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4.方程根与函数零点(学)



方程根与函数零点
一、零点问题 1.研究零点是否在给定区间上,常采用验证 f (a) ? f (b) ? 0 的方法。 例 1:函数 f ( x) ? ln x ?

2 的零点所在的大致区间是 x

A. (1,2) B.(2,e) C.(e,3) D.(e,+∞) 2.研究是否存在零点及零点个数是,常采用画图像看交点的方法(数

形结合思想) 例 2.函数 f ( x) ? x ? x 的零点个数是 。

例 3.若函数 f ( x) ?| 4 x ? x2 | ?a 的零点个数是 3,则 a 的值为



二、方程根的分布问题 1.一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根,有一负根,其 实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧。
2 设一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 。

? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0 【定理 1】 x1 ? 0 , x2 ? 0 (两个正根) ? ? , b ? ? x1 ? x2 ? ? ? 0 a ? c ? x1 x2 ? ? 0 ? a ? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? 推论: x1 ? 0 , x2 ? 0 ? ?a ? 0 或? ?a ? 0 ? ? f ( 0 ) ? c ? 0 ? ? f (0) ? c ? 0 ? ? ?b ? 0 ?b ? 0

上述推论结合二次函数图象不难得到。

【例1】

若一元二次方程 (m ? 1) x ? 2(m ? 1) x ? m ? 0 有两个正根,求 m 的取值范围。
2

? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0 ? 【定理 2】 x1 ? 0 , x2 ? 0 ? ? x ? x ? ? b ? 0 , ? 1 2 a ? c ? x1 x 2 ? ? 0 ? a ?
推论:x1 ? 0 ,x2 ? 0
?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 或? ?? ?a ? 0 ?a ? 0 ? ? f ( 0 ) ? c ? 0 ? ? f (0) ? c ? 0 ? ? ?b ? 0 ?b ? 0
2

由二次函数图象易知它的正确性。 【例2】 若一元二次方程 kx ? 3kx ? k ? 3 ? 0 的两根都是负数,求 k 的取值范围。 【定理 3】 x1 ? 0 ? x2 ?

c ?0 a

2 【例3】 k 在何范围内取值,一元二次方程 kx ? 3kx ? k ? 3 ? 0 有一个正根和一个负根?

1 x1 ? 0 , x2 ? 0 ? c ? 0 且 【定理 4】 ○ 2 x1 ? 0 , x2 ? 0 ? c ? 0 且 ○

b ? 0; a

b ?0。 a

【例4】 若一元二次方程 kx ? (2k ? 1) x ? k ? 3 ? 0 有一根为零,则另一根是正根还是负根?
2

2.一元二次方程的非零分布—— k 分布
2 设一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 。 k 为常数。则一元二次方程

根的 k 分布(即 x1 , x2 相对于 k 的位置)有以下若干定理。 【定理 1】 k ? x1 ? x2
? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ?af (k ) ? 0 ? ? b ?? ?k ? 2a

【定理 2】 x1 ? x2 ? k

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 。 ?? ?af (k ) ? 0 ? b ?? ?k ? 2a

【定理 3】 x1 ? k ? x2 ? af (k ) ? 0 。

推论 1 x1 ? 0 ? x2 ? ac ? 0 。 推论 2 x1 ? 1 ? x2 ? a(a ? b ? c) ? 0 。 【定理 4】有且仅有 k1 ? x1 (或 x2 ) ? k 2 ? f (k1 ) f (k 2 ) ? 0

?a ? 0 ?a ? 0 ? f (k ) ? 0 ? f (k ) ? 0 1 1 ? ? ? ? 【定理 5】 k1 ? x1 ? k 2 ? p1 ? x2 ? p2 ? ? f ( k 2 ) ? 0 或 ? f ( k 2 ) ? 0 ?f (p ) ? 0 ?f (p ) ? 0 1 1 ? ? ? f ( p2 ) ? 0 ? ? f ( p2 ) ? 0 ?

? ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? ?a ? 0 ?a ? 0 ? ? 【定理 6】 k1 ? x1 ? x2 ? k 2 ? ? f (k1 ) ? 0 或 ? f (k1 ) ? 0 ? f (k ) ? 0 ? f (k ) ? 0 2 2 ? ? b b ? ? k1 ? ? ? k2 k1 ? ? ? k2 ? ? 2a 2a ? ?

三、例题与练习 【例5】 (1)已知方程 x ? 11x ? m ? 2 ? 0 的两实根都大于 1,求 m 的取值范围。
2

(2)若一元二次方程 mx ? (m ? 1) x ? 3 ? 0 的两个实根都大于-1,求 m 的取值范围。
2

(3)若一元二次方程 mx ? (m ? 1) x ? 3 ? 0 的两实根都小于 2,求 m 的取值范围。
2

【例6】 (1)已知方程 x ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 有一根大于 2,另一根比 2 小,求 m 的取值范围。
2 2

(2)已知方程 x 2 ? (m ? 2) x ? 2m ?1 ? 0 有一实根在 0 和 1 之间,求 m 的取值范围。

(3)已知方程 x 2 ? (m ? 2) x ? 2m ?1 ? 0 的较大实根在 0 和 1 之间,求实数 m 的取值范围。 变式:改为较小实根

(4)若方程 x 2 ? (k ? 2) x ? k ? 0 的两实根均在区间( ? 1 、1)内,求 k 的取值范围。

(5)若方程 x 2 ? (k ? 2) x ? 2k ?1 ? 0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间,求 k 的取值范围。

2 2 (6) 已知关于 x 的方程 (m ?1) x ? 2mx? m ? m ? 6 ? 0 的两根为 ?、? 且满足 0 ? ? ? 1 ? ? , 求 m 的取值范 围。

【例7】 已知关于 x 的二次方程 x +2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围. 本题重点考查方程的根的分布问题,解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.

2



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