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高三文数学12月月考卷-答案



高三文数学 12 月月考卷 答
一、 选择题(每题 5 分) 。 ) B.4 个 D.8 个



1、已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子集共有( A.2 个 C.6 个 答案:B 2、Z= ( ) A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则

f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 解析: 因为一个命题的否命题是对其条件与结论都进行否定, 且对“f(x)是奇函数”的否定为“f(x)不是奇函数”,“f(-x)是 奇函数”的否定为“f(-x)不是奇函数”.故选 B. 4、 已知命题 p: 三角形中至少有一个内角大于 60° , 命题 q: 三角形中至多有一个内角是钝角.则下面命题为真命题的是 ( ) A.q∨(? q) C.(? p)∧(? q) B.p∧q D.(? p)∧q
? ?

解析:P=M∩N={1,3},故 P 的子集有 22=4(个).

,则〡Z〡=(

D

) A,10

B.11

C,12

D,13

3、 命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是

解析: 正三角形的三个内角都是 60° , 故命题 p 是假命题. 根

据反证法可证,命题 q 是真命题.故只有(? p)∧q 是真命题. 答案:D 5、 若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根, 则实数 m 的取值范围是( A.(-1,1) 2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) -1)∪(1,+∞) 解析:Δ=m2-4>0,则 m<-2 或 m>2. 答案:C 6、在下列各函数中,最小值等于 2 的函数是( 1 A.y=x+x x2+3 C.y= 2 x +2 ) 1 π B.y=cosx+ (0<x< ) cosx 2 4 D.y=ex+ x-2 e D. (-∞, ) B.(-

解析:选项 A 中,x>0 时,y≥2,x<0 时,y≤-2; 选项 B 中,cosx≠1,故最小值不等于 2; x2+3 x2+2+1 1 选项 C 中, 2 = = x2+2+ 2 , 2 x +2 x +2 x +2 当 x=0 时,ymin= 答案:D 7、 设 f(x)是周期为 2 的奇函数, 当 0≤x≤1 时, f(x)=2x(1-x), 5 则 f ( - ) =( 2 1 A.- 2 1 C. 4 ) 1 B.- 4 D. 1 2 3 2 . 2

5 1 1 1 1 1 解析:f(- )=f(- )=-f( )=-2× ×(1- )=- . 2 2 2 2 2 2 答案:A

8、曲线 y=ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A.1 C.e 解析:∵y=ex, ∴y′=ex,又 A(0,1)在曲线 y=ex 上, B.2 D. 1 e

)

∴曲线 y=ex 在点 A 处的斜率 k=y′|x=0=e0=1. 答案:A

9、函数 y=lnx-x 在 x∈(0,e]上的最大值为( A.e C.-1 1-x 1 又 y′=x-1= x , 令 y′=0 得 x=1, 当 x∈(0,1)时,y′>0,函数单调递增, 当 x∈(1,e]时,y′<0,函数单调递减. 当 x=1 时,函数取得最大值-1,故选 C. 答案:C B.1 D.-e

)

解析:函数 y=lnx-x 的定义域为(0,+∞),

10、已知 sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必 定成立的是( ) B.sinθ>0,cosθ<0 A.sinθ<0,cosθ>0

C.sinθ>0,cosθ>0

D.sinθ<0,cosθ<0

解析:sin(θ+π)<0,∴-sinθ<0,sinθ>0. ∵cos(θ-π)>0,∴-cosθ>0.∴cosθ<0. 答案:B

11、计算 sin43° cos13° -cos43° sin13° 的结果等于( 1 A. 2 C. 2 2 B. D. 3 3 3 2

)

解析: ∵sin43° cos13° -cos43° sin13° =sin(43° -13° )=sin30° 1 = .∴选 A 2 答案:A

12、

+

= ,则 tanx=( B




)A,



B,



C,



D,



二、填空题(每题 5 分) 13 、 ) 函数 ________. 解析: f(x)= 2 2 (sin2x- cos2x)- 2(1- cos2x)= (sin2x 2 2 π f(x) = sin(2x - ) - 2 2sin2x 的最小正周期是 4

π 2π +cos2x)- 2=sin(2x+ )- 2,最小正周期 T= =π. 4 2 答案:π

4 14、已知 α 是第二象限的角,tan(π+2α)=- ,则 tanα= 3

________. 4 4 解析:tan(π+2α)=- ,tan2α=- ,∴ 3 3 2tanα 4 2 =- . 3 1-tan α 1 ∵α 是第二象限的角,∴tanα<0.∴tanα=- . 2 答案:- 1 2

15、f(x)=x(x-c)2 在 x=2 处有极大值,则常数 c 的值为 ________. 解析: f(x)=x3-2cx2+c2x,f ′(x)=3x2-4cx+c2, f ′(2)=0?c=2 或 c=6.若 c=2,f ′(x)=3x2-8x+4, 2 2 令 f ′(x)>0?x< 或 x>2,f ′(x)<0? <x<2, 3 3
? ?2 ? 2? 故函数在?-∞,3?及(2,+∞)上单调递增,在?3,2?上单调 ? ? ? ?

递减,∴x=2 是极小值点.故 c=2 不合题意,c=6. 答案:6

16、在△ABC 中,tanA= 解析:由 tanA= sinA= 22 . 11 22 11

2 ,则 sinA=________. 3

sinA 2 = ,sin2A+cos2A=1 且 sinA>0,得 cosA 3

答案:

三、解答题(每题 12 分) 2cos2α-1 17、⑴(4 分)化简: . ?π ? ? 2?π 2tan?4-α?sin ?4+α? ? ? ? ? cos2α 解:原式= ?π ?? 1-tanα? ?1-cos? +2α?? ?2 ?? 1+tanα? = cos2α =1. cos2α ?1+sin2α? 1+sin2α

⑵(8 分)已知 α 为第二象限的角, 3 4 sinα= ,β 为第三象限的角,tanβ= .(1)求 tan(α+β)的值; (2) 5 3 求 cos(2α-β) 的值. 3 解:(1)因为 α 为第二象限的角,sinα= , 5 4 所以 cosα=- 1-sin2α=- , 5 tanα= sinα 3 4 =- .又 tanβ= , tanα 4 3 tanα+tanβ 7 = . 1-tanα· tanβ 24

所以 tan(α+β)=

4 (2)因为 β 为第三象限的角,tanβ= , 3 4 3 所以 sinβ=- ,cosβ=- . 5 5

24 又 sin2α=2sinαcosα=- , 25 7 cos2α=1-2sin2α= , 25 3 所以 cos(2α-β)=cos2αcosβ+sin2αsinβ= . 5

18 、设函数

f(x) = cos(x +

2π x ) + 2cos2 , x ∈ R.(1) 求 3 2

f(x)

的值域;(2)记△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c, 若 f(B)=1,b=1,c= 3,求 a 的值. 解:(1) 2π 2π f(x)=cosxcos -sinxsin +cosx+1 3 3

1 3 =- cosx- sinx+cosx+1 2 2 1 3 5π = cosx- sinx+1=sin(x+ )+1, 2 2 6 因此 f(x)的值域为[0,2]. 5π )+1=1, 6

(2)由 f(B)=1 得 sin(B+ 即 sin(B+

5π π )=0,又因 0<B<π,故 B= . 6 6

解法一:由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB, 得 a2-3a+2=0,解得 a=1 或 2. 解法二:由正弦定理 得 sinC= b c = , sinB sinC

3 π 2π ,C= 或 . 2 3 3

π π 当 C= 时,A= ,从而 a= b2+c2=2; 3 2

当 C=

2π π π 时,A= ,又 B= ,从而 a=b=1. 3 6 6

故 a 的值为 1 或 2.

19、 (边角互化模型)△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的 b 边分别为 a、b、c,asinAsinB+bcos2A= 2a.(1)求a;(2)若 c2= b2+ 3a2,求 B. [解析] (1)由正弦定理得,sin2AsinB+sinBcos2A= 2sinA,

即 sinB(sin2A+cos2A)= 2sinA. b 故 sinB= 2sinA,所以a= 2. (2)由余弦定理知 c2=b2+ 3a2,得 cosB= 由(1)知 b2=2a2,故 c2=(2+ 3)a2. 1 2 可得 cos2B= ,又 cosB>0,故 cosB= ,所以 B=45° . 2 2 ?1+ 3?a . 2c

20、 (边角互化模型)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边 分别为 a,b,c,且 bsinA= 3acosB. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值. (1)由 bsinA= 3acosB 及 sinB= 3cosB, π 所以 tanB= 3,因为 0<B<π,所以 B= 由 sinC=2sinA 及 3 a b = 得, sinA sinB

a c = 得,c=2a. sinA sinC 由 b=3 及余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 得, 9=a2+c2-ac. 所以 a= 3,c=2 3. 点评:本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识, 同时考查运算求解能力.

21、 (二阶导数应用)已知函数 f ( x) ? ln x ⑴若 F ( x) ?
f ( x) ? a (a ? R) ,求 F ( x) 的极大值; x

⑵若 G ( x) ? [ f ( x)]2 ? kx 在定义域内单调递减, 求满足此条件的实 数k的取值范围. 解:⑴? F ( x) ?
? F ?( x) ? f ( x) ? a ln x ? a ? x x

定义域为 x ? (0,??)

(1 ? a ) ? ln x x2

令 F ?( x) ? 0 得x ? e1?a 由 F ?( x) ? 0 得x ? e1?a

由 F ?( x) ? 0得0 ? x ? e1?a

即 F ( x)在(0, e1?a ) 上单调递增,在 (e1?a ,??) 上单调递减
? x ? e1? a 时,F(x)取得极大值 F (e
1? a

?

1? a ? a ) ? e a ?1 ?a e 2 ln x ?k x

⑵? G ( x) ? (ln x) 2 ? kx 的定义域为(0,+∞),? G ?( x) ? 由G (x)在定义域内单调递减知: G ?( x) ?

2 ln x ? k ? 0 在(0,+∞) x

内恒成立 令 H ( x) ?
2 2(1 ? ln x) ln x ? k ,则 H ?( x) ? x x2

由 H ?( x) ? 0得x ? e

∵当 x ? (0, e) 时 H ?( x) ? 0, H ( x) 为增函数 当 x ? (e,??) 时 H ?( x) ? 0 , H ( x) 为减函数 ∴当x = e时,H(x)取最大值 H (e) ? e ? k 故只需 e ? k ? 0 恒成立,? k ? e
2 2 2 2

又当 k ? e 时,只有一点x = e使得 G ?( x) ? H ( x) ? 0 不影响其单调 性? k ? e .
2

四、选修部分(4-4 参数方程与极坐标,10 分) 22、已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2sinθ,直线 l 的参数方 3 t+2, ?x=-5 程是? 4 y = ? 5t

(t 为参数).

(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设直线 l 与 x 轴的交点是 M, N 是曲线 C 上一动点, 求|MN| 的最大值. 解:(1)曲线 C 的极坐标方程可化为 ρ2=2ρsinθ, 又 x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ, 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0. (2)将直线 l 的参数方程化为普通方程,

4 得 y=- (x-2), 3 令 y=0 得 x=2, 即 M 点的坐标为(2,0). 又曲线 C 为圆,且圆心坐标为(0,1),半径 r=1, 则|MC|= 5. 所以|MN|≤|MC|+r= 5+1. 即|MN|的最大值为 5+1.



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