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必修5第一章《解三角形》练习题及答案



必修 5 第一章《解三角形》练习题
1.△ABC 中,D 在边 BC 上,且 BD=2,DC=1,∠B=60o,∠ADC=150o,求 AC 的长 及△ABC 的面积.

2.在△ABC 中,已知角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosB+ccosC=acosA,试判 断△ABC 的形状.

3. 如图,海中有一小岛

,周围 3.8 海里内有暗礁。一军舰从 A 地出发由西向东航行,望见 小岛 B 在北偏东 75°,航行 8 海里到达 C 处,望见小岛 B 在北端东 60°。若此舰不改变舰 行的方向继续前进,问此舰有没有角礁的危险?

4.如图,货轮在海上以 35n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角)为 152o 的方向航行.为了确定船位,在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 122o.半小 时后,货轮到达 C 点处,观测到灯塔 A 的方位角为 32o.求此时货轮与灯塔之间的距离. 北 B
152o 122o


32 o

A

C

5. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内, 已知飞机的高度为海拔 10000m,速度为 0 180km(千米)/h(小时)飞机先看到山顶的俯角为 15 ,经过 420s(秒)后又看到山顶的 俯角为 45 ,求山顶的海拔高度(取 2 =1.4, 3 =1.7) .
0

15

45

A

B

D

C
图1 图2

6. 在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏南

? (cos? ?

2 ) 方向 300km 的海面 P 处,并以 20km/h 的速度向西偏北 45°方向移动, 10

台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大,问几 小时后该城市开始受到台风的侵袭?受到台风的侵袭的时间有多少小时?

北 东

O θ 东

西

45° P

参考答案 1.在△ABC 中,∠BAD=150o-60o=90o,∴AD=2sin60o= 3 . 在△ACD 中,AD2=( 3 )2+12-2× 3 × 1× cos150o=7,∴AC= 7 . A

1 3 ∴AB=2cos60 =1.S△ABC= × 1× 3× sin60o= 3. 2 4
o

B

2

D 1 C

2.∵ bcosB+ccosC=acosA,由正弦定理得:sinBcosB+sinCcosC=sinAcosA, 即 sin2B+sin2C=2sinAcosA,∴2sin(B+C)cos(B-C)=2sinAcosA.∵A+B+C=π, ∴sin(B+C)=sinA.而 sinA≠0,∴cos(B-C)=cosA,即 cos(B-C)+cos(B+C)=0, ∴2cosBcosC=0.∵ 0<B<π ,0<C<π ,∴B= 3、解:如图,过点 B 作 BD⊥AE 交 AE 于 D 由已知,AC=8,∠ABD=75°,∠CBD=60° 在 Rt△ABD 中, AD=BD·tan∠ABD=BD·tan 75° 在 Rt△CBD 中, CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60° ∴ AD-CD=BD (tan75°-tan60°) =AC=8,…9 分∴BD ?

? ? 或 C= ,即△ABC 是直角三角形. 2 2

8 ? 4 ? 3.8 tan 75 ? tan 60 0
0

∴ 该军舰没有触礁的危险。 4.在△ABC 中,∠B=152o-122o=30o,∠C=180o-152o+32o=60o,∠A=180o-30o-

35 35 35 ,∴AC= sin30o= . 2 2 4 35 答:船与灯塔间的距离为 n mile. 4 0 0 5. 解:如图 ∵ ?A ? 15 ?DBC ? 45 0 ∴ ?ACB ? 30 ,
60o=90o,BC= AB= 180km(千米)/h(小时) ? 420s(秒) = 21000(m ) ∴在 ?ABC 中

BC AB ? sin A sin ?ACB 21000 ∴ BC ? ? sin 150 ? 10500 ( 6 ? 2) 1 2 ∵ CD ? AD , A
∴ ∴ CD ? BC sin ?CBD ? BC ? sin 45 = 10500 ( 6 ? 2) ?
0

B

D

2 2

C

(1.7 ? 1) = 10500 ( 3 ? 1) = 10500

=7350 山顶的海拔高度=10000-7350=2650(米) 6.解:设经过 t 小时台风中心移动到 Q 点时,台风边沿恰经过 O 城, 由题意可得:OP=300,PQ=20t,OQ=r(t)=60+10t

北 东

4 2 7 2 因为 cos? ? ,α =θ -45°,所以 sin ? ? , cos ? ? 5 10 10
由余弦定理可得:OQ2=OP2+PQ2-2·OP·PQ· cos? 即 (60+10t)2=3002+(20t)2-2·300·20t· 即 t ? 36t ? 288 ? 0 ,
2

O θ 东

4 5

解得 t1 ? 12 , t2 ? 24

t 2 ? t1 ? 12

西

45° P

答:12 小时后该城市开始受到台风气侵袭,受到台风的侵袭的时间有 12 小时?



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