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江苏省扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题



江苏省扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测 高三数学试题
2013.01 全卷分两部分:第一部分为所有考生必做部分(满分 160 分,考试时间 120 分钟),第 二部分为选修物理考生的加试部分(满分 40 分,考试时间 30 分钟). 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.第一部分试题答案均写在答

题卷相应位置,答在其它地方无效. 3.选修物理的考生在第一部分考试结束后,将答卷交回,再参加加试部分的考试.

第 一 部 分
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1.若集合 M ? {x | ?1 ? x ? 1} , N ? {x | x ? 2 x ? 0} ,则 M∩N= ▲ .
2

2.将复数

1 ? 2i 1? i

(是虚数单位)写成 a ? bi (a, b ? R ) ,则 a ? b ? ▲ .

▲ .

3.已知向量 a ? ?2,1?, b ? ?? 1, k ? ,若 a ? b ,则 k 等于 4.已知函数 f ( x) ? ?
?log 2 x ( x ? 0) ?3
x

( x ? 0)

,则 f [ f (0)] ?

▲ .

5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、 6),骰子朝上的面的点数分别为 x , y ,则 y ? 2 x 的概率为 ▲ .

?x ? 0 ? 6.设 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ?2 x ? y ? 5 ?

▲ .

7.如图所示的流程图,若输出的结果是 15,则判断框中的横线上可以填入的最大整数为 ▲ . 8. 已知圆 C 的圆心为抛物线 y ? ?4 x 的焦点,又直线 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 与圆 C 相切, 则圆 C
2

的标准方程为 ▲ . 9.设 a、b 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列四个命题 ①若 a ? b, a ? ? ,则 b / /? , ②若 a ? ? , ? ? ? ,则 a / /? ,

第 1 页 共 1 页

③若 a // ? , a ? ? , 则? ? ? 其中正确的命题序号是 ▲ .

④若 a ? b, a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? ,

10.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,且 a ? 5, b ? 3, sin C ? 2 sin A , 则 sin A ? ▲ .
m x

11.已知函数 f ( x) ? ln x ?

( m ? R )在区间 [1, e] 上取得最小值 4,则 m ?
y

▲ .

12. 如图所示:矩形 An Bn Cn Dn 的一边 An Bn 在 x 轴上,另两 个顶点 Cn 、 n 在函数 f ( x) ? x ? D
*

1 x

若点 Bn ( x ? 0) 的图像上,

Dn Cn

的坐标为 ? n, 0 ? ( n ? 2, n ? N ) ) 矩形 An Bn Cn Dn 的周长记为 ,
an ,则 a 2 ? a3 ? ? ? ? ? a10 ?
x a
2 2

▲ .
3 2

O

An

Bn

x

13.已知椭圆

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的离心率 e ?

,A、

B 是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上不同于 A、B 的一点,直线 PA、PB 斜倾角分别为 ? 、
? ,则
cos(? ? ? ) cos(? ? ? )

= ▲ .

14 . 数 列 ?an ? 满 足

a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? an ( an ? 1)

, (n ? N

?

)

,且

1 a1

?

1 a2

???

1 a2012

=2 , 则

a2013 ? 4a1 的最小值为

▲ .

二、解答题:(本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.(本小题满分 14 分) 已知向量 m ? (sin x,?1) , n ? ( 3 cos x,? ) ,函数 f ( x) ? m ? m ? n ? 2 .
2 1
2

(Ⅰ)求 f (x) 的最大值,并求取最大值时 x 的取值集合; (Ⅱ)已知 a 、 b 、 c 分别为 ?ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边,且 a , b , c 成等比数列, 角 B 为锐角,且 f ( B ) ? 1 ,求
1 tan A ? 1 tan C

的值.

16. (本小题满分 14 分)
第 2 页 共 2 页

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD , AC ? BD 于 O 。 (Ⅰ)证明:平面 PBD ⊥平面 PAC ; (Ⅱ)设 E 为线段 PC 上一点,若 AC ? BE ,求证: PA // 平面 BED

17.(本小题满分 15 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)若数列 {an } 是等比数列,满足 2a1 ? a 3 ? 3a 2 , a 3 ? 2 是 a 2 , a 4 的等差中项,求 数列 ?a n ?的通项公式; (Ⅱ)是否存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) ?若存在,请求 出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.

18.(本小题满分 15 分) 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动.如 y 图,助跑道 ABC 是 一段抛物线,某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后 4 A D 落到离地面高为 1 米的平台上 E 处, 飞行的轨迹是一段抛物线 CDE (抛物线 CDE 与抛物线 ABC 在同一平面内),D 为这段抛物线的 最高点. 现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐 C 标系, x 轴在地面上,助跑道一端点 A(0,4),另一端点 C(3,1), B O 2 点 B(2,0),单位:米. (Ⅰ)求助跑道所在的抛物线方程; (Ⅱ)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点 C 处有相同的切线,为使运动员安 全和空中姿态优美,要求运动员的飞行距离在 4 米到 6 米之间(包括 4 米和 6 米),试求运 动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围? (注:飞行距离指点 C 与点 E 的水平距离,即这两点横坐标差的绝对值.)

E

x

19.(本小题满分 16 分) 如图,已知椭圆 E1 方程为
2 2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

y

? 1( a ? b ? 0) ,圆 E2 方程为
D B A

C

x ? y ? a ,过椭圆的左顶点 A 作斜率为 k1 直线 l1 与椭圆 E1 和圆 E2 分别相交于 B、C.

O

x

(Ⅰ)若 k1 ? 1 时, B 恰好为线段 AC 的中点,试求椭圆 E1 的离心率 e ;

第 3 页 共 3 页

(Ⅱ) 若椭圆 E1 的离心率 e =

1 2

,F2 为椭圆的右焦点, | BA | ? | BF2 |? 2a 时, k1 的值; 当 求
k1 k2 ? b a
2 2

(Ⅲ)设 D 为圆 E2 上不同于 A 的一点,直线 AD 的斜率为 k2 ,当

时,试问直线

BD 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.

20.(本小题满分 16 分) 记函数 f n ? x ? ? a ? x n ? 1? a ? R, n ? N* ? 的导函数为 f n? ? x ? ,已知 f 3? ? 2 ? ? 12 . (Ⅰ)求 a 的值. (Ⅱ)设函数 g n ( x) ? f n ( x) ? n 2 ln x ,试问:是否存在正整数 n 使得函数 g n ( x) 有且只有 一个零点?若存在,请求出所有 n 的值;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)若实数 x0 和 m ( m ? 0 ,且 m ? 1 )满足: 大小,并加以证明.
f n? ? x0 ? f n??1 ? x0 ? ? fn ? m ? f n ?1 ? m ?

,试比较 x0 与 m 的

第 4 页 共 4 页

第二部分(加试部分)
21.B 选修 4 - 2:矩阵与变换(本题满分 10 分) 若 矩 阵 A 有 特 征 值 ?1 ? 3 , ?2 ? ?1 , 它 们 所 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为 e1 ? ? ? 和
?0 ? ?1 ? ?2? ?1 ?

e2 ? ? ? ,求矩阵 A .
…………………10 分

21.C. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程 (本题满分 10 分) 已知椭圆 C :
x
2

?

y

2

? 1 与 x 正半轴、 y 正半轴的交点分别为 A, B ,动点 P 是椭圆上

16

9

任一点,求 ?PAB 面积的最大值。

22.(本题满分 10 分) 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 侧 面 PCD ? 底 面 ABCD ,
PD ? CD , 底面 ABCD 是直角梯形,AB / / CD
AB ? AD ? PD ? 1

,?ADC ?

?
2



, CD ? 2 . 设

Q

为 侧 棱 PC 上 一 点 , 为 45°.

??? ? ??? ? PQ ? ? PC ,试确定 ? 的值,使得二面角 Q ? BD ? P

23.(本题满分 10 分) 已知数列 {an } 是等差数列,且 a1 , a2 , a3 是 (1 ?
1 2 x ) 展开式的前三项的系数.
m

(Ⅰ)求 (1 ?

1 2

x) 展开式的中间项;

m

(Ⅱ)当 n ? 2 时,试比较

1 an

?

1 an ?1

?

1 an ? 2

?? ?

1 a
n
2



1 3

的大小.

扬 州 市 2012 — 20 13 学 年 度 第 一 学 期 期 末 检 测 试 题 高 三 数 学 参 考 答 案
第 5 页 共 5 页

2013.01

第 一 部 分
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1. [0,1] ;2.;3. 2 ;4. 0 ;5.
5 5
1 12

; 6. 3 ;7.49; 8. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ;
3 5 7 2

9.③④;10.

;11. ? 3e ;12. 216;13.

;14. ?

二、解答题:(本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ? (m ? n) ? m ? 2 ? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ?
? 1 ? cos 2 x 2 ? 3 2 sin 2 x ? 1 2 ? 3 2
? 2k? ?

1 2

?2

sin 2 x ?

1 2

cos 2 x ? sin( 2 x ?

?
6

) .……… 3 分

故 f ( x) max ? 1 ,此时 2 x ?

?
6

?
2

, k ? Z ,得 x ? k? ?

?
3

,k ? Z ,

∴取最大值时 x 的取值集合为 {x | x ? k? ? (Ⅱ) f ( B ) ? sin(2 B ?
? 2B ?

?
3

, k ? Z} .

………………… 7 分
?
6 ? 5? 6

?
6

) ? 1 ,? 0 ? B ?

?
2

,? ?

?
6

? 2B ?



?
6

?

?
2

,B ?

?
3



…………………………… 10 分

由 b 2 ? ac 及正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C 于是
1 tan A ? 1 tan C
2

?

cos A sin A

?

cos C sin C

?

sin C cos A ? cos C sin A sin A sin C

?

sin( A ? C ) sin B

?

1 sin B

?

2 3 3



……………………………………14 分

16.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证:因为 PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,? PA ? BD …………………2 分 又 AC ? BD , PA, AC 是平面 PAC 内的两条相交直线,
? BD ?



PAC ,

面 …………………4

分 而

, 所 以 平 面 PBD ⊥ 平 面 PAC …………………6 分 (Ⅱ)证:? AC ? BE , AC ? BD , BE 和 BD 为平面 BED 内 两相交直线,? AC ? 平面 BED , …………………8 分 连接 EO ,? EO ? 平面 BED ,? AC ? EO , …………………10 分
PBD
第 6 页 共 6 页

BD ?

平 面

? PA ⊥平面 ABCD ,? AC ? 平面 ABCD ,? AC ? PA ,

又 AC , PA, EO 共面,? EO // PA , 又? PA ? 平面 BED , EO ? 平面 BED ,? PA // 平面 BED 17.(本小题满分 15 分) 解:(Ⅰ)设等比数列 ?a n ?的首项为 a1 ,公比为 q , 依题意,有 ?
? 2a1 ? a 3 ? 3a 2 ,

…………………12 分 …………………14 分

?a 2 ? a 4 ? 2( a 3 ? 2).

即?

?

a1 ( 2 ? q ) ? 3a1 q,
2 3 2

(1) ( 2)

?a1 ( q ? q ) ? 2a1 q ? 4.

……3 分

2 由 (1) 得 q ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 1 或 q ? 2 .

当 q ? 1 时,不合题意舍; 当 q ? 2 时,代入(2)得 a1 ? 2 ,所以, a n ? 2 ? 2
n ?1

?2

n

.

…………………7 分

(Ⅱ)假设存在满足条件的数列 {an } ,设此数列的公差为 d ,则 方法 1: [a1 ? (n ? 1)d ][a1 n ?
d
2

n( n ? 1) 2
2

d ] ? 2n ( n ? 1) ,得
2

n ?(
2

3 2

2
2

a1 d ? d ) n ? ( a1 ?
2

3 2

a1 d ?

1 2

d ) ? 2n ? 2n 对 n ? N 恒成立,
2 2
*

?d ? 2, ? 2 ? ?3 2 则 ? a1 d ? d ? 2, ?2 1 2 ? 2 3 ? a1 ? a1 d ? d ? 0, 2 2 ?

…………………10 分

解得 ?

? d ? 2, ? a1 ? 2,

或?

? d ? ?2, ? a1 ? ?2.

此时 an ? 2n ,或 an ? ?2n .

故存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) .其中 an ? 2n , 或 an ? ?2n . 方法 2:令 n ? 1 , a12 ? 4 ,得 a1 ? ?2 ,
2 令 n ? 2 ,得 a2 ? a1 ? a2 ? 24 ? 0 ,

…………………15 分

…………………9 分

①当 a1 ? 2 时,得 a2 ? 4 或 a2 ? ?6 , 若 a2 ? 4 , 则 d ? 2 , an ? 2n , S n ? n(n ? 1) , 对 任 意 n ? N * 都 有
an ? S n ? 2n (n ? 1) ;
2

第 7 页 共 7 页

若 a2 ? ?6 ,则 d ? ?8 , a3 ? ?14 , S3 ? ?18 ,不满足 a3 ? S3 ? 2 ? 32 ? (3 ? 1) . …………………12 分 ②当 a1 ? ?2 时,得 a2 ? ?4 或 a2 ? 6 , 若 a2 ? ?4 , 则 d ? ?2 , an ? ?2n , S n ? ? n(n ? 1) , 对 任 意 n ? N * 都 有
an ? S n ? 2n (n ? 1) ;
2

若 a2 ? 6 ,则 d ? 8 , a3 ? 14 , S3 ? 18 ,不满足 a3 ? S3 ? 2 ? 32 ? (3 ? 1) . 综上所述,存在等差数列 {an } ,使对任意 n ? N * 都有 an ? S n ? 2n 2 (n ? 1) .其中
an ? 2n ,或 an ? ?2n .

…………………15 分

18.(本小题满分 15 分) 解:(Ⅰ)设助跑道所在的抛物线方程为 f ( x) ? a0 x 2 ? b0 x ? c0 ,
?c0 ? 4, ? 依题意: ? 4a0 ? 2b0 ? c0 ? 0, ? ?9a0 ? 3b0 ? c0 ? 1,

…………………3 分

解得, a0 ? 1 , b0 ? ?4 , c0 ? 4 , ∴助跑道所在的抛物线方程为 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 .
2

…………………7 分

(Ⅱ)设飞行轨迹所在抛物线为 g ( x) ? ax ? bx ? c ( a ? 0 ),
2

依题意: ?

? f (3) ? g (3), ? f '(3) ? g '(3),

得?

?9a ? 3b ? c ? 1, ?6a ? b ? 2,

解得 ?

?b ? 2 ? 6a, ?c ? 9a ? 5,

…………………9 分

∴ g ( x) ? ax 2 ? (2 ? 6a ) x ? 9a ? 5 ? a ( x ? 令 g ( x) ? 1 得, ( x ? 当x ?
3a ? 1 a

3a ? 1 2 1 ) ?1? , a a

3a ? 1 2 1 3a ? 1 1 2 ) ? 2 ,∵ a ? 0 ,∴ x ? ? ? 3 ? ,…11 分 a a a a a 1 a 2 a ?3? ? 1 a 2 a ?1 ? ? 1 a

时, g ( x) 有最大值为 1 ?

, , , ………………13 分

则运动员的飞行距离 d ? 3 ?

飞行过程中距离平台最大高度 h ? 1 ? 依题意, 4 ? ?
2 a ? 6 ,得 2 ? ? 1 a

? 3,

即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在 2 米到 3 米之间.………………15 分 19.(本小题满分 16 分)
第 8 页 共 8 页

解:(Ⅰ)当 k1 ? 1 时,点 C 在 y 轴上,且 C (0, a ) ,则 B (?
(? a 2 a
2

a a , ) ,由点 B 在椭圆上, 2 2

)

2

得 ∴
b a
2 2

?

a 2 ( ) 2 b
2

? 1,

…………………2 分
b a
2 2

?

1 3

,e ?
2

c a

2 2

? 1?

?

2 3

,∴ e ?

6 3



…………………4 分

(Ⅱ)设椭圆的左焦点为 F1 ,由椭圆定义知, | BF1 | ? | BF2 |? 2a , ∴ | BF1 |?| BA | ,则点 B 在线段 AF1 的中垂线上,∴ xB ? ?
c a 1 2 1 2

a?c 2

,…………6 分

又e ?

?

,∴ c ?

a ,b ?

3 2

a ,∴ xB ? ?

3a 4


21 2

代入椭圆方程得 yB ? ?

7 4

b=?

21 8

a ,∴ k1 ?

yB xB ? a

=?

.…………9 分

? y ? k1 ( x ? a ), 2 2 2 2 k1 ( x ? a ) x ?a ? 2 2 (Ⅲ)法一:由 ? x 得 ? ? 0, y 2 2 a b ? 2 ? 2 ? 1, b ?a

∴ x ? ? a ,或 x ?

a (b ? k1 a )
2 2 2

b ? a k1
2 2 2

2



∵ xB ? ? a ,∴ xB ?
? y ? k2 ( x ? a ), ?x ? y ? a ,
2 2 2

a (b ? k1 a )
2 2

b ? a k1
2 2

2

,则 yB ? k1 ( xB ? a ) ?

2ab k1 b ? a k1
2 2 2

2

.……11 分

由?

2 得 x 2 ? a 2 ? k2 ( x ? a ) 2 ? 0 ,

得 x ? ? a ,或 x ?

a (1 ? k2 )
2

1 ? k2

2

,同理,得 xD ?

a (1 ? k2 )
2

1 ? k2

2

, yD ?

2ak2 1 ? k2
2

,……13 分



k1 k2

?

b a

2 2

a (b ?
2

b a b a

4 2

k2 ) ? k2
2

2

时, xB ?
b ?
2

a(a ? b k2 )
2 2 2

4 2

a ? b k2
2 2

2

, yB ?

2ab k2 a ? b k2
2 2 2

2



2ab k2 k BD ? a ? b k2
2 2 2 2 2 2

2

? ?

2ak2 1 ? k2
2 2

a(a ? b k2 ) a ? b k2
2 2 2

a (1 ? k 2 ) 1 ? k2
2

??

1 k2

,∴ BD⊥AD,∵ E2 为圆,



∠ADB 所对圆 E2 的弦为直径,从而直线 BD 过定点(a,0). ……………16 分 …………………10 分
第 9 页 共 9 页

法二:直线 BD 过定点 (a, 0) ,

证明如下: 设 P (a, 0) , B ( xB , yB ) ,则:
k AD k PB ? a b
2 2

xB a

2

2

?

yB b

2

2

? 1( a ? b ? 0)
? a b
2 2

k1k PB ?

a b

2 2

?

yB

xB ? a xB ? a

?

yB

?

yB xB ? a
2 2

2

?

a b

2 2

(?

b a

2 2

) ? ?1 ,

所以 PB ? AD ,又 PD ? AD 所以三点 P, B, D 共线,即直线 BD 过定点 P (a, 0) 。. 20.(本小题满分 16 分) 解:(Ⅰ) f 3' ( x) ? 3ax 2 ,由 f 3? ? 2 ? ? 12 得 a ? 1 . (Ⅱ) g n ( x) ? x n ? n 2 ln x ? 1 , g n ( x) ? n ? x
'
' ∵ x ? 0 ,令 g n ( x) ? 0 得 x ?

…………………16 分 …………………3 分

n ?1

?

n

2

?

n( x ? n)
n

,………………5 分

x

x

n

n,

当x ?

n

n 时, g n ( x) ? 0 , g n ( x ) 是增函数;
'

当0 ? x ? ∴当 x ?
n

n

n 时, g n ( x) ? 0 , g n ( x ) 是减函数.
'

n 时, g n ( x ) 有极小值,也是最小值, g n ( n ) ? n ? n ln n ? 1 ,……7 分
n

当 x ? 0 时, g n ( x) ? ?? ; 当 x ? ?? 时(可取 x ? e, e , e ? 体验), g n ( x) ? ?? .
2 3

当 n ? 3 时, g n ( n n ) ? n(1 ? ln n) ? 1 ? 0 ,函数 g n ( x) 有两个零点; 当 n ? 2 时, g n ( n n ) ? ?2 ln 2 ? 1 ? 0 ,函数 g n ( x) 有两个零点; 当 n ? 1 时, g n ( n n ) ? 0 ,函数 g n ( x) 有且只有一个零点, 综上所述,存在 n ? 1 使得函数 g n ( x) 有且只有一个零点. …………………9 分 (Ⅲ) f n ( x) ? n ? x
' n ?1

,∵

f n? ? x0 ? f n??1 ? x0 ?

?

fn ? m ? f n ?1 ? m ?

,∴

nx0

n ?1 n

( n ? 1) x0

?

m ?1
n

m

n ?1

?1



得 x0 ?

n( m

n ?1

? 1)
n

( n ? 1)( m ? 1) ?m
n ?1



…………………11 分

则 x0 ? m ?

? m(n ? 1) ? n
n

( n ? 1)( m ? 1)



n n ?1 当 m ? 1 时, (n ? 1)( m ? 1) ? 0 ,设 h( x) ? ? x ? x(n ? 1) ? n( x ? 1) ,

n n 则 h '( x) ? ?(n ? 1) x ? n ? 1 ? ?(n ? 1)( x ? 1) ? 0 (当且仅当 x ? 1 时取等号),

第 10 页 共 10 页

∴ h( x) 在 ?1, ?? ? 上是减函数, 又∵ m ? 1 ,∴ h(m) ? h(1) ? 0 ,∴ x0 ? m ? 0 ,∴ x0 ? m .…………………14 分 当 0 ? m ? 1 时, (n ? 1)( m ? 1) ? 0 ,设 h( x) ? ? x
n n n n ?1

? x (n ? 1) ? n(0 ? x ? 1) ,

则 h '( x) ? ?(n ? 1) x ? n ? 1 ? ?(n ? 1)( x ? 1) ? 0 (当且仅当 x ? 1 时取等号), ∴ h( x) 在 ? 0,1? 上是增函数, 又∵ 0 ? m ? 1 ,∴ h(m) ? h(1) ? 0 ,∴ x0 ? m ? 0 ,∴ x0 ? m . 综上所述,当 m ? 1 时 x0 ? m ,当 0 ? m ? 1 时 x0 ? m ………………………………16 分

第 11 页 共 11 页

第二部分(加试部分)
21.B 选修 4 - 2:矩阵与变换(本题满分 10 分) 解.设 A ? ? ?
? ? 得? ? ?
a

?c

? b? ,由 ? ? d? ?

Ae1 ? ?1e1 Ae2 ? ?2e2

…………………3 分
a?3 c?0 b ? ?2 d ? ?1

?a ? ?c ?a ? ?c

b ? ?1 ? ?1 ? ? 3? ? 3? ? ? ? ? ? ?? ? d ? ?0? ?0? ?0? b ? ?1 ? ?? ? d ? ? 2?
?3 ?0

a?3 ? ? ? c?0 ? ,即 ? ,? ? 1 ? ? ?1? ? a ? 2b ? ?1 ? ? ?1? ? ? ? ? ? ? ? c ? 2 d ? ?2 2 ? ? ?2 ? ?



所以 A ? ?

?2 ? ? ?1?

…………………10 分

21.C. 选修 4 - 4:坐标系与参数方程 (本题满分 10 分) 解:依题意 A(4, 0) , B (0, 3) , AB ? 5 ,直线 AB :
? 1 ,即 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 4 3 设点 P 的坐标为 (4 cos ? , 3sin ? ) ,则点 P 到直线 AB 的距离是 ? d ? | 3 ? 4 cos ? ? 4 ? 3sin ? ? 12 | 5 ? 12 5
12( 2 ? 1) 5

x

y

|

2 sin(? ?

?
4

) ? 1| ,

…………………4 分 …………………6 分 …………………10 分

当 sin(? ?

?
4

) ? ?1 时, d max ?



所以 ?PAB 面积的最大值是 S ?

1 2

AB ? d max ? 6( 2 ? 1)

22.(本题满分 10 分) 解:因为侧面 PCD ? 底面 ABCD ,平面 PCD ? 平面 ABCD ? CD , PD ? CD , 所以 PD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? AD ,即三直线 DA, DC , DP 两两互相垂直。 如图,以 D 为坐标原点, DA, DC , DP 分别为 x, y, z 轴建立直角坐标系, 则 平 面
PBD





n ? (?1,1, 0) ,

个 法 向 量 为 …………………2 分

??? ? ??? ? ??? ? PC ? (0 , 2 , ? 1) , PQ ? ? PC , ? ? (0 , 1) ,所以

Q (0 , 2? , 1 ? ? )

, 设 平 面
??? ?

QBD

的 一 个 法 向 量 为
????

m ? (a, b, c) ,由 m ? BD ? 0 , m ? DQ ? 0 ,
得?
? a?b ? 0 ? 2? b ? (1 ? ? )c ? 0



所以 m ? (?1,1,

2?

? ?1

)
2 2? 2?( ) ? ?1 2?
2

…………………6 分
2 2

所以 cos 45 ?

?

| m ?n| | m |?| n|

,即

?

第 12 页 共 12 页

注意到 ? ? (0,1) ,解得 ? ? 23.(本题满分 10 分)
(1 解: Ⅰ) ? ( 1 2 x ) ? 1 ? Cm (
m 1

2 ?1.

…………………10 分

1 2

x ) ? Cm (
2

1 2

x ) ?? 依题意 a1 ? 1 , 2 ? a
2

1 2

m,3 ? a

m( m ? 1) 8



由 2a2 ? a1 ? a3 可得 m ? 1 (舍去),或 m ? 8 所以 (1 ?
1 2 x ) 展开式的中间项是第五项为: T5 ? C8 (
m 4

…………………2 分
1 2 35 8

x) ?
4

x ;…………………4 分

4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 3n ? 2 , 当 n ? 2 时,
1 an ? 1 an ?1 ? 1 an ?1 ? ? 1 an ? 2 1 an ? 2 ?? ? ?? ? 1 a
n
2

?

1 a2

?

1 a3

?

1 a4

?

1 4

?

1 7 1 a9

?

1 10

?

69 140

?

1 3

当 n ? 3 时,

1 an

1 a
n
2

?

1 a3

?

1 a4

?

1 a5

???

?

1 7

?

1 10

?

1 13

?

1 16

?

1 19

?

1 22

?

1 25

?

1

1 1 1 1 1 1 ?( ? ? )?( ? ? ) 7 10 13 16 19 22 25

?

1

1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 3 1 1 ?( ? ? )?( ? ? ) ? ? ? ? ? ? ? 8 16 16 16 32 32 32 8 16 32 8 16 16 3

猜测:当 n ? 2 时,

1 an

?

1 an ?1

?

1 an ? 2

?? ?

1 a
n
2

?

1 3

…………………6 分

以下用数学归纳法加以证明: ① n ? 3 时,结论成立, ②设当 n ? k 时,
1 ak ? 1 ak ?1 ? 1 ak ? 2 ?? ? 1 a
k
2

?

1 3


1

则 n ? k ? 1 时,
1 ak 1 ak ?1)

1 a( k ?1)

?
1 a( k ?1) ?1

1 a( k ?1) ?1
?

?
1 a( k ?1) ? 2

1 a( k ?1) ? 2

?? ? a
1 a
k
2

( k ?1)

2

?(

?

?

?? ?

) ?(
a

1
k ?1
2

? a

1
k ?2
2

?? ? a

1
( k ?1)
2

?

1 ak

)

?

1 3

?( a
?

1
k ?1
2

? a

1
k ?2
2

?? ? a

1
( k ?1)
2

?
2

1 ak

)?

1 3

?

(2k ? 1) 3( k ? 1) ? 2
2

?

1 3k ? 2

?

1 3

(2k ? 1)(3k ? 2) ? [3( k ? 1) ? 2] [3( k ? 1) ? 2][3k ? 2]
2

?

1 3

?

3k ? 7 k ? 3
2

[3( k ? 1) ? 2][3k ? 2]
2

由 k ? 3 可知, 3k 2 ? 7 k ? 3 ? 0 即
1 a( k ?1) ? 1 a( k ?1) ?1 ? 1 a( k ?1) ? 2 ?? ? a 1
( k ?1)
2

?

1 3

第 13 页 共 13 页

综合①②可得,当 n ? 2 时,

1 an

?

1 an ?1

?

1 an ? 2

?? ?

1 a
n
2

?

1 3

…………………10 分

第 14 页 共 14 页



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