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浙江专用2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第1讲导数的概念与导数的计算练习



第三章 导数及其应用 第 1 讲 导数的概念与导数的计算练习
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.设曲线 y=e -ln(x+1)在 x=0 处的切线方程为 2x-y+1=0,则 a=( A.0
ax ax

)

B.1

C.2
ax

D.3

解析 ∵y=e -ln(x+1),∴y′=ae -

1 ax ,∴当 x=0 时,y′=a-1.∵曲线 y=e x+1

-ln(x+1)在 x=0 处的切线方程为 2x-y+1=0,∴a-1=2,即 a=3.故选 D. 答案 D 2.若 f(x)=2xf′(1)+x ,则 f′(0)等于( A.2 B.0 C.-2
2

) D.-4

解析 ∵f′(x)=2f′(1)+2x,∴令 x=1,得 f′(1)=-2, ∴f′(0)=2f′(1)=-4. 答案 D 3.(2017·杭州质测)曲线 f(x)=x -x+3 在点 P 处的切线平行于直线 y=2x-1,则 P 点 的坐标为( A.(1,3) C.(1,3)和(-1,3)
2 3

) B.(-1,3) D.(1,-3)
2

解析 f′(x)=3x -1,令 f′(x)=2,则 3x -1=2,解得 x=1 或 x=-1,∴P(1,3) 或(-1,3),经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线 y=2x-1 上,故选 C. 答案 C 4.(2017·石家庄调研)已知曲线 y=ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为( A.e B.-e 1 C. e 1 D.- e )

1 解析 y=ln x 的定义域为(0,+∞),且 y′= ,设切点为(x0,ln x0),则 y′|x=x0

x

1 1 = ,切线方程为 y-ln x0= (x-x0),因为切线过点(0,0),所以-ln x0=-1,解得

x0

x0

x0=e,故此切线的斜率为 .
答案 C 5.(2016·郑州质检)已知 y=f(x)是可导函数,如图,直线 y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x =3 处的切线,令 g(x)=xf(x),g′(x)是 g(x)的导函数,则 g′(3)=( )

1 e

1

A.-1

B.0

C.2

D.4

1 1 解析 由题图可知曲线 y=f(x)在 x=3 处切线的斜率等于- ,∴f′(3)=- ,∵g(x) 3 3 =xf(x),∴g′(x)=f(x)+xf′(x),∴g′(3)=f(3)+3f′(3),又由题图可知 f(3)=

? 1? 1,所以 g′(3)=1+3×?- ?=0. ? 3?
答案 B 二、填空题 6.(2015·天津卷改编)已知函数 f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中 a 为实数,f′(x) 为 f(x)的导函数,若 f′(1)=3,则 a 的值为________;f(x)在 x=1 处的切线方程为 ________. 1? ? 解析 f′(x)=a?ln x+x· ?=a(1+ln x),由于 f′(1)=a(1+ln 1)=a,又 f′(1)

?

x?

=3,所以 a=3.f(x)=3xln x,f(1)=0,∴f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=3(x-1), 即为 3x-y-3=0. 答案 3 3x-y-3=0

7.(2016·全国Ⅲ卷)已知 f(x)为偶函数, 当 x<0 时, f(x)=ln(-x)+3x, 则曲线 y=f(x) 在点(1,-3)处的切线方程是________. 解析 设 x>0,则-x<0,f(-x)=ln x-3x,又 f(x)为偶函数,f(x)=ln x-3x,

f′(x)= -3,f′(1)=-2,切线方程为 y=-2x-1. x
答案 2x+y+1=0 1 x 8.(2015·陕西卷)设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线垂

1

x

直,则 P 的坐标为________. 1 x x 0 解析 y′=e ,曲线 y=e 在点(0,1) 处的切线的斜率 k1=e =1,设 P(m,n),y= (x

x

1 1 1 >0)的导数为 y′=- 2(x>0),曲线 y= (x>0)在点 P 处的切线斜率 k2=- 2(m>0),

x

x

m

因为两切线垂直,所以 k1k2=-1,所以 m=1,n=1,则点 P 的坐标为(1,1). 答案 (1,1) 三、解答题
2

1 3 2 9.(2017·长沙调研)已知点 M 是曲线 y= x -2x +3x+1 上任意一点,曲线在 M 处的切线 3 为 l,求: (1)斜率最小的切线方程; (2)切线 l 的倾斜角 α 的取值范围. 解 (1)y′=x -4x+3=(x-2) -1≥-1,
2 2

5 ∴当 x=2 时,y′=-1,y= , 3

? 5? ∴斜率最小的切线过点?2, ?,斜率 k=-1, ? 3?
∴切线方程为 3x+3y-11=0. (2)由(1)得 k≥-1,∴tan α ≥-1,

? π ? ? 3π ? 又∵α ∈[0,π ),∴α ∈?0, ?∪? ,π ?. 2? ? 4 ? ? ? π ? ?3π ? 故 α 的取值范围为?0, ?∪? ,π ?. 2 4 ? ? ? ?
1 3 4 10.已知曲线 y= x + . 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程. 解 1 3 4 2 (1)∵P(2,4)在曲线 y= x + 上,且 y′=x , 3 3

∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为 y′|x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0. 1 3 4? 1 3 4 ? (2)设曲线 y= x + 与过点 P(2, 4)的切线相切于点 A?x0, x0+ ?, 则切线的斜率为 y′|x 3 3? 3 3 ? =x0=x0. 2 3 4 ?1 3 4? 2 2 ∴切线方程为 y-? x0+ ?=x0(x-x0),即 y=x0·x- x0+ .∵点 P(2,4)在切线上,∴4 3? 3 3 ?3 2 3 4 2 3 2 3 2 2 =2x0- x0+ ,即 x0-3x0+4=0,∴x0+x0-4x0+4=0, 3 3 ∴x0(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,∴(x0+1)(x0-2) =0,解得 x0=-1 或 x0=2,故所 求的切线方程为 x-y+2=0 或 4x-y-4=0. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 11.已知 f1(x)=sin x+cos x,fn+1(x)是 fn(x)的导函数,即 f2(x)=f1′(x),f3(x)=
3
2 2 2

f′2(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,则 f2 017(x)等于(
A.-sin x-cos x C.-sin x+cos x 解析 B.sin x-cos x D.sin x+cos x

)

∵f1(x)=sin x+cos x,∴f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x,∴f3(x)=f2′(x)=

-sin x-cos x, ∴f4(x)=f3′(x)=-cos x+sin x, ∴f5(x)=f4′(x)=sin x+cos x, ∴fn(x)是以 4 为周期的函数, ∴f2 017(x)=f1(x)=sin x+cos x,故选 D. 答案 D 12.已知函数 f(x)=g(x)+x ,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则 曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( A.4 解析 1 B.- 4 C.2 ) 1 D.- 2
2

f′(x)=g′(x)+2x.∵y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,∴g′

(1)=2,∴f′(1)=g′(1)+2×1=2+2=4, ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 4. 答案 A 13.(2016·全国Ⅱ卷)若直线 y=kx+b 是曲线 y=ln x+2 的切线,也是曲线 y=ln(x+1) 的切线,则 b=________. 1 解析 y=ln x+2 的切线为:y= ·x+ln x1+1(设切点横坐标为 x1).

x1

y=ln(x+1)的切线为:y=

1 x2 x+ln(x2+1)- (设切点横坐标为 x2). x2+1 x2+1

1 1 = ? ?x x +1, ∴? x ln x +1=ln(x +1)- , ? ? x +1
1 2 2 1 2 2

1 1 解得 x1= ,x2=- ,∴b=ln x1+1=1-ln 2. 2 2 答案 1-ln 2 14.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值,并 求此定值.

b x

4



7 (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3, 4

b 1 2a- = , ? ? 2 2 1 b 当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ ,于是? 2 x b 7 ?a+4=4, ?
2

解得?

?a=1, ? ?b=3. ?

3 故 f(x)=x- .

x

(2)设 P(x0,y0)为曲线上任一点, 3? 3 ? 3? ? 由 y′=1+ 2知曲线在点 P(x0, y0)处的切线方程为 y-y0=?1+ 2?(x-x0), 即 y-?x0- ?

x

?

x0?

?

x0?
0

6? 6 ? 3? ? =?1+ 2?(x-x0).令 x=0,得 y=- ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为?0,- ?. x x

?

0

?

x0

?

?

令 y=x,得 y=x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 1? 6 ? 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为 S= ?- ?|2x0| 2? x0? =6. 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为定值,且此 定值为 6. 15.如图,从点 P1(0,0)作 x 轴的垂线交曲线 y=e 于点 Q1(0,1),曲线在 Q1 点处的切线与
x

x 轴交于点 P2.再从 P2 作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2, 依次重复上述过程得到一系列点: P1, Q1;P2,Q2;…;Pn,Qn,记 Pk 点的坐标为(xk,0)(k=1,2,…,n).

(1)试求 xk 与 xk-1 的关系(k=2,…,n); (2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|. 解 (1)设点 Pk-1 的坐标是(xk-1,0),
x x

∵y=e ,∴y′=e , ∴Qk-1(xk-1,e k-1),在点 Qk-1(xk-1,e k-1)处的切线方程是 y-e k-1=e k-1(x-xk-1),令 y =0,则
x x x x

xk=xk-1-1(k=2,…,n).
(2)∵x1=0,xk-xk-1=-1, ∴xk=-(k-1), ∴|PkQk|=e k=e
x
-(k-1)


5

于是有|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn| =1+e +e +…+e = 1-e e-e , -1= 1-e e-1
1-n -n 1-n -1 -2 -(n-1)

e-e 即|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|= . e-1

6



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