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两角和与差的余弦、正弦课件



3.1.1 两角和与差的 余弦公式和正弦公式

新课讲解
问题1:当α=60°,β=30°时,cos α+cos β等于多少?

1? 3 提示: cos ? ? cos ? ? cos 60 ? cos30 ? 2
0 0

问题2:cos 60°+cos 30°=cos(60°+30°)成立吗?

提示:不成立. 问题3:cos α+cos β=cos(α+β)成立吗? 提示:不一定.

思考:cos(α+β)与cos α,cos β,sinα,sin β有什么关系? 请举例说明?

1、两角和的余弦公式:

如何证明?

cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β

2、两角差的余弦公式:
cos(α -β)=cos αcos β +sin αsin β

3、两角和的正弦公式:
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β

4、两角差的正弦公式:
sin(α-β)=sin αcos β -cos αsin β

公式理解 1.公式中的角α,β是任意角,特点是用单角的三角

函数表示和差角的三角函数.
2.公式的特点:

余弦:余余、正正,号相反
正弦:正余、余正,号相同

3.通过公式可以知道,只要知道cos α,cos β,sin α,
sin β的值,就可以求得cos(α± β), sin(α ±β )的 值.

例题讲解
例 1. 分别求 sin15° ,cos15° 的值.
解:sin 15° =sin(45° -30° ) cos 15° =cos (45° -30° )

cos 30° +sin 45° sin 30° ) =sin 45° cos 30° -cos45° sin 30° ) =cos 45°
6? 2 2 3 2 1 = × - ×= . 4 2 2 2 2 6? 2 2 3 2 1 = × + ×= . 4 2 2 2 2

记住 15° ,75° 的三角函数值
6? 2 sin 15° =cos 75° = 4
6? 2 cos 15° =sin75° = 4

tan 15° =cot75° =2? 3 cot 15° =tan75° =2? 3

例 2. 求 cos 105° +sin 195° 的值.
解:cos 105° +sin 195° =cos 105° +sin(90° +105° ) =cos 105° +cos 105° =2cos 105° =2cos(135° -30° ) =2(cos 135° cos 30° +sin 135° sin 30° ) 2- 6 2 3 2 1 =2(- × + × )= . 2 2 2 2 2

思考: 求 cos 105° 的值,可用 cos(60° +45° )?

例 3. 求下列各式的值. (1)cos 44° sin 14° -cos 46° sin 76° ; (2)sin(54° -x)cos(36° +x)+sin2(36° +x); (3) sin 15° - 3cos 15° .

(1)cos 44° sin 14° -cos 46° sin 76°
解: (1)法 1、原式=cos 44° sin 14° -sin 44° cos 14°

=sin 14° cos 44° -cos 14° sin 44° 1 =sin(14° -44° )=sin(-30° )=-sin 30° =- . 2 法 2、原式=sin 46° cos 76° -cos46° sin 76° 1 =sin(46° -76° )=sin(-30° )=-sin 30° =- . 2 法 3、原式=cos 44° cos 76° -sin44° sin 76° 1 =cos(44° + 76° )=cos120° =- . 2

(2)sin(54° -x)cos(36° +x)+sin2(36° +x)
(2)法 1、 原式=sin(54° -x)cos(36° +x)+cos(54° -x)sin(36° +x) =sin[(54° -x)+(36° +x)] =sin 90° =1.
法 2、原式= sin[90° -(36° +x) ] cos (36° +x)+sin2 (36° +x) =cos2 (36° +x) +sin2 (36° +x) =1.

(3) sin 15° - 3cos 15°
1 3 (3) 原式=2( 2 sin15° - 2 cos15° )

=2(sin15° cos60° -cos15° sin60° ) =2sin (15° -60° ) =2sin (-45° ) =- 2

跟踪练习

1.sin 285° =________.
解析:sin 285° =sin(270° +15° ) =-cos 15° =-cos(60° -45° ) 6+ 2 =-(cos 60° · cos 45° +sin 60° · sin 45° )=- . 4 6+ 2 答案:- 4

2.求下列各式的值:
(1)cos 15° cos 105° +sin 15° sin 105° ; (2)cos(α-35° )· cos(25° +α)+sin(α-35° )· sin(25° +α); (3)cos 40° cos 70° +cos20° cos 50° .
解:(1)原式=cos(15° -105° )=cos(-90° )=0. 1 (2)原式=cos[(α-35° )-(25° +α)]=cos(-60° )= . 2 (3)原式=cos 40° cos 70° +sin 70° sin 40° 3 =cos(70° -40° )=cos 30° = . 2

3.求下列各式的值. (1)cos(20° +x)cos(25° -x)-cos(70° -x)sin(x+155° ); π π 2π (2)sin(x+ )+2sin(x- )- 3cos( -x). 3 3 3

解: (1)∵(20° +x)+(70° -x)=90° ,(25° -x)+(155° +x)=180° ∴原式= cos(20° +x)cos(25° -x)-cos[90° -(20° +x)]· sin[180° -(25° -x)] =cos(20° +x)cos(25° -x)-sin(20° +x)sin(25° -x) 2 =cos[(20° +x)+(25° -x)]=cos45° = . 2

π π 2π (2)sin(x+ )+2sin(x- )- 3cos( -x) 3 3 3 π π π (2)原式=sin xcos +cos xsin +2sin xcos 3 3 3 π 2π 2π -2cos xsin - 3cos cos x- 3sin sin x 3 3 3 π π 2π π π =(cos +2cos - 3sin )sin x+(sin -2sin 3 3 3 3 3 2π - 3cos )cos x 3 1 3 3 3 =( +1- 3× )sin x+( - 3+ )cos x 2 2 2 2
=0. 提示:若为客观性试题,可特殊化令 x=0 解得。

4.化简下列各式: cos 10° (1)(tan 10° - 3) ; sin 50° (2) 2cos x+ 6sin x.
cos 10° cos 10° 解:(1)(tan 10° - 3) =(tan 10° -tan 60° ) sin 50° sin 50° sin 10° sin 60°cos 10° =( - ) cos 10° cos 60°sin 50° sin 10° cos 60° -cos 10° sin 60°cos 10° = · cos 10° cos 60° sin 50° sin(-50° ) cos 10° = · cos 10° cos 60° sin 50° 1 =- =-2. cos 60°

(2) 2cos x+ 6sin x.
解:(2) 2cos x+ 6sin x 1 3 =2 2( cos x+ sin x) 2 2 =2 2(sin 30° cos x+cos 30° sin x) =2 2sin(30° +x).

辅助角公式:a sin x ? b cos x ? a 2 ? b2 sin( x ? ? ), b 其中tan? = . a
π sin x± cos x= 2sin(x± ); 4 π sin x± 3cos x=2 sin(x± ); 3 π 3sin x± cos α=2sin(x± ). 6

统名公式将形如 asin α+bcos α(a,b 不同时为零)的三角函数 辅助角公式 式统一为一种三角函数式,这样做有利于三角函数式的化简,更 是研究三角函数性质的常用工具.其最值是± a +b
2 2

例题讲解
4 π 2π 例 4.(1)已知 sin θ= ,θ∈(0, ),求 cos( -θ); 5 2 3 4 16 (2)已知 α、β 为锐角,且 cos α= ,cos(α+β)=- , 5 65 求 cos β 的值.
2 5 4 (3)若 sin α= 5 ,sin (α+β)= 5 ,且 α、β 为锐角,求 cosβ

的值.

4 π 2π (1)已知 sin θ= ,θ∈(0, ),求 cos( -θ) 5 2 3 4 解: (1)由 sin θ= , 5 π 且 θ∈(0, ), 2 3 得 cos θ= , 5 2π 2π 2π ∴cos( -θ)=cos · cos θ+sin · sin θ 3 3 3 1 3 3 4 =- × + × 2 5 2 5 4 3-3 = . 10

4 16 (2)已知 α、β 为锐角,且 cos α= ,cos(α+β)=- , 5 65 求 cos β 的值.
π (2)∵0<α,β< ,∴0<α+β<π. 2 16 63 由cos(α+β)=- ,得sin(α+β)= . 65 65 4 3 又∵cos α= ,∴sin α= . 5 5 ∴cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α 16 4 63 3 5 =(- )× + × = . 65 5 65 5 13

2 5 4 (3)若 sin α= 5 ,sin (α+β)= 5 ,且 α、β 为锐角,求 cosβ

的值.

2 5 5 π (2)∵0<α, β< , ∴0<α+β<π.由 sin ? ? 5 , 得 cos? ? 5 2
4 3 π sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos( ? ? ? ) ? ? 又∵ , ∴ < α + β < π , ∴ 5 5 2

∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
3 5 4 2 5 5 =? 5? 5 ? 5? 5 ? 5

3 5 例 5. 在△ABC 中,sin A= ,cos B= ,求 cos C. 5 13

5 【错误解答】∵cos B= , 13 12 ∴B 为锐角,sin B= 1-cos B= . 13
2

3 ∵sin A= ,0<A<π, 5

4 ∴当 A 为锐角时,cos A= 1-sin A= , 5
2

此时,cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B) 16 =sin Asin B-cos Acos B= ; 65 4 当 A 为钝角时,cos A=- 1-sin A=- , 5
2

此时,cos C=-cos(A+B)
? 4 5 3 12? 56 - × ?= . =-?-5× 13 5 13? 65 ?

16 56 综上,cos C= 或 . 65 65

5 【正确解答】∵cos B= , 13 12 ∴B 为锐角,sin B= 1-cos B= , 13
2

3 ∵sin A= ,0<A<π, 5 ∴当 A 为锐角时, 4 cos A= 1-sin A= , 5
2

此时,cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)

16 =sin Asin B-cos Acos B= ; 65 4 当 A 为钝角时,cos A=- 1-sin A=- , 5
2

3 5 ? 4? 12 此时 sin(A+B)= × +?-5?× <0, 这与 0<A+B<π 5 13 ? 13 ? 矛盾,故此种情况不成立. 16 综上,cos C= . 65

思考. 在△ABC 中,sin

3 A= 5 ,cos

12 B= 13 ,求

cos C.

跟踪练习
5 3π π 1. 已知 cos α= , α∈( , 2π), 则 cos(α- )的值等于( 13 2 4 5 2 A. 26 2 2 B.- 13 7 2 C.- 26 3 2 D. 13 )

5 3π 解析: ∵cos α= , α∈( , 2π), ∴sin α=- 1-cos2α 13 2 12 π π π =- ,∴cos(α- )=cos αcos +sin αsin 13 4 4 4 5 2 12 2 7 2 = × +(- )× =- . 13 2 13 2 26

答案:C

π 4 π 3π 2.已知 sin(α+ )= ,且 <α< ,求 cos α 的值. 4 5 4 4
π 3 π π 解:∵ <α< π,∴ <α+ <π, 4 4 2 4 π π 3 2 ∴cos(α+ )=- 1-sin (α+ )=- . 4 4 5 π π ∴cos α=cos[(α+ )- ] 4 4 π π π π =cos(α+ )cos +sin(α+ )sin 4 4 4 4 3 2 4 2 2 =- × + × = , 5 2 5 2 10 2 即 cos α 的值为 . 10

π 2 3.已知 sin(α- 6 )= 3 ,且 α 在二象限,求 sin α 的值.
π 2 ? π 5? ? ? ? (2k? ? ,2k? ? ) ∴ 6 3 6

解:∵ ? ? (2k? ? ,2k? ? ? ), (k ? Z )

π ? ? 3 2 ? ? ? (2k? ? ,2k? ? ] 时, sin(? ? ) ? ? 又 6 3 2 6 2 3 ? π 5? ? ? ? (2k? ? ,2k? ? ) 所以 6 2 6

?

? 5 cos( ? ? ) ? ? 所以 6 3 ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin[( ? ? ) ? ] ? sin(? ? ) cos ? cos( ? ? ) sin 6 6 6 6 6 6
2 3 5 1 2 3 ?5 ? ? ? ? ? 3 2 3 2 6

3π 3 π 12 4.已知 α,β∈( ,π),sin(α+β)=- ,sin(β- )= , 4 5 4 13 π 则 cos(α+ )=________. 4 3π 3 π 12 解析:∵α,β∈( ,π),sin(α+β)=- ,sin(β- )= , 4 5 4 13 3π π π 3π ∴α+β∈( ,2π),β- ∈( , ), 2 4 2 4

4 π 5 ∴cos(α+β)= ,cos(β- )=- , 5 4 13 π π 则 cos(α+ )=cos[(α+β)-(β- )] 4 4 π π 4 5 3 12 =cos(α+β)cos(β- )+sin(α+β)sin(β- )= ×(- )+(- )× 4 4 5 13 5 13 56 56 答案:- 65 =- . 65

例题讲解
5 10 例 6.已知 α,β 均为锐角,且 sin α= ,cos β= , 5 10 求 α-β 的值.
5 10 解:∵α、β 均为锐角,且 sin α= ,cos β= , 5 10 2 5 3 10 ∴cos α= ,sin β= . 5 10 ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 2 5 10 5 3 10 2 = × + × = . 5 10 5 10 2 π π π π 又∵0<α< ,0<β< ,∴- <α-β< . 2 2 2 2 又∵sin α<sin β,∴α<β,即 α-β<0. π π ∴- <α-β<0.∴α-β=- . 2 4

12 12 π 例 7. 已知 cos(α-β)=- ,cos(α+β)= ,且 α-β∈( ,π), 13 13 2 3π α+β∈( ,2π),求角 β 的值. 2

π 12 5 解: 由 α-β∈( , π), 且 cos(α-β)=- , 得 sin (α-β)= .? 2 13 13 3π 12 5 由 α+β∈( ,2π),且 cos(α+β)= ,得 sin(α+β)=- .? 2 13 13 cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]

=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) 12 12 5 5 =- × +(- )× =-1.? 13 13 13 13 3 π 又∵α+β∈( π,2π),α-β∈( ,π), 2 2 π 3π π ∴2β∈( , ).∴2β=π,∴β= .? 2 2 2

跟踪练习
5 10 1.若 sin α= ,sin β= ,且 α、β 为锐角,求 α+β 的 5 10 值. 解:∵α、β 均为锐角,
2 5 3 10 2 ∴cos α= 1-sin α= ,cos β= 1-sin β= , 5 10
2

∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 2 5 3 10 5 10 2 = × - × = 5 10 5 10 2 π 又∵α、β 为锐角,∴0<α+β<π,∴α+β= . 4

1 3 1 2.已知 α 为三角形的内角且 cos α+ sin α= ,求 α . 2 2 2

1 3 π π 解析:∵ cos α+ sin α=cos cos α+sin sin α 2 2 3 3 π 1 =cos(α- )= , 3 2 π π 2π 又 0<α<π,- <α- < , 3 3 3 π π 2π ∴α- = ,α= . 3 3 3

2 答案: π 3

1 13 π 3.已知 cosα= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,求 β. 7 14 2
π π 解:由 0<β<α< ,得 0<α-β< . 2 2 1 π 4 3 2 由 cosα= ,0<α< ,得 sinα= 1-cos α= . 7 2 7 13 又∵cos(α-β)= , 14 ∴sin(α-β)= 1-cos2?α-β?= 1-? 13 2 3 3 ?= . 14 14

由 β=α-(α-β),得 cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 = × + × = , 7 14 7 14 2 π ∴β= . 3

例题讲解
例 8.已知 sin α+sin β = 5 10 ,cos α+cos β= ,求 cos(α-β)的值. 5 10

解:平方相加,过程略。

1 例 9. 已知 sinαcosβ= ,求 t=cosαsinβ 的取值范围. 4 1 [错解] ∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= +cosαsinβ 4

1 = + t, 4 又∵sin(α+β)∈[-1,1] 1 5 3 故有-1≤ +t≤1,解得- ≤t≤ . 4 4 4

1 [正解] 由于 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= +t ①, 又 4 1 sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ= -t ②. 4 由于 sin(α+β)∈[-1,1],sin(α-β)∈[-1,1], 1 ? ?-1≤4+t≤1 故有? ?-1≤1-t≤1 4 ? 3 3 解得:- ≤t≤ . 4 4

跟踪练习
4 4 1.已知 cos(α+β)= ,cos(α-β)=- ,则 cos αcos β 的值为( 5 5 4 A.0 B. 5 4 4 C.0 或 D.0 或± 5 5 )

解:由条件知: 4 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= , 5 4 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=- . 5 ①+②得 2cos αcos β=0,即 cos αcos β=0. ① ②

答案:A

2. 已知 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0, cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0. 求 cos(? ? ? )的值。
解:移向平方相加,过程略。

1 答案: ? 2

1 4.已知 sin ? ? sin ? ? 2 ,求 cos? ? cos ? 的取值范围。

解:令 cos? ? cos? ? t ,
1 ? 2 ? 2 cos( ? ? ? ) ? [0,4] 4 1 15 2 2 t ? [ ? , ] t 所以 4 4 ,又 ? 0
2 t 则 ?

15 15 15 所以 t ?[0, 4 ] ? t ?[? 2 , 2 ]
2



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