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鸡兔同笼问题



1.典型鸡兔同笼问题详解 例 1 鸡兔同笼是我国古代的著名趣题。大约在 1500 年前,《孙子算经》中就记载着“今有 雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”翻译成通俗易懂的内容如下: 鸡兔共有 35 个头,94 只脚,问鸡兔各有多少只?经梳理,对于这一类问题,总共有以下几 种理解方法。 (1)站队法 让所有的鸡和兔子都列队站好,鸡和兔子都听哨子指挥。那么,吹一声哨

子让所有动物抬起 一只脚,笼中站立的脚:94-35=59(只) 那么再吹一声哨子,然后再抬起一只脚,这时候鸡两只脚都抬起来就一屁股坐地上了,只剩 下用两只脚站立的兔子,站立脚:59-35=24(只) 兔:24÷2=12(只);鸡:35-12=23(只) (2)松绑法 由于兔子的脚比鸡的脚多出了 2 个,因此把兔子的两只前脚用绳子捆起来,看作是一只脚, 两只后脚也用绳子捆起来,看作是一只脚。 那么,兔子就成了 2 只脚。则捆绑后鸡脚和兔脚的总数:35×2=70(只) 比题中所说的 94 只要少:94-70=24(只)。 现在, 我们松开一只兔子脚上的绳子, 总的脚数就会增加 2 只, 不断地一个一个地松开绳子, 总的脚数则不断地增加 2,2,2,2??,一直继续下去,直至增加 24, 因此兔子数:24÷2=12(只)从而鸡数:35-12=23(只) (3)假设替换法 实际上替代法的做题步骤跟上述松绑法相似,只不过是换种方式进行理解。 假设笼子里全是鸡,则应有脚 70 只。而实际上多出的部分就是兔子替换了鸡所形成。每一 只兔子替代鸡,则增加每只兔脚减去每只鸡脚的数量。 兔子数=(实际脚数-每只鸡脚数*鸡兔总数)/(每只兔脚数-每只鸡脚数) 与前相似,假设笼子里全是兔,则应有脚 120 只。而实际上不足的部分就是鸡替换了兔子所 形成。每一只鸡替代兔子,则减少每只兔脚减去每只鸡脚的数量,即 2 只。
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鸡数=(每只兔脚数*鸡兔总数-实际脚数)/(每只兔脚数-每只鸡脚数) 将上述数值代入方法(1)可知,兔子数为 12 只,再求出鸡数为 23 只。 将上述数值代入方法(2)可知,鸡数为 23 只,再求出兔子数为 12 只。 由计算值可知,两种替代方法得出的答案完全一致,只是顺序不同。由替代法的顺序不同可 知,求鸡设兔,求兔设鸡,可以根据题目问题进行假设以减少计算步骤。 (4)方程法 随着年级的增加, 学生开始接触方程思想, 这个时候鸡兔同笼问题运用方程思想则变得十分 简单。 第一种是一元一次方程法。 解:设兔有 x 只,则鸡有(35-x)只 4x+2(35-x)=94 4x+70-2x=94 x=12 注:方程结果不带单位 从而计算出鸡数为 35-12=23(只) 第二种是二元一次方程法。 解:设鸡有 x 只,兔有 y 只。 则存在着二元一次方程组的关系式 x+y=35 2x+4y=94 解方程式可知兔子数为 y=12 则可计算鸡数为 x=23 以述四种方法就是这一典型鸡兔同笼问题的四种不同理解和计算方法, 在没有接触方程思想 之前,用前三种方式进行理解。在接触方程思想之后,则可以用第四种方法进行学习。

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2.鸡兔同笼问题的衍生(非方程思想)

例 2 现有 100 千克的水装了共 60 个的矿泉水瓶子中。大矿泉水瓶一瓶装 3 千克,小矿泉 水瓶 1 瓶装 1 千克,问大、小矿泉水瓶各多少个?

大小瓶共装的 100 千克水即为总水量,对应上一例中鸡兔总共拥有的 74 只脚即为总脚数。

大矿泉水瓶 1 瓶装 3 千克水对应每只兔子所拥有的 4 只脚。小矿泉水瓶 1 瓶装 1 千克水对 应每只鸡所拥有的 2 只脚。

类型 总量 总数 多量 少量

水量 100 60 3 1

对应关系理清之后,按照例 1 中的方法即可求出,大矿泉水瓶子有 20 个,小矿泉水瓶子有 40 个(具体解题过程不详述)。

例 3 聪明昊参加数学竞赛,共做 20 道题,得 70 分,已知做对一道题得 5 分,做错一道题

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扣 1 分。问聪明昊做对了几道题?

这一题依然与上述问题思路一致, 只是少量变成了扣一分。 在此提示, 按照替代法进行计算, 先假设全部做对,则应得分 100 分。而实际上却少得了 100-70=30(分)

这 30 分的差距就是因为一道错题替换了一道正确的。每一道题进行替换就会带来 5+1=6 (分)的差值(注意一对一错,差值是两者的和)。因此做错了 5 道题,做对了 15 道题。

在这种情况下,小量不是增加而是减少或扣时,一般先假设大量进行替换计算。

例 4 现有 100 千克的水装了共 60 个的矿泉水瓶子中。大矿泉水瓶 1 瓶装 4 千克,小矿泉 水瓶 2 瓶装 1 千克,问大、小矿泉水瓶各多少个?

这道题需要认真审题,小矿泉水瓶是 2 瓶装 1 千克。当瓶子的数目不全是单位 1 时,思路 可以如下。

假如能运用小数,则直接将 2 瓶装 1 千克转化为 1 瓶装 0.5 千克,则变成与例 1 中所述方 式一样。

假如对小数不熟悉,则可以将 2 瓶子视为一组。

则全部瓶子有 30 组,大矿泉水瓶一组装 8 千克,小矿泉水瓶一组装 1 千克,按照例 1 中所
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述方式,可以求出大小矿泉水瓶各有的组数,用组数乘以 2 则可以求出瓶数。

上述 3 个问题仍然是两个因素的比较,因而只要将问题中的因素与鸡兔同笼问题中的因素 一一对应即可计算出来。

例 5 聪明昊完成工作后领得工资 240 元,包括 2 元、5 元、10 元三种人民币共 50 张,其 中 2 元与 5 元的张数一样多。那么 2 元、5 元、10 元各有多少张?

这一道问题相比前面的问题复杂一些,变成三个因素。但是通过审题我们发现,他给出了一 个条件那就是 2 元与 5 元的张数一样多。

因此, 由于这两种人民币数量一样多, 可以将其当作一个整体进行计算, 与 10 元进行比较。

因此先假设全部是 10 元的人民币,则应有工资:50*10=500(元)比实际多出: 500-240=260(元)

这多出的 260 元就是因为用 2 元与 5 元替换了 10 元。

由于拿一张 5 元替换 10 元时,必定要拿一张 2 元替换 10 元,因此依然可以将 2 张人民币 作为一组。每替换一组,工资减少 10-5+10-2=13(元)

则由此可知,共替换的人民币组数:260/13=20(组)则总共替换的人民币张数:20*2=40
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(个)

因而计算得出 10 元人民币的张数:50-40=10(张);2 元和 5 元人民币的张数分别为: 40/2=20(张)

由此题可知,虽然变成了三个因素的关系,但是由于题中给出了其中两个因素的相互关系, 因此可以将有相互关系的因素进行捆绑,从而转化为两个因素的计算,便与例 1 相同。

注:如果对小数比较熟悉,也可以将 2 和 5 元看成一张 3.5 元进行假设替换,需要替换 40 张,2 元和 5 元各 20 张。小朋友可以自己思考。

例 6 蜘蛛有 8 条腿,蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀,蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现在这三种小虫 共 21 只,有 140 条腿和 23 对翅膀.每种小虫各几只?

由上述题目可知,总量分别包括了腿和翅膀两种,其中蜘蛛 1 只有 8 腿,而单个蜻蜓和单 个蝉的腿数相同,都为 6 条。

因此可以按照题(4)的方式利用腿的关系求出蜘蛛的个数以及蜻蜓与蝉的个数和。由于翅 膀只有蜻蜓和蝉拥有,再次利用例 1 的思路,针对翅膀这一数量关系,可以分别计算出蜻蜓和 蝉的个数。

本题答案是蜘蛛 7 只,蜻蜓 9 只,蝉 5 只(具体过程此处不详细列出)。
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关于鸡兔同笼的第一大类型题就讲到这儿,接下来进入第二大类型题。

3.前文中结出的条件之一都是鸡兔同笼中的总头数,即“两数之和”。如果把条件换成“两数之 差”,又应该怎样去解呢?

例 7 鸡兔共有 94 只脚,其中鸡数比兔子数多 11 只,求问鸡兔各有多少只?

(1)去多法

如果抓出 11 只鸡杀掉,则笼子里就剩下相同数量的鸡和兔子。此时,笼子中鸡和兔的脚总 量为 94-11×2=72(只)

每一只鸡和每一只兔子共有脚 4+2=6(只)

这时候,将一只鸡和一只兔子看做一组,一组共有 6 只脚。则抓出鸡后,笼子里剩余的鸡 与兔的组数分别为 72/6=12(组)

那么可知兔子有 12 只,再通过计算得出鸡的数量为 12+11=23(只)

(2)同增同减法

假设笼子里有兔子 1 只,则有鸡 12 只,可以计算出 1 只兔子和 12 只鸡共有脚的数量为:
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1×4+12×2=28(只)比实际的 94 只少:94-28=66(只)

因此还要增加兔子的数量。为了保持鸡比兔子多 11 只,每增加 1 只兔子,就要增加 1 只鸡 8,因此需要同时增加的腿数为 4+2=6(只)

因此增加 66 只脚则需要增加的鸡和兔子的数量为 66÷6=11(只)

根据前文的假设条件可计算出兔子的数量为:1+11=12(只);鸡的数量为:12+11=23 (只)

例 8 古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字。 一本诗选集中五言绝句比七言绝句多 3 首, 诗集中共有数字 300 个。 问两种类型的诗各多少首?

这道题与例 7 完全一致,只不过七言绝句对应兔,五言绝句对应鸡,多的 13 首诗对应多的 11 只。因此,可以按照上述两种思路进行计算。

如果去掉 3 首五言绝句,两种类型的诗的数量就相等,此时去掉的字数为(应注意一道诗 4 句):3×5×4=60(个)

此时仍有字数为:300-60=240(个)

1 首五言和 1 首七言绝句的字数和为:5×4+7×4=48(个)
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则去掉 3 首五言绝句后,仍有五言和七言绝句的数量为:240/48=5(首)

从而得出七言绝句有 5 首,而计算出五言绝句共有:5+3=8(首)

此外还可以按照例 7 的方法 2 完成这道题,假设七言绝句有 1 道,则五言绝句有 4 首,如 此类推。此处不再说述。

例 9 在例 8 的基础上进行修改,假设在这一诗选集中五言绝句比七言绝句多 13 首,总字数 却反而少了 20 个字。问两种诗各多少首?

(1)如果去掉 13 首五言绝句,两种类型的诗的首数就相等。

在相同数量下,七言绝句比五言绝句多出的字数个数为(五言绝句原本就差 20,再减少了 13 首五言绝句):13×5×4+20=280(个)

每首七言绝句比每首五言绝句多出的字数个数为:7×4-5×4=8(个)因此,七言绝句的数 量为:280/8=35(首);则五言绝句有:35+13=48(首)

(2)假设七言绝句是 1 首,那么根据相差 13 首,五言绝句是 14 首。

那么五言绝句的字数为:20×14=280(个);七言绝句的字数为:28×1=28(个)
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假设情况下,五言绝句的字数反而多:280-28=252(个)

为实现题目中“五言绝句比七言绝句少 20 字”,需要增加诗的数量,其中每增加一首,七 言绝句比五言绝句多增加字数:252+20=272(个)

为了保持相差 13 首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,即增加一首,七言比五言 多增加字数数量为:7×4-5×4=8(个)

因此七言绝句和五言绝句的首数要比假设增加:272÷8=34(首)

五言绝句有:14+34=48(首);七言绝句有:1+34=35(首)

答:五言绝句有 48 首,七言绝句有 35 首。

至此,鸡兔同笼问题的基本分析结束,其

他类似的问题不外乎是在这个基本框架上的变化, 都是可以通过简化、 转变最终变成鸡兔同笼问 题进行分析。

当然在学习了方程思想后, 鸡笼同笼问题将会变得十分简单。 本文不在此对这一内容进行分 析。 除此之外, 由于本文主要是思路讲解, 因此所有例题中均没有写答句。 在实际的考试中,

每一道应用题得出答案都一定要写答句,如例 9 所示。

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