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椭圆与双曲线的定义的应用


椭圆与双曲线定义的应用
1. 椭圆的定义 : 圆. 平面内到两个定点 F1 , F2 的距 离的和等于常数(大于 F1F2 )的点的轨迹叫椭

2. 双曲线的定义 : 平面内与两个定点 F1 , F2 的距 离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2 )的点的轨 迹叫做双曲线.

思考一:(课本 P54 B 组第 2 题) 一动圆与圆 x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 外切 ,同时与圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 91 ? 0 内切,求动圆圆心的轨迹方程, 并说明它是什么曲线? 几何画
2 2

分析:首先画出图形,审题
圆 x2 ? y2 ? 6 x ? 5 ? 0 即 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4
圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 91 ? 0 即 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 100

板演示
M ( x, y ) ?

设动圆圆心 M ( x , y ) , F1 (?3,0), F2 (3,0)

动圆半径为 r (想像一下动圆的位置)

依题意得

发现 MF1 ? MF2 ? 12

MF1 ? r ? 2, MF2 ? 10 ? r

由椭圆定义可知点 M 的轨迹是一个椭圆.

(课本 P54 B 组第 2 题)变式题: 一动圆与圆 x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 内切 ,同时与圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 91 ? 0 内切,求动圆圆心的轨迹方程, 并说明它是什么曲线?
2 2

分析:首先画出图形,审题
圆 x2 ? y2 ? 6 x ? 5 ? 0 即 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4
圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 91 ? 0 即 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 100

设动圆圆心 M ( x , y ) , F1 (?3,0), F2 (3,0)

M ( x, y ) ?

动圆半径为 r (想像一下动圆的位置)

依题意得

MF1 ? r ? 2, MF2 ? 10 ? r 发现 MF1 ? MF2 ? 8
由椭圆定义可知点 M 的轨迹也是一个椭圆.

练习巩固: 1.(随堂通 P43 第 4 题) 已知动圆 C 和定圆 C1 : x 2 ? ( y ? 4)2 ? 64 内切,且和定圆

C2 : x 2 ? ( y ? 4)2 ? 4 外切,设 C ( x, y ) ,

225 . 则 25 x 2 ? 9 y 2 ? _____
2.(随堂通 P63 例 3) 已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 和圆 C2 : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 ,动 圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切,求动圆圆心 M 的轨迹 方程. y2

x2 ?

8

? 1( x ? 0)

x2 y2 椭圆的重要结论:(如椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ) a b 2 2

b2 ? 2 反过来,满足这一条件的点在椭圆上. 等于常数_____. a x2 y2 2. P( x0 , y0 ) 是椭圆 2 ? 2 ? 1 上的任意一点,左焦点 F左 (?c, 0) , a b ? ex0 ? a ? ex0 , PF ? _____________ a ? ex0 ? a ? ex0 _____________ 右焦点 F (c, 0) ,则 PF ? a ,

左 右

x y 1. P( x0 , y0 ) 是椭圆 2 ? 2 ? 1 上的任意一点,长轴两端点为 a b A1 (?a,0) 、 A2 (a,0) ,则两直线 PA1 、 PA2 的斜率之积 kPA1 ? kPA2

由此可知, PF左 max ? a ? c , PF左 min ? a ? c x2 y2 3. P( x0 , y0 ) 是椭圆 2 ? 2 ? 1 上的任意一点到右焦点 F右 (c, 0) 的距 a b2 c a 常数 e ? 且反过来 , 满 离和它到右准线 ? : x ? 的距离的比是 __________, a

c

足这一条件的点在椭圆上.

x2 y2 双曲线的重要结论:(如双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ) a b
x2 y2 1. P( x0 , y0 ) 是双曲线 2 ? 2 ? 1 上的任意一点,实轴两端点为 a b A1 (?a,0) 、 A (a,0) ,则两直线 PA1 、 PA2 的斜率之积 kPA1 ? kPA2 等 22 b 反过来,满足这一条件的点在双曲线上. 于常数_____. 2 a x2 y2 2. P( x0 , y0 ) 是双曲线 2 ? 2 ? 1 的任意一点,左焦点 F左 (?c, 0) , a b a ? ex0 a ? ex0 右焦点 F右 (c, 0) ,则 PF左 ? ___________ , PF右 ? _____________ ,

由此可知,

PF右

x2 y2 3. P( x0 , y0 ) 是双曲线 2 ? 2 ? 1 上的任意一点到右焦点 F右 (c, 0) 的距 a b2 c

min

? c?a.

a 常数 e ? ? : x ? 离和它到定直线 的距离的比是__________. a c


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