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陕西省西安中学2017届高三上学期单元练考 数学(文)(word版)



西安中学高 2017 届高三第一学期单元练考 数学试题 命题人:张慧 一、选择题( (本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.已知集合 P ? {x | x 2 ? 2 x ? 0}, Q ? {x | 1 ? x ? 2} ,则 (CR P) ? Q ? ( A. [0,1] B. [0, 2] C. (1,2) D. [1,2] 2.下列函数中既是奇函数,又

在 上单调递增的是( (0, +?) A. y ? sin x B. )
x



y ? ? x2 ?

1 x

C. y ? x3 ? 3x D. y ? e

3. 下列表述正确的个数为( ) ①“ x ? 1 ”是“ log 2 ( x ? 1) ? 0 ”的充分不必要条件; ②命题“ 若a ? ?1,则函数f (x)=ax2 ? 2x ?1 只有一个零点 ”的逆命题为真命题; ③命题“ ?x ? R, e x ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, ex0 ? 0 ” ; ④命题 p: ?x ??1 , +?) ,lg x ? 0 ,命题 q: ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 p ? q 为真命题; A. 0 B. 1 C. 2 ) D. [2,3] D. 3

4.在以下区间中,函数 f (x)=e x ? ex3 ? 4 存在零点的是( A. [?1, 0] B. [0,1] C. [1,2]

? ? 1 ?x x?4 ? ? 5.已知函数 f ( x) ? ? ? ?2? ? f ( x ? 1) x ? 4 ?
A.

则 f (1 ? log 2 5)的值为(



1 4

( ) B.

1 2

1+log 2 5

C.

1 2

D.

1 20

6. 已知 a 是常数, 函数 f ( x) ?
x

1 3 1 x ? (1 ? a) x 2 ? ax ? 2 的导函数 y ? f '( x) 的图像如图所 3 2


示,则函数 g ( x) ?| a ? 2 | 的图像可能是(

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A

B

C

D

(a,b) 7.若点 A 在第一象限且在直线 x ? 2 y ? 4 上移动,则 log 2 a ? log 2 b (
A.有最大值 2 B.有最小值 1 C.有最大值 1



D.没有最大值和最小值 ( )

8. 已 知 函 数 y ? f (1 ? x) 的 图 像 如 下 , 则 y ? f ( x ? 2) 的 图 像 是

A

B

C

D

9. 设函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数, 对任意 x ? R ,都有 f ? x ? ? f ? x ? 4? ,且当 x ?? ?2,0? 时,

?1? f ? x ? ? ? ? ? 1 , 若在区间 ? ?2,6? 内关于 x 的方程 f ? x? ? loga ? x ? 2? ? 0? a ? 1? 恰有三个不同 ?2?
的实数根, 则 a 的取值范围是( A. )

x

?

3 3 ?3 ? 3, 0 B. ( 4, 2] C. ? ? 4, 2 D. ? 4, 2?

?

?

10.已知定义在 R 上的可导函数 f ? x ? 的导函数为 f ? (x) ,满足 f ? ? x ? ? f ? x ? ,且 f ( x ? 2) 为偶 函数, f (4) ? 1 ,则不等式 f ( x) ? e 的解集为(
x



A. ? ?2, ?? ? B. ? 0, ??? C. ?1, ?? ? D. ? 4, ??? 二、填空题 (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.函数 f ( x) ?

1 ? 2 ? x 的定义域为. lg x

? x ? y ? 10 ? 12.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,那么 z ? 2 x ? y 的最大值为. ?x ? 3 ?
13.已知 x ? ln ? , y ? log 1 ? , z
2

? e 2 ,则 x, y, z 的大小关系为.

?

1

14.函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 x ? x ,则函数 f ( x) 的增区间为. 2

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15. 已知函数 f ( x ) 的定义域为[-1,5] ,部分对应值如下表. 下列关于函数 f ( x ) f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图像如图所示. 的命题: ①函数 y ? f ( x) 的一个极大值为 2; ②函数 f ( x ) 在 [0, 2] 是减函数; ③如果当 x ?[?1, t ] 时, f ( x ) 的最大值是 2,那么 t 的最大值 为 4; ④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x)-a 有 4 个零点. 其中真命题的是. 三、解答题(共 40 分) 16(10 分).已知函数

x
f ( x)

-1 1

0 2

4 2[

5 1



f ( x)=

ln x ,求函数 f ( x ) 的单调区间和极值。 x
? x ?1? t ?y ? 2 ? t (t为参数) 以该直角坐标

17(10 分) .在直角坐标系 xoy 中,直线 C1 的参数方程为 ? 系的原点 O 为极点,

x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 下 , 圆 C2 的 方 程 为

? = -2cos? ? 2 3sin ?
(1)求直线 C1 的普通方程和圆 C2 的圆心的极坐标; (2)设直线 C1 和圆 C2 的交点为 A,B,求弦 AB 的长。 18(10 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? 2(a ? R) (1)当 a ? 1 时,求曲线 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)求函数 y ? f ( x) 在区间[0,1]上的最小值. 19(10 分) .已知函数 f ? x ? ? 2 ? a ? 1? ln x ? ax, g ? x ? ?

1 2 x ? x. 2

(1)若函数 f ? x ? 在定义域内为单调函数,求实数 a 的取值范围; (2)证明:若 ?1 ? a ? 7 ,则对于任意 x1, x2 ? ?1, ??? , x1 ? x2 ,有
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f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ?1 . g ? x1 ? ? g ? x2 ?

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一.

选择题 1 C C 2 B 3 C 4 D 5 D 6 C 7 A 8 B 9 B 10

二.

填空题 11. (0,1)或(1,2] 13. x>z>y , 12. 8 , (1),(2) ,

? ? , 14. ? 0, 1+ 5 ? , 15. ? ? 2 ? ?

三. 解答题 16. 增区间为 ? 0, e ? ,减区间为 ? e , +? ? ,极大值为 17. (1)C1 方程为 x-y+1=0,
2 C2 的直角坐标方程为 (x+1) +(y-

1 e

2? 3 ) 2 ? 4,圆心极坐标为(2, ) 3

(2)AB 弦长为 18.

10

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19.(1)函数 f ? x ? ? 2 ? a+1? ln x ? a ln x 的定义域为 ? 0, ???

f ?? x? ?

2 ? a +1? ?ax ? 2 ? a +1? ?a ? ,令 m ? x ? ? ?ax ? 2 ? a+1? , x x

因为函数 y ? f ? x ? 在定义域内为单调函数,说明 f ? ? x ? ? 0 或 f ? ? x ? ? 0 恒成立, 即 m ? x ? ? ?ax ? 2 ? a+1? 的符号大于等于零或小于等于零恒成立, 当 a ? 0 时, m ? x ? ? 2 ? 0 , f ? ? x ? ? 0 , y ? f ? x ? 在定义域内为单调增函数; 当 a ? 0 时, m ? x ? ? ?ax ? 2 ? a+1? 为减函数, 只需 m ? 0? ? 2 ? a+1? ? 0 ,即 a ? ?1 ,不符合要求; 当 a ? 0 时, m ? x ? ? ?ax ? 2 ? a+1? 为增函数,
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只需 m ? 0? ? 2 ? a+1? ? 0 即可,即 a ? ?1 ,解得 ?1 ? a ? 0 , 此时 y ? f ? x ? 在定义域内为单调增函数; 综上所述 a ?? ?1,0? (2) g ? x ? ? 不妨设 x1 等价于

1 2 1 1 2 x ? x ? ? x ? 1? ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增, 2 2 2

? x2 ? 1 ,则 g ? x1 ? ? g ? x2 ? ,则

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ?1 g ? x1 ? ? g ? x2 ?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ?? 等价于 f ? x1 ? ? g ? x1 ? ? f ? x2 ? +g ? x2 ?
1 2 x ? 2 ? a +1? ln x ? ? a ? 1? x , 2

设 n ? x ? ? f ? x ? +g ? x ? ? 则 n? ? x ? ? x ?

2 ? a ? 1? 2 ? a ? 1? ? ? a ? 1? ? 2 x ? ? ? a ? 1? ? 2 ? x x

?

a ?1 ? 2 ,

?

2

由于 ?1 ? a ? 7 ,故 n? ? x ? ? 0 ,即 n ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调增加, 从而当 1 ? x2 ? x1 时,有

f ? x1 ? ? g ? x1 ? ? f ? x2 ? +g ? x2 ? 成立,命 题得证!
2 ? a ? 1? x 2 ? ? a ? 1? x ? 2 ? a ? 1? n? ? x ? ? x ? ? ? a ? 1? = x x
, 令









p ? x ? ? x2 ? ? a ?1? x ? 2 ? a ?1?
? ? (a ? 1)2 ? 8(a ? 1) ? a2 ? 6a ? 7 ? (a ? 7)(a ? 1) ? 0
2 即 p ? x ? ? x ? ? a ?1? x ? 2 ? a ?1? ? 0 在 ?1 ? a ? 7 恒成立说明 n? ? x ? ? 0 , 即 n ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单

调增加, 从而当 1 ? x2 ? x1 时,有

f ? x1 ? ? g ? x1 ? ? f ? x2 ? +g ? x2 ? 成立,命题得证!

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