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等差数列前n项和(第1课时) 2


等差数列的前n项和
循化高级中学数学组 韩国福

一、复习
在等差数列中,从第二项开始,每一项与 前一项的差等于同一个常数d,即有
(1) an ? an?1 ? d . ? n ? 1? d 为常数.
(2)若a,b,c为等差数列,则2b ? a ? c. (3)若 ,则 m ( m, n, p, q 均为正数).

m?n ? p?q

a ? an ? ap ? aq ,

二、讲授新课
德国古代著名数学家高斯 9岁的时候很 快就解决了这个问题: 1 + 2 + 3 + … + 100= ? 你知道高斯是怎样算出来的吗?

例 一个堆放铅笔的V形架,最下面第一 层放一支铅笔,往上每一层都比它下面多 放一支,就这样一层一层地往上放。最上 面一层放100支。求这个V形架上共放着多 少支铅笔?

1? 2 ? 3 ?
先补

? 100 ? ?

怎么求呢?

想:探求三角形面积 后分

同理,在100层的V形架中,我们也可以用先补 后分的方法来求.

共有(100x101)/2=5050(支)

如果把100层改为n层,又怎么算呢?

n(n ? 1) 共有 支铅笔 2

1+2+3+· · · +n=?
解:记 Sn= 1+2+3+· · · · · · +n-2+n-1+n 则有 Sn= n+n-1+n-2+· · · +3+2+1; 对应相加得 : 2Sn=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+ · · · +(n-1+2)+(n+1) =n(n+1) 倒序相 加法

( n n ? 1) 则Sn= . 2

思考:对于一般的等差数列,如何 求它的前n项和呢?

? an为数列?an ?的前n项和,用S n 表示,即 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ?1 ? an .

一般地,我们称a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ?1

由高斯算法的启发,对于公差为d的等差 数列,我们用两种方法表示Sn:

Sn ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ?
n个

? [an ? (n ?1)d ]

2Sn ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ?

? (a1 ? an )

?( n a1 ? an ).
( n a1 ? an ) 则S n ? . 2

( n a1 ? an ) Sn ? 2
an ? a1 ? ( n ?1) d

类比梯形面积 公式记忆

( n n ? 1) d ????? ? Sn ? na1 ? 2
( n n ? 1) d ????? ? Sn ? nan ? 2
a1 ? an ?( n ?1) d

例1 2000年11月14日教育部下发了《关于 在中小学实施“校校通”工程的通知》.某 市据此提出了实施“校校通”工程的总目 标:从2001年起用10年时间,在全市中小 学建成不同标准的校园网.据测算,2001年 该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施,计划每年投入 的资金都比上一年增加50万元.那么从2001 年起的未来10年内,该市在“校校通”工 程中的总投入是多少?

例2 已知一个等差数列的前10项和是310, 前20项的和是1220,由这些条件能确定这 个等差数列的前n项和的公式吗?

例 4 求集合M={m | m=7n, n ? N*,且m<100} 中元素的个数,并求这些元素的和.
100 2 解:由7n<100, 得 n ? , 即 n ? 14 . 7 7

因为 n ? N* ,

所以 n ? 14.

所以集合中的元素为:

7, 7 ? 2, 7 ? 3,

, 7 ? 14,

这个数列是等差数列, 记为 { an} ,a1=7, a14=98 .

14 ? (7 ? 98) 因此,S14 ? ? 735. 2

三、小结 1.等差数列前n项和Sn公式的推导.
2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用.
n(a1 ? an ) S ? na ? n(n ? 1) d Sn ? , n 1 2 2

四、课堂练习 P45 1

五、课堂作业 P46 2、3

谢谢大家
再见


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