 解 (1)由分层抽样定义知, 21 从小学中抽取的学校数目为 6× =3; 21+14+7 14 从中学中抽取的学校数目为 6× =2; 21+14+7 7 从大学中抽取的学校数目为 6× =1. 21+14+7 第 8 页

2016~2017 学年度高三数学第一轮复习学案 故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. (2)记“抽到小学、中学各一所”为事件 A,
1 则事件 A 共有基本事件 m=C1 3·C2=6(种)抽法, 2 又从 6 所学校任抽取 2 所有 n=C6 =15 种抽法.

《统计与概率》

m 6 2 因此,所求事件的概率 P= = = . n 15 5 11.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才所想的数 字,把乙猜的数字记为 b,其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙 “心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( 1 A. 9 2 B. 9 7 C. 18 4 D. 9 )

解析 任意找两人玩这个游戏,共有 6×6=36 种猜数字结果,其中满足|a-b|≤1 的有如下 情形: ①若 a=1,则 b=1,2;②若 a=2,则 b=1,2,3;③若 a=3,则 b=2,3,4;④若 a= 4,则 b=3,4,5;⑤若 a=5,则 b=4,5,6;⑥若 a=6,则 b=5,6,总共 16 种,故他 16 4 们“心有灵犀”的概率为 P= = . 36 9 答案 D 12.一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为 1,2,3,4,5,6,将这颗骰 子连续抛掷三次,观察向上的点数,则三次点数依次构成等差数列的概率为( 1 A. 12 1 B. 18 1 C. 36 7 D. 108 )

解析 连续抛掷三次,共有 63=216 种情况,记三次点数分别为 a,b,c,则 a+c=2b,所 以 a+c 为偶数,则 a、c 的奇偶性相同,且 a、c 允许重复,一旦 a、c 确定,b 也唯一确定, 18 1 故 a,c 共有 2×32=18 种,所以所求概率为 = . 216 12 答案 A 13. 某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、 横直线的交叉点以及三角形的顶点 ) 处都种了一株相同品种的作 物.则从三角形地块的内部和边界上各分别随机选取一株作物,它 们恰好“相近”的概率为________. (注:这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米) 解析 所种作物总株数 N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为 3,边 界上的作物株数为 12,从三角形地块的内部和边界上各分别随机选取一株的不同结果有 C1 3
1 C12 =36 种.选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有 3+3+2=8 种.

8 故从三角形地块的内部和边界上各分别随机选取一株作物, 它们恰好“相近”的概率为 = 36 第 9 页

2016~2017 学年度高三数学第一轮复习学案 2 . 9 答案 2 9

《统计与概率》

14.甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,求选出的 2 名教师性别相同的概率; (2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,求选出的 2 名老师来自同一学校的概率.
1 解 (1)从甲、乙两校报名的教师中各选 1 名,共有 n=C1 3×C3=9 种选法. 1 记“2 名教师性别相同”为事件 A,则事件 A 包含基本事件总数 m=C1 2·1+C2·1=4,∴

m 4 P(A)= = . n 9 (2)从报名的 6 人中任选 2 名,有 n=C2 6=15 种选法. 记“选出的 2 名老师来自同一学校”为事件 B,则事件 B 包含基本事件总数 m=2C2 3=6. 6 2 ∴选出 2 名教师来自同一学校的概率 P(B)= = . 15 5

第 10 页



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