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云南省玉溪第二中学2012-2013学年高二数学下学期期末考试(交流卷)试题 文 新人教A版



高二下学期期末考试(交流卷)数学(文)试题
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前考生将自己的姓名\ 准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试

卷上无效。 4. 考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 M ? x x ? 9 , N ? x ? z ? 3 ? x ? 3 ,则 M ? N ? (
2

?

?

?

?



A. ? 2.复数 A. ?i

B.

?? 3?
) B. i

C.

?? 3,3?

D. ?? 3,?2,0,1,2?

1 ? 2i ?( 2?i

C. 5i

D.

4 ?i 5

3.已知向量 a ? ( 3,1), b ? (0,1), c ? (k , 3), 若a ? 2b与c垂直, 则k ? ( ) A.—3 B.—2 C.l D.-l )

?

?

?

?

? ?

4.等差数列 ? an ? 的前 n 项和是 S n ,若 a1 ? a2 ? 5 , a3 ? a4 ? 9 ,则 S10 的值为( A. 55 B. 65 C. 60 D. 70 )

? x ? y ? 3≥0 5.设 z ? x ? y ,变量 x 和 y 满足条件 ? ,则 z 的最小值( ? x ? 2 y≥0

A. 1

B. ??

C. 3

D. ?3

6.阅读右面的程序框图,则输出的 S=( ) A. 14 B. 20 C. 30

D. 55

7.点 M、N 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 A1B1、A1D1 的中点,用过 A、M、 N 和 D、N、C1 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图, 则该几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为( ) 第 6 题图

1

A.①、②、③ B.②、③、④ C.①、③、④ 1 1 8. 已知 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是( ) a b A.a <b
2 2

D.②、④、③

B.ab<b

2

C.

a b ? ?2 b a

D.|a|+|b|>|a+b|

9. 在 ?ABC中,A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a cos C , b cos B, c cos A 成等差数列,则

B?
A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

2? 3

10.已知双曲线

x 2 y2 1 - =1 的离心率为 3,有一个焦点与抛物线 y= x 2 的焦点相同,那 m n 12
) C.x±2y=0 D.2x±y=0 B.x±2 2 y=0
-x x

么双曲线的渐近线方程为( A.2 2 x±y=0 11.设函数 f(x)=2 a

-2k a (a>0 且 a≠1)在(-∞,+∞)上既是奇函数又是减函 )

数,则 g(x)= log a ( x-k ) 的图像是(

12. 已知函数

f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x ),且 f ( x) 是偶函数,当 x ? ? 0,1? 时,

f ( x) ? x 2 ,若在区间 ? ?1,3? 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 有 4 个零点,则实数 k 的取
值范围是

2

A. ?

?1 1 ? , ? ?4 3?

B. ? 0,

? ?

1? ? 2?

C. ? 0,

? ?

1? 4? ?

D. ?

?1 1? , ? ?3 2?

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根 据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.从 1, 2,3, 4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 6 的概率是_______。 14.已知正方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE ? BD ? _______。 15.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“互为生成函数” 。给出 下列函数① f ( x) ? sin x ? cos x ;② f ( x) ? 2 (sin x ? cos x) ;③ f ( x) ? ④ f ( x) ? sin x. 其中“互为生成函数”的是 。

??? ??? ? ?

2 sin x ? 2 ;

16. 已知四棱椎 P-ABCD 的底面是边长为 6 的正方形, 侧棱 PA ? 底面 ABCD , PA ? 8 , 且 则该四棱椎的体积是 。 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的公差不为零, a1 ? 25 ,且 a1 , a11 , a13 成等比数列。 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求 a1 ? a4 +a7 ? ??? ? a3n ?2 ; 18. (本小题满分 12 分)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都 受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:

(1)求全班人数,并计算频率分布直方图中 ?80,90? 间的矩形的高; (2)若要从分数在 ?80,100? 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,则在抽取的试卷 中,求至少有一份分数在 ? 90,100? 之间的概率.

3

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P - ABCD 中,PD ⊥底面 ABCD , 底面 ABCD 为正方形, PD = DC , E , F 分别是 AB , PB 的中点. (1)求证: EF ? CD ; (2)设 PD=AD=a, 求三棱锥 B-EFC 的体积.

19 题图

20. (本题共 12 分) 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 和

3 F2 ,且| F1 F2 |=2,点(1, )在该椭圆上. 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ? A F2 B 的面积为 心且与直线 l 相切是圆的方程.

12 2 ,求以 F2 为圆 7

21.(本题共 12 分)已知函数 f ( x) ? (ax ? bx ? c)e (a ? 0) 的导函数 y ? f '( x) 的两个
2 x

零点为-3 和 0. (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) 的极小值为-1,求 f ( x) 的极大 值. 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答时请 写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 F 如图,已知⊙O 是 ?ABC 的外接圆, AB ? BC, AD 是 BC 边上的高, AE 是⊙O 的直径. (I)求证: AC ? BC ? AD ? AE ;[Z+X+X+K] (II)过点 C 作 ⊙O 的切线交 BA 的 延长线于点 F , 若

A

AF ? 2, CF ? 4 ,求 AC 的长.

? O
B E

D
22 题图

C

23. (本小题满分 10 分)选修 4——4;坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

4

C : ? sin 2 ? ? 2a cos ? (a ? 0) ; 过 点 P(? 2?,

的 4 )直 线 l 的 参 数 方 程 为

? ? x ? ?2 ? ? ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 ( t 是参数),直线 l 与曲线 C 分别交于 M、N 两点. 2 t 2

(1) 写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2) 若 | PM |,| MN |,| PN | 成等比数列,求 a 的值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4——5;不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| . (1)解关于 x 的不等式 f ( x) ? x ? 1 ? 0 ;
2

(2)若 g ( x) ? ? | x ? 3 | ?m, f ( x) ? g ( x) 的解集非空,求实数 m 的取值范围.

5

文科数学参考答案 1 B 2 B 3 A 4 B 5 A 6 D 7 B 8 D 9 C 10 B 11 A 12 C

第Ⅱ卷 13.0.2 14. 2 15.①③ 16.96 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

18.(本小题满分 12 分) 【答案】解(1)由茎叶图知,分数在 ?
50 , 60 ?

之间的频数为 2 ,频率为 0.008 ?10 ? 0.08 ,

2 ? 25 全班人数为 0.08 .???????????? 3 分

所以分数在 ?

80 , 90 ?

之间的频数为 25 ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? 4
4

? 10 ? 0.016 80 , 90 ? 频率分布直方图中 ? 间的矩形的高为 25 .

??????3 分 之间的 2 个分数编号为

(2)将 ?

80 , 90 ?

之间的 4 个分数编号为 1 , 2 , 3 , 4 , ?

90 , 100?

5 , 6 ,在 ?80 , 100? 之间的试卷中任取两份的基本事件为:

6

19. (本小题满分 12 分) 【答案】 、证明:? 四边形 ABCD 为正方形, (1) ? AD ? CD . 又 ? PD ? 平面ABCD , ? PD ? CD ,且AD ? PD =D . ? CD ? 平面PAD , 又 ? PA ? 平面PAD , ? CD ? PA . 又 ? EF // PA , ? EF ? CD . ???6 分 (2)解:连接 AC,DB 相交于 O,连接 OF, 则 OF⊥面 ABCD, ∴

VB ? EFC ? VF ? EBC ?

1 1 1 a a 1 2 S ?EBC ? OF ? ? ? a ? ? ? a . ???12 分 3 3 2 2 2 24

21.(本题共 12 分) 【答案】 (Ⅰ) f ?( x) ? (2ax ? b)e ? (ax ? bx ? c)e ? [ax ? (2a ? b) x ? b ? c]e . 解: ?2
x 2 x 2 x



7

令 g ( x) ? ax ? (2a ? b) x ? b ? c ,
2

∵e ? 0,
x

∴ y ? f '( x) 的零点就是 g ( x) ? ax ? (2a ? b) x ? b ? c 的零点,且 f ?( x) 与 g ( x) 符号
2

相同. 又∵ a ? 0 , ∴当 x ? ?3, 或x ? 0 时, g ( x) >0,即 f ?( x) ? 0 , 当 ?3 ? x ? 0 时, g ( x) <0,即 f ?( x) ? 0 , ???????????????5 分

∴ f ( x) 的单调增区间是(-∞,-3)(0,+∞) , ,单调减区间是(-3,0) .??6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, x =0 是 f ( x) 的极小值点,所以有

?c ? ?1, ? ?b ? c ? 0, ?9a ? 3(2a ? b) ? b ? c ? 0, ?
解得 a ? 1, b ? 1, c ? ?1 . ?????????????????????10 分
2 x

所以函数的解析式为 f ( x) ? ( x ? x ? 1)e . 又由(Ⅰ)知, f ( x) 的单调增区间是(-∞,-3),(0,+∞) ,单调减区间是(-3,0). 所以,函数 f ( x) 的极大值为 f (?3) ? (9 ? 3 ? 1)e
?3

?

5 . ??????.?12 分 e3

22. 【答案】(本小题满分 10)选修 4-1:几何证明选讲 解 :(I) 证 明 : 连 结 BE , 由 题 意 知 ?ABE 为 直 角 三 角 形 . 因 为

?ABE ? ?ADC ? 90 ? , ?AEB ? ?ACB,
所以 ?ABE ∽ ?ADC

AB AE ,则 AB ? AC ? AD ? AE . ? AD AC 又 AB ? BC ,所以 AC ? BC ? AD ? AE ???????????? 5 分


8

23. (本小题满分 10 分)选修 4——4;坐标系与参数方程 【答案】解:(Ⅰ)曲线 C 的普通方程为 C : y ? 2ax,
2

直线 l 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0

????????????????5 分

(Ⅱ)将直线的参数表达式代入抛物线得

1 2 t ? 4 2 ? 2a t ? 16 ? 4a ? 0 , 2

?

?

? t1 ? t2 ? 8 2 ? 2 2a, t1t2 ? 32 ? 8a
因为 | PM |?| t1 |, | PN |?| t 2 |, | MN |?| t1 ? t 2 | , 由题意知, | t1 ? t 2 | ?| t1t 2 |? (t1 ? t 2 ) ? 5t1t 2 ,
2 2

代入得 a ? 1 .

????????????????10 分

9

综上原不等式的解集为 ? x | x ? 1或x ? 0? ????????????????5 分 (II)原不等式等价于 | x ? 1| ? | x ? 3|? m 的解集非空 令 h( x) ?| x ? 1| ? | x ? 3 | ,即 h( x) ? (| x ? 1| ? | x ? 3 |) min ? m , 由 | x ? 1| ? | x ? 3 |?| x ? 1 ? x ? 3 |? 4 所以 h( x) min ? 4 所以 m ? 4 ????????????????10 分

10