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高中函数值域方法汇总


求函数值域方法很多,常用配方法、 求函数值域方法很多,常用配方法、换 元法、判别式法、不等式法、反函数法、 元法、判别式法、不等式法、反函数法、 图像法(数形结合法)、 )、函数的单调性 图像法(数形结合法)、函数的单调性 法以及均值不等式法等。这些方法分别 法以及均值不等式法等。 具有极强的针对性, 具有极强的针对性,每一种方法又不是 万能的。要顺利解答求函数值域的问题, 万能的。要顺利解答求函数值域的问题, 必须熟练掌握各种技能技巧, 必须熟练掌握各种技能技巧,根据特点 选择求值域的方法, 选择求值域的方法,下面就常见问题进 行总结。 行总结。

1 例1 求函数 y = x ? x ? (?1 ≤ x ≤ 1)的值域。 2
2

分析:本题是求二次函数在区间上的值域问题, 值域问题, 值域问题 可用配方法或图像法求解。 可用配方法或图像法求解。

1 2 3 解:y = ( x ? ) ? ,Q x ∈[ ?1,1] , 2 4 1 3 3 ∴x= ,ymin = ? , x = ?1, ymax = , 2 4 2
如图, 如图, y∈[∴y∈[-3/4,3/2].
-1

y

3/2 o 1/2 1 -3/4 x

例2 求函数

x ? x +1 y= 2 的值域。 2x ? 2x + 3
2

分析:函数是分式函数且都含有二次项, 分析:函数是分式函数且都含有二次项,可用判 别式和单调性法求解。 别式和单调性法求解。 解法1:由函数知定义域为R,则变形可得: (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y-1)=0. 当2y-1=0即y=1/2时,代入方程左边=1/2·3-1≠0,故 ≠1/2. 当2y-1≠0,即y ≠1/2时,因x∈R,必有△=(2y-1)24(2y-1)(3y-1) ≥0得3/10≤y≤1/2, 综上所得,原函数的值域为y∈〔3/10,1/2〕.

解法2:(函数的单调性法) 解法2:(函数的单调性法) 2 x ? x +1 Qy= , 令 u = x 2 ? x + 1 > 0, 2( x 2 ? x + 1) + 1
u 1 1 1 y= = 在 u > 0上 ,∴ y < ,Q y = 1 2u + 1 2 + 1 2 2+ u u

是增函数,u取最小值时,y也取最小值。

12 3 1 1 3 而u = x ? x +1 = ( x ? ) + , 故x = , ymin = = . 1 10 2 4 2 2+ 3 4 ∴原函数的值域为y∈〔3/10,1/2) y∈〔 y∈ 3/10,1/
2

e ?1 例3 求函数 y = x 的反函数的定义域. 的反函数的定义 . e +1
x

分析:函数f(x) f(x)的反函数的定义域就是原函数的 分析:函数f(x)的反函数的定义域就是原函数的 值域,可用不等式法求解。 , 解:变形可得

1+ y ( y ?1)e = ?1? y,Q y ≠ 1,∴e = >0 1? y
x x

y+1 即 < 0 ? ( y + 1)( y ? 1) < 0, 故-1<y<1. y-1
∴反函数的定义域为(-1,1)。

例4 求下列函数的值域: 求下列函数的值域: (1) y=6x2-2x3, (0<x<3); (2) 若正数a、b满足ab=a+b+3,求ab的取值 若正数a 满足ab=a+b+3,求ab的取值 范围(99年高考题)。 范围(99年高考题)。
分析:均值不等式可以解决诸多特殊条件的函 数值域问题,变形恰当,柳暗花明。

? ? 2 + 2 + (3 ? x) ? x x 2 y=2x (3-x)=2 × 4 ? ? (3 ? x) ≤ 8 ? ? = 8. 2 2 3 ? ? ? ?
当且仅当x/2=3-x时,即x=2时取等号。故在0<x<3 时函数y的值域为y∈〔9,+∞)。

(1)解:原函数可变形为: ? x x

3

(2)解法1(均值不等式) )解法1 不等式)
a+3 4 4 由已知得b= 即ab=a+b+3=a+4+ = 1+ a-1 a ?1 a-1
4 = ( a ? 1) + + 5, 又 由 a b = a + b + 3 得 , a ?1

b ( a ? 1) = a + 3 > 0,∴ a ? 1 > 0.
4 4 ∴ab = (a ?1) + + 5 ≥ 2 (a ?1) ? + 5 = 9, a ?1 a ?1
当且仅当a=3时取等号。 故ab∈〔9,+∞)

解法2 解法2:(不等式法) 不等式法)
由 ab = a + b + 3 ≥ 2 ab +3得, ab ? 2 ab ? 3 ≥ 0

即( ab ? 3)( ab +1) > 0由于 ab > 0∴ ab ? 3 ≥ 0,即ab ≥ 3,
当a=3,b=3时取等号,故ab ∈〔9,+∞).

例5 求下列函数的值域:

(1) y=5-x+√3x-1;(2)y=x-2+√4-x2.
分析:带有根式的函数,本身求值域较难,可考虑用换 元法将其变形,换元适当,事半功倍。

解:(1)令t= 3x-1 ≥ 0,有

1 2 x= (t +1), 3

1 2 1 3 2 65 于是y=5- (t +1)+t=- (t- ) + , 3 3 2 12
3 65 65 ? ? ∴ t = , ymin = , 故 y ∈ ? -∞ , ? . 2 12 12 ? ?

(2)令x=2cosθ ,θ ∈ [ 0, π ] , 有y = 2cosθ ? 2 + 4 ? 4 cos θ

= 2(cos θ + sin θ ? 1) = 2 2 sin(θ +

π
4

) ? 2,

2 π Qθ ∈[ 0,π ] ,∴? ≤ sin(θ + ) ≤ 1.∴?4 ≤ y ≤ 2( 2 ?1), 2 4

即值域为y∈〔-4,2√2-2〕 值域为y∈〔 4,2√2-

例6 求下列函数的值域: 值域: x2 + 2 x 2 (1) y=2 ; (2) y = log 1 (?x + 2x +1).
2

分析:求复合函数的值域,利用函数的单调性采用换 值 元法先求出外层函数的值 元法先求出外层函数的值域作为内层函数的定义域, 然后求原函数的值域,要特别注意内层函数的定义域 然后求原函数的值域,要特别注意内层函数的定义域 的取值范围。 的取值范围。 解(1)令u=x2+2x=(x+1)2-1,得u∈〔-1,+∞), 则y=2u≧2-1=1/2;故值域是y ∈〔1/2,+∞). 值域是y

(2)令u=-x2+2x+1=-(x-1)2+2≦2,且u>0,故y=log1/2u 的定义域为(0,2]上的减函数,即原函数值域的 为y ∈〔-1,+∞)。

例7 求下列函数的值域: : (1)y=√x-3+√5-x; (2)y=√x-3-√5-x. y=√x-3+√5(2)y=√x- √5分析:本题求值域看似简单,其实有其技巧性,变形 适当事半功倍。(1)可用配方法或判别式法求解;(2) 可用单调有界性解之。 解法1:不难看出y≧0,且可得定义域为3≦x≦5,原函 数变形为:
y = ( x?3+ 5 ? x )2 = 2 + 2 ? x 2 + 8 x ? 15

=

2 + 2 ? ( x ? 4) 2 + 1 ,

(3 ≤ x ≤ 5)

由x∈[3,5]知,-x2+8x-15 ∈[0,1], 即当x=4时,ymax=2,当x=3或5时,ymin=√2, 故原函数的值域为[√2,2]。

解法2:(判别式法).
两边平方移项得:y2-2=2√(x-3)(5-x),再平方整理得 4x2-32x+y4-4y2+64=0且y2-2≧0,y看成常数,方程有实 根的条件是 =162-4(y4-4y2+64)=-4y2(y2-4) ≧0,注 意到y>0得y2-4≦0即0<y≦4而y2-2≧0即有√2≦y≦2, ∴y∈[√2,2].

(2)解:由y=√x-3-√5-x得定义 定义域为 x∈[3,5]. ∵y=√x-3在[3,5]上是单调增函数, y=-√5-x在[3,5]上也是单调增函数。 ∴ y=√x-3-√5-x在[3,5]上是增函数, 当x=3时,ymin=-√2,当x=5时,ymax=√2, 故原函数的值域为 y∈[-√2, √2].

例8 已知圆C:x2-4x+y2+1=0上任意一点P(x,y), y 求 的最大值与最小值。
= 分析: 即求圆上的点P(x,y)到原点 (0,0)的斜率的最值,可利用数形结合法求解。

x

y x

y ? 0 x ? 0

解:圆C方程为 的最 值即求圆上的点P到原点的斜率的最值。 设y=kx,如图,显然,当直线y=kx与圆C 相切时k有最值,容易得出其最大与最小 值分别为√3,-√3.

(x-2)2+y2=3

y ,x

y P o C

例9 已知圆C:x2+y2-4x+6y+11=0,求x+y+4的最值。
分析:本题可转化采用圆的参数方程表达,利用三 角函数的有界性解决或在二元二次方程的约束条件 下,求x+y+4的线性规划。 解法1:条件可化为(x-2)2+(y+3)2=2 把此圆化为参数方程 x = 2 + 2 cosθ , y = ?3 + 2 sin θ .

2 2 π = 2( cosθ + sinθ ) +3 = 2cos(θ ? ) +3. 2 2 4
∴(x+y+4)max=5 (x+y+4)min=1

解法2(线性规划) ∵x,y是圆C:(x-2)2+(y+3)2=2上的点,设 x+y+4=z,则y=-x+(z-4),z-4可看作为直线 L:x+y+4-z=0在y轴上的截距,作直线y=-x 并平移,当直线L:x+y+4-z=0和圆C相切时, z-4有最大值和最小值。



2 + (?3) + 4 ? z 1 +1
2 2

y

= 2 ? 3 ? z = 2 ? z = 5或z = 1.
o x

∴(x+y+4)max=5 (x+y+4)min=1

C(2,-3) y=-x

? 0 ? (?sin x) ? 分析:利用三角函数的有界性较数形结合 ? k = ? 2 ? cos x ? ?
为点(2,0)与点(cosx,-sinx)连线的斜率的过程要简单。 解:将原函数化为sinx+ycosx=2y 1 y 2 1 + y (sin x ? + cos x) = 2 y 1+ y2 1 + y2 1 y 2y 令 cos α = ,sin α = ,∴ sin( x + α ) = , 2 2 2 1+ y 1+ y 1+ y
由 2y 1+ y
2

sin x 例10 求函数 y = 的值域。 2 ? cos x

≤1

平方得

3 y ≤ 1∴
2

3 3 ? ≤ y≤ . 3 3

例11 求函数y=√x2-2x+10+√x2+6x+13的值域。 分析:本题求函数的值域可用解析几何与数形结合 法解之。 解:函数变形为y=√(x-1)2+(0-3)2+√(x+3)2+(0-2)2. 将上式可看成为x轴上点P(x,0)与 A(1,3),B(-3,2)的距离之和。即在x y 轴上求作一点P与两定点A,B的距离 之和的最值,利用解析几何的方法 A(1,3) 可求其最小值。 B(-3,2) 如图,可求A关于x轴对称点A1(1,-3)连 P o x 结A1B交x轴y于P,则P(x,0)为所求, 可证明
PA + PB = BA1 最小, 1 = (1 + 3) 2 + ( ?3 ? 2) 2 = 41. BA

A1(1,-3)

所以原函数值域的为y∈[√41,+∞).


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