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【三维设计】2014届高考数学一轮(基础知识+高频考点+解题训练)同角三角函数的基本关系与诱导公式教学案



第二节

同角三角函数的基本关系与诱导公式

[知识能否忆起] 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin α +cos α =1(α ∈R). π sin α ? ? (2)商数关系:tan α = ?α ≠kπ + 2 ,k∈Z?. cos α ? ? 2.六组诱导公式 角 函数 正弦 2kπ +α (k∈Z) π +α -α

- sin_α cos_α - tan_α π -α π -α 2 π +α 2
2 2

sin_α

-sin_α

sin_α

cos_α

cos_α - sin_α

余弦

cos_α

-cos_α

-cos_α

sin_α

正切

tan_α

tan_α

-tan_α

对于角“


2

±α ”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变

偶不变”是指“当 k 为奇数时, 正弦变余弦, 余弦变正弦; k 为偶数时, 当 函数名不变”. “符 号看象限”是指“在 α 的三角函数值前面加上当 α 为锐角时,原函数值的符号”. [小题能否全取] 1.sin 585°的值为( A.- C.- 2 2 3 2 ) B. D. 2 2 3 2

解析:选 A sin 585°=sin(360°+225°) =sin 225°=sin(180°+45°)=-sin 45° =- 2 . 2
1

π 2. (教材习题改编)已知 sin(π +θ )=- 3cos(2π -θ ), |< , θ 等于( |θ 则 2 π A.- 6 C. π 6 π B.- 3 D. π 3

)

解析:选 D ∵sin(π +θ )=- 3cos(2π -θ ), ∴-sin θ =- 3cos θ ,∴tan θ = 3. π π ∵|θ |< ,∴θ = . 2 3

?π sin? +θ ?2 3.已知 tan θ =2,则 ?π sin? -θ ?2
A.2 C.0 B.-2 2 D. 3

?-cos? π -θ ? ? ? =( ?-sin? π -θ ? ? ?

)

cos θ +cos θ 2 2 解析:选 B 原式= = = =-2. cos θ -sin θ 1-tan θ 1-2 1 ?3π ? 4.(教材习题改编)如果 sin(π +A)= ,那么 cos? -A?的值是________. 2 ? 2 ? 1 1 解析:∵sin(π +A)= ,∴-sin A= . 2 2 1 ?3 ? ∴cos? π -A?=-sin A= . 2 ?2 ? 1 答案: 2 1 5.已知 α 是第二象限角,tan α =- ,则 cos α =________. 2 解析:由题意知 cos α <0,又 sin α +cos α =1, sin α 1 2 5 tan α = =- .∴cos α =- . cos α 2 5 2 5 答案:- 5
2 2

应用诱导公式时应注意的问题 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函

2

数,其步骤:去负号—脱周期—化锐角.特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化.

同角三角函数的基本关系式

典题导入 1 [例 1] (1)(2012?江西高考)若 tan θ + =4,则 sin 2θ =( tan θ A. C. 1 5 1 3 1 B. 4 1 D. 2 )

(2)已知 sin(3π +α )=2sin? [自主解答] (1)∵tan θ + ∴ ∴ sin θ cos θ + =4, cos θ sin θ

?3π +α ?,则 sin α -4cos α =________. ? 5sin α +2cos α ? 2 ?

1 =4, tan θ

sin θ +cos θ 2 =4,即 =4, cos θ sin θ sin 2θ

2

2

1 ∴sin 2θ = . 2 (2)法一:由 sin(3π +α )=2sin? 原式=

?3π +α ?得 tan α =2. ? ? 2 ?

tan α -4 2-4 1 = =- . 5tan α +2 5?2+2 6

法二:由已知得 sin α =2cos α . 2cos α -4cos α 1 原式= =- . 5?2cos α +2cos α 6 1 [答案] (1)D (2)- 6

在(2)的条件下,sin α +sin 2α =________.

2

3

sin α +2sin α cos α tan α +2tan α 8 2 解析:原式=sin α +2sin α cos α = = = . 2 2 2 sin α +cos α tan α +1 5 8 答案: 5

2

2

由题悟法 sin α 2 2 1.利用 sin α +cos α =1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用 =tan α cos α 可以实现角 α 的弦切互化. 2.应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α +cos α ,sin α cos α ,sin α - cos α 这三个式子,利用(sin α ±cos α ) =1±2sin α cos α ,可以知一求二(参阅本节 题型技法点拨). 3.注意公式逆用及变形应用:1=sin α +cos α ,sin α =1-cos α ,cos α =1- sin α . 以题试法 1.(1)(2012?长沙模拟)若角 α 的终边落在第三象限,则 值为( A.3 C.1 ) B.-3 D.-1 cos α 1-sin α
2 2 2 2 2 2 2 2



2sin α 1-cos α
2



(2)已知 sin α =2sin β ,tan α =3tan β ,则 cos α =________. 解析:(1)由角 α 的终边落在第三象限得 sin α <0,cos α <0, cos α 2sin α cos α 2sin α 故原式= + = + =-1-2=-3. |cos α | |sin α | -cos α -sin α (2)∵sin α =2sin β ,tan α =3tan β , ∴sin α =4sin β ,① tan α =9tan β ,② 由①÷②得:9cos α =4cos β ,③ ①+③得:sin α +9cos α =4, ∵cos α +sin α =1, 3 6 2 ∴cos α = ,即 cos α =± . 8 4 答案:(1)B (2)± 6 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

4

三角函数的诱导公式

典题导入 3π ? ? tan? π +α ? cos? 2π +α ? sin?α - ? 2 ? ? [例 2] (1) =________. cos? -α -3π ? sin? -3π -α ? sin? (2)已知 A=

kπ +α ? cos? kπ +α ? + (k∈Z),则 A 的值构成的集合是( sin α cos α
B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2}

)

A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2} [自主解答] (1)原式 π ?? ? ? tan α cos α sin?-2π +?α + ?? 2 ?? ? ? = cos? 3π +α ? [-sin? 3π +α ? ]

?π tan α cos α sin? +α ?2 = ? -cos α ? sin α

? ? ? tan α cos α cos α
= ? -cos α ? sin α

tan α cos α sin α cos α =- =- ? =-1. sin α cos α sin α sin α cos α (2)当 k 为偶数时,A= + =2; sin α cos α

k 为奇数时,A=

-sin α cos α - =-2. sin α cos α

[答案] (1)-1 (2)C 由题悟法 利用诱导公式化简求值时的原则 (1)“负化正”,运用-α 的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函 数. (2)“大化小”,利用 k?360°+α (k∈Z)的诱导公式将大于 360°的角的三角函数化 为 0°到 360°的三角函数. (3)“小化锐”,将大于 90°的角化为 0°到 90°的角的三角函数. (4)“锐求值”,得到 0°到 90°的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非特殊角 可由计算器求得. 以题试法 2.(1)(2012?滨州模拟)sin 600°+tan 240°的值等于( A.- 3 2 B. 3 2
5

)

1 C. 3- 2

1 D. 3+ 2

(2)已知 f(x)=asin(π x+α )+bcos(π x-β ),其中 α ,β ,a,b 均为非零实数, 若 f(2 012)=-1,则 f(2 013)等于________. 解析:(1)sin 600°+tan 240°=sin(720°-120°)+tan(180°+60°)=-sin 120°+tan 60°=- 3 3 + 3= . 2 2

(2)由诱导公式知 f(2 012)=asin α +bcos β =-1, ∴f(2 013)=asin(π +α )+bcos(π -β )=-(asin α +bcos β )=1. 答案:(1)B (2)1

诱导公式在三角形中的应用

典题导入 [例 3] 在△ABC 中,若 sin(2π -A)=- 2sin(π -B), 3cos A=- 2cos (π -

B),求△ABC 的三个内角.
[自主解答] 由已知得 sin A= 2sin B, 3cos A= 2cos B 两式平方相加得 2cos A =1, 即 cos A= 2 2 或 cos A=- . 2 2 2 3 时,cos B= ,又角 A、B 是三角形的内角, 2 2
2

(1)当 cos A=

π π 7π ∴A= ,B= ,∴C=π -(A+B)= . 4 6 12 (2)当 cos A=- 2 3 时,cos B=- , 2 2

3π 5π 又角 A、B 是三角形的内角,∴A= ,B= ,不合题意. 4 6 π π 7π 综上知,A= ,B= ,C= . 4 6 12 由题悟法 1. 诱导公式在三角形中经常使用, 常用的角的变形有: +B=π -C,2A+2B=2π -2C, A

A B C π

A+B C + + = 等,于是可得 sin(A+B)=sin C,cos =sin 等; 2 2 2 2 2 2
2.求角时,通常是先求出该角的某一个三角函数值,再结合其范围,确定该角的大小. 以题试法
6

3.在三角形 ABC 中, (1)求证:cos
2

A+B

+cos =1; 2 2

2

C

?π ? ?3 ? (2)若 cos? +A?sin? π +B?tan (C-π )<0,求证:三角形 ABC 为钝角三角形. 2 ? ? ?2 ?
证明:(1)在△ABC 中,A+B=π -C,则 所以 cos 故 cos
2

A+B π
2

= - , 2 2

C

A+B
2

C ?π C? =cos? - ?=sin , 2 ? 2 2?
2

A+B

+cos =1. 2 2

C

?π ? ?3 ? (2)若 cos? +A?sin? π +B?tan (C-π )<0, ?2 ? ?2 ?
则(-sin A)(-cos B)tan C<0, 即 sin Acos Btan C<0, ∵在△ABC 中,0<A<π ,0<B<π ,0<C<π ,
? ?cos B<0, ∴sin A>0,? ? ?tan C>0 ? ?tan C<0, 或? ? ?cos B>0,

∴B 为钝角或 C 为钝角,故△ABC 为钝角三角形.

1.已知 sin(θ +π )<0,cos(θ -π )>0,则下列不等关系中必定成立的是( A.sin θ <0,cos θ >0 C.sin θ >0,cos θ >0 B.sin θ >0,cos θ <0 D.sin θ <0,cos θ <0

)

解析:选 B sin(θ +π )<0,∴-sin θ <0,sin θ >0. ∵cos(θ -π )>0,∴-cos θ >0.∴cos θ <0. 2.(2012?安徽名校模拟)已知 tan x=2,则 sin x+1=( A.0 C. 4 3
2 2

)

B. D.
2

9 5 5 3
2

2sin x+cos x 2tan x+1 9 2 解析:选 B sin x+1= = . 2 2 = 2 sin x+cos x tan x+1 5 sin α +cos α 1 3.(2012?江西高考)若 = ,则 tan 2α =( sin α -cos α 2 )
7

3 A.- 4 4 C.- 3

B. D.

3 4 4 3

sin α +cos α tan α +1 1 解析:选 B ∵ = = ,∴tan α =-3. sin α -cos α tan α -1 2 2tan α 3 ∴tan 2α = = . 2 1-tan α 4 24 ? π ? 4.(2013?淄博模拟)已知 sin 2α =- ,α ∈?- ,0?,则 sin α +cos α =( 25 ? 4 ? 1 A.- 5 7 C.- 5 B. D. 1 5 7 5 )

1 2 解析:选 B (sin α +cos α ) =1+2sin α cos α =1+sin 2α = , 25

? π ? 又 α ∈?- ,0?,sin α +cos α >0, ? 4 ?
1 所以 sin α +cos α = . 5 3 π ?π ? 5.已知 cos? -φ ?= ,且|φ |< ,则 tan φ =( 2 ?2 ? 2 A.- 3 3 B. 3 3 )

C.- 3

D. 3

3 ?π ? 解析:选 D cos? -φ ?=sin φ = , 2 ?2 ? π 1 又|φ |< ,则 cos φ = ,所以 tan φ = 3. 2 2 π 6.已知 2tan α ?sin α =3,- <α <0,则 sin α =( 2 A. C. 3 2 1 2 B.- 3 2 )

1 D.- 2
2

2sin α 解析:选 B 由 2tan α ?sin α =3 得, =3, cos α π 2 即 2cos α +3cos α -2=0,又- <α <0, 2
8

1 解得 cos α = (cos α =-2 舍去), 2 故 sin α =- 3 . 2

? 17π ?-sin?-17π ?的值是________. 7.cos?- ? 4 ? 4 ? ? ? ? ?
17π 17π π π 解析:原式=cos +sin =cos +sin = 2. 4 4 4 4 答案: 2

sin θ +cos θ ?3π -θ ?=________. 8.若 =2,则 sin(θ -5π )sin? ? sin θ -cos θ ? 2 ? sin θ +cos θ 解析:由 =2,得 sin θ +cos θ =2(sin θ -cos θ ),两边平方得: sin θ -cos θ 1+2sin θ cos θ =4(1-2sin θ cos θ ), 3 故 sin θ cos θ = , 10 ∴sin(θ -5π )sin? 答案: 3 10

?3π -θ ?=sin θ cos θ = 3 . ? 10 ? 2 ?

2π ? ?π ? 2 ? 9.(2013?中山模拟)已知 cos? -α ?= ,则 sin?α - ?=________. 3 ? ?6 ? 3 ? 2π ? ? π ?π ? 解析:sin?α - ?=sin?- -? -α 3 ? ? ? 2 ?6

?? ?? ??

2 ?π ?π ?? ?π ? =-sin? +? -α ??=-cos? -α ?=- . 3 ?? ?6 ? ?2 ?6 2 答案:- 3 10.求值:sin(-1 200°)?cos 1 290°+cos(-1 020°)?sin(-1 050°)+tan 945°. 解:原式=-sin 1 200°?cos 1 290°+cos 1 020°?(-sin 1 050°)+tan 945° =-sin 120°?cos 210°+cos 300°?(-sin 330°)+tan 225° =(-sin 60°)?(-cos 30°)+cos 60°?sin 30°+tan 45° = 3 3 1 1 ? + ? +1=2. 2 2 2 2

1 11.已知 cos(π +α )=- ,且 α 是第四象限角,计算: 2 (1)sin(2π -α );
9

sin [α +? 2n+1? π ]+sin [α -? 2n+1? π ] (2) (n∈Z). sin? α +2nπ ? cos? α -2nπ ? 1 1 1 解:∵cos(π +α )=- ,∴-cos α =- ,cos α = . 2 2 2 又∵α 是第四象限角, ∴sin α =- 1-cos α =-
2

3 . 2

(1)sin(2π -α )=sin [2π +(-α )]=sin(-α ) =-sin α = 3 ; 2

sin [α +? 2n+1? π ]+sin [α -? 2n+1? π ] (2) sin? α +2nπ ? ?cos? α -2nπ ? = = = = sin? 2nπ +π +α ? +sin? -2nπ -π +α ? sin? 2nπ +α ? ?cos? -2nπ +α ?

sin? π +α ? +sin? -π +α ? sin α ?cos α -sin α -sin? π -α ? sin α ?cos α -2sin α sin α cos α

2 =- =-4. cos α 3? ?4 12.(2012?信阳模拟)已知角 α 的终边经过点 P? ,- ?. 5 5? ? (1)求 sin α 的值;

?π sin? -α ?2 (2)求 sin? α +π

tan? α -π ? ? 的值. ? cos? 3π -α ?

? ? ?

解:(1)∵|OP|=1, ∴点 P 在单位圆上. 3 由正弦函数的定义得 sin α =- . 5 cos α tan α (2)原式= ? -sin α -cos α = sin α 1 = , sin α ?cos α cos α

4 5 由余弦函数的定义得 cos α = .故所求式子的值为 . 5 4

10

1+sin x 1 cos x 1.已知 =- ,那么 的值是( cos x 2 sin x-1 A. 1 2 1 B.- 2 D.-2
2

)

C.2

1+sin x sin x-1 sin x-1 cos x 1 解析:选 A 由于 ? = =-1,故 = . 2 cos x cos x cos x sin x-1 2 2.若角 α 的终边上有一点 P(-4,a),且 sin α ?cos α = A.4 3 4 3 C.-4 3或- 3 B.±4 3 D. 3 3 ,则 a 的值为( 4 )

解析: C 依题意可知角 α 的终边在第三象限, P(-4,)在其终边上且 sin α ?cos 选 点 a α = 3 3 4 3 易得 tan α = 3或 ,则 a=-4 3或- . 4 3 3
2

3.已知 A、B、C 是三角形的内角, 3sin A,-cos A 是方程 x -x+2a=0 的两根. (1)求角 A; 1+2sin Bcos B (2)若 =-3,求 tan B. 2 2 cos B-sin B 解:(1)由已知可得, 3sin A-cos A=1.① 又 sin A+cos A=1, 所以 sin A+( 3sin A-1) =1, 即 4sin A-2 3sin A=0, 得 sin A=0(舍去)或 sin A= π 2π 则 A= 或 , 3 3 π 2π 2π 将 A= 或 代入①知 A= 时不成立, 3 3 3 π 故 A= . 3 1+2sin Bcos B (2)由 =-3, 2 2 cos B-sin B 得 sin B-sin Bcos B-2cos B=0, ∵cos B≠0,∴tan B-tan B-2=0,
2 2 2 2 2 2 2 2

3 , 2

11

∴tan B=2 或 tan B=-1. ∵tan B=-1 使 cos B-sin B=0,舍去, 故 tan B=2.
2 2

?π ? ?π ? 1.已知 sin? -α ?=m,则 cos? +α ?等于( ?4 ? ?4 ?
A.m C. 1-m
2

)

B.-m D.- 1-m
2

?π ? 解析:选 A ∵sin? -α ?=m, ?4 ? ?π ? ?π ? ∴cos? +α ?=sin? -α ?=m. 4 ? ? ?4 ?
1 ? ? 2.求证:sin θ (1+tan θ )+cos θ ?1+ = tan θ ? 1

?

? sin θ



1 . cos θ

? sin θ ?+cos θ ?1+cos θ ? 证明:左边=sin θ ?1+ ? ? sin θ ? ? cos θ ? ? ?
=sin θ + sin θ cos θ +cos θ + cos θ sin θ
2 2 2 2

cos θ ? ? sin θ ? ? =?sin θ + ?+?cos θ +cos θ ? sin θ ? ? ? ? = = sin θ +cos θ cos θ +sin θ + sin θ cos θ 1 1 + =右边. sin θ cos θ 2? π ? ? <α <π ?.求下列各式的值: 3 ?2 ?
2 2 2 2

3.已知 sin(π -α )-cos(π +α )= (1)sin α -cos α ;

? ? 3?π 3?π (2)sin ? -α ?+cos ? +α ?. ?2 ? ?2 ?
解:由 sin(π -α )-cos(π +α )= 得 sin α +cos α = 2 ,① 3 2 , 3

2 7 将①两边平方,得 1+2sin α ?cos α = ,故 2sin α ?cos α =- . 9 9 又 π <α <π ,∴sin α >0,cos α <0. 2

12

4 ? 7? 16 2 (1)(sin α -cos α ) =1-2sin α ?cos α =1-?- ?= ,∴sin α -cos α = . 3 ? 9? 9

? ? 3 ?π 3 ?π 3 3 2 (2)sin ? -α ? +cos ? +α ? =cos α -sin α =(cos α -sin α )(cos α +cos 2 ? ? ?2 ?
7? 4 ? 22 2 α ?sin α +sin α )=- ??1- ?=- . 3 ? 18? 27

13



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