9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学复习空间点、线、面的位置关系人教版必修2


1.借助长方体模型,在直观地认识和理解 空间点、线、面的位置关系的基础上,抽 象出空间线、面位置关系的定义,并了解 可作为推理依据的公理(1~3). 2.了解空间两条直线的位置关系,掌握 异面直线所成的角的概念,会用平移法作 出异面直线所成的角,并求角的大小.

一、平面的基本性质及公理 公理1:如果一条直线上的① _______ 在一个平面内, 那么这条直线在这个平面内. 公理2:过② ________________ 的三点,有且 只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们③ __________ 过该点的公共直线. 公理4: (平行公理)平行于④ ____________ 的两 直线互相平行.

二、直线与直线的位置关系 1.位置关系的分类 ? ?⑤ ?共面直线 ? ? ?⑥ ? ?异面直线:不同⑦ 2.异面直线所成的角

在一个平面内

?1? 定义:设a,b是两条异面直线,经过空间
中任一点O作直线a?//a,b?//b,把a?与b?所成的 ⑧ ______ 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

? 2 ? 范围:⑨ __________________ .

三、直线与平面的位置关系
位置关系
直线a在 平面a内 直线a在 平面a内 直线a在 平面a内 ____个公共 点 _________

公共点 符号表示

有且只有 有⑩____个 ____个公共 公共点 点 __________ __________

图形表示

四、两个平面的位置关系
位置关系 两平面平行 图示 表示法 ______ 公共点个数

__________ 公共点
有____个公共点, 且都在一条直线上

两 平 面 相 交

斜交

垂直

有____个公共点, 且都在一条直线上

五、等角定理 空间中如果两个角的两边分别对 应平行,那么这两个角 _______ .

【要点指南】 ①两点;②不在同一直线上;③有一条; ④同一直线;⑤相交直线;⑥平行直线; ⑦任何;⑧锐角或直角;⑨(0, ]; 2 ⑩无数; 1; 没有; a ? a; a ? a ? A; a //a; a //?; 没有; a ? ? ? l; 无数; a ? ?; 无数; 相等或互补

?

1.用符号表示“点 A 在直线 l 上,l 在平面 α 外”,正 确的是( ) B.A∈l,l?α D.A?l,l?α

A.A∈l,l?α C.A?l,l?α

【解析】本小题考查立体几何中的符号语言.

2.若空间三条直线 a、b、c 满足 a⊥b、b⊥c,则 直线 a 与 c( D ) A.一定平行 B.一定相交

C.一定是异面 D.平行、相交、异面都有可能

3.(2011· 四川卷)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线, 则下列命题正确的是( ) A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面

【解析】由 l1⊥l2,l2∥l3,根据异面直线所成角知 l1 与 l3 所成角为 90° ,选 B.

4.若直线 l 上有两点到平面 α 的距离相等,则直线 l 与平面 α 的关系是 平行或相交 .

【解析】当这两点在 α 的同侧时,l 与 α 平行;当 这两点在 α 异侧时,l 与 α 相交.

5.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. ①A1B1 与 BC 所成的角为 ②A1C1 与 AB 所成的角为 ③A1C1 与 AB1 所成的角为 90° ; 45° ; 60° .



基本概念问题

【例 1】下列命题中: ①若直线 a 与 b 没有公共点,则 a∥b; ②若直线 b∥平面 α,直线 a?α,则 b∥a; ③若平面 α∥β,b?β,a?α,则 b∥a; ④若直线 a 不在平面 α 内,则 a∥α; ⑤长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,平面 ABCD 与平面 A1BC1 只有一个公共点 B; ⑥直线 a、b、c,若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b. 其中真命题的个数是( A.0 B.1 ) C.3 D.4

【分析】 平面几何的知识向立体几何推广的时 候,要慎重.在直线与直线的位置关系中,空间 中多了一种全新的异面关系, 复习时应借助熟悉 的空间几何图形,理解这种关系.

【解析】此题考查的是空间点、线、面的位置关系,解 决此类问题要概念清晰,逐个分析,可借助熟悉的图形. ①直线 a 与 b 没有公共点,a、b 可能平行或异面;②直 线 b∥平面 α,直线 a?α,a、b 可能平行或异面;③若平面 α∥β,b?β,a?α,可知直线 b 与 a 无公共点,则 a 与 b 可 平行也可异面;④若直线 a 不在平面 α 内,则 a 与 α 相交或 平行;⑤平面与平面如果有公共点,就不止一个,应该有一 条过 B 的公共直线.⑥在空间内,考虑问题要脱离平面的束 缚,长方体的共点的三条棱两两垂直,便是反例.据以上分 析,故选 A.

【点评】 本题易错在:(1)分析命题①⑥时把平面几何中的结 论直接照搬,不加分析;(2)分析命题⑤时,只看到表面上只 有一个交点,误以为这两个面只有一个交点.

素材1

设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命 题正确的是( )

A.若 l⊥m,m?α,则 l⊥α B.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α C.若 l∥α,m?α,则 l∥m l∥m D.若 l∥α,m∥α,则

【解析】当 l⊥m,m?α 时,l 可能在平面 α 内, 也可能平行平面 α 或与平面 α 相交,故 A 不对;因为 两条平行线中的一条垂直于一个平面, 则另一条直线也 垂直于该平面,故 B 正确;当 l∥α,m?α 时,l∥m 或 l 与 m 异面,故 C 不对;当 l∥α,m∥α 时,l∥m 或 l 与 m 相交或 l 与 m 异面,故 D 不对.



平面的基本性质及平行公理的应用

【点评】1.证点、线共面的常用方法: (1)纳入平面法: 先确定一个平面, 再证明有关点、 线在此平面内; (2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面 α, 再证明其余元素确定平面 β,最后证明 α、β 重合. 2.点共线问题 证明空间点共线问题,一般转化为证明这些点是 某两个平面的公共点,再根据公理 3 证明这些点都在 这个平面的交线上.

3.证线共点问题 证明空间三线共点问题,先证明两条直线交于一 点,再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明 点在直线上.

素材2

正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O,AC、BD 交于点 M,求证:C1、O、M 共线. 寻找两个 确定C1、O、M 【分析】 → → 得结论 . 相交平面 在这两个平面内

【证明】 如图所示,A1A∥C1C?确定平面 A1C.

? ? ? ? A1C∩平面BC1D=O?O∈平面BC1D?

A1C?平面A1C? ??O∈平面A1C. 又O∈A1C ?

?O 在平面 A1C 与平面 BC1D 的交线上. AC∩BD=M?M∈平面BC1D? ? ? 且M∈平面A1C ? 平面BC1D∩平面A1C=C1M ? ?O∈C1M,即 O、C1、M 三点共线.



求异面直线所成的角

【例 3】如图,正四面体 ABCD 的棱长为 a,E、F 分 别是 AD、BC 的中点.求 EF、CD 所成角的大小.

【解析】设 G 是 AC 的中点,连接 GE,GF,则 GE∥CD, 所以∠GEF 是直线 EF、CD 所成的角,设为 θ. 因为 E、F 分别为 AD、BC 的中点, 所以 CE⊥AD,AF⊥BC,DF⊥BC. 因为 AF∩DF=F,所以 BC⊥平面 AFE,所以 EF⊥BC.

1 2 1 所以 EF =EC -CF =CD -CF -DE =a -2a =2
2 2 2 2 2 2 2

1 a ,FG=EG=2a,
2

1 2 1 2 1 2 2a +4a -4a 所以 cosθ= = 2 1 2·2 a·a 2

1 2 2a 2 = 2 ,则 θ=45° . 2 2 2a

所以 EF、CD 所成角的大小为 45° .

【点评】求异面直线的夹角,需要在几何体中作线段 的平移.求异面直线所成的角一般方法是平移法,通过平 移构造三角形,利用正弦定理和余弦定理求解.如果两条 直线具有垂直关系,则直接用垂直的判定定理.

素材3

直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90° ,AB=AC =AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( A.30° C.60° B.45° D.90° )

【解析】 由原来的直三棱柱补成一个正方体 ABDC- A1B1D1C1. 因为 AC1∥BD1, 所以∠A1BD1 即为异面直线 BA1 与 AC1 所成的角. 因为△A1BD1 为正三角形,所以∠A1BD1=60° .

备选例题

如图,设 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AE AH CF CG AB、BC、CD、DA 上的点,且EB=DH=λ, FB =GD=μ. (1)若 λ=μ,判断四边形 EFGH 的形状; (2)若 λ≠μ,判断四边形 EFGH 的形状.

1.平面的三个基本性质是立体几何的推理依据, 要注意通过作图(特别是截面图)的训练,加深对 公理的掌握和理解.确定平面的公理2及三个推 论是将立体几何问题转化为平面几何问题的依据. 2.证明若干个点共线的重要方法之一是证明这 些点分别是两个平面的公共点,再由公理3可知 它们共线. 3.证明点共面,线共面的基本途径是由满足确 定平面条件的几个点或几条直线作出平面,再证 明其他元素也在该平面内.

4.学习空间平行直线时,要掌握等角定理,并 能熟练地应用公理4论证有关直线平行问题. 5.理解异面直线的定义,对“不同在任何一个平 面内的两条直线”要有深刻的认识. 6.求两条异面直线所成角的大小的具体步骤是: ①选点平移;②证明所作角为异面直线的夹角; ③解三角形求角. 7.处理异面直线问题,通常的思路是将空间问 题平面化处理.


赞助商链接

更多相关文章:
必修二数学点、线、面的位置关系复习
必修二数学点、线、面的位置关系复习_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修二,...空间四边形 ABCD 中,AD=BC=2,E.F 分别是 AB、CD 的中点, EF ? 3 ,则...
高中数学必修2知识点总结:第二章_直线与平面的位置关系
高中数学必修 2 知识点总结第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、...简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a b αβ => a∥α a ∥b ...
高中数学必修2第二章点线面之间的位置关系导学案
高中数学必修2第二章点线面之间的位置关系导学案_数学_高中教育_教育专区。§ ...可以确定一个平 面③经过两条平行直线,可以确定一个平面④经过空间任意三点可以...
...之间的位置关系》单元测试 新人教版必修2A
高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系》单元测试 新人教版必修2A_数学_高中教育_教育专区。第 1 题. 下列命题正确的是( )A.经过三点确定一个平面 ...
高中数学 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 解读...
高中数学 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 解读点、线、面间的位置关系素材 新人教A版必修2_数学_高中教育_教育专区。解读点、线、面间的位置关系一、...
高中数学章点、直线、平面之间的位置关系复习导学...
高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系复习导学案新人教A版必修2 - 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 复习 教学目标: 1.理解掌握空间点、直线、平面...
...平面与平面之间的位置关系教案新人教版必修2
高中数学】2.1.3-2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系教案新人教版必修2_高三数学_数学_高中教育_教育专区。§2.1.3 — 2.1.4 空间中...
高中数学 空间直线位置关系导学案 新人教版必修2
2.1.3_空间中直线与平面之... 17页 1财富值 高中数学复习空间点、线、.....【课前预习】阅读教材 P44-50 完成下面填空 1.空间两直线的位置关系和异面...
...直线、平面之间的位置关系 人教版(A)必修2
平面之间的位置关系 人教版(A)必修2_数学_高中教育...空间四边形 ). C.正方形 5.已知 m,n 为异面...点 B,D 重合,∴ AB,CD,AC 三条面对角线构成等...
2017-2018学年高中数学(人教版必修2)配套练习-:2.1.2空...
高中数学(人教版必修2)配套练习-:2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系(含...空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是 A.空间四边形...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图