9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 理学 >>

第8章 多元函数微分学



第八章

多元函数微分法
一、基本内容

(一)元函数的基本概念 1.基本概念 (1)邻域 (2)内点 2.二元函数的极限与连续 (二)偏导数和全微分 1. 偏导数
f x ( x0 , y 0 ) = lim

(3)边界点

(4)开集

(5)区域

?xz f ( x0 + ?x, y 0 ) ? f ( x0 , y 0 ) = lim ?x →0 ?x ?x → 0 ?x

f y ( x0 , y 0 ) = lim

?yz ?y

?y → 0

= lim

?y → 0

f ( x0 , y 0 + ?y ) ? f ( x0 , y 0 ) ?y

2. 全微分 3. 全微分在近似计算中的应用 (三)复合函数的微分法 1. 复合函数求导法则 2. 一阶微分形式不变性 (四)隐函数的微分法 1. 一个方程的情形 2,方程组情形 (五)微分法在几何上的应用 1.空间曲线的切线与法平面 2.曲面的切平面与法线 3.微分的几何意义 (六)方向导数和梯度 1.方向导数 2.梯度 (七)多元函数的极值 1.多元函数的极值 2.条件极值

练习题
8.1. 确定下列函数的定义域
(1) z = ln(? x ? y ) (3) f ( r , ? ) = r sin ?

x2 + y2 (2) u = arcsin z
(4) f ( x, y, z ) = ln( z ? x 2 ? y 2 )

解答:(1) ? x ? y > 0 得 x + y < 0
(2) ? 1 ≤

x2 + y2 z

≤ 1 , z ≠ 0 时有定义.即 z > 0 时 ? z ≤ x 2 + y 2 ≤ z 包含锥面在内的圆锥

z < 0 时 z ≤ x 2 + y 2 ≤ ?z

(3) sin ? > 0 得 0 ≤ ? ≤ Π ,即上半平面 (4) z ? x 2 ? y 2 > 0 得 z > x 2 + y 2 旋转抛物面的内部(不含表面)

Z

0

x

o

x
x2 ? y 2 1 1 ,求 f ( , ) xy x y

8.2.设函数 f ( x, y ) =

1 1 ( )2 ? ( )2 x y y2 ? x2 1 1 解答: f ( , ) = = 1 1 x y xy ? x y

? x3 + y 3 , ( x, y ) ≠ (0,0) ? xy ? 2 8.3.设 f ( x, y ) = ? 求 f x (0,0) , f y (0,0) x + y2 ?0 , ( x, y ) = (0,0) ?

解答: f x (0,0) = lim

?x →0

f (0, ?x) ? f (0,0) = lim ?x →0 ?x
f (0, ?y ) ? f (0,0) = lim ?y →0 ?y

? ?x 3 ?x 2 = ?1 ?x
? ?y 3 ?y 2 = ?1 ?y

f y (0,0) = lim

?y →0

y 2 2 8.4.设 f ( x, y ) = ( x 2 ? y 2 ) ln( x + y ) + arctan( e x + y ) ,求 f x′ (1,0) x

解答: f ( x,0) = x 2 ln x f x′( x,0) = 2 x ln x + x f x′(1,0) = 1
? 1xy1 sin( x 2 + y 2 ), x 2 + y 2 ≠ 0 ? 8.5.设 f ( x, y ) = ? x 2 + y 2 ? , x2 + y2 = 0 ?0

试讨论 f ( x, y ) 在点 (0,0) 的连续性,可微性。 解答: (1) lim
x →0 y →0

xy x2 + y2

sin( x 2 + y 2 ) = lim?
x →0 y →0

sin( x 2 + y 2 ) =0 x2 + y 2

(Q lim xy = 0 x →0
y →0

lim
x →0 y →0

sin( x 2 + y 2 ) = 1) x2 + y 2

(2) f x (0,0) = ?x→0 lim
f y (0,0) = lim
?y → 0

f (?x,0) ? f (0,0) =0 ?x

f (?y,0 ? f (0,0)) =0 ?y

?z ? dz =

?x, ?y ?x + ?y
2 2

sin(?x 2 + ?y 2 ), ?x, ?y

ρ = ?x 2 + ?y 2

lim
ρ →0

?z ? dz

ρ

sin(?x 2 + ?y 2 ) = lim ? 不存在 ρ →0 ?x 2 + ?y 2 ?x 2 + ?y 2

综上(1)(2) f ( x, y ) 在点 (0,0) 连续,但不可微 ,
8.6.求下列二重极限
xy (1) lim x →0 3 ? xy + 9 y →0 (3) lim x2 ? y2 x →0 x 2 + y 2 y→0
1

(2)

( x , y →( 0 , 0 ))

lim (1 + x + y )
2 2

x2 + y 2

(4) lim

sin( xy ) x →∞ xy y →∞

解答: (1) lim
x →0 y→0

xy 3 ? xy + g
2

= lim
x →0 y →0

xy (3 + xy + 9 ) =6 xy
1 x2 + y2

(2)

( x , y )→(0, 0 )

lim

(1 + x + y )
2

令x + y = u lim(1 + u ) = e
2 2 u →0

1 u

(3) lim
x →0 y →0

x2 ? y2 令y = kx x2 + y2

x2 ? k 2 x2 1? k 2 lim 2 = x →0 x + k 2 x2 1+ k 2 y + kx →0
1 → 0) xy

此极限随 K 改变而改变,因此极限不存在。
(4) lim
x→∞ y →∞

sin( xy ) =0 xy

(Q sin( xy ) ≤ 1,

8.7 求下列函数的一阶偏导数和全微分

(1) z = e u + v sin v , u = xy , v = x + y
?z ?z ?u ?z ?v = ? + = e u + v sin v ? y + e u + v (sin v + cos v) 解答: ?x ?u ?x ?v ?x = e xy + x + y [ y sin( x + y ) + sin( x + y ) + cos( x + y )] ?z ?z ?u ?z ?v = + = e xy + x + y [x sin( x + y ) + sin( x + y ) + cos( x + y )] ?y ?u ?y ?v ?y dz = ?z ?z dx + dy ?x ?y

(2 ) u = f ( x , y , z ) , z = g ( x , y ) 解答:
?z = f x′ + f z′g ′ , x ?x
dz = u ′ d x + u ′ d y x y

?z = f y′ + f z′g ′y ?x

8.8 求下列方程所确定函数的全微分 dz y (1) e xz + sin = 0 x

(2 ) f ( x + y , y + z , z + x ) = 0 解答:(1)令 f ( x, y, z ) = e xz + sin
y =0 x y y 1 y 则 Fx = ze xz ? 2 cos , Fy = cos x x x x

, Fz = xe xz

F ?z =? x = ?x Fz

ze xz ?

y y 1 y cos 2 Fy x cos x ?z x x, =? = ?y Fz xe xz xe xz

dz = z x d x + z y d y
(2)

令 f ( x, y , z ) = f ( x + y , y + z , z + x ) = 0

则 Fx = f1′ + f 3′
f ′ + f 3′ ?z =? 1 ?x f 2′ + f 3′ dz = z ′ d x + z ′y d y x

Fy = f1′ + f 2′

Fz = f 2′ + f 3′

f ′ + f 2′ ?z =? 1 ?y f 2′ + f 3′

?2 z 8.9 函数 z = z ( x, y ) 由方程 e ? z + xy = 3 所确定,求 2 。 ?x
Ζ

解答:方程 e z ? z + xy = 3 两端同时对 x 求偏导,得 e z 则
?z y = ?x 1 ? e z

?z ?z ? + y=0 ?x ?x

? ? z ?z ?2z 1 y 2e z = y ? ?? ? (e ) ? = z 2? ?x 2 ?x (1 ? e z ) 3 ? (1 ? e ) ?
8.10 设 x = f ( x, y, z ) , z = ω ( x, y ) 求 dy 。 dx

? x = f ( x, y , z ) ? y = y ( x) 解答:由 * ? 确定了两个函数 ? ? z = ω ( x, y ) ? z = z ( x) 方程组*对 x 求导得 ? ?f ?f dy ?f dz ?1 = ?x + ?y dx + ?z ? dx ? ? dz ?ω ?ω dy ? = + ? ? dx ?x ?y dx ?
?f ?f ?ω ? ? dy ?x ?z ?x = ?f ?f ?ω dx + ?y ?z ?y 1?

解得

8.11 设函数 z ( x, y ) 由方程 F ( x + ?z ?z +y = z ? xy 。 ?x ?y

z z , y + ) = 0 确定。 y x

证明 x

证 明 : 方 程 f (x +

z z , y + ) = 0 两 侧 分 别 同 时 对 x, y 求 偏 导 y x

?z x?z 1 ?z ?x F1′(1 + ) + F2′( )=0 y ?x x2
?z ?z y?z ?y F1′( ?x 2 ) + F2′(1 + ) = 0 x y 得 ?z y ( zF2′ ? x 2 F1′) = ?x x( xF1′ + yF2′)
x

,

?z x( zF1′ ? y 2 F2′) = ?y y ( xF1′ + yF2′)

?z ?z z ( xF1′ + yF2′) ? xy ( xF1′ + yF2′) +y = ?x ?y xF1′ + yF2′ = z ? xy

故得证
2 1 1 ? u 8.12 设 u = f ( , ) 具有二阶连续偏导数,求 。 x xy ?x?y

解答:

?u 1 1 = ? 2 f1′ ? 2 f 2′ ?x x x y ? 2u 1 1 1 ? 1 1 1 ? ′′ ′′ = ? 2 f12 (? 2 ) ? 2 ?? 2 f 2′ + f 22 (? 2 )? y ?x?y x xy x ? y xy ? 1 1 1 ′′ ′′ = 3 2 f12 + 2 2 f 2′ ? 3 3 f 22 x y x y x y

1 2 ? 2 2 ?x + y = z 8.13 设 ? 2 ?x + y + z = 2 ?



d 2x 。 dz 2

1 2 ? 2 2 ?x + y = z 解答: ? 2 确定二个函数 x = x( z ), y = y ( z ) ?x + y + z = 2 ?

上二等式两端同时对 z 求导
dx dy ? 2x ? + 2 y ? =z ? ? dz dz ? ? dx + dy + 1 = 0 ? dz dz ?

由 Gramer 法则

dx z + 2y = , dz 2 x ? 2 y

dy 2x + z =? dz 2x ? 2 y

dy ? ? ? dx dy ? ?1 + 2 ?( x ? y ) ? (z + 2 y )? ? ? d x ? dz ? ? dz dz ? = 2 2 dz 2( x ? y )
2

x? y?2 =

2x + z (x ? y ) ? (z + 2 y ) z + 2 y + 2 x + z 2x ? 2 y 2x ? 2 y 2( x ? y )
2

=?

( x + y + z )2 3 2( x ? y )
确定了隐函数 y = y (x ) , z = z (x)

?7 x 2 + y 2 ? 3 z 2 = ?1 ? 8.14 方程组 ? 2 ?4 x + 2 y 2 + 3 z 2 = 0 ?

dy dz d 2 y d 2 z 当 x = 1 , y = ?2 , z = 2 时,求 , , 2 , 2 , dx dx dx dx

解答:方程组对 x 求导得 ?14 x + 2 yy ′ ? 6 zz ′ = 0 ? ?8 x + 4 yy ′ ? 6 zz ′ = 0 将 x = 1, 又 y′ = ?
3 5 y = ?2, z = 2 代入上式得 y ′ = ? , z ′ = 2 3 dy 3 x = , dx y y ′′ = d 2 y 3 y ? 3x 3 = =? 2 2 8 dx y 10 z ? xz ′ 5 ? =? 2 3 18 z

z′ = ?

dz 10 x = , dx 3 z

z ′′ =

8.15 求曲面 2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 9 上平行于平面 2 x ? 3 y + 2 z + 1 = 0 的切平面方程。

解答:设满足条件所求切平面与曲面的切点为 ( x0 , y 0 , z 0 ) 则 2 x0 + 3 y 0 + z 0 = 9
2 2 2



v 又 n = {Fx ( x0 , y 0 , z 0 ), Fy ( x0 , y 0 , z 0 ), FZ ( x0 , y 0 , z 0 )} = {4 x0 ,6 y 0 ,2 z 0 }

则 4 x0 : 6 y 0 : 2 z 0 = 2 : (? 3) : 2



由①②解得 x0 = ±1, 故所求切平面方程为:

y 0 = m1, z 0 = ±2

2( x ? 1) ? 3( y + 1) + 2( z ? 2) = 0 或 2( x + 1) ? 3( y ? 1) + 2( z + 2) = 0
化简
2 x ? 3 y + 2 x = ±9

8.16 证明曲面 x + 2 y ? ln z + 4 = 0 和 x 2 ? xy ? 8 x + z + 5 = 0 在点 P (2,?3,1) 处相切。

(即有公共切面) 。 解 答 : x + 2 y ? ln z + 4 = 0 在 点

(2,?3,1)

的 切 平 面 的 法 向 量

v 1 ? ? N = {Fx (2,?3,1), Fy (2,?3,1), Fz (2,?3,1)} = ?1,2, ? = { ,2,?1} 1 ? ? z ? ( 2, ?3,1)
8.17 设 F ( x, y.z ) 具有连续的偏导数,且对任意实数 t 有 F (tx, ty, tz ) = t k F ( x, y, z ) ( k 是自然数),试证:曲面 F ( x, y, z ) = 0 上任意一点的切平面相交于一定点。 (设

在任意点处 Fx2 + Fy2 + Fz2 ≠ 0 ) 。 证明:由 F (tx, ty, tz ) = t k F ( x, y, z ), 令 u = tx, v = ty, w = tz 两边同时对 t 求导 xF ′u + yF ′v + zF ′w = kt k ?1 F ( x, y, z )
xtF ′u + ytF ′v + ztF ′w = kt k F ( x, y, z )

xFx′ + yFy′ + zFz′ = kt k F ( x, y, z )


(x0 , y 0 , z 0 ) 为曲面上任一点,则
F ( x0 , y 0 , z 0 ) = 0 且 x0 Fx′ ( x0 , y 0 , z 0 ) + y 0 Fy′ ( x0 , y 0 , z 0 ) + z 0 Fz′( x0 , y 0 , z 0 )

= kt k F (x0 , y 0 , z 0 ) = 0
曲面在点 ( x0 , y 0 , z 0 ) 的切平面为

(x ? x0 )Fx′(x0 , y 0 , z 0 ) + ( y ? y 0 )Fy′ (x0 , y0 , z 0 ) + (z ? z 0 )Fz′(x0 , y0 , z 0 ) = 0
整理得 xFx′ + yFy′ + zFz′ = x0 Fx′ + y 0 Fy′ + z 0 Fz′ = 0 即 xFx′ + yFy′ + zFz′ = 0

此平面必过原点(0,0,0) ,故得证。 8.18 求空间曲线 x 2 + y 2 + z 2 ? 3 x = 0 , 2 x ? 3 y + 5 z ? 4 = 0 在点 (1,1,1) 处的切线和 法平面方程。 解答:设
F ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 ? 3 x , G ( x , y , z ) = 2 x ? 3 y + 5 z ? 4

于是, Fx = 2 x ? 3

Fy = 2 y

Fz = 2 z

Gx = 2

G y = ?3

Gz = 5

它们在点 P0 (1,1,1) 的值为
Fx = ?1 Fy = 2

Fz = 2
Fy Gy = ?1 2 2 ?3

Gx = 2

G y = ?3

Gz = 5



? (F , G ) Fx = ? ( x, y ) G x

= ?1 ≠ 0

得曲线在(1,1,1)的切线方程。
x ?1 y ?1 z ?1 = = 2 2 2 ?1 ?1 2 ?3 5 5 2 2 ?3



x ?1 y ?1 z ?1 = = ?1 16 9

曲线在(1,1,1)的法平面方程为

16( x ? 1) + 9( y ? 1) ? ( z ? 1) = 0 即

16 x + 9 y ? z = 24

r r r r 8.19 求函数 u = xy + yz + xz 在点 (1,1,1) 沿方向 l = i + j + k 的方向导数。

解答:

?u = y+z ?x ?u = x+ y ?z

(1,1,1)

= 2,

?u = x+ y ?y

(1,1,1)

= 2,

(1,1,1)

= 2,

cosα = cos β = cos γ =

1 3

?u ?u ?u ?u = cos ? + cos β + cos α = 2 3 ?λ ?x ?y ?z

8.20 求函数 u =

x2 y 2 z 2 + + 在点 M ( x, y , z ) 沿此点向径方向的方向导数。 a2 b2 c2
?u 2 y = , ?y b 2 ?u 2 z = , ?z c 2

解答:

?u 2 x = , ?x a 2

cosα =

x x +y +z
2 2 2

, cos β =

y x +y +z
2 2 2

, cos γ =

z x + y2 + z2
2

,

?u ?u ?u ?u = cos α + cos β + cos γ ?l ?x ?y ?z x2 y2 z2 2u = 2 2 2 ( 2 + 2 + 2)= b c x +y +z a r 2

8.21 求函数 z = 3 x 4 + xy + y 3 在 M (1,2) 处与 ox 轴的正向成 135°角的方向的方向 导数。 解答: z x = 12 x 3 + y,
ZX
(1, 2 )

z y = x + 3 y 2 , 在 M(1,2)处的值
Zy
(1, 2 )

= 14

= 13

cos α = cos 135 o = ?

2 2

cos β = cos 45 o =

2 2

? ? 2? ?z 2? 2 ? ? ? = zx cos α + zy cos β = 14 × ? ? ? 2 ? + 13 × ? 2 ? = ? 2 ?l ? ? ? ? 8.22 求函数 z = x 3 + 3 xy 2 ? 15 x ? 12 y 的极值。 ? f x ( x, y ) = 3 x 2 + 3 y 2 ? 15 = 0 ? 解答: ? ? f y ( x, y ) = 6 xy ? 24 y = 0 ?

求得稳定点 (1,2)(2,1)(? 1,?2 )(? 2,?1)
A = f xx = 6 x
B = f xy = 6 y C = f yy = 6 x

在点(1,2)处 AC ? B 2 = 6 × 6 ? 12 2 = ?108 < 0, A = 6 > 0 不是极值点 在点(2,1)处 AC ? B 2 = 12 ×12 ? 6 2 = 108 < 0. A = 12 > 0 极小值 在点(-1,-2) 处 AC ? B 2 = ?108 < 0 不是极值点 在点(-2,-1) 处 AC ? B 2 = (?12)(?12) ? (?6) 2 = 108 > 0, A = ?12 < 0 是极大值点

z 极小(2,1)=-28,
8.23 求函数 z =

z 极大(-2,-1)=28

1 1 + x > 0, y > 0 在 x + y = 2 的条件下的极值。 x y

解答:令 F ( x, y, λ ) =

1 1 + + λ ( x + y ? 2) x y



1 ? ? Fx = ? x 2 + λ = 0 ? 1 ? ? Fy = ? 2 + λ = 0 y ? ?x + y ? 2 = 0 ? ?
因为 z ( x, y ) ? z (1,1) =

得 x = y =1

1 1 x+ y + ?2= ?2≥0 x y xy

所以 z 极值 (? 1,1) = 2 在 条 件

8.24







u = f ( x, y, z ) = xy + yz + xz

g ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 ? 1 = 0( x > 0, y > 0, z > 0) 下的极值。

解答:设 F ( x, y, z ) = xy + yz + zx + λ x 2 + y 2 + z 2 ? 1
? Fx = y + z + 2λx = 0 ? F = x + z + 2λ y = 0 ? y ? ? FZ = x + y + 2λz = 0 2 2 ? 2 则 ?x + y + z ?1 = 0

(

)

x= y=z=

解得

1 3

? 1 1 1 ? 因f ( x , y , z ) ? f ? , , ? = xy + yz + zx ? 1 = ? x 2 + y 2 + z 2 ? (xy + yz + zx ) ? ? ? 3 3 3? 1 2 2 = ? (x ? y ) + ( y ? z ) 2 + (z ? x ) ≤ 0 2

[(

)

]

[

]

且等号只在 x = y = z = 1

? 1 1 1 ? 时才成立,故 f ? , , ? = 1 是极大值. 3 ? 3 3 3?

测验题(八 测验题 八—1)
一、求下列函数的定义域 (1)u=arcsin

z x2 + y2 z x + y2
2

(2)z= x cos 2 y

解: (1) ? 1 ≤

≤1

D = {( x, y, z ) ? x 2 + y 2 ≤ z ≤ x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≠ 0}

π π ? ? x ≥ 0, cos 2 y ≥ 0,即kπ ? 4 ≤ y ≤ kπ + 4 (2) x cos 2 y ≥ 0 , ? π 3π ? x ≤ 0, cos 2 y ≤ 0,即kπ + ≤ y ≤ kπ + 4 4 ?
D = {( x, y ) x ≥ 0, kπ ?
kπ +

π
4

≤ y ≤ kπ +

π
4

;x < 0,

π

4 二、求下列二重极限

≤ y ≤ kπ +

3π ,k = 0,2, } 1, L 4

(1) lim

e xy ? 1 (a ≠ 0, b ≠ 0) x→a x y →b

(2) lim ( x 2 + y 2 ) sin
x →∞ y →∞

1 x + y2
2

e xy ? 1 e ab ? 1 解:(1) lim = x→a x a y →b
sin 1 x + y2 =1 1 x2 + y2
2

(2) lim ( x 2 + y 2 ) sin
x→∞ y →∞

1 = lim x + y 2 x →∞ y →∞
2

三、证明 lim
x →0 y →0

xy 不存在 x + y2
2

证明: 令点P沿y = kx趋近于(0,0), xy kx 2 k = lim 2 = 2 2 2 2 x→0 x →0 x + k x x +y 1+ k 2 y = kx →0
lim

此极限值随 k 的改变而不同,故得证.

四、求下列函数的指定的偏导数或全微分
1、 设 u= ? [x + g ( y )] ,其中 ? 具有=阶偏导数,g 为可导函数。求 ux, uy 和
uxy

解: u x = ? ′[ x + g ( y )]
u y = ? ′[ x + g ( y )]g ′( y ) u xy = ? ′′[ x + g ( y )]g ′( y )

2、 设方程 xyz = x + y + z 确定了隐函数 z = z ( x, y ) 求 z x , z xx 解:等式两端同时对 x 求偏导 y ( z + xz x ) = 1 + z x 则 zx =

yz ? 1 1 ? xy 2 y ( yz ? 1) (1 ? xy ) 2

z xx =

3、 设 z = f ( x , y ) 而 y = y ( x ) 由 方 程 组

?sin u + xy = 0 ? y 2 ?e ? x + 3u = 0

确定求

dz

dx

? y = y ( x) 解:方程组确定了一组函数 ? ? u = u ( x)

dy du ? ?cos u dx + y + x dx = 0 方程组对 x 求导 ? dy du ? ey ? 2x + 3 =0 dx dx ?
则 dy ? 3 y ? 2 x cos u = dx 3 x ? e y cos u

dy ? 3 y ? 2 x cos u dz = fx + fy = fx + fy dx dx 3 x ? e y cos u
4、 设 u = [? ( x)]
ψ ( y)

, ? ( x)? 0, ? ,ψ均为可导 ) ( ,求 du

解:

?u = ψ ( y )[? ( x)]ψ ( y ) ?1 ? ′( x) ?x

?u = [? ( x)]ψ ( y ) ln[? ( x)]ψ ′( x) ?y du = ?u ?u dx + dy ?x ?y

?0 xy = 0 在 (0,0) 点是否可微?为什么? 五、求函数 z = ? ?1 其它点

解: z ′ (0,0) = lim x

z (?x,0) ? z (0,0) 0?0 = lim =0 ?x →0 ?x →0 ?x ?x

z ′y (0,0) = lim

z (0, ?y ) ? z (0,0) =0 ?y → 0 ?y

若函数在(0,0)处可微,则dz = 0,但
lim ?z ? dz (?x) + (?y )
2 2

?x →0 ?y →0

= lim

z (?x, ?y ) ? 0 (?x) + (?y )
2 2

?x →0 ?y →0

= lim

1 (?x) + (?y ) 2
2

?x →0 ?y →0

= +∞

六、求 z = a 2 b 2 ? b 2 x 2 ? a 2 y 2 在点 P ( 向原点)方向的方向导数。 解: z x
P

a 2

,

b 2

) 沿曲线

x2 y2 + = 1 在该点法线(指 a2 b2

= ? 2b 2 x

P

= ? 2ab 2 , z y
a 2 , b 2 a b

P

= ? 2a 2 y
b a

P

= ? 2a 2 b

曲线在点 P (

) 切线斜率为 K = ?

法线斜率为 K ′ =

由法线指向原点方向得 cos α = ?
?z = ab 2(a 2 + b 2 ) ?l P

b a +b
2 2

, cos β = ?

a a + b2
2



七、证明锥面 z = x 2 + y 2 + 3 的所有切平面都通过锥面的顶点 解:设 ( x0 , y 0 , z 0 )为锥面上任意一点,则锥面在点( x0 , y 0 , z 0 )的法向量为
v N {? x0 x0 + y 0
2 2

,?

y0 x0 + y 0
2 2

,1}

锥面在 ( x0 , y 0 , z 0 ) 点的切平面为
? x0 x0 + y 0
2 2

( x ? x0 ) ?

y0 x0 + y 0
2 2

( y ? y 0 ) + z = z 0 ? x0 + y 0
2

2

又因为 ( x0 , y 0 , z 0 ) 满足

z 0 = x0 + y 0 + 3,故切平面为
2 2

?

x0 x0 + y 0
2 2

x?

y0 x0 + y 0
2 2

y+z =3

此平面恒过点 (0,0,3).

求 八、 f ( x, y ) = x 2 y 2 ? xy ? 3 y 在闭域 0 ≤ y ≤ 4 ? x,0 ≤ x ≤ 4 上的最大值与最小值。 解:首先考虑函数在区域 0 < y < 4 ? x,0 < x < 4 上的稳定点

? f x = 2x ? y = 0 求得唯一稳定点(1,2) ,且 f (1,2) = ?3 ? ? f y = 2y ? x ?3 = 0
再考虑函数在边界上的情况 在边界 0 < y < 4, x = 0 上, f (0, y ) = y 2 ? 3 y

?f 3 3 9 = 2 y ? 3 = 0 , y = 此时 f (0, ) = ? , ?y 2 2 4
又 f (0,0) = 0 , f (0,4) = 4 在边界 y = 0,0 < x < 4 上, f ( x,0) = x 2
?f = 2 x = 0 , x = 0 此时 f (0,0) = 0 ?x

又 f (4,0) = 16 在边界 y = 4 ? x,0 ≤ x ≤ 4 上, f ( x, y ) = 3 x 2 ? 9 x + 4
?f 3 = 6x ? 9 = 0 , x = ?x 2

此时 y =

5 2

3 5 , f( , )=0 2 2

经比较 min f ( x, y ) = f (1,2) = ?3 , max f ( x, y ) = f (4,0) = 16

测验题( 测验题(八—2) )
? ln(1 + xy) ? x ≠ 0 的定义域,并证明此函数在其定义域上是连续 一、确定 f ( x, y ) = ? x ? y ? x=0 的。 解: D = {( x, y ) xy > 1, x ≠ 0;y ∈ R, x = 0}

x ≠ 0时,有

?x →0 ?y →0

lim f (?x + x, ?y + y ) = lim

ln[1 + (?x + x)(?y + y )] ?x → 0 ?x + x ?y → 0

= lim

ln(1 + xy + y?x + x?y + ?x?y ) ?x →0 ?x + x ?y →0

=

ln(1 + xy ) = f ( x, y ) x

当 x = 0时,有
?y →0

lim f (0, y + ?y ) = lim ( y + ?y ) = y
?y → 0

故此函数在定义域上是连续的.

二、1.设 u = f ( x, y, z ). y = ? ( x, t ).t = ψ ( x, z ). 其中 f 可微 ? ,ψ 有偏导数,求 解: ?u ?f ?f ?? ?? ?ψ = + ( + ) ?x ?x ?y ?x ?t ?x

?u =? ?x

x y ?z ?z 2.设 F ( , ) = 0 其中 F (u.v) 可微,此方程确定一函数 z = z ( x, y ) ,求 , 。 z z ?x ?y 解:等式分别对 x,y 求导 ?z z?x ?F ?x ) + ?F (? y 1 ?z ) = 0 ( 2 ?u ?v z z 2 ?x
?F 1 ?z ?F (? x 2 ) + ( ?u ?v z ?y z?y z2 ?z ?y )=0



?z = ?x

z x

?F ?F +y ?u ?v

?F ?u

,

?z = ?y

z x

?F ?F +y ?u ?v

?F ?v

1 ?2z 3.设 z = f ( xy ) + yf ( x + y ) 有连续二阶偏导, f 二阶可导求 x ?x?y



由于f存在二阶连续偏导数 , 所以

?2z ?2z ?z ? 2z , 可先求 , 然后再求 . = ?x?y ?y?x ?y ?y?x

?z 1 = xf ′( xy ) + f ( x + y ) + yf ′( x + y ) = f ′( xy ) + f ( x + y ) + yf ′( x + y ) ?y x

? 2z ?2z = = yf ′′( xy ) + f ′( x + y ) + yf ′ ′( x + y ) ?x?y ?y?x
?2 x 2 + 3 y = z 2 = ?8 ? 三、设 ? 2 确定了隐函数 y = y ( x), z = z ( x) ? x ? 2 y + 3 z 2 = 17 ?

dy dz d 2 z 当 x = 1, y = ?2, z = 2 时,求 , , 2 dx dx dx ? 4 x + 3 y ′ ? 2 zz ′ = 0 解:方程组对 x 求导 ? ? 2 x ? 2 y ′ + 6 zz ′ = 0 解得 y ′ = ?2 x, z ′ = ? 则 y ′′ = ?2 , z ′′ =
x z

? x2 ? z2 z3

1 5 当 x = 1, y = ?2, z = 2 时,有 y = ?2, z ′ = ? , z ′′ = ? 2 8

四、在曲线 x = t , y = ?t 2 , z = 3t 2 + 1 上求一点 ,使曲线在此点处的切线平行于平 面 x + 2y + z = 4 解:设曲线上任一点对应的切向量为 v T = {x ′(t ), y ′(t ), z ′(t )} = { ,?2t ,6t } 1 平面的法向量为
v N = { ,2,1} 1
v v 1 T ? N = 1 ? 4t + 6t = 0 故 t = ? 2 7 ,z = 4

由曲线平行于平面得 从而 x = ?

1 1 ,y=? 2 4 1 1 7 故 (? ,? , ) 即为所求点。 2 4 4

五、在曲面 z = xy 上求一点,使这点的法线垂直于平面 x + 3 y + z + 9 = 0 ,并求此 法线方程. 解:设曲面 z = xy 上任一点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 对应的法向量为

v N1 = {? y0 ,? x0 ,1}

平面 x + 3 y + z + 9 = 0 的法向量为 由法线垂直于平面得

v N 2 = { ,3,1} 1

x 0 = ?3 , y 0 = ?1

故曲面 z = xy 上点 (?3,?1,3) 的法线垂直于平面 且法线方程为 即

(x+3)+3(y+1)+(z-3)=0 x+3y=z+3=0

六、求函数 u = 3 x 2 + 2 y 2 + z 2 + 2 xy ? 2 x + 3 y + 6 z 在 A(1,?2,1) 点的梯度大小和方向 解:

?u ?x

= 6x + 2 y ? 2 A = 0
A

,

?u ?y

= 2 x + 4 y + 3 A = ?3
A

?u ?z

= 2z + 6 A = 8
A

v v gradu = ?3 j + 8k
gradu = 73 , cos α = 0 , cos β = ?

3 73

, cos γ =

8 73

七、求 f ( x, y, z ) = 2 x 2 ? y 2 + z 2 + sin( x, y, z ) 在点 (0,1,2) 沿曲线
L : x = t 2 ? t 3 , y = t 2 , z = 2t 的 t 减少方向的方向导数

解: f x = 4 x + yz cos( xyz ) ( 0,1, 2 ) = 2
f y = ? 2 y + xz cos( xyz ) ( 0,1, 2) = ?2 f z = 2 z + xy cos( xyz ) ( 0,1, 2 ) = 4

v n = 2t ? 3t 2 ,2t ,2

{

}

t =1

= {? 1,2,2}

t 减少的方向为 l = { ,?2,?2} 且 cos α = , cos β = cos γ = ? 1
1 3

v

2 3

?f ?l

=?
( 0 ,1, 2 )

2 3

八、求函数 z = x 2 + xy + y 2 ? 3ax ? 3by 的极值

? f x = 2 x + y ? 3a = 0 解: ? 得驻点 (2a ? b,2b ? a ) ? f y = x + 2 y ? 3b = 0
f xx = 2, f xy = 1, f yy = 2

AC ? B 2 = 3 > 0, A > 0

故在点 (2a ? b,2b ? a ) 有极小值 f (2a ? b,2b ? a ) = 3(ab ? a 2 ? b 2 )

九、证明:函数 z = (1 + e y ) cos x ? y ? e y 有无穷多个极大值而没有任何极小值 证明:由已知得
?z = ?(1 + e y ) sin x ?x

?z = e y (cos x ? 1 ? y ) ?y



?z ?z = 0, =0 ?x ?y A=

解得

? x = 2 nπ ? ? y=0

? x = (2n + 1)π 或? (n 为整数) ? y = ?2



?2z ?2z = ?(1 + e y ) cos x , B = = ?e y sin x 2 ?x?y ?x ?2z = e y (cos x ? 2 ? y ) 2 ?y ? = ?2 < 0, A < 0 故 f (2nπ ,0) = 2 为极大值; ? > 0, 故 f [(2n + 1)π ,0] 非极值。

C=

在 ( 2 n π ,0 ) 处

在 [(2n + 1)π ,0] 处



更多相关文章:
高等数学习题8第八章多元函数微分学
f ( x, y) 在 ( x, y ) 处偏导数存在是 x y 多元函数微分学 2 z ? x ,求 ?z ?x f ( x, y) 在该点可微的___条件 2 设 z ? f ( x...
第8章 多元函数微分学
第8章 多元函数微分学_理学_高等教育_教育专区。哈工程微积分A辅导教材习题答案第八章 多元函数微分法一、基本内容 (一)元函数的基本概念 1.基本概念 (1)邻域...
第8章 多元函数微分法及其应用
第八章 多元函数微分法及其应用本章主要内容: 1. 多元函数及其定义域、平面点...2. 多元函数微分学的基本定理、微分法则与计算公式。 3. 隐函数存在定理及其...
第八章多元函数微分法及其应用
第八章多元函数微分法及其应用_理学_高等教育_教育专区。第八章多元函数微分法及其应用 第八章 多元函数微分法及其应用 教学与考试基本要求 1. 理解多元函数、多元...
8章 多元函数微分学及其应用(本科)
8章 多元函数微分学及其应用(本科) 隐藏>> 高等数学教案 § 8 多元函数微分法及其应用 第八章 多元函数微分法及其应用教学目的: 1、 理解多元函数的概念和二元...
第八章 多元函数微分法及应用
第八章 多元函数微分法及应用一、本章考试要求 1.了解多元函数的概念,会求...中医护理学基础重点 执业医师实践技能考试模拟试题 1028988份文档 教学总结精品范文...
8山东专升本高等数学第八章多元函数微分学
第八章 多元函数微分学 【考试要求】 1.了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极值与连续概念(对计算不作 要求) .会求二元函数的定义域. 2.理解...
第8章_多元函数微分学练习题及答案20090413
多元函数微分学练习题及答案 第 8 章 多元函数微分学练习题及答案 20090413 f ( x, y ) = 2 xy x + y2 2 1.设 ,求 y f (1, ) 。 x 1. 解...
第八章 多元函数微分学及其应用
教学内容 批注 第八章 多元函数微分第一节一、 平面区域 邻域:给定平面内 P0(x0,y0)点,和某数 ? >0,以 P0 点为圆 心,为 ? 半径作圆,该圆内所有点...
大一理科第八章 多元函数微分学
多元函数微分学? 第八章 多元函数微分学? 在上册中,我们讨论的函数只有一个自变量,即所谓的一元函数,然而在实际问题中常 常会有这样的问题,一个变量依赖于两个...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图