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2015-2016学年上海市金山中学高二(上)期末



2015-2016 学年上海市金山中学高二(上)期末数学试卷
一、填空题(本大题满分 36 分,共 12 小题,每小题满分 36 分) 1. (3 分) (2015 秋?上海校级期末)直线 x﹣(m﹣2)y+4=0 的倾斜角为 是 . ,则 m 的值

2. (3 分) (2016?佛山模拟)若实数 x,y 满足不等式组

,则

z=x+2y 的最大

值为

. ,则|z+1|的值为
2 2

3. (3 分) (2015 秋?上海校级期末)若复数 z 满足



4. (3 分) (2015 秋?上海校级期末)已知直线 5x+12y+a=0 与圆(x﹣1) +y =1 相切,则 a 的值为 . 5. (3 分) (2015 秋?上海校级期末)已知方程 为 . 的夹角为 30°, 表示椭圆,则 k 的取值范围

6. (3 分) (2015 秋?上海校级期末)若直线 l 经过原点,且与直线 则直线 l 方程为 . 7. (3 分) (2015?上海校级三模)过点(2

,0)且方向向量为(k,1)的直线与双曲线



=1 仅有一个交点,则实数 k 的值为



8. (3 分) (2012?潼南县校级模拟)已知点 P 是椭圆

上的在第一象限内的点,又 .

A(2,0) 、B(0,1) ,O 是原点,则四边形 OAPB 的面积的最大值是 9. (3 分) (2015 秋?上海校级期末) 若点 O 和点 F 分别为双曲线 点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 10. (3 分) (2010?安徽模拟)双曲线 ? 的取值范围为
2 2

﹣y =1 的中心和左焦点, .

﹣y =1(n>1)的两个焦点为 F1,F2,P 在双曲线

上,且满足|PF1|+|PF2|=2 ,则△ PF1F2 的面积为 . 11. (3 分) (2015 秋?上海校级期末)若点 P(﹣1,0)在直线 2ax+(a+c)y+2c=0 上的射 影是 Q,则 Q 的轨迹方程是 . 12. (3 分) (2011?徐水县一模) 已知点 P 在直线 x+2y﹣1=0 上,点 Q 在直线 x+2y+3=0 上, PQ 中点为 N(x0,y0) ,且 y0>x0+2,则 的取值范围为 .

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二、选择题(本大题满分 12 分,共 4 小题,每小题满分 12 分) 13. (3 分) (2015 秋?上海校级期末)设 a、b∈R,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数 a+bi 为 纯虚数的”( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 14. (3 分) (2015 秋?上海校级期末) 与双曲线 的双曲线标准方程为( A. B. ) C. D. (θ 为参数) , 的点的个数为( ) =1 有共同的渐近线, 且过点 (2, 2)

15. (3 分) (2015 秋?上海校级期末)设曲线 C 的参数方程为 直线 l 的方程为 x﹣3y+2=0,则曲线 C 上到直线 l 距离为 A.1B.2C.3D.4 16. (3 分) (2015 秋?上海校级期末)已知曲线 C: 中正确的是( ) A.垂直于 x 轴的直线与曲线 C 存在两个交点 B.直线 y=kx+m(k,m∈R)与曲线 C 最多有三个交点 C.曲线 C 关于直线 y=﹣x 对称 D.若 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)为曲线 C 上任意两点,则有 <0 ﹣

=1(a>b>0) ,下列叙述

三、解答题(本大题满分 52 分) 17. (6 分) (2015 秋?上海校级期末)求以抛物线 y =4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆 的标准方程. 2 18. (10 分) (2015 秋?上海校级期末)设 z1 是方程 x ﹣6x+25=0 的一个根. (1)求 z1; (2)设 z2=a+i(其中 i 为虚数单位,a∈R) ,若 z2 的共轭复数 求 .
2 2

满足



19. (10 分) (2004?上海)如图,直线 y= x 与抛物线 y= x ﹣4 交于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线与直线 y=﹣5 交于 Q 点. (1)求点 Q 的坐标; (2)当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方(含 A、B)的动点时,求△ OPQ 面积的最大值.

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20. (12 分) (2003?广东)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城 市 O(如图)的东偏南 方向 300km 的海面 P 处,并以 20km/h 的速度向西

偏北 45°方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不 断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?

21. (14 分) (2015 秋?上海校级期末)椭圆 E1:

+

=1 和椭圆 E2:

+

=1 满



=

=m(m>0) ,则称这两个椭圆相似,m 称为其相似比.

(1)求经过点(2,

) ,且与椭圆

+

=1 相似的椭圆方程;

(2)设过原点的一条射线 L 分别与(1)中的两个椭圆交于 A、B 两点(其中点 A 在线段 OB 上) ,求 的最大值和最小值;
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(3)对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为 2 的两个椭圆 C1:

+

=1 和

C2:

+

=1 交于 A、B 两点,P 为线段 AB 上的一点,若|OA|,|OP|,|OB|成等比

数列, 则点 P 的轨迹方程为 题,不必证明.

+

=1”. 请用推广或类比的方法提出类似的一个真命

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2015-2016 学年上海市金山中学高二(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题满分 36 分,共 12 小题,每小题满分 36 分) 1. (3 分) (2015 秋?上海校级期末)直线 x﹣(m﹣2)y+4=0 的倾斜角为 3 . 【分析】由直线的倾斜角求出斜率,再由斜率列式求得 m 值. 【解答】解:∵直线 x﹣(m﹣2)y+4=0 的倾斜角为 ∴该直线的斜率为 tan 即 ,解得:m=3. , , ,则 m 的值是

故答案为:3. 【点评】本题考查直线的倾斜角,考查了直线倾斜角与斜率的关系,是基础题.

2. (3 分) (2016?佛山模拟)若实数 x,y 满足不等式组

,则 z=x+2y 的最大

值为 6 . 【分析】作出题中不等式组对应的平面区域如图,将直线 l:z=x+2y 进行平移,并观察它在 轴上截距的变化,可得当 l 经过区域的右上顶点 A 时,z 达到最大值.由此求出 A 点坐标, 不难得到本题的答案.

【解答】解:作出不等式组

对应的平面区域如右图,是位于△ ABO 及其内部

的阴影部分. 将直线 l: z=x+2y 进行平移, 可知越向上平移, z 的值越大, 当 l 经过区域的右上顶点 A 时, z 达到最大值 由 解得 A(2,2)

∴zmax=F(2,2)=2+2×2=6 故答案为:6

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【点评】本题给出线性约束条件,求目标函数的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示 的平面区域和简单线性规划等知识点,属于基础题.

3. (3 分) (2015 秋?上海校级期末)若复数 z 满足

,则|z+1|的值为

\sqrt{2} .

【分析】 由已知条件求出复数 z, 并利用复数代数形式的除法法则化简为 1﹣i, 由此求得 z+1 的值及|z+1|的值. 【解答】解:∵复数 z 满足 ,解得 z= = = =﹣i,

∴z+1=1﹣i,∴|z+1|= = , 故答案为 . 【点评】本题主要考查复数代数形式的混合运算,复数的模的定义和求法,属于基础题. 4. (3 分) (2015 秋?上海校级期末)已知直线 5x+12y+a=0 与圆(x﹣1) +y =1 相切,则 a 的值为 8 或﹣18 . 【分析】写出圆的圆心坐标和半径,利用圆心到切线的距离等于圆的半径得答案. 【解答】解:圆(x﹣1) +y =1 的圆心为(1,0) ,半径为 1, 2 2 ∵直线 5x+12y+a=0 与圆(x﹣1) +y =1 相切, ∴ ,
2 2 2 2

解得:a=8 或 a=﹣18. 故答案为:a=8 或 a=﹣18. 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,训练了点到直线的距离公式的应用,是基础题.

5. (3 分) (2015 秋?上海校级期末)已知方程 (﹣3,﹣\frac{1}{2})∪(﹣\frac{1}{2},2) . 【分析】根据题意,方程 列出不等关系,解可得答案. 【解答】解:∵方程 表示椭圆,

表示椭圆,则 k 的取值范围为

表示椭圆,则 x ,y 项的系数均为正数且不相等

2

2

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?

解得 k∈ 故答案为: .

【点评】 本题考查椭圆的标准方程, 注意其标准方程的形式与圆、 双曲线的标准方程的异同, 考查运算能力,属基础题. 6. (3 分) (2015 秋?上海校级期末)若直线 l 经过原点,且与直线 的夹角为 30°, 则直线 l 方程为 x=0 或 y=\frac{\sqrt{3}}{3}x . 【分析】可得已知直线的倾斜角为为 60°,进而所求直线 l 的倾斜角为 30°或 90°,可得直线 l 的方程. 【解答】解:∵直线 的斜率为 ,∴倾斜角为 60°, ∴所求直线 l 的倾斜角为 30°或 90°, 当直线 l 的倾斜角为 90°时,直线的方程为 x=0; 直线 l 的倾斜角为 30°时,直线的方程为 y= 故答案为:x=0 或 y= x. x.

【点评】本题考查两直线的夹角,涉及直线的倾斜角和斜率的关系,属基础题.

7. (3 分) (2015?上海校级三模)过点(2

,0)且方向向量为(k,1)的直线与双曲线



=1 仅有一个交点,则实数 k 的值为 0 或±\sqrt{2} .

【分析】先根据直线的方程可知直线恒过(2 ,0)点,进而可推断出要使直线与双曲只 有一个公共点, 需直线与双曲线相切或与渐近线平行, 进而根据双曲线方程求得其渐近线方 程,求得 k 的值. 【解答】解:依题意可知直线 l 恒过(2 ,0)点, 即双曲线的右顶点,双曲线的渐近线方程为 y=± x,

要使直线与双曲线只有一个公共点,则该直线与双曲线相切, 即垂直于 x 轴,即有 k=0; 当直线与渐近线平行, 即有 =± ,即 k=± ,

此时直线与双曲线仅有一个交点. 故答案为:0 或± .

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【点评】 本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系. 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个 公共点的问题, 实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数问题, 此 时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.

8. (3 分) (2012?潼南县校级模拟)已知点 P 是椭圆

上的在第一象限内的点,又

A(2,0) 、B(0,1) ,O 是原点,则四边形 OAPB 的面积的最大值是 \sqrt{2} . 【分析】利用三角函数来解答这道题,椭圆方程 上 里面的自变量 x,y 可以表示

为 x=2cosa y=sina 本题中要求第一象限,这样就应该有 0<a<π,设 P 为(2cosa,sina)这 样四边形 OAPB 的面积就可以表示为两个三角形 OAP 和 OPB 面积之和,对于三角形 OAP 有面积 S1=sina 对于三角形 OBP 有面积 S2=cosa 这样四边形的面积 S=S1+S2=sina+cosa 也就 相当于求解 sina+cosa 的最大值,0<a<π,sina+cosa= 为 ,并且当且仅当 a= 时成立. 上的在第一象限内的点, sin(a+ )这样其最大值就应该

【解答】解:由于点 P 是椭圆

设 P 为(2cosa,sina)即 x=2cosa y=sina (0<a<π) , 这样四边形 OAPB 的面积就可以表示为两个三角形 OAP 和 OPB 面积之和, 对于三角形 OAP 有面积 S1=sina 对于三角形 OBP 有面积 S2=cosa ∴四边形的面积 S=S1+S2=sina+cosa = sin(a+ ) , 时成立.所以,面积最大值 .

其最大值就应该为 并且当且仅当 a=

故答案为: . 【点评】 本题主要考查了椭圆的简单性质, 解答的关键在于利用椭圆的参数方程设出椭圆上 一点的坐标,利用三角函数的有界性求最值.
2

9. (3 分) (2015 秋?上海校级期末) 若点 O 和点 F 分别为双曲线 点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 ?

﹣y =1 的中心和左焦点,

的取值范围为 [3+2\sqrt{3},+∞) .

【分析】 求得双曲线的焦点 F, 设出点 P, 代入双曲线方程求得纵坐标的表达式, 根据 P, F, O 的坐标表示 ? , 进而利用二次函数的性质求得其最小值, 则可得 ? 的取值范围.

【解答】解:设 P(m,n) ,由 F(﹣2,0) ,O(0,0) , 则 ? =(m,n)?(m+2,n)=m +2m+n .
2 2

由点 P 为双曲线右支上的任意一点, 可得 ﹣n =1(m≥
2

) ,
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即n =
2

2

﹣1,
2 2

则 m +2m+n =m +2m+ 由 m≥ >﹣ ,

﹣1= m +2m﹣1= (m+ ) ﹣ ,

2

2

可得函数在[ ,+∞)上单调递增, 2 2 即有 m +2m+n ≥3+2 , 则 ? 的取值范围为[3+2 ,+∞) .

故答案为:[3+2 ,+∞) . 【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程,考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数 的单调性与最值等, 考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、 运算能 力.
2

10. (3 分) (2010?安徽模拟)双曲线

﹣y =1(n>1)的两个焦点为 F1,F2,P 在双曲线

上,且满足|PF1|+|PF2|=2 ,则△ PF1F2 的面积为 1 . 【分析】令|PF1|=x,|PF2|=y,根据题设条件和双曲线定义可得关于 x 和 y 的方程组,解 x 和 2 2 2 y,进而可求得 x +y ,结果正好等于|F1F2| ,根据勾股定理可知△ PF1F2 为直角三角形,进 而根据三角形面积公式求得答案. 【解答】解:令|PF1|=x,|PF2|=y, 依题意可知 解得 x= + ,y= ﹣ 2 2 2 ∴x +y =(2 + ) +(2 ∵|F1F2|=2 2 ∴|F1F2| =4n+4 2 2 2 ∴x +y |F1F2| ∴△PF1F2 为直角三角形 ∴△PF1F2 的面积为 xy=(2 , ﹣ ) =4n+4
2

+

) (



)=1

故答案为:1. 【点评】本题主要考查了双曲线的应用.考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运用. 11. (3 分) (2015 秋?上海校级期末)若点 P(﹣1,0)在直线 2ax+(a+c)y+2c=0 上的射 影是 Q,则 Q 的轨迹方程是 x2+(y+1)2=2 . 【分析】直线 2ax+(a+c)y+2c=0 恒过定点 M(1,﹣2) ,PQ 垂直直线 2ax+(a+c)y+2c=0, 故△ PQM 为直角三角形,Q 的轨迹是以 PM 为直径的圆. 【解答】解:直线 2ax+(a+c)y+2c=0 恒过定点 M(1,﹣2) ∵点 P(﹣1,0)在直线 2ax+(a+c)y+2c=0 上的射影是 Q ∴PQ⊥直线 l 故△ PQM 为直角三角形,Q 的轨迹是以 PM 为直径的圆.
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∴Q 的轨迹方程是 x +(y+1) =2. 2 2 故答案为:x +(y+1) =2.

2

2

【点评】本题考查了直线恒过定点,以及利用几何意义求解,属于中档题. 12. (3 分) (2011?徐水县一模) 已知点 P 在直线 x+2y﹣1=0 上,点 Q 在直线 x+2y+3=0 上, PQ 中点为 N(x0,y0) ,且 y0>x0+2,则 <﹣\frac{1}{5} . 【分析】首先由直线 x+2y﹣1=0 与直线 x+2y+3=0 是平行线,得出 PQ 的中点 N(x0,y0) 满足的直线方程;再根据 y0>x0+2 对应的平面区域进一步限定 M 的范围;最后结合 几何意义求出其范围. 【解答】解:根据题意作图如下 因为 PQ 中点为 N,则点 N 的坐标满足方程 x+2y+1=0, 又 y0>x0+2,则点 N 在直线 y=x+2 的左上部, 且由 得 N( , ) ,则 kON=﹣ ,并且直线 x+2y+1=0 的斜率 k=﹣ , 的 的取值范围为 ﹣\frac{1}{2}<\frac{y_0}{x_0}



可视为点 N 与原点 O 连线的斜率,

故﹣ <

<﹣ .

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【点评】本题考查数形结合的思想方法. 二、选择题(本大题满分 12 分,共 4 小题,每小题满分 12 分) 13. (3 分) (2015 秋?上海校级期末)设 a、b∈R,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数 a+bi 为 纯虚数的”( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】结合纯虚数的概念,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【解答】解:若复数 a+bi 为纯虚数,则 a=0,b≠0, ∴“ab=0”是“复数 a+bi 为纯虚数的”必要不充分条件. 故选:B. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用纯虚数的概念是解决本题的关键.

14. (3 分) (2015 秋?上海校级期末) 与双曲线 的双曲线标准方程为( A. B. ) C. D.

=1 有共同的渐近线, 且过点 (2, 2)

【分析】 由题意设出与双曲线 2)代入求出 λ,则答案可求. 【解答】解:设所求的双曲线方程为

有共同的渐近线的方程为

, 把点 ( 2,



∵所求双曲线过点(2,2) ,则

,即 λ=﹣3,

∴所求双曲线方程为 故选:B.



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【点评】本小题主要考查双曲线标准方程的求解,考查学生的运算求解能力.设与双曲线 有共同的渐近线的方程为 是简化运算的关键,是中档题.

15. (3 分) (2015 秋?上海校级期末)设曲线 C 的参数方程为 直线 l 的方程为 x﹣3y+2=0,则曲线 C 上到直线 l 距离为

(θ 为参数) , 的点的个数为( )

A.1B.2C.3D.4 【分析】将参数方程化为普通方程,求出圆心和半径,再求圆心到直线的距离,判断直线与 圆的位置关系,观察即可得到点的个数. 【解答】解:曲线 C 的参数方程为 化为普通方程为圆 C: (x﹣2) +(y﹣1) =9, 圆心为(2,1) ,半径为 3. 则圆心到直线的距离 d= 则直线与圆相交,则由 3﹣ > = . ,
2 2

(θ 为参数) ,

故在直线 x﹣3y+2=0 的上方和下方各有两个,共 4 个. 故选 D. 【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化,考查直线与圆的位置关系,考查判断和运算 能力,属于中档题.

16. (3 分) (2015 秋?上海校级期末)已知曲线 C: 中正确的是( ) A.垂直于 x 轴的直线与曲线 C 存在两个交点 B.直线 y=kx+m(k,m∈R)与曲线 C 最多有三个交点 C.曲线 C 关于直线 y=﹣x 对称



=1(a>b>0) ,下列叙述

D.若 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)为曲线 C 上任意两点,则有

<0

【分析】对 x,y 的符号进行讨论,得出曲线的图象,根据椭圆与双曲线的性质进行判断. 【解答】解:当 x>0,y>0 时,曲线 C 的方程为 ,渐近线方程为 y= .

当 x<0,y>0 时,曲线 C 方程为﹣

,方程无解.

当 x<0,y<0 时,曲线 C 方程为

,渐近线方程为 y=
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当 x>0,y<0 时,曲线 C 方程为 作出曲线 C 的图象如图所示: 显然 y 是关于 x 的函数,故 A 错误.



由图象可知当直线 y=kx+m 经过点(a,0)且 k> 时,直线与曲线 C 有三个交点. ∵a≠b,∴曲线 C 不关于直线 y=﹣x 对称,故 C 错误. 由图象可知 y=f(x)为增函数,∴k 综上,故选 B. = >0,故 D 错误.

【点评】本题考查了曲线的方程的含义,椭圆与双曲线的性质,属于中档题. 三、解答题(本大题满分 52 分) 17. (6 分) (2015 秋?上海校级期末)求以抛物线 y =4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆 的标准方程. 【分析】根据抛物线的性质和圆的标准方程即可求出. 【解答】解:抛物线的焦点 F(1,0) , 因为圆过原点,所以半径 R=1 2 2 所以所求的圆的标准方程为(x﹣1) +y =1. 【点评】本题考查了抛物线的性质和圆的标准方程,属于基础题. 18. (10 分) (2015 秋?上海校级期末)设 z1 是方程 x ﹣6x+25=0 的一个根. (1)求 z1; (2)设 z2=a+i(其中 i 为虚数单位,a∈R) ,若 z2 的共轭复数 求 . 满足 ,
2 2

【分析】 (1)直接利用实系数一元二次方程的求根公式求解;

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(2)由 z2=a+i 得其共轭复数,把 z1 及 入 z2=a+i 后求解 .
2

代入

,整理后求解 a 的值,代

【解答】解 (1)∵△=6 ﹣4×25=﹣64, ∴ (2)由 z2=a+i,得 当 z1=3﹣4i 时, 则 =|(3﹣4i) ?(a﹣i)|= , ,∴a=±2.
3

,即 z1=3﹣4i 或 z1=3+4i; .

,得

|(﹣117﹣44i) (a﹣i)|= 整理得: 当 z1=3+4i 时, 则

=|(3+4i) ?(a﹣i)|= , ,∴a=±2.

3

,得

|(﹣117+44i) (a﹣i)|= 整理得: 综上: 当 a=﹣2 时, 当 a=2 时,

; .

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,训练了实系数一元二次方程虚根的求法,考 查了复数模的求法,考查了学生的计算能力,是基础题.
2

19. (10 分) (2004?上海)如图,直线 y= x 与抛物线 y= x ﹣4 交于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线与直线 y=﹣5 交于 Q 点. (1)求点 Q 的坐标; (2)当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方(含 A、B)的动点时,求△ OPQ 面积的最大值.

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【分析】 (1)把直线方程抛物线方程联立求得交点 A,B 的坐标,则 AB 中点 M 的坐标可 得,利用 AB 的斜率推断出 AB 垂直平分线的斜率,进而求得 AB 垂直平分线的方程,把 y= ﹣5 代入求得 Q 的坐标. (2)设出 P 的坐标,利用 P 到直线 0Q 的距离求得三角形的高,利用两点间的距离公式求 得 QO 的长,最后利用三角形面积公式表示出三角形 OPQ,利用 x 的范围和二次函数的单 调性求得三角形面积的最大值.

【解答】解: (1)解方程组





即 A(﹣4,﹣2) ,B ( 8,

4) , 从而 AB 的中点为 M(2,1) , 由 kAB═ ,直线 AB 的垂直平分线方程 y﹣1=﹣2(x﹣2) . 令 y=﹣5,得 x=5, ∴Q(5,﹣5) . (2)直线 OQ 的方程为 x+y=0,设 P(x, x ﹣4) . ∵点 P 到直线 OQ 的距离 d= = ,∴S△ OPQ= |OQ|d= ∵P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点,且 P 不在直线 OQ 上, ∴﹣4≤x<4 ﹣4 或 4 ﹣4<x≤8. 2 ∵函数 y=x +8x﹣32 在区间[﹣4,8]上单调递增, ∴当 x=8 时,△ OPQ 的面积取到最大值 30. 【点评】本题主要考查了抛物线的应用,点到直线的距离公式.考查了对解析几何基础知识 的灵活运用.
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2



20. (12 分) (2003?广东)在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城 市 O(如图)的东偏南 方向 300km 的海面 P 处,并以 20km/h 的速度向西

偏北 45°方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不 断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?

【分析】 建立坐标系: 以 O 为原点, 正东方向为 x 轴正向. 设在时刻: t (h) 台风中心 P (x, y)的坐标进而可知此时台风侵袭的区域,根据题意可知其中 r(t)=10t+60,若在 t 时,该 2 2 2 城市 O 受到台风的侵袭,则有(0﹣x) +(0﹣y) ≤(10t+60) ,进而可得关于 t 的一元二 次不等式,求得 t 的范围,答案可得. 【解答】解:如图建立坐标系:以 O 为原点,正东方向为 x 轴正向. 在时刻:t(h)台风中心 P(x,y)的坐标为

令(x′,y′)是台风边缘线上一点,则此时台风侵袭的区域是(x′﹣x) +(y′﹣y) ≤[r(t)] , 其中 r(t)=10t+60, 若在 t 时,该城市受到台风的侵袭, 2 2 2 则有(0﹣x) +(0﹣y) ≤(10t+60) , 即
2

2

2

2



即 t ﹣36t+288≤0,解得 12≤t≤24. 答:12 小时后该城市开始受到台风侵袭. 【点评】 本题主要考查了圆的方程的综合运用. 考查了学生运用所学知识解决实际问题的能 力.

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21. (14 分) (2015 秋?上海校级期末)椭圆 E1:

+

=1 和椭圆 E2:

+

=1 满



=

=m(m>0) ,则称这两个椭圆相似,m 称为其相似比.

(1)求经过点(2,

) ,且与椭圆

+

=1 相似的椭圆方程;

(2)设过原点的一条射线 L 分别与(1)中的两个椭圆交于 A、B 两点(其中点 A 在线段 OB 上) ,求 的最大值和最小值;

(3)对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为 2 的两个椭圆 C1:

+

=1 和

C2:

+

=1 交于 A、B 两点,P 为线段 AB 上的一点,若|OA|,|OP|,|OB|成等比

数列, 则点 P 的轨迹方程为 题,不必证明.

+

=1”. 请用推广或类比的方法提出类似的一个真命

【分析】 (1)直接根据定义得到

,解得 a,b,即可得到与已知椭圆相似的椭圆

方程; (2)先对射线与 y 轴重合时求出结论;再对射线不与坐标轴重合时,由椭圆的对称性,仅 考查 A、B 在第一象限的情形,联立直线与两个椭圆方程分别求出线段的长度,再结合函数 的单调性即可求出 的最大值和最小值; (整理过程需小心避免出错) .

(3)分析出命题的基本条件为:椭圆、a=2,b= 、m=2、等比,类比着写:①双曲线或 抛物线; ②a,b 或 p; ③相似比为 m;④等比. 【解答】解: (1)设所求的椭圆方程为 + =1,

则有

,解得



∴所要求的椭圆方程为

+

=1;
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(2)①当射线与 y 轴重合时,|OA|+

=

+

=



②当射线不与 y 轴重合时,由椭圆的对称性,我们仅考察 A、B 在第一象限的情形. 设其方程为 y=kx(k≥0,x>0) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,



解得

,所以





解得

所以



=

+









= ∴ 即 由①②知,|OA|+

( , ,

)在

上是增函数,

的最大值为 ,

的最小值为



(3)过原点的一条射线分别与两条双曲线 C1:



=1 和 C2:



=1(m

>0) 交于 A、B 两点,P 为线段 AB 上的一点,若|OA|、|OP|、|OB|成等比数列, 则点 P 的轨迹方程为 ﹣ =1;
2 2

或过原点的一条射线分别与两条抛物线 C1:y =2px(p>0)和 C2:y =2mpx(m>0) 相交于异于原点的 A、B 两点,P 为线段 AB 上的一点, 2 若|OA|、|OP|、|OB|成等比数列,则点 P 的轨迹方程为 y =2 px. 【点评】本题综合考查直线和椭圆的位置关系,难度较大,解题时要仔细审题,注意公式的 灵活运用.

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参与本试卷答题和审题的老师有: sxs123; ywg2058; caoqz; minqi5; lincy; 双曲线; zhwsd; 刘长柏;wzj123;maths;zhczcb;whgcn(排名不分先后) 菁优网 2016 年 7 月 12 日

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