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2011年上海市春考



2011 年上海市普通高等学校春季招生考试数学
本试卷共 23 道试题,满分 150 分,考试时间120分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果.每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.函数 y ? lg ? x ? 2? 的定义域是
2 2.若集合 A ? x x ? 1 , B ? x

x ? 4 ,则 A ? B ?



?

?

?

?



3.在 ?ABC 中,若 tan A ?

2 ,则 sin A ? 3




4.若行列式

2x 1

4 2

? 0 ,则 x ?

5.若 sin x ?

1 ? ? ?? , x ? ? ? , ? ,则 x ? 3 ? 2 2?

. (结果用反三角函数表示)

1? ? 6. ? x ? ? 的二项展开式的常数项为 x? ?

6



7.两条直线 l1 : x ? 3 y ? 2 ? 0 与 l2 : x ? y ? 2 ? 0 夹角的大小是 8.若 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则



S6 ? S3



9.若椭圆 C 焦点和顶点分别是双曲线 是 .

x2 y 2 ? ? 1 的顶点和焦点,则椭圆 C 的方程 5 4

10. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 则 OP ? PF 的最小值为
2 2

x2 ? y 2 ? 1的中心和左焦点, P 为椭圆上的任意一点, 点 2


11.根据如图所示的程序框图,输出结果 i ? . 12.2011 年上海春季高考有 8 所高校招生,如果某 3 位同学恰好被其中 2 所高校录取, 那么录取方法的种数为 . 13. 有一种多面体的饰品, 其表面由 6 个正方形和 8 个正三角形组成 (如图) AB 与 CD , 所成角的大小是 .

A

B

A E C

B F C G

D

D

14.为求解方程 x ? 1 ? 0 的虚根,可以把原方程变形为
5

? x ? 1? ? x 4 ? x3 ? x 2 ? x ? 1? ? 0 ,再变形为 ? x ? 1? ? x 2 ? ax ? 1?? x 2 ? bx ? 1? ? 0 ,由此可
得原方程的一个虚根为 . 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案,考生应在答题纸 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.若向量 a ? ? 2,0? , b ? ?1,1? ,则下列结论正确的是( A. a ? b ? 1 16.函数 f ? x ? ?

?

?

) .

? ?

B. a ? b

?

?

C. a ? b ? b

?? ?

?

?

D. a // b

?

?

4x ? 1 的图象关于( 2x

). B.直线 y ? x 对称 D. y 轴对称

A.原点对称 C.直线 y ? ? x 对称 17.直线 l : y ? k ? x ? A.相交或相切

? ?

1? 2 2 . ? 与圆 C : x ? y ? 1 的位置关系为( ) 2?
B.相交或相离 C.相切 D.相交

18. a1 , a ,3a 均为单位向量, a1 ? ? 若 则 2

? ? ?

?

? 3 6? ? ? ? ? 3 , 3 ? 是 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?

?

3, 6 的 (

?

) .

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 三.解答题(本大题 74 分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 已知向量 a ? ? sin 2x ?1,cos x ? ,b ? ?1, 2cos x ? .设函数 f ? x ? ? a ? b .求函数 f ? x ? 的最小正周期及 x ? ?0,

?

?

? ?

? ?? 时的最大值. ? 2? ?

20. (本题满分 14 分) 某甜品店制作一种蛋筒冰激凌,其上部分是半球形,下半部分呈圆锥形(如图),现把半径为 10cm 的圆形蛋皮等分成 5 个扇形,用一个蛋皮围成圆锥的侧面(蛋皮的厚度忽略不计),求该 蛋筒冰激凌的表面积和体积(精确到 0.01 ) 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分. 已知抛物线 F : x ? 4 y .
2

(1) ?ABC 的三个顶点在抛物线 F 上,记 ?ABC 的三边 AB, BC , CA 所在直线的斜率 分别为 k AB , kBC , kCA ,若点 A 在坐标原点,求 k AB ? kBC ? kCA 的值;

(2) 请你给出一个以 P ? 2,1? 为顶点,且其余各顶点均为抛物线 F 上的动点的多边形, 写出多边形各边所在直线的斜率之间的关系式,并说明理由. 说明:第(2)题将根据结论的一般性程度给与不同的评分.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 4 分. 定义域为 R ,且对任意实数 x1 , x2 都满足不等式

? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? f ? 1 2 ?? 2 ? 2 ?
的所有函数 f ? x ? 组成的集合记为 M .例如 f ? x ? ? kx ? b ? M .

? x, x ? 0, ? (1) 已知函数 f ? x ? ? ? 1 证明: f ? x ? ? M ; ? 2 x, x ? 0 ?
(2) 写出一个函数 f ? x ? ,使得 f ? x ? ? M ,并说明理由; (3) 写出一个函数 f ? x ? ? M ,使得数列极限 lim
n ??

f ? n? f ? ?n ? ? 1 , lim ? 1. 2 n ?? n ?n

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分, 第 3 小题满分 6 分. 对 于给定首 项 x0 ?
3

1? a ? a ? a ? 0 ? ,由递 推式 xn ?1 ? ? xn ? ? ? n ?N? ? 得 到数 列 2? xn ? ? ?

?xn ? ,且对于任意的 n ? N? ,都有 xn ? 3 a ,用数列 ?xn ? 可以计算 3 a 的近似值.
(1) 取 x0 ? 5 , a ? 100 ,计算 x1 , x2 , x3 的值(精确到 0.01 ) ,归纳出 xn , xn ?1 的大小 关系; (2) 当 n ? 1 时,证明 xn ? xn ?1 ?

1 ? xn?1 ? xn ? ; 2
?4

(3) 当 x0 ??5,10? 时,用数列 ?xn ? 计算 3 100 的近似值,要求 xn ? xn?1 ? 10 ,请你 估计 n ,并说明理由.

答案: 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果.每个空格填对得4分,否则一律得零分.

1.函数 y ? lg ? x ? 2? 的定义域是 【解】 ? 2,??? . 函数 y ? lg ? x ? 2? 的定义域满足 x ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 , 所以函数 y ? lg ? x ? 2? 的定义域为 ? 2,??? .
2 2.若集合 A ? x x ? 1 , B ? x x ? 4 ,则 A ? B ?



?

?

?

?



【解】 x 1 ? x ? 2 .

?

?

B ? x x 2 ? 4 ? ??2 ? x ? 2? ,所以 A ? B ? ? x 1 ? x ? 2? .
3.在 ?ABC 中,若 tan A ?

?

?

2 ,则 sin A ? 3



【解】

22 . 11
2 11 1 2 , ? 0 ,则 ? A 是锐角,于是 1 ? tan 2 A ? 1 ? ? ? 9 9 cos 2 A 3

因为 tan A ?

则 cos A ?
2

9 3 2 3 22 , cos A ? , sin A ? tan A ? cos A ? . ? ? 11 3 11 11 11 9 2 22 2 得 sin A ? ,因为 sin A ? 0 ,则 sin A ? . ) 11 11 11

(或由 cos A ?
2

4.若行列式 【解】 1 .

2x 1

4 2

? 0 ,则 x ?



2x 1

4 2

? 2 ? 2 x ? 1? 4 ? 0 ,则 2 x ? 2 , x ? 1 .

5.若 sin x ?

1 ? ? ?? , x ? ? ? , ? ,则 x ? 3 ? 2 2?
1 . 3

. (结果用反三角函数表示)

【解】 arcsin

因为 sin x ?

1 1 ? ? ?? , x ? ? ? , ? ,则 x ? arcsin . 3 3 ? 2 2?

6. ? x ?

? ?

1? ? 的二项展开式的常数项为 x?

6



【解】 20 .

1? ? r 6? r ? r r 6? 2 r ? x ? ? 的二项展开式的通项为 Tr ?1 ? C6 x x ? C6 x . x? ?
令 6 ? 2r ? 0 得 r ? 3 .

6

1? ? 所以 ? x ? ? 的二项展开式的常数项为 C3 ? 20 . 6 x? ?
7.两条直线 l1 : x ? 3 y ? 2 ? 0 与 l2 : x ? y ? 2 ? 0 夹角的大小是 【解】 .

6

? . 12

直线 l1 的倾斜角为 夹角为

?
4

?

?
6

?

?

? ? ,直线 l2 的倾斜角为 , 6 4


12

8.若 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 【解】 ?7 . 设公比为 q ,由题设, 8a1q ? ?a1q 4 ,所以 q ? ?8 .
3

S6 ? S3



S6 q 6 ? 1 3 ? ? q ? 1 ? ?8 ? 1 ? ?7 . S3 q3 ? 1
9.若椭圆 C 焦点和顶点分别是双曲线 是 . 【解】

x2 y 2 ? ? 1 的顶点和焦点,则椭圆 C 的方程 5 4

x2 y 2 ? ? 1. 9 4 x2 y 2 ? ? 1 的顶点和焦点坐标分别是 ? 5, 0 和 ? ?3,0? . 5 4 x2 y 2 ? 2 ? 1 ,则由题设, a ? 3 , a2 ? b2 ? 5 ,于是 b ? 2 , 2 a b

双曲线

?

?

设椭圆 C 的方程为

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 9 4
x2 ? y 2 ? 1的中心和左焦点, P 为椭圆上的任意一点, 点 2

10. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 则 OP ? PF 的最小值为
2 2



【解】 2 . 设 P ? x, y ? ,由 F ? ?1,0 ? 得

OP ? PF ? x 2 ? y 2 ? ? x ? 1? ? y 2 ,
2 2 2



因为点 P 为椭圆上的任意一点,则 y ? 1 ?
2

x2 , 2

? x2 ? 于是①式化为 OP ? PF ? 2 x ? 2 x ? 1 ? 2 ?1 ? ? 2? ?
2 2 2

? x2 ? 2 x ? 3
? ? x ? 1? ? 2 .
2

因为 ? 2 ? x ?

2 2 ,而 ? x ? 1? ? 2 图象的对称轴 x ? ?1? ? ? 2, 2 ? , ? ? 2 2

所以当 x ? ?1 时, OP ? PF 有最小值为 2 . 11.根据如图所示的程序框图,输出结果 i ? 【解】 7 . 根据如图所示的程序框图,所得的数据如下表 .

3 2 s 46 36 所以输出的 i ? 7 .
1 56

i

4 26

5 16

6 6

7 ?6 ? 0

12.2011 年上海春季高考有 8 所高校招生,如果某 3 位同学恰好被其中 2 所高校录取, 那么录取方法的种数为 . 【解】 168 .
2 第一步:从 8 所高校取 2 所高校的方法有 C8 ? 28 种,

第二步: 3 位同学分配到 2 所高校的方法有 2 位同学被分配到同一所高校,所以有
2 C3C1 ? 6 种, 2

所以录取方法的种数为 28 ? 6 ? 168 种. 13. 有一种多面体的饰品, 其表面由 6 个正方形和 8 个正三角形组成 (如图) AB 与 CD , 所成角的大小是 .

A

B

A E C

B F C G

D
【解】

D

? . 3

AB 与 CD 是正方形的边,则 AB // EF , CD // FG ,
因为 EF 和 FG 是正三角形 EFG 的两边,则 AB 与 CD 所成的角为 14.为求解方程 x ? 1 ? 0 的虚根,可以把原方程变形为
5

? . 3

? x ? 1? ? x 4 ? x3 ? x 2 ? x ? 1? ? 0 ,再变形为 ? x ? 1? ? x 2 ? ax ? 1?? x 2 ? bx ? 1? ? 0 ,由此可
得原方程的一个虚根为 【解】 .

?1 ? 5 ? 10 ? 2 5i ?1 ? 5 ? 10 ? 2 5i , 中的一个. 4 4

4 3 2 2 2 由题设,有 x ? x ? x ? x ? 1 ? x ? ax ? 1 x ? bx ? 1 ,

?

??

?

即 x ? x ? x ? x ?1 ? x ? ? a ? b? x ? ? ab ? 2? x ? ? a ? b? x ? 1 ,
4 3 2 4 3 2

对应相应项的系数得

? ? 1? 5 1? 5 , ?a ? , ?a ? ? a ? b ? 1, ? 2 或? 2 解得 ? ? ? ?ab ? 2 ? 1 ?b ? 1 ? 5 , ? b ? 1 ? 5 , ? ? ? 2 ? 2
解x ?
2

1? 5 ?10 ? 2 5 x ? 1 ? 0 ,因为 ? ? ?0, 2 4

所以 x ?

?1 ? 5 ? 10 ? 2 5i , 4

同理,解 x ?
2

1? 5 ?1 ? 5 ? 10 ? 2 5i . x ?1 ? 0得 2 4

所以原方程的一个虚根为

?1 ? 5 ? 10 ? 2 5i ?1 ? 5 ? 10 ? 2 5i , 中的一个. 4 4

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案,考生应在答 题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.若向量 a ? ? 2,0? , b ? ?1,1? ,则下列结论正确的是( A. a ? b ? 1

?

?

) .

? ?

B. a ? b

?

? ?

C. a ? b ? b

?? ? ?

?

?

D. a // b

?

?

【解】 a ? b ? 2 ,A不正确; a ? 2 , b ?

? ?

?

? ? 2 ,则 a ? b ,B不正确;

? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ?1, ?1? , a ? b ? b ? ?1, ?1? ? ?1,1? ? 0 ,所以 a ? b ? b ,C正确;

?

?

?

不存在实数 ? ,使 a ? ?b ,D不正确.故选C.

?

?

4x ? 1 16.函数 f ? x ? ? 的图象关于( 2x
A.原点对称 C.直线 y ? ? x 对称 【解】因为 f ? x ? ? 称.故选A. 17.直线 l : y ? k ? x ? A.相交或相切

). B.直线 y ? x 对称 D. y 轴对称

4x ? 1 ? 2 x ? 2? x ,则 f ? ? x? ? ? f ? x? ,所以其图象关于原点对 2x

? ?

1? 2 2 . ? 与圆 C : x ? y ? 1 的位置关系为( ) 2?
B.相交或相离 C.相切 D.相交

【解】解法 1.因为直线 l 过点 ? ? 所以直线与圆相交.故选D.

? 1 ? ? 1 ? , 0 ? ,而点 ? ? , 0 ? 在圆 C : x2 ? y 2 ? 1 的内部, ? 2 ? ? 2 ?

解法 2.圆心为 ? 0, 0 ? ,半径为 1 ,圆心到直线的距离为

1 k 1 2 d? ? ? ? 1, k 2 1? k 2
所以直线与圆相交.故选D.

1 k 2

18. a1 , a ,3a 均为单位向量, a1 ? ? 若 则 2 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【解】若 a1 ? a2 ? a3 ?

? ? ?

?

? 3 6? ? ? ? ? 3 , 3 ? 是 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?

?

3, 6 的 (

?

) .

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

?

?

?

?

? ? 3 6? ? ? ? 3, 6 ,当 a1 ? a2 ? a3 时,得 a1 ? ? ? 3 , 3 ?, ? ? ?

?

若 a1 ? ? ?

?

? 3 6? ? ? ? ? ? , ? ,当 a2 ? a3 ? ?1,0? ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? 3 3 ? ? 3 6? ? ? ? ? 3 , 3 ? 是 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?

?

3, 6 ,

?

所以 a1 ? ?

?

?

3, 6 的必要不充分条件.故选B.

?

三.解答题(本大题 74 分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 已知向量 a ? ? sin 2x ?1,cos x ? ,b ? ?1, 2cos x ? .设函数 f ? x ? ? a ? b .求函数 f ? x ? 的最小正周期及 x ? ?0,

?

?

? ?

? ?? 时的最大值. ? 2? ?

【解】 f ? x ? ? a ? b ? sin 2 x ? 1 ? 2cos 2 x

? ?

? sin 2 x ? cos 2 x

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ?
所以,函数 f ? x ? 的最小正周期 T ? 因为 x ? ?0, 当 2x ?

2? ?? . 2

? ? ? 5? ? ? ?? ? ,所以 2 x ? 4 ? ? 4 , 4 ? , ? 2? ? ?
?

?
4

?
2

,即 x ?

?
8

时,函数有最大值 ymax ? 2 .

20. (本题满分 14 分) 某甜品店制作一种蛋筒冰激凌,其上部分是半球形,下半部分呈圆锥 形(如图),现把半径为 10cm 的圆形蛋皮等分成 5 个扇形,用一个蛋皮围成 圆锥的侧面(蛋皮的厚度忽略不计),求该蛋筒冰激凌的表面积和体积(精 确到 0.01 ) 【解】设圆锥的底面半径为 r ,高为 h . 由题意,圆锥的侧面扇形的周长为 ? 2? ?10 ? 4? ? cm ? , 圆锥底面周长为 2? r ? cm ? ,

1 5



2? r ? 4? ,

r ? 2 ? cm ? .

圆锥的高为 102 ? 22 ? 96 ? 4 6 ? cm ? , 圆锥的侧面扇形的面积为 半球的面积为

1 S1 ? ? 4? ? 1 ? 0 2

cm ?2 ?0 2 ? ,

1 S 2 ? ? 4? ? 22 ? 8? . 2

2 所以该蛋筒冰激凌的表面积为 S ? S1 ? S2 ? 28? ? 87.96 cm ;

?

?

1 16 2 6? ? cm 3 ? , 3 3 1 4 16 3 ? ? cm 3 ? , 半球的体积为 V2 ? ? ? ? 2 ? 2 3 3 16 6 ? 1 ? ? 57.80 ? cm 3 ? . 所以该蛋筒冰激凌的体积为 V ? V1 ? V2 ? 3
圆锥的体积为 V1 ? ? ? 2 ? 4 6 ?

?

?

因此该蛋筒冰激凌的表面积约为 87.96cm , 体积约为 57.80cm . 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分. 已知抛物线 F : x2 ? 4 y . (1) ?ABC 的三个顶点在抛物线 F 上,记 ?ABC 的三边 AB, BC , CA 所在直线的斜率 分别为 k AB , kBC , kCA ,若点 A 在坐标原点,求 k AB ? kBC ? kCA 的值; (2) 请你给出一个以 P ? 2,1? 为顶点,且其余各顶点均为抛物线 F 上的动点的多边形, 写出多边形各边所在直线的斜率之间的关系式,并说明理由. 说明:第(2)题将根据结论的一般性程度给与不同的评分. 【解】(1) 设 B ? xB , yB ? , C ? xC , yC ? .则

2

3

k AB ? kBC ? kCA ?

yB yB ? yC yC ? ? xB xB ? xC xC

2 2 2 2 xB ? xC xC xB ? ? ? 4 xB 4 ? xB ? xC ? 4 xC

?

1 ? xB ? ? xB ? xC ? ? xC ? ? 0 . ? 4?

(2) ① 研究 ?PBC .

kPB ? kBC ? kCP ?

yB ? yP yB ? yC yC ? yP ? ? xB ? xP xB ? xC xC ? xP

?
?

2 2 x2 ? x2 x2 ? x2 xB ? xP ? B C ? C P 4 ? xB ? xP ? 4 ? xB ? xC ? 4 ? xC ? xP ?

1 ?? xB ? xP ? ? ? xB ? xC ? ? ? xC ? xP ? ? . ? 4? x ? P ? 1. 2 ② 研究四边形 PBCD . x ? xP xB ? xC xC ? xD xD ? xP k PB ? k BC ? kCD ? k DP ? B ? ? ? 4 4 4 4 ? 0. ③ 研究五边形 PBCDE .

kPB ? kBC ? kCD ? kDE ? kEP
xB ? xP xB ? xC xC ? xD xD ? xE xE ? xP ? ? ? ? 4 4 4 4 4 x ? P ? 1. 2 ?
④ 研究 n ? 2k 边形 PP ? P ? k ? N? , k ? 2? ,其中 P ? P . 1 1 2 2k

kP1P2 ? kP2 P3 ? kP3P4 ? ? ? ? ?1?

2 k ?1

kP2 k P1
2 k ?1

?

xP1 ? xP2 4 xP1

?

xP2 ? xP3 4

?

xP3 ? xP4 4

? ? ? ? ?1?

xP2 k ? xP1 4

?

?1 ? ? ?1?2 k ?1 ? ? 0 . ? 4 ?

⑤ 研究 n ? 2k ? 1 边形 PP ? P k ?1 ? k ? N? , k ? 2? ,其中 P ? P . 1 2 2 1

kP1P2 ? kP2 P3 ? kP3P4 ? ? ? ? ?1?

2 k ?1?1

kP2 k ?1P1
2 k ?1?1

?

xP1 ? xP2 4 xP1

?

xP2 ? xP3 4

?

xP3 ? xP4 4

? ? ? ? ?1?

xP2 k ?1 ? xP1 4

?

?1 ? ? ?1?2 k ?1?1 ? ? 1. ? 4 ?

⑥研究 n 边形 PP ? P ? k ? N? , n ? 3? ,其中 P ? P . 1 1 2 n

kP1P2 ? kP2 P3 ? kP3P4 ? ? ? ? ?1?

n ?1

kPn P1

?

xP1 ? xP2 4

?

xP2 ? xP3 4

?

xP3 ? xP4 4

? ? ? ? ?1?

n ?1

xPn ? xP1 4

?1 ? ? ?1?n?1 ? ? ? ? 4 ?

xP1

1 ? ? ?1? 2

n ?1



22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 4 分. 定义域为 R ,且对任意实数 x1 , x2 都满足不等式

? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? f ? 1 2 ?? 2 ? 2 ?
的所有函数 f ? x ? 组成的集合记为 M .例如 f ? x ? ? kx ? b ? M .

? x, x ? 0, ? (1) 已知函数 f ? x ? ? ? 1 证明: f ? x ? ? M ; ? 2 x, x ? 0 ?
(2) 写出一个函数 f ? x ? ,使得 f ? x ? ? M ,并说明理由; (3) 写出一个函数 f ? x ? ? M ,使得数列极限 lim
n ??

f ? n? f ? ?n ? ? 1 , lim ? 1. 2 n ?? n ?n

【解】(1) 当 x1 ? x2 ? 0 时,

? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2 x1 ? x2 f ? 1 2 ?? ? ? ? 0 ,则 2 4 4 ? 2 ?
不等式 f ?

? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立; ?? 2 ? 2 ?

当 0 ? x1 ? x2 时,

? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2 x1 ? x2 f ? 1 2 ?? ? ? ? 0 ,则 2 2 2 ? 2 ?
不等式 f ?

? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立; ?? 2 ? 2 ?
x1 ? x2 ? 0 时, 2

当 x1 ? 0 ? x2 ,且

1 x ?x f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1 ? x2 ? 2 1 2 1 x1 ? x2 x2 ?f? ? ? ? ? 0 ,则 ?? 2 2 2 2 4 ? 2 ?

不等式 f ?

? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立; ?? 2 ? 2 ?
x1 ? x2 ? 0 时, 2

当 x1 ? 0 ? x2 ,且

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2
不等式 f ?

1 x ?x x ? x1 ? x2 ? 2 1 2 x1 ? x2 f? ? ? ? ? 1 ? 0 ,则 ? 2 2 4 ? 2 ?

? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立. ?? 2 ? 2 ? ? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立.所以 f ? x ? ? M . ?? 2 ? 2 ?

综合以上,不等式 f ?

(2) 例如函数 f ? x ? ? ? x 2 , 取 x1 ? ?1 , x2 ? 1 , 则

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2
?

?x ?x ? f ? 1 2?, ? 2 ?

f ? ?1? ? f ?1? ? f ? 0 ? ? ?1 ? 0 . 2

所以 f ? x ? ? M . 也 可 以 从 f ? x ? ? ? x2 的 图 象 看 出 , f ?

? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,不满足 ?? 2 ? 2 ?

? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? .所以 f ? x ? ? ? x 2 ? M . f ? 1 2 ?? 2 ? 2 ?
(3) 例如函数 f ? x ? ? ?

? x 2 , x ? 1, ? 满足 f ? x ? ? M , ? x, x ? 1. ?

lim
n ??

f ? n? f ? ?n ? n2 ?n ? lim 2 ? 1 , lim ? lim ?1. 2 n ?? n n ?? n ?? ?n n ?n

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分, 第 3 小题满分 6 分. 对 于给定首 项 x0 ?
3

1? a ? a ? a ? 0 ? ,由递 推式 xn ?1 ? ? xn ? ? ? n ?N? ? 得 到数 列 ? 2? xn ? ?

?xn ? ,且对于任意的 n ? N? ,都有 xn ? 3 a ,用数列 ?xn ? 可以计算 3 a 的近似值.
(1) 取 x0 ? 5 , a ? 100 ,计算 x1 , x2 , x3 的值(精确到 0.01 ) ,归纳出 xn , xn ?1 的大小 关系; (2) 当 n ? 1 时,证明 xn ? xn ?1 ?

1 ? xn?1 ? xn ? ; 2

(3) 当 x0 ??5,10? 时,用数列 ?xn ? 计算 3 100 的近似值,要求 xn ? xn?1 ? 10?4 ,请你 估计 n ,并说明理由. 【解】(1) x1 ? 4.74, x2 ? 4.67, x3 ? 4.65 ,猜想 xn?1 ? xn ; (2) xn ? xn ?1 ?

1 ? xn?1 ? xn ? 2

1? ? xn ? ? xn ? 2? ?

a xn

? 1 1 ? ? xn ?1 ? xn ? 2 2 ?

? xn ?

1 a 1 ? xn?1 2 xn 2
? 1 ?? ? 2 ? a 1 ? xn ?1 xn 2

1? a ? ? xn ?1 ? 2? xn ?1 ?
? 1 2 a 1 ? xn ?1 2

a xn
, ①

?

a 2

xn ? xn ?1 xn ?1 xn

因为 xn ? 3 a , 所以 xn ? xn ?1 ? xn ? 所以 xn ? xn?1 . 由①式, xn ? xn ?1 ? 所以 xn ? xn ?1 ? (3) 由(2)
3 1? a ? 1? a ? 1 xn ? a xn ? ? ? xn ? ? ? ? 0, ? ? ? 2? xn ? 2 ? xn ? 2 xn ? ? ? ?

1 a ? xn?1 ? xn ? ? 2 2

xn ? xn ?1 xn ?1 xn

?0,

1 ? xn?1 ? xn ? . 2 1 1 1 1 ? xn?1 ? xn ? ? 2 ? xn?2 ? xn?1 ? ? ? ? n?1 ? x1 ? x2 ? ? n ? x0 ? x1 ? , 2 2 2 2

0 ? xn ? xn ?1 ?

所以只要

1 x ? x1 ? ? 10?4 即可, n ? 0 2

于是 2n ? 104 ? x0 ? x1 ? , 因为 x0 ? x1 ?

1? 10 ? ? x0 ? ?, 2? x0 ? ? ?
? ? ?
4

所以 n ? log 2 ?10 ? 所以 n ? 16 .

10 ? 10 ? ? ? 15.1 . ? 2 ?



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