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平面向量【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】



概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
平面向量
一.向量有关概念: 1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线 段来表示,注意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移) 。如: ? ??? ? 已知 A(1,2) ,B(4,2) ,则把向量 AB 按向量 a =(-1,3)平移后得到的向量是_____ (答: (3,0)

) 2.零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作: 0 ,注意零向量的方向是任意的; ??? ? 3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (与 AB 共线的单位向量是

??? ? AB ); ? ? ??? | AB |

4.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性; 5.平行向量(也叫共线向量) :方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量,记 作: a ∥ b ,规定零向量和任何向量平行。 提醒: ①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等; ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量 共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合; ? ③平行向量无传递性! (因为有 0 ); ??? ? ???? ④三点 A、B、C 共线 ? AB、 AC 共线; 6.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是- a 。如 ? ? ? ? 下列命题: (1)若 a ? b ,则 a ? b 。 (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相 同,终点相同。 (3)若 AB ? DC ,则 ABCD 是平行四边形。 (4)若 ABCD 是平行四边形, ? ?? ? ? ?? ? ??? ? ???? ? ? ? ? , ? c , , /c , 则 AB ? DC 。 (5) 若 a ?bb 则a ?c 。 (6) 若 a / bb 则 a // c 。 其中正确的是_______ (答: (4) (5) ) 二.向量的表示方法: 1.几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如 AB ,注意起点在前,终点在后; 2.符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如 a , b , c 等; 3.坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , ? ? ? j 为基底,则平面内的任一向量 a 可表示为 a ? xi ? y j ? ? x, y ? ,称 ? x, y ? 为向量 a 的坐 标,a = ? x, y ? 叫做向量 a 的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向 量的终点坐标相同。 三.平面向量的基本定理:如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面 内的任一向量 a,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a= ?1 e1+ ?2 e2。如 (1)若 a ? (1,1), b ? (1, ?1), c ? (?1,2) ,则 c ? ______ (答: a ? b ) ; (2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 ?? ?? ? ?? ?? ? A. e1 ? (0,0), e2 ? (1, ?2) B. e1 ? (?1,2), e2 ? (5,7) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10)
?? ?? ? ? ? ?
?
??? ? ????

1? 2

3? 2

D. e1 ? (2, ?3), e2 ? ( , ? )

??

?? ?

1 2

3 4

???? ??? ? ???? ? ??? ? ? ??? ? (3) 已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC , AC 上的中线,且 AD ? a, BE ? b ,则 BC 可用向量

(答:B) ;

? ? a, b 表示为_____

(答: a ? b ) ; (4)已知 ?ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2 DB ,CD ? r AB ? s AC ,则 r ? s 的 值是___ (答:0) 四.实数与向量的积:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a ,它的长度和方向规定 ? ? 如下: ?1? ? a ? ? a , ? 2 ? 当 ? >0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同,当 ? <0 时, ? a 的 ? ? 方向与 a 的方向相反,当 ? =0 时, ? a ? 0 ,注意: ? a ≠0。 五.平面向量的数量积: ??? ? ? ??? ? ? 1.两个向量的夹角:对于非零向量 a , b ,作 OA ? a, OB ? b , ?AOB ? ?
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??

2? 3

4? 3

? 0 ? ? ? ? ? 称为向量 a , b 的夹角,当 ? =0
当? =

时, a , b 同向,当 ? = ? 时, a , b 反向,

? 时, a , b 垂直。 2 2 .平面向量的数量积 :如果两个非零向量 a , b ,它们的夹角为 ? ,我们把数量 ? ? ? ? ,记作: a ? b ,即 a ? b = a b cos ? 。 | a || b | cos? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积或点积)
(1)△ABC 中, | AB |? 3 , | AC |? 4 , | BC |? 5 ,则 AB ? BC ? _________ (答:-9) ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 ? (2)已知 a ? (1, ), b ? (0, ? ), c ? a ? kb, d ? a ? b , c 与 d 的夹角为 ,则 k 等于____
2 2 4
? ? ? ? ? ? (3)已知 a ? 2, b ? 5, a?b ? ?3 ,则 a ? b 等于____
? ?? ? ?? ? ??

规定:零向量与任一向量的数量积是 0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。如

(答:1) ;

(答: 23 ) ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4)已知 a, b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则 a与a ? b 的夹角为____

? 3. b 在 a 上的投影为 | b | cos? ,它是一个实数,但不一定大于 0。如
? ?
? ? ? ?

(答: 30? )

已知 | a |? 3 , | b |? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影为______ (答:

? 4. a ? b 的几何意义:数量积 a ? b 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积。

12 ) 5

5.向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b ,其夹角为 ? ,则: ? ? ? ? ① a ? b ? a ?b ? 0; ? ? ?2 ? ? ? 2 ? ?2 ②当 a , b 同向时, a ? b = a b ,特别地, a ? a ? a ? a , a ? a ;当 a 与 b 反向 ? ? ? ? ? ? b 不同向, a ? b ? 0 是 ? 为锐角的必 时, a ? b =- a b ;当 ? 为锐角时, a ? b >0,且 a、

? ? ? ? 要非充分条件;当 ? 为钝角时, a ? b <0,且 a、 b 不反向, a ? b ? 0 是 ? 为钝角的必要非 充分条件; ? ? ? ? ? ? a?b ③非零向量 a , b 夹角 ? 的计算公式: cos ? ? ? ? ;④ | a ? b |?| a || b | 。如 a b
( 1) 已知 a ? (? ,2? ) , b ? (3? ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围是 ______ 4 1 (答: ? ? ? 或 ? ? 0 且 ? ? ) ; 3 3 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? 1 3 (2)已知 ?OFQ 的面积为 S ,且 OF ? FQ ? 1 ,若 ? S ? ,则 OF , FQ 夹角 ? 的 2 2 取值范围是_________ ? ? (答: ( , ) ) ; 4 3 ? ? ? ? ( 3 ) 已 知 a?( c o 有i 关 x s , x ? s bi n ) y , a 与 y ( cb o 之 s 间 , s n 系 ) ,式
? k ? a ? b ?3 ?
? ?
? ?

? ? ? ? ? ? ? ? a 其中 , k b ,①用 0 ? k k 表示 a ? b ;②求 a ? b 的最小值,并求此时 a 与 b 的夹角
? ?

? 的大小

(答:① a ? b ?

1 k2 ?1 ( k ? 0) ;②最小值为 , ? ? 60? ) 4k 2

六.向量的运算: 1.几何运算: ①向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用于不共 ??? ? ??? ? ? ??? ? ? 线的向量, 如此之外, 向量加法还可利用 “三角形法则” : 设 AB ? a, BC ? b , 那么向量 AC ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? 叫做 a 与 b 的和,即 a ? b ? AB ? BC ? AC ; ??? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ②向量的减法:用“三角形法则” :设 AB ? a, AC ? b, 那么a ? b ? AB ? AC ? CA ,由 减向量的终点指向被减向量的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。如 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ( 1 ) 化 简 : ① AB ? BC ? CD ? ___ ; ② AB ? AD ? DC ? ____ ; ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ③ ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ? _____ ??? ? ???? ? (答:① AD ;② CB ;③ 0 ) ; ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? (2)若正方形 ABCD 的边长为 1, AB ? a, BC ? b, AC ? c ,则 | a ? b ? c | =_____ (答: 2 2 ) ; ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? (3)若 O 是 ? ABC 所在平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,则 ? ABC 的形状为____ (答:直角三角形) ; ( 4 ) 若 D 为 ?ABC 的 边 BC 的 中 点 , ?ABC 所 在 平 面 内 有 一 点 P , 满 足 ??? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ?| AP | ? ? ? ,则 ? 的值为___ P A? B P ? CP ? 0 ,设 ??? | PD | (答:2) ; ??? ? ??? ? ??? ? ? (5)若点 O 是 △ABC 的外心,且 OA ? OB ? CO ? 0 ,则 △ABC 的内角 C 为____ (答: 120? ) ; ? ? 2.坐标运算:设 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则:

? ? ①向量的加减法运算: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 。如
??? ? ??? ?

(1)已知点 A(2,3), B(5, 4) , C (7,10) ,若 AP ? AB ? ? AC(? ? R) ,则当 ? =____时,点 P 在第一、三象限的角平分线上 (答: ) ;
? 1 ??? ? ? (2)已知 A(2,3), B(1,4), 且 AB ? (sin x,cos y) , x, y ? (? , ) ,则 x ? y ? 2 2 2 1 2

??? ?

2 6 ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? (3) 已知作用在点 A(1,1) 的三个力 F1 ? (3,4), F2 ? (2, ?5), F3 ? (3,1) , 则合力 F ? F1 ? F2 ? F3

(答:

?

或?

?

) ;

的终点坐标是 (答: (9,1) ) ? ②实数与向量的积: ? a ? ? ? x1 , y1 ? ? ? ? x1 , ? y1 ? 。 ??? ? ③若 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ?x 2 ?x 1 , y 2 ?y 1 ? ,即一个向量的坐标等于表示这个向 量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如 设 A(2,3), B(?1,5) ,且 AC ? AB , AD ? 3 AB ,则 C、D 的坐标分别是__________ (答: (1, ),(?7,9) ) ;
11 3
???? ? 1 ??? 3
???? ??? ?

? ? ④平面向量数量积: a ? b ? x1x2 ? y1 y2 。如

已知向量 a =(sinx,cosx), b =(sinx,sinx), c =(-1,0) 。 (1)若 x= 求向量 a 、 c 的夹角; (2)若 x∈ [?

3? ? 1 , ] ,函数 f ( x) ? ? a ? b 的最大值为 ,求 ? 的值 8 4 2 1 (答: (1)150? ;(2) 或 ? 2 ? 1 ) ; 2 ? ?2 ? ⑤向量的模: | a |? x 2 ? y 2 , a ?| a |2 ? x 2 ? y 2 。如 ? ? ?? ? ? 已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60? ,那么 | a ? 3b | =_____

? , 3

(答: 13 ) ; ⑥两点间的距离:若 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 | AB |?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

。如

如图,在平面斜坐标系 xOy 中, ?xOy ? 60? ,平面上任一点 P ??? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的: 若 OP ? xe1 ? ye2 , 其中 e1 , e2 分 别为与 x 轴、y 轴同方向的单位向量,则 P 点斜坐标为 ( x, y ) 。 (1) 若点 P 的斜坐标为(2,-2) ,求 P 到 O 的距离|PO|; (2)求以 xOy O 为圆心,1 为半径的圆在斜坐标系 中的方程。 (答: (1)2; (2) x2 ? y 2 ? xy ?1 ? 0 ) ; 七.向量的运算律: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1.交换律: a ? b ? b ? a , ? ? a ? ? ?? ? a , a ? b ? b ? a ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c, a ? b ? c ? a ? b ? c , ? a ? b ? ? a ? b ? a ? ? b ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.分配律: ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a, ? a ? b ? ? a ? ? b , a ? b ? c ? a ? c ? b ? c 。

?

? ? ?

?

?

?

? ? ? ? ?

?

?

? ?

如 下列命题中:① a? ( b ? c ) ? a? b ? a? c ;② a? ( b ? c ) ? ( a? b ) ? c ;③ ( a ? b )2 ?| a |2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?2 ?2 | a | ? | b | ? | b |2 ;④ 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ;⑤若 a ? b ? c ? b, 则 a ? c ;⑥ a ? a ;
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
?

? ? ? ? ? ? 2 ?2 ? ? ?2 ? ? ?2 a ?b b ⑦ ? 2 ? ? ;⑧ (a ? b)2 ? a ? b ;⑨ (a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b 。其中正确的是______ a a

(答:①⑥⑨) 提醒: (1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以 移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能 两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约); (2)向 量的“乘法”不满足结合律,即 a(b ? c) ? (a ? b)c ,为什么? ? ? ? ? ? ? ? ? 八.向量平行(共线)的充要条件: a // b ? a ? ? b ? (a ? b)2 ? (| a || b |)2 ? x1 y2 ? y1 x2 =0。如 ? ? ? ? (1)若向量 a ? ( x,1), b ? (4, x) ,当 x =_____时 a 与 b 共线且方向相同 (答:2) ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)已知 a ? (1,1), b ? (4, x) , u ? a ? 2b , v ? 2a ? b ,且 u // v ,则 x=______ (答:4) ; ??? ? ??? ? ??? ? (3)设 PA ? (k ,12), PB ? (4,5), PC ? (10, k ) ,则 k=_____时,A,B,C 共线 (答:-2 或 11) ? ? ? ? ? ? ? ? 九 . 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 : a ? b ? a ? b ? 0 ?| a ? b |?| a ? b | ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 特 别 地 ???? ???? ???? ???? AB AC AB AC 。如 ( ???? ? ???? ) ? ( ???? ? ) ???? AB AC AB AC (1)已知 OA ? (?1,2), OB ? (3, m) ,若 OA ? OB ,则 m ?
3 ) ; 2 (2)以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB, ?B ? 90? ,则点 B 的 坐标是________ (答:(1,3)或(3,-1) ) ; ? ?? ? ?? ?? ? (3)已知 n ? (a, b), 向量 n ? m ,且 n ? m ,则 m 的坐标是________
??? ? ??? ?
??? ? ??? ?

(答:

(答: (b, ?a)或(?b, a) ) 十.线段的定比分点: 1.定比分点的概念:设点 P 是直线 P 1 P 2 上异于 P 1 、P 2 的任意一点,若存在一个实 ???? ? ???? ? ??? ? ???? 数 ? ,使 PP 所成的比, P 点叫做有向线段 ? ? PP2 ,则 ? 叫做点 P 分有向线段 PP PP 1 1 2 1 2 的 以定比为 ? 的定比分点; 2. ? 的符号与分点 P 的位置之间的关系:当 P 点在线段 P 1 P 2 上时 ? ? >0;当 P 点在线段 P 1 P 2 的延长线上时 ? ? <-1; 当 P 点在线段 P 2 P 1 的延长线上时 ? ?1 ? ? ? 0 ; ???? ? ???? ? 1 ? ,则点 P 分有向线段 P 若点 P 分有向线段 PP 。如 1 2 所成的比为 2P 1 所成的比为 ? 若点 P 分 AB 所成的比为 ,则 A 分 BP 所成的比为_______ (答: ? )
7 3
??? ?

3 4

??? ?

???? ? 3.线段的定比分点公式:设 P 、 , 分有向线段 P ( x , y ) ( x , y ) P ( x , y ) PP 1 1 1 2 2 2 1 2 所成的比
? x? ? ? 为 ? ,则 ? ?y ? ? ?

x ?x ? x1 ? ? x2 x? 1 2 ? ? 2 1? ? ,特别地,当 ? =1 时,就得到线段 P 1 P 2 的中点公式 ? 。 ? y ? y1 ? y2 y1 ? ? y2 ? ? 2 1? ?

在使用定比分点的坐标公式时,应明确 ( x, y ) , ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 的意义,即分别为分点, 起点,终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并 根据这些点确定对应的定比 ? 。如 ??? 1 ??? (1)若 M(-3,-2) ,N(6,-1) ,且 MP ? ? MN ,则点 P 的坐标为_______ 3 7 (答: ( ?6, ? ) ) ; 3 (2)已知 A(a,0), B (3, 2 ? a ) ,直线 y ? ax 与线段 AB 交于 M ,且 AM ? 2 MB ,则 a 等 于_______ (答:2或-4) ? x? ? x ? h 十一.平移公式 :如果点 P( x, y) 按向量 a ? ? h, k ? 平移至 P( x?, y?) ,则 ? ;曲 ? ? y? ? y ? k ? 线 f ( x, y) ? 0 按向量 a ? ? h, k ? 平移得曲线 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 .注意: (1)函数按向量平移与 平常“左加右减”有何联系?(2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊!如 ? ? (1)按向量 a 把 (2, ?3) 平移到 (1, ?2) ,则按向量 a 把点 (?7, 2) 平移到点______ (答: (-8,3) ) ; (2)函数 y ? sin 2 x 的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是 y ? cos2 x ? 1,则
? ?

1 2

???? ?

????

a =________

(答: (?

?
4

,1) )

12、向量中一些常用的结论: (1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | ,特别地,当 a、 b 同向或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b 反向或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b |;当 a、 b 不共线 ? || a | ? | b ||?| a ? b | ;当 a、 ? ? ? ? ? ? ? || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b |(这些和实数比较类似). ( 3 ) 在 ?ABC 中 , ① 若 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? , 则 其 重 心 的 坐 标 为
y ?2 y ? 3 ? x ? x 2? x 3 y ? G? 1 , 1 ? 。如 3 3 ? ? 若⊿ABC 的三边的中点分别为(2,1) 、 (-3,4) 、 心的坐标为_______

(-1,-1) ,则⊿ABC 的重

2 4 (答: (? , ) ) ; 3 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ② PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的重心,特别地 PA? PB? PC?0 ? P 为 3 ?ABC 的重心;

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ③ PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心; ???? ??? ? AC )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心(是 ?BAC 的角平分线所在直 AB ? ? ???? ④向量 ? ( ??? | AB | | AC | 线); ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ⑤ | AB | PC? | BC | PA? | CA | PB ? 0 ? P ?ABC 的内心; ???? ? ???? ? ???? ? ???? MP ? ? MP 1 2 , M ? (3) 若 P 分有向线段 PP 所成的比为 , 点 为平面内的任一点, 则 MP ? 1 2
1? ? ???? ? ???? ? ???? MP ? MP 1 2 ; 特别地 P 为 PP 1 2 的中点 ? MP ? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (4) 向量 PA、 PB、 PC 中三终点 A、B、C 共线 ? 存在实数 ?、? 使得 PA ? ? PB ? ? PC

且 ? ? ? ? 1 .如 平 面 直 角 坐 标 系 中 , O 为 坐 标 原 点 , 已 知 两 点 A(3,1) , B(?1,3) , 若 点 C 满 足
OC ? ?1 OA? ?2 OB ,其中 ?1 , ?2 ? R 且 ?1 ? ?2 ? 1,则点 C 的轨迹是_______ (答:直线 AB)
? ??

? ??

? ??



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