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山东省德州市某中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题



高二数学期中考试试题
2015/11 第 I 卷(选择题) 一、选择题(本题共 10 道小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.平面内,“动点 P 到两个定点的距离之和为正常数”是“动点 P 的轨迹是椭圆”的() A. 充分不必要条件 C. 充要条件 2.抛物线 y=4x 的焦点坐标是() A(0,1) B. (1,0) C. D.
2

>B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3.过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点作直线 l 交抛物线与 A, B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3, 则 AB 等于( A.10 4.已知 p: x≥k, q: A. [2,+∞)
2

) B.8 C. 6 D.4 )

<1, 如果 p 是 q 的充分不必要条件, 则实数 k 的取值范围是 ( B. (2,+∞) C. [1,+∞) D. (﹣∞,﹣1)

5.设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点 (0,2) ,则 C 的方程为(
2 2 2

)
2

A.y =4x 或 y =8x B.y =2x 或 y =8x C.y =4x 或 y =16x D.y =2x 或 y =16x 6.已知抛物线方程为 y ? 4 x ,点 Q 的坐标为 (2,3), P 为抛物线上动点,则点 P 到准线的距
2
2 2 2 2

离和到点 Q 的距离之和的最小值为( A.3 B. 2 2
2

) D. 10

C. 11

C :x ? 7.已知 F 1 、 F2 为双曲线

y2 ? 1的左、右焦点, P 为双曲线 C 上一点,且点 P 在 24


第一象限. 若

PF1 PF2

4 ? ,则 △PF1F2 内切圆半径为( 3
B. 2 C. 3

A.1

D.2

8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 的顶点 A(﹣5,0)和 C(5,0) ,顶点 B 在双曲线
1



=1,则

的值为(



A.

B.

C.

D.

9.设 F1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 右焦点,P 是 C 的右支上的点, a 2 b2
1 | F1 F2 | ,则 C 3

O 作 PT 的平行线交 PF1 于点 M ,若 | MP |? 射线 PT 平分 ?F 1PF 2 ,过原点
的离心率为( A. ) B. 3 C.

3 2

2

D. 3

10.设 F1 , F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点,过 F2 的直线交椭圆于 P , Q a 2 b2


两点,若 ?F1 PQ ? 60? , PF1 ? PQ ,则椭圆的离心率为(

A.

1 3

B.

2 3

C.

2 3 3

D.

3 3

第 II 卷(非选择题)

二、填空题(本题共 5 道小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.命题: “存在 x∈R,使 x +ax﹣4a<0”为假命题,则实数 a 的取值范围是 12. A 是锐二面角 ? ? l ? ? 的 ? 内一点, AB ? ? 于点 B, AB ? 面角 ? ? l ? ? 的平面角大小为————
2



3 , A 到 l 的距离为 2 ,则二

13.已知双曲线
2



=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= .

x,它的一个焦点在抛

物线 y =48x 的准线上,则双曲线的方程是

14.如图,正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A,D 为椭圆的两个焦点,其余四个顶点在椭圆上, 则该椭圆的离心率为 .

2

x2 y 2 ? ? 1 上一动点 P,与圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 上一动点 Q,及圆 15.已知椭圆 4 3

( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 上一动点 R,则 PQ ? PR 的最大值为
三、解答题(本题共 6 道小题,共 75 分)

;

16. (本小题满分 12 分) 已知 a>0, 命题 p: ? x>0, x+ ≥2 恒成立, 命题 q: ? k∈R, 直线 kx﹣y+2=0 与椭圆 x + 有公共点,求使得 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题的实数 a 的取值范围. 17. (本小题满分 12 分) 设圆 C 与两圆 x ? 5
2

=1

?

?

2

? y2 ? 4 , x ? 5

?

?

2

? y 2 ? 4 中的一个内切,另一个外切.

(1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; (2)已知点 M ?

?3 5 4 5 ? ? ? 5 , 5 ? ,F ? ?

?

5 ,0 ,且 P 为 L 上动点,求 || PM |-| FP ||的最大值

?

及此时点 P 的坐标. 18.(本小题满分 12 分)已知椭圆 的离心率 ,过点 A(0,﹣

b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为 (1)求椭圆的方程;



(2)已知定点 E(﹣1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点,问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

3

19. (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 是正方形,△ PAB 与△ PAD 均是以 A 为直角顶点的等腰直角三角 形,点 F 是 PB 的中点,点 E 是边 BC 上的任意一点. (1)求证: AF ? EF ; (2)求二面角 A ? PC ? B 的平面角的正弦值.
P F

A E D 图4 C

B

20.(本小题满分 13 分) 如图,在直角梯形 ABCD 中, AD / / BC , AD ? AB , AD ? 1 , BC ? 2 , E 为 CD 上 一点,且 DE ? 1 , EC ? 2 ,现沿 BE 折叠使平面 BCE ? 平面 ABED , F 为 BE 的中点. (1)求证: AE ? 平面 BCE ; (2)能否在边 AB 上找到一点 P 使平面 ACE 与平面 PCF 所成角的余弦值为 试确定点 P 的位置,若不存在请说明理由.

2 ?若存在, 3

4

C

C E D F A B
A D E F B

21.(本小题满分 14 分) 椭圆 E :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径 2 a b 2

的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (1)求椭圆 E 的方程;

1 , 0) 且与开口向上,顶点在原点的抛物线 C 切于第二象限的一 2 ???? ???? ??? ? ??? ? 点 N ,直线 l 与椭圆 E 交于 A、B 两点,与 y 轴交于 D 点,若 AD ? ? AN , BD ? ? BN ,
(2)已知直线 l 过点 M ( ? 且 ? ? ? ? ?4 ,求抛物线 C 的标准方程.

5

y N A M O x

B D

6

高二数学试题答案 1.B 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D 7.D 8.C 9.A 10.D
0

11.﹣16≤a≤0 12.60

13.

14.

﹣1

15.6

16.解答: 解:命题 p:因为 a>0 时,对? x>0,x+ 2 ,a≥1;

,则:

命题 q:由

得: (k +a )x +4kx+4﹣a =0 则:

2

2

2

2

△=4a (a +k ﹣4)≥0,即 a ≥﹣k +4; 而﹣k +4 在 R 上的最大值为 4; ∴a ≥4,∵a>0,∴解得 a≥2; p∨q 为真命题,p∧q 为假命题时,p,q 一真一假; ∴(1)若 p 真 q 假,则: ∴1≤a<2; (2)若 p 假 q 真,则: ∴a∈?; 综上可得,a 的取值范围是,不等式 恒成立,求实数 a 的取值范围. ; ;
2 2

2

2

2

2

2

17.(1)设圆 C 的圆心坐标为(x,y),半径为 r.

(2)由图知,||MP|-|FP||≤|MF|,

7

∴当 M,P,F 三点共线,且点 P 在 MF 延长线上时,|MP|-|FP|取得最大值|MF|,

18.解答:

解: (1)直线 AB 方程为 bx﹣ay﹣ab=0,

依题意可得:



解得:a =3,b=1, ∴椭圆的方程为 (2)假设存在这样的值. , 得(1+3k )x +12kx+9=0,
2 2

2



8

∴△=(12k) ﹣36(1+3k )>0?①, 设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) ,

2

2



而 y1?y2=(kx1+2) (kx2+2)=k x1x2+2k(x1+x2)+4, 要使以 CD 为直径的圆过点 E(﹣1,0) , 当且仅当 CE⊥DE 时, 则 y1y2+(x1+1) (x2+1)=0, ∴(k +1)x1x2+(2k+1) (x1+x2)+5=0?③ 将②代入③整理得 k= , 经验证 k= 使得①成立综上可知,存在 k= 使得以 CD 为直径的圆过点 E. 19.(1)证明:∵ F 是 PB 的中点,且 PA ? AB , ∴ AF ? PB . ∵ △ PAB 与△ PAD 均是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形, ∴ PA ? AD , PA ? AB .
z P F
2

2

A E x D C

B

y

∵ AD ? AB ? A , AD ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , ∴ PA ? 平面 ABCD . ∵ BC ? 平面 ABCD , ∴ PA ? BC . ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ BC ? AB . ∵ PA ? AB ? A , PA ? 平面 PAB ,
9

AB ? 平面 PAB ,
∴ BC ? 平面 PAB . ∵ AF ? 平面 PAB , ∴ BC ? AF . ∵ PB ? BC ? B , PB ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC , ∴ AF ? 平面 PBC . ∵ EF ? 平面 PBC , ∴ AF ? EF . ???6′

(2) 以 A 为坐标原点,分别以 AD, AB, AP 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴 , 建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 PA ? 1 , 则 P ? 0,0,1? , B ? 0,1,0 ? , C ?1,1,0? , D ?1,0,0? . ∴ PB ? ? 0,1, ?1? , BC ? ?1,0,0 ? . 设平面 PBC 的法向量为 m ? (x, y,) z ,
?? ??? ? ? m ? PB ? 0, ? y ? z ? 0, 由? 得? ? ? ?? ??? ? x ? 0. ? ? m ? BC ? 0,

??? ?

??? ?

??

令 y ? 1 ,得 z ? 1 ,

?? ∴ m ? ? 0,1,1? 为平面 PBC 的一个法向量.
∵ PA ? 平面 ABCD , PA ? 平面 PAC , ∴ 平面 PAC ? 平面 ABCD . 连接 BD ,则 BD ? AC . ∵ 平面 PAC ? 平面 ABCD ? AC , BD ? 平面 ABCD , ∴ BD ? 平面 PAC .

??? ? ∴ 平面 PAC 的一个法向量为 BD ? ?1, ?1, 0 ? .
设二面角 A ? PC ? B 的平面角为 ? ,

?? ??? ? ?? ??? ? m ? BD 1 则 cos ? ? cos m, BD ? ?? ??? ? ? . 2 m BD

10

∴ sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

3 . 2 3 . 2
????12′

∴ 二面角 A ? PC ? B 的平面角的正弦值为

20(1)证明:在直角梯形 ABCD 中易求得 AB ? 2 2, AE ?

2 6 4 3 ??2 分 , BE ? 3 3

2 2 2 ∴ AE ? BE ? AB ,故 AE ? BE ,且折叠后 AE 与 BE 位置关系不变??4 分

又 ∵ 面 BCE ? 面 ABED ,且面 BCE ? 面 ABED ? BE ∴ AE ? 面 BCE ??????6 分

z

C

D

E F

A
x

B
y

(2)解:∵ 在 ?BCE 中, BC ? CE ? 2 , F 为 BE 的中点 ∴ CF ? BE 又∵ 面 BCE ? 面 ABED ,且面 BCE ? 面 ABED ? BE

∴ CF ? 面 ABED , 故可以 F 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 则 A(

2 6 2 3 2 6 2 3 ,? ,0) C (0,0, ) E (0, ? ,0) 3 3 3 3

易求得面 ACE 的法向量为 m ? (0, ? 2,1) ??8 分 假设在 AB 上存在一点 P 使平面 ACE 与平面 PCF 所成角的余弦值为

?

??? ? ??? ? 2 ,且 AP ? ? AB (? ? R) 3

∵ B(0,

??? ? ??? ? 2 3 2 6 4 3 2 6 4 3 , 0) ? AB ? (? , , 0) 故 AP ? (? ?, ? , 0) 3 3 3 3 3

11

又 CA ? (

??? ?

2 6 2 3 2 6 ,? ,? ) 3 3 3 ??? ? ??? ? 2 6 2 3 2 6 (1 ? ? ), (2? ? 1), ? ) 3 3 3

∴ CP ? CA ? AP ? (

??? ?

又 FC ? (0, 0,

??? ?

2 6 ? ) 设面 PCF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) 3

? 2 6 z?0 ? ? 3 ∴? ? 2 6 (1 ? ? ) x ? 2 3 (2? ? 1) y ? 2 6 z ? 0 ? 3 3 ? 3
令 x ? 2? ? 1 得 n ? (2? ?1, 2(? ?1),0) ????????10 分

?

? ? m?n | 2(? ?1) | 2 ? ? ∴ | cos ? m, n ?|? ? ? ? ? | m || n | 3 (2? ?1)2 ? 2(? ?1)2 3
解得 ? ?

2 ??????????12 分 3 2 . ??????????13 分 3

因此存在点 P 且 P 为线段 AB 上靠近点 B 的三等分点时使得平面 ACE 与平面

PCF 所成角的余弦值为
21.(1)由题意知 e ?
2 2

c2 a 2 ? b2 1 c 2 2 ? , ? ,? e ? 2 ? a a2 2 a 2

即 a ? 2b ??????1 分 又b ?

2 12 ? 12

? 1 ,??????2 分

?a2 ? 2, b2 ? 1
故椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ??????4 分 2
2

(2)设抛物线 C 的方程为 y ? ax ,(a ? 0) ,直线 l 与抛物线的切点为 N ( x0 , ax0 )
2

设切线 l 的斜率为 k ,则切线的方程为 y ? ax0 ? k ( x ? x0 ) ,
2
2 ? y ? ax0 ? k ( x ? x0 ) ? 联立方程 ? ,由相切得 ? ? 0 , 则直线 l 的斜率为 k ? 2ax0 2 ? ? y ? ax

12

2 则可得直线 l 的方程为 y ? ax0 ? 2ax0 ( x ? x0 )

??????6 分
2 即 ax0 ? ax0 ? 0

1 ? 直线 l 过点 (? , 0) 2

1 2 ??ax0 ? 2ax0 (? ? x0 ) 2

? N ( x0 , ax02 ) 在第二象限

? x0 ? 0

? x0 ? ?1

? 直线 l 的方程为 y ? ?2ax ? a ??????8 分
代入椭圆方程整理得 (1 ? 8a2 ) x2 ? 8a2 x ? 2a2 ? 2 ? 0 则 x1 ? x2 ? ?

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

8a 2 2a 2 ? 2 , x x ? ???10 分 1 2 1 ? 8a 2 1 ? 8a 2

由 AD ? ? AN , BD ? ? BN , 得? ?

????

????

??? ?

??? ?

x1 x ,? ? 2 1 ? x1 1 ? x2

?? ? ? ?
? a2 ? 2

x1 x 2 x1 x2 ? x1 ? x2 ?4 ? 4a 2 ? 2 ? ? ? ?4 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 x2 ? x1 ? x2 2a 2 ? 1

? a ? 0,?a ? 2
2 y ??????13 分 2

? 抛物线的标准方程为 x 2 ?

13



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