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四川省2015届高三上期第一次月考数学文试题



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宜宾三中 2012 级高三第一月考数学文科试题 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

京翰高考网试题(gaokao.zgjhjy.com) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知集合 M={x∈Z|-2<x<1},N={-1,0,1

},则集合 M 与 N 的关系是( A.M∈N
1 2

)

B.M?N )

C.M?N

D.M=N

2.函数 f ( x) ? x ? 1 的图象大致是(

" 条件 q :"b ? ac" 则p是q成立的( 3. 若条件 p :"a, b, c成等比数列 ) (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
4. 如图,在复平面内,复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA , OB ,则复数 应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限

z1 对 z2

C.第三象限 D.第四象限

?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c , a ? 1, 5. 若 B ? 2A , b? 3,
则c ?( A. 2 3 ) B. 2 C. 2 D. 1 或 2

6.将函数 y= cos ( ( A. x ? )

1 ? ? x ? )的图象上各点向左平移 个单位,所得函数图象的一条对称轴是 2 3 6
B. x ?

?
9

?
8


C. x ? ? 是等差数列

D. x ? 的前n项和,且

?
2

7.在等比数列 则 =( ) (A) 2 (B) 4

中,如果 (C) 10

(D) 20 )

1 ? 1 1 8.已知 a =ln ,b=sin ,c= 2 2 ,则 a,b,c 的大小关系为( 2 2

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

C. b ? a ? c

D. b ? c ? a

9. 已知| OA |=1, | OB | = 3 ,OA ·OB =0, 点 C 在∠AOB 内, 且∠AOC=60°, 设 OC =m OA +n OB

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(m,n∈R) ,则 A.

m =( n
C.



1 4

B.

1 3

1 2

D.1

10.已知函数 y ? f ( x) 是定义在数集 R 上的奇函数,且当 x ? (??,0) 时, xf ?( x) ? f (? x) 成立, 若 a ? 3 f ( 3) , b ? (lg 3) f (lg 3) , c ? (log 2 A. c ? a ? b B. c ? b ? a

1 1 ) f (log 2 ) ,则 a, b, c 的大小关系是( ) 4 4 C. a ? b ? c D. a ? c ? b

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.命题“若两三角形全等则它们相似”的逆否命题为__________________________. 12.已知数列 {an } 是等差数列,若 a4 ? a7 ? a10 ? 15, 2a6 ? a3 ? 7 ,且

ak ? 13, 则 k ? __________.
13 . 在 数 列 {an } 中 , an?1 ? an ? a(n ? N * , a 为 常 数 ), 若 平 面 上 的 三 个 不 共 线 的 非 零 向 量

OA, OB, OC 满足 OC ?
为_____. 14.方程 sin x ?

a a1 OA ? 2013 OB ,三点 A,B,C 共线且该直线不过点 O,则 S 2013 的值 2 2

x 的根的个数为_________ 10

1 ? 1 1 ? x ? , x ? A, 15.设集合 A ? [0, ) , B ? [ ,1] ,函数 f ( x) ? ? 2 2 2 ? ?2(1 ? x), x ? B.
若 x0 ? A ,且 f [ f ( x0 )] ? A ,则 x0 的取值范围是_____________.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 (a ? R), 若 f ( x) 能表示成一个奇函数 g ( x) 与 一个偶函数 h( x) 的和。 (1)求 g ( x) 与 h( x) 的解析式;
2 (2)若 f ( x ) 和 g ( x) 在区间 (??, (a ? 1) ] 上都是减函数,求 f (1) 的取值范围。

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17.(本小题满分 12 分)△ABC 中,内角 A、B.C 所对边分别为 a、 .b.c,己知 A= b=1。, (1)求 a 的长及 B 的大小: (2)若 0<x<B,求函数 f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 的值域.

? ,c ? 3 , 6

18. (本小题满分 12 分) 如图 1,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,面 ABCD 为正方形, E 为侧棱 PD 上一点, F 为 AB 上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图 2 所示.

(Ⅰ)求四面体 PBFC 的体积; (Ⅱ)证明: AE ∥平面 PFC ; (Ⅲ)证明:平面 PFC ? 平面 PCD

19. (本题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ? (Ⅰ)确定常数 k,求 an; (Ⅱ)求数列 {

1 2 n ? kn , k ? N* ,且 Sn 的最大值为 8. 2

9 ? 2a n } 的前 n 项和 Tn. 2n

20.(本小题满分 13 分) 如图, 在直角坐标系 xOy 中, 角 ? 的顶点是原点, 始边与 x 轴正半轴重合, 终边交单位圆于点 A , 且 ? ? ? , ) .将角 ? 的终边按逆时针方向旋转 (Ⅰ)若 x1 ?

? ? 6 2

? ,交单位圆于点 B .记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 3

1 ,求 x2 ; 3


(Ⅱ) 分别过 A,B 作 x 轴的垂线, 垂足依次为 C,D . 记△ AOC 的

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积为 S1 ,△ BOD 的面积为 S2 .若 S1 ? 2S2 ,求角 ? 的值. 21(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? c ln x 的图象与 x 轴相切于点 S ( s, 0) . x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图象与过坐标原点 O 的直线 l 相切于点 T (t , f (t )) ,且 f (t ) ? 0 , 证明: 1 ? t ? e ; (注: e 是自然对数的底) (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,记直线 ST 的倾斜角为 ? ,试证明:

?
4

?? ?

5? . 12

高三第一次月考文科答案
一。选择题 BADBB DCADA 9.选 D. 因为| OA |=1,| OB | = 3 , OA · OB =0, OC =m OA +n OB , 所以, OA ? OC = OA ? (mOA ? nOB) ? m | OA |2 ?nOA ? OB ? m ,

| OC |2 ? (mOA ? nOB)2 ? m2 | OA |2 ?2mnOA ? OB ? n2 | OB |2 ? m2 ? 3n2
由 cos?AOC=

m m 1 OA ? OC ,得, ? ? , 2 2 2 2 2 | OA | ?| OC | m ? 3n m ? 3n

所以,

m =1. n

10.提示:选 A. 因为 x ? ( ??, 0) 时, xf ?( x) ? f (? x) ,所以当 x ? (??,0) 时, xf ?( x) ? f (? x) ? 0 ,又因为函数 ,构造函数 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 所 以 当 x ? (??,0) 时 , x f ?( x)? f ( x) ? 0 ,则 g ?( x) ? xf ? ( x)? f ( x)? 0, x ,所以 g ( x) 在 (??, 0) 上是减函数,又 g ( x) ? x f ( x) ? ?? ( , 0)

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所以 g ( x) 是 R 上的偶函数, 所以 g ( x) 在 (0, ??) 上是增函数, 因 2 ? 3 ? lg3 ? 0 , g ( ? x) ? g ( x) , 所以 g (2) ? g ( 3) ? g (lg3) ,而 g (2) ? g (?2) ? g (log 2 二.填空题。 11.若两个三角形不相似,则它们一定不全等 12.15, 13.2013, 14. 7,

1 ) ,所以有 c ? a ? b ,选 A. 4

1 1 1 ? [ ,1) ,∴ f ( f ( x0 )) ? 2[1 ? ( x0 ? )] 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2( ? x0 ) ,由 2( ? x0 ) ? [0, ) 得 x0 ? ( , ] ,又 x0 ? [0, ) ,∴x0 ? ( , ) . 2 2 2 4 2 2 4 2
15. 提示: ( , ) .由 x0 ? A ? [0, ) ,得 f ( x0 ) ? x0 ? 三.解答题。 2 2 16.(1)g(x)=(a+1)x,h(x)=x +a --------6 分 (2)(2,11/4] --------12 分
2 2 2 17.解析 :解:(1)由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 4 ? 2 3 cos 6 ? 1

1 1 4 2

1 2

?

--2 分

? a ?1

------------4 分

?B ? A ?

?

6

--------6 分 -----7 分

(2) f ? x ? ? 2sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x = 2sin ? 2 x ?

? ?

??
? 3?

------------9 分

由 (1)得 0 ? x ?

?
6

?

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? 3 ?? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 3 2 3? ?

--------11 分

? 函数的值域为

?

3, 2? ?

----------12 分

18. 【解析】 (Ⅰ)由左视图可得 F 为 AB 的中点, 所以 △ BFC 的面积为 S ? 因为 PA ? 平面 ABCD , 所以四面体 PBFC 的体积为

1 ?1 ? 2 ? 1. 2

1 VP ? BFC ? S ?BFC ? PA 3 1 2 ? ?1? 2 ? . 3 3

------------4 分

(Ⅱ)证明:取 PC 中点 Q ,连结 EQ , FQ .

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由正(主)视图可得 E 为 PD 的中点,所以 EQ ∥ CD , EQ ? 又因为 AF ∥ CD , AF ?

1 CD . 2

1 CD , 所以 AF ∥ EQ , AF ? EQ . 2

所以四边形 AFQE 为平行四边形,所以 AE ∥ FQ . 因为 AE ? 平面 PFC , FQ ? 平面 PFC , 所以 直线 AE ∥平面 PFC . --------8 分 (Ⅲ)证明:因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? CD . 因为面 ABCD 为正方形,所以 AD ? CD . 所以 CD ? 平面 PAD . 因为 AE ? 平面 PAD ,所以 CD ? AE . 因为 PA ? AD , E 为 PD 中点,所以 AE ? PD . 所以 AE ? 平面 PCD . 因为 AE ∥ FQ ,所以 FQ ? 平面 PCD . 因为 FQ ? 平面 PFC , 所以 平面 PFC ? 平面 PCD . 19【解析】 (Ⅰ)当 n=k∈N 时,Sn= ?
*

----------12 分

1 2 1 1 n ? kn 取最大值,即 8= Sk ? ? k 2 ? k 2 ? k 2 ,故 k2=16, 2 2 2 9 7 9 因此 k=4,--------3 分从而 an ? S n ? S n ?1 ? ? n(n ? 2) ,又 a1 ? S1 ? ,所以 an ? ? n . --------6 2 2 2


9 ? 2an n ? n ?1 ,------------7 分 n 2 2 2 3 n ?1 n 所以 Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? 1 ? ? 2 ? ... ? n ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2 1 1 n 1 n n ? 2 Tn ? 2 Tn ? Tn ?2 ?1 ? ? ... ? ? ? 4 n? ? 4 ? n? ---------12 分 n?2 n ?1 ?2 n ?1 2 2 2 2 2 2 ?1 ? 20【解析】 (Ⅰ)由三角函数定义,得 x1 ? cos ? , x2 ? cos(? ? ) . --------2 分 3 ? ? 1 因为 ? ? ? , ) , cos ? ? , 6 2 3
(Ⅱ)因为 bn ?

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所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 所以

2 2 . 3

------------4 分 --------6

分 ? 1 3 1? 2 6 x2 ? cos(? ? ) ? cos ? ? sin ? ? 3 2 2 6 ? (Ⅱ)依题意得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ? ) . ------------8 分 3 1 1 1 所以 S1 ? x1 y1 ? cos ? ? sin ? ? sin 2? , ------------9 分 2 2 4 1 1 ? ? 1 2? S2 ? | x2 | y2 ? [? cos(? ? )] ? sin(? ? ) ? ? sin(2? ? ) .------------10 分 2 2 3 3 4 3 2? ) ,--------11 分 依题意得 sin 2? ? ?2sin(2? ? 3 整理得 cos 2? ? 0 . ? ? ? ? ? ? , 所以 ? 2? ? ? , 因为 6 2 3 ? ? 所以 2? ? , 即 ? ? . ----------13 分 2 4 1 1 c ' 21【解析】 (Ⅰ)由 f ( x) ? ? c ln x ,得 f ( x) ? ? 2 ? . --------1 分 x x x 1 ∵函数 f ( x) ? ? c ln x 的图象与 x 轴相切于点 S ( s, 0) , x 1 c cs ? 1 1 ' ? 0 ,……① -----2 分且 f ( s) ? ? c ln s ? 0 …….② -----3 分 ∴ f ( s) ? ? 2 ? ? 2 s s s s 1 1 联立①②得 c ? e , s ? . ∴ f ( x) ? ? e ln x . ------------4 分 x e 1 e ' (Ⅱ) f ( x) ? ? 2 ? . x x 1 ∵函数 f ( x) ? ? c ln x 的图象与直线 l 相切于点 T (t , f (t )) ,直线 l 过坐标原点 O , x 1 e ∴直线 l 的方程为: y ? (? 2 ? ) x ,--------5 分 t t 2 又∵ T 在直线 l 上,∴实数 t 必为方程 ? e ln t ? e ? 0 …….③的解. t 2 2 e et ? 2 ' 令 g (t ) ? ? e ln t ? e , 则 g (t ) ? ? 2 ? ? ,--------6 分 t t t t2 2 2 ' ' 解 g (t ) ? 0 得 t ? , g (t ) ? 0 得 0 ? t ? . e e 2 2 ∴函数 y ? g (t ) 在 (0, ] 递减,在 ( , ??) 递增. --------7 分 e e 1 2 ∵ g ( ) ? 0 ,且函数 y ? g (t ) 在 (0, ) 递减, e e

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1 2 2 是方程 ? e ln t ? e ? 0 在区间 (0, ] 内的唯一一个解, e t e 1 1 2 又∵ f ( ) ? 0 ,∴ t ? 不合题意,即 t ? . e e e 2 2 ∵ g (1) ? 2 ? e ? 0 , g (e) ? ? 0 ,函数 y ? g (t ) 在 ( , ??) 递增, e e
∴t ? ∴ 必有 1 ? t ? e . --------9 分

(Ⅲ)∵ T (t , f (t )) , S ( ,0) ∴ tan? ? k ST

1 e

1 ? e ln t f (t ) ? 0 t ,--------10 分 ? ? 1 t?s t? e

1 ? e ln t e 由③得 tan? ? t ? , --------11 分 1 t t? e ? ∵ t ? 0 ,且 0 ? ? ? ? ,∴ 0 ? ? ? . 2 e ∵ 1 ? t ? e ,∴ 1 ? tan ? ? ? e , ----------12 分 t
∵ tan

?
4

? 1 , tan

5? ? ? ? tan( ? ) ? 12 6 4
5? , 12

∴ tan

?
4

4 ? 2? 3 ? e , ? ? 1 ? tan tan 6 4

tan

?

6

? tan

?

? tan ? ? tan

∵ y ? tan x 在 (0,

?
2

) 单调递增,∴

?
4

?? ?

5? . ----------14 分 12

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