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江西新昌中学2015-2016学年第一学期期中考试高三数学(理)试题


江西新昌中学 2015-2016 学年第一学期期中考试高三数学(理)试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。
2 1、已知集合 P ? {x x ? 2 x ? 0}, Q ? {x 1 ? x ? 2} ,则 P ? (CRQ) ? ()

A. ? ??,0? ? ?2, ???

C. ? ??,0? ? ?2, ???

B. ? ??,0? ? ? 2, ??? D. ? ??,0? ? ? 2, ???

2、命题“ ?x0 ? R, f ( x0 ) g ( x0 ) ? 0 ”的否定形式是() A. ?x ? R, f ( x) ? 0且g ( x) ? 0 C. ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0且g ( x0 ) ? 0 B. ?x ? R, f ( x) ? 0或g ( x) ? 0 D. ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0或g ( x0 ) ? 0

3、已知一元二次不等式 f (x)<0 解集为 {x | x ? ?1或x ? } ,则 f (10x )>0 解集为() A. {x | x ? ?1或x ? lg 2} C. {x | x ? ? lg 2} B. {x | ?1 ? x ? lg 2} D. {x | x ? ? lg 2}

1 2

4、某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是() A. 4cm C.
3

B. 6cm D.

3

2

16 3 cm 3

20 3 cm 3
正视图

2 侧视图 2

5、等比数列 {an } 中, a4 ? 2, a5 ? 5 ,则数列 {lg an } 的前 8 项和 等于() A.6 C.4 B .5 D.3

2 俯视图

6、 设 A, B 是有限集, 定义:A ? B ? {x | x ? A且x ? B} ; A 表示集合 A 中元素的个数。 命题①:对任意有限集 A, B ,“ A ? B ”是“ A ? B ? 0 ”的充要条件; 命题②:对任意有限集 A, B, C ,有 A ? C ? A ? B ? B ? C 。 () A. 命题①和命题②都成立 C. 命题①成立,命题②不成立 B. 命题①和命题②都不成立 D. 命题①不成立,命题②成立
D1 P A1 B1 C1

7、如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 O 为线段 BD 的 中点.设点 P 在线段 B1C1 上,直线 OP 与平面 A1 BD 所成

D

C

的角为 ? ,则 sin ? 的取值范围是()

6 ,1] 3 2 2 2 C. [ , ] 3 3
A. [

2 ,1] 3 6 2 2 D. [ , ] 3 3
B. [

8、已知 F 是抛物线 y 2 ? x 的焦点,点 A , B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧,满足

??? ? ??? ? ,则 ?ABO 与 ?AFO 面积之和的最小值是() OA ? OB ? 2 (其中 O 为坐标原点)
A. 2 B. 3 C.

17 2 8

D. 10

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。

x2 ? y2 ? 1 9、双曲线 2 的焦距是,渐近线方程是
2 ? ? x ? ? 3, (0 ? x ? 1) 10、已知 f ( x) ? ? ,则 f ( f (3)) ? , f ( x) 的最小值是 x 2 ? ? lg( x ? 1), ( x ? 1)
11、函数 f ( x) ? sin x ? 3 sin x cos x ?
2

1 7 ? 时, 的最小正周期是,当 0 ? x ? 2 24

f ( x) 的最大值是
12、若 0 ? 3 ? 4 ? 1,则 a , b 的大小关系是
a b

13、如图,三棱锥 A ? BCD 中, AB ? AC ? BD ? CD ? 3, AD ? BC ? 2 ,点 M 是 AD 的中点,则异面直线 CM,AB 所成的角是 14、在平面直角坐标系中, O 为原点, A??1,0?, B(0, 3),C(3,0), 动点
A M B D C

??? ? ??? ? ???? ??? ? D 满足 CD =1,则 OA ? OB ? OD 的最大值是________
2 2 2

15、已知 x ? y ? z ? 1( x ? 0) ,则 2 3xy ? 4 yz ? z 2 的最大值是,取到最大 值时的 x =, y =。

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、 (15 分)在△ABC 中,已知 AB=2AC。

(Ⅰ)若∠A=60?,BC=2,求△ABC 的面积; (Ⅱ)若 AD 是 A 的角平分线,且 AD ? kAC ,求 k 的取值范围。

17、 (15 分))如图,斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长均为 a ,M 是 BC 的中点,侧面

B1C1CB ? 底面 ABC ,且 AC1 ? BC 。
(Ⅰ)求证: BC ? C1M ;

A1

C1 B1

(Ⅱ)求二面角 A 1 ? AB ? C 的平面角的余弦值.

A M B

C

2 18、 (15 分)已知函数 f ( x) ? ax ? b x ?1 ,其中 a, b ? ? ?4,4? 且 a ? 0

(Ⅰ)当 a ? ? 0,4? , b ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 ? 0, 2? 上的最小值; (Ⅱ)若存在实数 c ,使函数 g ( x) ? f ( x) ? c 有四个不同的零点,求 a ? b 的取值范围。

y 2 x2 19、 (15 分)已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 P(1, 0) ,过 C1 的焦点且垂直 a b
长轴的弦长为 1 . (I)求椭圆 C1 的方程; (II)设抛物线 C2 : y ? x2 ? h (h ? R) 的焦点为 F,过 F 点的直线 l 交抛物线与 A、B 两 点,过 A、B 两点分别作抛物线 C2 的切线交于 Q 点,且 Q 点在椭圆 C1 上,求 ?ABQ 面 积的最值,并求出取得最值时的抛物线 C2 的方程。 A F y B

o
Q

P

x

20、 (14 分)定义数列如下: a1 ? 2, an?1 ? an ? an ? 1, n ? N 求证: (Ⅰ)对于 n ? N 恒有 a n ?1 ? a n 成立; (Ⅱ) 1 ?
?

2

?

1 2
2015

?

1 1 1 ? ??? ?1。 a1 a2 a2015

新昌中学 2015 学年第一学期期中考试
高三数学(理)答题卷
二、填空题(9~11 每格 3 分,12~14 每小题 4 分,15 每格 2 分,共 36 分)

9. , 11. , 13. 15. , ,

10. , 12. 14.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.解:

17. 解:

A1

C1 B1

A M B

C

18. 解:

19. 解: y A F B

o
Q

P

x

20. 解:

参考答案:
一、选择题 BADC 二、填空题 CDCB

9、 2 3,y ? ?

2 x 2

10、 0, 0

11、 ?,

6? 2 4

12、 a ? b

13、

? 4

14、 7 ? 1

15、 3, 三、解答题

7 21 , 7 7

2 2 2 16、解: (1)? AC ? AB ? BC ? 2 AC ? BC ? cos A

? 5 AC 2 ? 4 ? 2 AC 2

即 AC ?

2 3 3

所以 S?ABC ?

1 1 4 3 2 3 3 2 3 …………7 分 ? AB ? AC ? sin A ? ? ? ? ? 2 2 3 3 2 3

(2)设 ?CAD ? ? ,则 S?ABC ? 又 S ?ABC 所以 k ?

1 ? AB ? AC ? sin 2? ? AC 2 ? sin 2? 2 1 1 3 ? ? AB ? AD ? sin ? ? ? AC ? AD ? sin ? ? AC ? AD ? sin ? 2 2 2 4 cos ? , 3
因为 ? ? ? 0,

? ?

??

?, 2?

所以 k ? ? 0, ? …………15 分

? ?

4? 3?

17、解: (1)连接 AM,因为△ABC 是正三角形, 所以 AM⊥BC,又 AC1⊥BC,且 AC1∩AM=A, 所以 BC⊥平面 AC1M,所以 BC⊥C1M.………6 分 (2)解法一: 过B1作B1O ? BC, 交BC于O, 则B1O ? 底面ABC.

过O作OE ? AB, 交AB于E, 连B1E. 则?B1EO与所求二面角的平面角互补.……..……10 分
3 a B1O 3 a 3 B1O ? C1 D ? a, OB ? , OE ? a.tan ?B1EO ? ? 2 ? 2. 2 2 4 OE 3 a 4

所以二面角的余弦为-

5 .…………15 分 5

解法二:以 MB,MA,MC1 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 则 A(0,

3 a a 3 3 a, 0), B( , 0, 0), A1 ( , a, a) 2 2 2 2 2 a 2 ? a 3 ??? 3 a), AB ? ( , ? a, 0) ……..……9 分 2 2 2

所以 AA1 ? ( , 0,

????

设平面 A1AB 的法向量为 m ? ( x, y, z)

??

?a ? x? ?2 则? ?a x ? ? ?2

3a z?0 ?? 2 ,所以 m ? ( 3,1, ?1) ……..……12 分 3a y?0 2 ? 又平面 ABC 的法向量是 n ? (0,0,1)
所以 cos ? m, n ?? ?

?? ?

5 5 5 .…………15 分 5

所以二面角的余弦为-

18、解: (1) f ( x) ? ?

?ax 2 ? x ? 1( x ? 1)
2 ?ax ? x ? 1( x ? 1)



1 1 ? 1? ?1 ? ? ? 0,1? ,即 ? a ? 4 时, f ( x) 在 ?0, ? 上递减,在 ? , 2? 上递增 2a 2 ? 2a ? ? 2a ?

1 1 ) ? 1? 2a 4a 1 1 ? ?1, ?? ? ,即 0 ? a ? 时, f ( x) 在 ?0,1? 上递减,在 ?1, 2? 上递增 当 2a 2
所以 f ( x) min ? f ( 所以 f ( x)min ? f (1) ? a

综上可知, f ( x) min

1 1 ? 1 ? ( ? a ? 4) ? ? 4a 2 ?? …………7 分 ? a(0 ? a ? 1 ) ? ? 2

?ax 2 ? bx ? b( x ? 1) (2) f ( x) ? ? 2 ?ax ? bx ? b( x ? 1)
要使 g ( x) 有四个不同的零点,则 y ? ax2 ? bx ? b 和 y ? ax2 ? bx ? b 必须分别在

?1, ??? 和 ? ??,1? 上不单调
? b ? ?1 ? ? 0?a?4 ? ?4 ? a ? 0 b ? 2a ? ? ?1 ,即 ? 所以 ? 和? 2a ??4 ? b ? ?2a ??2a ? b ? 4 ? b ?1 ? ? 2a
由线性规划知识可求得 a ? b ? ? ?4,0? ? ? 0,4? …………15 分

?b ? 1 ?a ? 2 y2 ? 19、解: (I)由题意得 ? b 2 ,? ? , 所求的椭圆方程为 ? x 2 ? 1…….6 分 4 ?2 ? ? 1 ?b ? 1 ? a
(II)令 A( x1 , x12 ? h), B( x2 , x22 ? h) 所以切线 AQ 方程为: y ? 2x1 x ? x12 ? h 同理可得 BQ 方程为: y ? 2x2 x ? x22 ? h 联立 ① ② 解得 Q 点为 ? 焦点 F 坐标为(0, h ?

① ②

? x1 ? x2 ? , x1 x2 ? h ? …………………8 分 2 ? ?

1 1 ), 令 l 方程为: y ? kx ? h ? 代入 C2 : y ? x 2 ? h 4 4 1 1 2 x1 x2 ? ? 得: x ? kx ? ? 0 由韦达定理有: x1 ? x2 ? k , 4 4
所以 Q 点为 ?

1? ?k , h ? ? …………..10 分 4? ?2
1 QM x1 ? x2 2

过 Q 做 y 轴平行线交 AB 于 M 点,则 S ?ABQ ? M 点为 ?

? k k2 1? , ? h? ?, 4? ?2 2

QM ?

k 2 ?1 , 2

x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? k 2 ? 1

? S ?ABQ ?

1 QM 2
(h ?

x1 ? x2 ?

1 4

?

k 2 ?1

?

3

……..12 分

Q 在椭圆?

1 2 2 ) 1 ?k? 4 ? ? ? ? 1 ? k 2 ? 4 ? ( h ? ) 2 ? ? 0, 4 ? 4 4 ?2?

? ? S ?ABQ ?

1 9 7 , 此时k ? 0, h ? 或 - , 4 4 4 9 7 则抛物线方程为y ? x 2 ? 或y ? x 2 4 4
min

?

?S

?ABQ

?

5 5 1 , 此时k 2 ? 4, h ? , max 4 4 ………..15 分 1 则抛物线方程为y ? x 2 ? 4 ?
2

20、证明: (1)因为 an ?1 ? an ? ? an ? 1? ? 0 因为 a1 ? 2 ? 1 ,所以由归纳法可知 an?1 ? an ………..4 分 (2)由 an?1 ? an ? an ? 1 得: an?1 ? 1 ? an (an ? 1) ? an ? 1 ? an?1 (an?1 ? 1) … …
2

a2 ? 1 ? a1 (a1 ? 1)

以上各式两边分别相乘得: an?1 ? 1 ? an an?1 ?a2 a1 (a1 ? 1) ,又 a1 ? 2

? an?1 ? an an?1 ?a2 a1 ? 1 ………..7 分
又? an?1 ? 1 ? an (an ? 1) ?

1 an?1 ? 1

?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? an ? 1 an an an ? 1 an?1 ? 1

?

1 1 1 ? ??? a1 a2 a2015 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ??? ( ? ) a1 ? 1 a2 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 a2015 ? 1 a2016 ? 1

?(

?

1 1 1 ?1 ? ? 1? a1 ? 1 a2016 ? 1 a1a2?a2015
2015

又 a1a2 ?a2015 ? a1

? 22015

?1 ?

1 1 ? 1 ? 2015 ? 原不等式得证。………..15 分 a1a2 ? a2015 2



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