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高二数学必修5数列单元测试



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高 二 数 学 必 修 5 数列单元测试

时间 120 分钟 满分 100 分 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.) 1 1 n?2 1.在数列-1,0, , ,??, 2 中,0.08 是它的 9 8 n
A.第 100 项 B.第 12

项 C.第 10 项 D.第 8 项 2.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , 2an?1 ? 2an ? 1,则 a101 的值为 A.49 B.50 C.51 D.52 3.等差数列 {an } 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39 , a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则数列 {an } 的前 9 项的和等于 A.66 B.99 C.144 D.297 4.设数列{an}、{bn}都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么 an+bn 所组成的数列的第 37 项的值是( A.0 B.37 C.100 D.-37 5.已知-7,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列,则 )

a2 ? a1 = b2

A.1

B.-1

C.2 ) D.3

D.±1

6.等比数列{an}中,前 n 项和 Sn=3n+r,则 r 等于( A.-1 B.0 C.1

7.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? 1 ? 5 ? 9 ? 13 ? 17 ? 21? ? ? (?1) n?1 (4n ? 3) , 则 S15 ? S 22 ? S 31 的值是( )

A. -76 B. 76 C. 46 D. 13 8.6.已知等差数列{an}的公差 d≠0,若 a5、a9、a15 成等比数列,那么公比为 A.

3 4

B.

2 3

C.

3 2

D.

4 3

9.若数列{an}是等比数列, A.一定是等比数列 C.一定是等差数列

则数列{an+an+1} B.可能是等比数列, 也可能是等差数列 D.一定不是等比数列

10.等比数列{a n }中,a 1 =512,公比 q= ? 的是 A.Ⅱ 11 题号 答案 1 2 B.Ⅱ 10 3 4

1 ,用Ⅱ n 表示它的前 n 项之积:Ⅱ n =a 1 ·a 2 ?a n 则Ⅱ 1 ,Ⅱ 2 ,?,中最大 2
C.Ⅱ 9 5 6 7 D.Ⅱ 8 8 9 10

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。)
11.在数{an}中,其前 n 项和 Sn=4n2-n-8,则 a4= 12.设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 。

a5 5 S ? ,则 9 的值为________. a3 9 S5

13.在等差数列{an}中,当 ar=as(r≠s)时,{an}必定是常数数列。然而在等比数列{an}中,对某些正整数 r、s (r≠s),当 ar =as 时,非常数数列 { a n } 的一个例子是____________. 14.已知数列 1, 15.观察下列的图形中小正方形的个数,则第 n 个图中有 ,则其前 n 项的和等于 个小正方形. 。

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 50 分。解答应写出文字说明,或演算步骤)
16.(本小题满分 8 分)已知 ?an ? 是等差数列,其中 a1 ? 25, a4 ? 16 (1)数列 ?an ? 从哪一项开始小于 0 (2)求 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a19 值。

17. (本小题满分 8 分) 已知 {an } 是等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a3 ? 11 , S9 ? 153 , (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 an ? log2 bn ,证明 {bn } 是等比数列,并求其前 n 项和 Tn.

18.(本小题满分 10 分)某城市 1991 年底人口为 500 万,人均住房面积为 6 m2,如果该城市每年人口平均增长率为 1%,则 从 1992 年起,每年平均需新增住房面积为多少万 m2,才能使 2010 年底该城市人均住房面积至少为 24m2?(可参考的数据 1.0118=1.20,1.0119=1.21,1.0120=1.22).

19. (本小题满分 12 分)已知等比数列 {an }的前 n 项和为 Sn ,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,

等差数列 {bn }中, b1 = 2 ,点 P(bn , bn+ 1 ) 在直线 y ? x ? 2 上. ⑴求 a1 和 a2 的值; ⑵求数列 {an }, {bn }的通项 an 和 bn ; ⑶ 设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

20. (本小题满分 12 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若对于任意的 n∈N*,都有 Sn=2an-3n . ⑴求数列{an}的首项 a1 与递推关系式:an+1=f(an); ⑵先阅读下面定理: “若数列{an}有递推关系 an+1=Aan+B,其中 A、B 为常数,且 A≠1,B≠0,则数列 {a n ? 以 A 为公比的等比数列。 ”请你在⑴的基础上应用本定理,求数列{an}的通项公式; ⑶求数列{an}的前 n 项和 Sn .

B }是 1? A

四、选做题(满分 10 分)
21. 设关于 x 的一元二次方程 an x - an ?1 x+1=0(n∈N)有两根α 和β ,且满足 6α -2α β +6β =3. (1)试用 an 表示 a n?1 ;
2

参考答案
一.选择题 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 C 5 B 6 A 7 A 8 C 9 B 10 C

二.填空题 11. 27 12. 1 13. 1,-1,1,-1,…… 14. 16.、解: (1)? a4 ? a1 ? 3d ? d ? ?3

2n n?1

15.

( n ? 1)(n ? 2) 2

? an ? 2 8? 3 n
数列 ?an ? 从第 10 项开始小于 0 。

? 28 ? 3n ? 0 ? n ? 9

1 ??5 分 3

(2) a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a19 是首项为 25,公差为 ? 6 的等差数列,共有 10 项 其和 S ? 10 ? 25 ?

10 ? 9 ? (?6) ? ?20 2

?a1 ? 2d ? 11 ? 17.解: (1) ? 解得d ? 3, a1 ? 5,? an ? 3n ? 2. 9?8 9a1 ? d ? 153 ? 2 ?
(2) bn ? 2 an ,?

bn?1 2 an ?1 ? an ? 2 an ?1 ?an ? 2 3 ? 8,?{bn } 是公比为 8 的等比数列. bn 2

又有 b1 ? 2

a1

? 32

32(1 ? 8 n ) 32 n ? Tn ? ? (8 ? 1). 1? 8 7

18.解 设从 1992 年起,每年平均需新增住房面积为 x 万 m2,则由题设可得下列不等式

500 ? 6 ? 19x ? 500 ? (1 ? 0.01)19 ? 24
解得 x ? 605 . 答 设从 1992 年起,每年平均需新增住房面积为 605 万 m2.

19.解: (1)由 2an ? S n ? 2 得: 2a1 ? S1 ? 2 ; 2a1 ? a1 ? 2 ; a1 ? 2 ; 由 2an ? S n ? 2 得: 2a21 ? S 2 ? 2 ; 2a1 ? a1 ? a2 ? 2 ; a 2 ? 4 ; (2)由 2an ? S n ? 2 ┅①得 2an?1 ? S n?1 ? 2 ┅②; ( n ? 2) 将两式相减得: 2an ? 2an?1 ? S n ? S n?1 ; 2an ? 2an?1 ? an ; an ? 2an?1 ( n ? 2 ) 所以:当 n ? 2 时:

an ? a2 2

n ?2

? 4? 2

n ?2

n ? 2 ;故: an ? 2n ;

又由:等差数列 {bn }中, b1 = 2 ,点 P(bn , bn+ 1 ) 在直线 y ? x ? 2 上. 得: bn?1 ? bn ? 2 ,且 b1 = 2 ,所以: bn ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ; (3) cn ? an bn ? n2
n?1

;利用错位相减法得: Tn ? ?(n ? 1)2

n? 2

?4;

20.解:⑴令 n=1,S1=2a1-3。∴a1 =3 ,又 Sn+1=2an+1-3(n+1), Sn=2an-3n,两式相减得, an+1 =2an+1-2an-3,则 an+1 =2an+3 ⑵按照定理:A=2,B=3,∴{ an+3}是公比为 2 的等比数列。 - - - 则 an+3=(a1+3)· 2n 1=6· 2n 1,∴an =6· 2n 1-3 。

6(1 ? 2n ) ? 3n ? 6?2n ? 3n ? 6 。 ⑶ Sn ? 1? 2
21、解: (1)根据韦达定理,得 α +β =

an ?1 1 ,α ?β = ,由 6α -2α β +6β =3 an an a 2 1 1 得 6 ? n ?1 ? ? 3, 故an?1 ? an ? an an 2 3 2 an ?1 ? 2 1 1 1 2 3 ? 1, (2)证明:因为 an ?1 ? ? an ? ? (an ? ), 所以 2 3 2 3 2 3 2 an ? 3



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