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经典三角函数公式及其图像大全



经典三角函数公式及其图像大全
三角函数是中学课程里,非常重要的一部分,应将其作为学习 的一个重点。

⒈L 弧长= ? R= 180
2 2

nπR

S 扇= 1 LR= 1 R2 ? = n? ? R
2 2

2

360

>2.S⊿= 1 a ? ha = 1 ab sin C = 1 bc sin A = 1 ac sin B = abc =2R 2 sin A sin B sin C
2 2 4R

a 2 sin B sin C b 2 sin A sin C c 2 sin Asin B = = = =pr= p( p ? a)( p ? b)( p ? c) 2 sin B 2 sin C 2 sin A

(其中 p ? 1 (a ? b ? c) , r 为三角形内切圆半径)
2

3.正弦定理:

b c a = = = 2R(R sin A sin B sin C

为三角形外接圆半径) b 2 =a 2 +c 2 -2ac cos B
b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? 2bc

4. 余 弦 定 理 : a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos A c =a +b
2 2 2

-2ab cos C

⒌同角关系: ⑴商的关系: tg? = y = sin? ①
x
③ sin ? ? ⑤ cos ? ?

cos ?

= sin ? ? sec ? ② ctg? ? ④ sec ? ? ⑥ csc ? ?

x cos? ? ? cos? ? csc ? y sin ?
r 1 ? ? tg? ? csc ? x cos ?

y ? cos ? ? tg? r x ? sin ? ? ctg ? r

r 1 ? ? ctg? ? sec ? y sin ?

⑵倒数关系: sin ? ? csc? ? cos? ? sec? ? tg? ? ctg? ? 1
1

⑶平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? sec2 ? ? tg 2? ? csc2 ? ? ctg 2? ? 1 ⑷ a sin ? ? b cos? ?
a 2 ? b2 sin(? ? ? )
a

(其中辅助角 ? 与点(a,b)

在同一象限,且 tg? ? b ) ⒍函数 y= A sin(? ? x ? ? ) ? k 的图象及性质: ? ? 0, A ? 0 ) ( 振幅 A,周期 T= 2? , 频率 f= 1 , 相位 ? ? x ? ? ,初相 ? ⒎五点作图法:令 ?x ? ? 依次为 0 ? , ? , 3? ,2? 求出 x 与 y,
2 2

?

T

依点 ?x, y ? 作图 ⒏诱导公试 sin -?
? -?
? +?

cos

tg

ctg - ctg ? - ctg ? + ctg ? - ctg ? + ctg ?

三角函数值等于 ? 的同 前面加上 名三角函数值, 一个把 ? 看作锐角时, 原 三角函数值的符号;即: 函数名不变, 符号看象限

- sin ?

+ cos? - tg? - tg? + tg?

+ sin ? - cos? - sin ? - sin ? - cos?

2? -? 2k ? + ?

+ cos? - tg?

+ sin ? + cos? + tg?

sin
? ?
2 ??

con

tg

ctg

三角函数值等于 ? 的异 前面加上 名三角函数值, 一个把 ? 看作锐角时, 原 三角函数值的符号;即: 函数名改变, 符号看象限

+ cos? + sin ? + ctg ? + tg? + cos? - sin ? - cos? - cos? - sin ? - ctg ? - tg?

?? 2 3? ?? 2 3? ?? 2

+ ctg ? + tg? - tg?
2

+ sin ? - ctg ?

⒐和差角公式
① sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ③ tg (? ? ? ) ?
tg? ? tg? 1 ? tg? ? tg?

② cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ④ tg? ? tg? ? tg(? ? ? )(1 ? tg? ? tg? )

⑤ tg (? ? ? ? ? ) ?

tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? 其中当 A+B+C=π 时,有: 1 ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg?

i). tgA ? tgB ? tgC ? tgA? tgB ? tgC ⒑二倍角公式:(含万能公式) ① sin 2? ? 2 sin ? cos? ?
2tg? 1 ? tg 2?

ii). tg tg

A 2

B A C B C ? tg tg ? tg tg ? 1 2 2 2 2 2

② cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ? ③ tg 2? ?
2tg? 1 ? tg 2?

1 ? tg 2? 1 ? tg 2?

④ sin 2 ? ?

tg 2? 1 ? cos 2? ? 2 1 ? tg ? 2

⑤ cos 2 ? ?

1 ? cos 2? 2

⒒三倍角公式: ① sin 3? ? 3sin ? ? 4 sin 3 ? ? 4 sin ? sin(60? ? ? ) sin(60? ? ? ) ② cos3? ? ?3 cos? ? 4 cos3 ? ? 4 cos? cos(60? ? ? ) cos(60? ? ? ) ③ tg 3? ?
3tg? ? tg 3? ? tg? ? tg (60 ? ? ) ? tg (60 ? ? ) 1 ? 3tg 2?

⒓半角公式: (符号的选择由 所在的象限确定) ① sin ? ?
2

? 2

?

1 ? cos? 2
1 ? cos ? 2

② sin 2

?
2

?

1 ? cos ? 2

③ cos ? ?
2

?

1 ? cos? 2

④ cos 2

?
2

?

⑤ 1 ? cos ? ? 2 sin 2

?
2

⑥ 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?
2

3

⑦ 1 ? sin ? ? (cos ? sin ) 2 ? cos ? sin
2 2 2

?

?

?

?
2

⑧ tg

?
2

??

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?

⒔积化和差公式:
sin ? cos ? ? 1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? cos ? sin ? ? 1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 2 1 1 cos ? cos ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )? sin ? sin ? ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos ?? ? ? ?? 2 2

⒕和差化积公式: ① sin ? ? sin ? ? 2 sin
???
2 cos

???

③ cos ? ? cos ? ? 2 cos ⒖反三角函数: 名称

???
2

cos

???
2

2

② sin ? ? sin ? ? 2 cos

???
2

sin

???
???
2 2

④ cos ? ? cos ? ? ?2 sin

???
2

sin

函数式

定义域

值域
? ? ?? ?? 2 , 2 ? ? ?

性质
arcsin(-x)? -arcsinx 奇

反正弦函数 y ? arcsin x 反余弦函数 反正切函数 反余切函数
y ? arccos x

?? 1,1? 增
?? 1,1? 减
R R 增 减

?0, ? ?
? ? ?? ?? , ? ? 2 2?

arccos(? x) ? ? ? arccosx arctg(-x)? - arctgx 奇

y ? arctgx

y ? arcctgx

?0, ? ?

arcctg(? x) ? ? ? arcctgx

⒗最简单的三角方程 方程
sin x ? a

方程的解集
a ?1

?x | x ? 2k? ? arcsin a, k ? Z ?

a ?1

?x | x ? k? ? ?? 1? arcsin a, k ? Z ?
k

4

cosx ? a

a ?1
a ?1

?x | x ? 2k? ? arccosa, k ? Z ? ?x | x ? 2k? ? arccosa, k ? Z ? ?x | x ? k? ? arctga, k ? Z ? ?x | x ? k? ? arcctga, k ? Z ?

tgx ? a

ctgx ? a

三角、反三角函数图像
六个三角函数值在每个象限的符号:

sinα·cscα 三角函数的图像和性质:

cosα·secα

tanα·cotα

y=sinx
-5? 2 -4? -7? -3? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1 y
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -2? -3? 2 -? -

? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2 4?

x

y

y

y=tanx

y=cotx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

5

函数 定义域

y=sinx R

y=cosx R

y=tanx {x|x∈R 且 x≠kπ+

y=cotx {x|x∈R 且 x≠kπ,k∈Z}

[-1,1]x=2kπ+ 值域 ymax=1 x=2kπ-

? [-1,1] 时 x=2kπ 时 ymax=1 2
x=2kπ+π 时 ymin=-1

? ,k∈Z} 2

R 无最大值 无最小值

R 无最大值 无最小值

? 时 ymin=-1 2

周期性 奇偶性

周期为 2π 奇函数 在[2kπ-

周期为 2π 偶函数

周期为 π 奇函数

周期为 π 奇函数 在(kπ,kπ+π)内 都是减函数(k∈ Z)

单调性

? ? ? 在[2kπ-π,2kπ] ,2kπ+ ] 在(kπ- , 上都是增函数; 2 2 2 ? 上都是增函数;在 在 [2kπ, 2kπ+π] kπ+ )内都是增 ? 2 上都是减函数(k 2 [2kπ+ ,2kπ+ π] ∈Z) 函数(k∈Z) 3 2
上都是减函数(k∈Z)

.反三角函数:

arcsinx

arccosx

arctanx 名称 反正弦函数 反余弦函数
6

arccotx 反正切函数 反余切函数

y=sinx(x∈ 〔定义

? ? , 〕的反函 2 2

数,叫做反正弦函 数,记作 x=arsiny arcsinx 表示属于

y=cosx(x∈ 〔0,π〕)的反函 数,叫做反余弦 函数,记作 x=arccosy arccosx 表示属 于[0,π] ,且 余弦值等于 x 的 角 [-1,1] [0,π] 在[-1,1]上是 减函数 arccos(-x)=π-ar ccosx cos(arccosx)=x( x∈[-1,1]) arccos(cosx)=x( x∈[0,π])

y=tanx(x∈(-

? )的反函数,叫 2
做反正切函数, 记作 x=arctany arctanx 表示属于 (-

? , 2

y=cotx(x∈(0,π)) 的反函数,叫做 反余切函数,记 作 x=arccoty

理解

[-

? ? , ] 2 2

? ? , ), 且正切值 2 2

arccotx 表示属于 (0, π)且余切值等 于 x 的角

且正弦值等于 x 的 角 定义域 值域 性 质 单调性 奇偶性 周期性 [-1,1] [-

等于 x 的角 (-∞,+∞) ((-∞,+∞) (0,π) 在(-∞,+∞)上是 减函数 arccot(-x)=π-arc cotx cot(arccotx)=x(x ∈R) arccot(cotx)=x(x ∈(0,π))

? ? , ] 2 2

? ? , ) 2 2

在〔-1,1〕上是增 函数 arcsin(-x)=-arcsinx 都不是同期函数 sin(arcsinx)=x(x∈ [-1, 1] )arcsin(sinx)=x(x ∈[-

在(-∞,+∞)上是增 数 arctan(-x)=-arctanx

tan(arctanx)=x(x∈ R)arctan(tanx)=x x ( ∈(-

恒等式

? ? , ]) 2 2

? ? , )) 2 2

互余恒等式

arcsinx+arccosx=

? (x∈[-1,1]) 2

arctanx+arccotx=

? (X∈R) 2

7



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