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重要不等式



不等式的解法
解不等式的主要思想有: (1)数形结合思想 (2)分类讨论思想 (3)等价变形思想 1、有理不等式 主要指一元一次不等式、一元二次不等式、高次不等式和分式不等式。 2、无理不等式

? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 f ( x) ? g ( x) ? ? 或? 2 ? f ( x) ? g ( x) ? g ( x)

? 0
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g 2 ( x) ?
3、指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时, a
f ( x)

? a g ( x ) 与 f ( x) ? g ( x) 同解; ? a g ( x ) 与 f ( x) ? g ( x) 同解;
? f ( x) ? 0 ? 与 ? g ( x) ? 0 同解; ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? 与 ? g ( x ) ? 0 同解; ? f ( x) ? g ( x) ?

当 0 ? a ? 1, a

f ( x)

(2)当 a ? 1 时, log

f ( x) a

? log

g ( x) a

当 0 ? a ? 1时, log

f ( x) a

? log

g ( x) a

4、绝对值不等式 (1) f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) (2) f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或 f ( x) ? ? g ( x) (3) f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)
2 2

5、函数不等式 由函数 f ( x) 的不等式,若能求出 f ( x) 的表达式,则可化为普通不等式求解,否则,应利

用 f ( x) 的性质,尤其是单调性来求解。对于复合函数不等式,需综合利用各函数定义域、 值域、性质和图像来解。

例 1、解不等式

2 x 2 ? 10 x ? 11 ?1 x2 ? 6 x ? 8

例 2、设 a ? 1 ,解关于 x 的不等式

x?2 ?0 ax ? a 2 x ? x ? a
2

例 3、解不等式 1 ? x

2

?

x ?1 2

?x ? 0 ? 例 4、解不等式组 ? 3 ? x 2? x ?3 ? x ? 2 ? x ?

例 5、解不等式 x ? 3 ? 2 x ? 1 ?

x ?1 2

例 6、记关于 x 的不等式 (1)若 a ? 3 ,求 P;

x?a ? 0 的解集为 P,不等式 x ? 1 ? 1 的解集为 Q x ?1

(2)若 Q ? P ,求正数 a 的取值范围。

例 7、设函数 f ( x) ? 2

x ?1 ? x ?1

,求使 f ( x) ? 2 2 的 x 的取值范围。

例 8、已知函数 f ( x) ? ? (1)求常数 c 的值; (2)解不等式 f ( x) ?

? cx ? 1 ?
x
2

0? x?c

c ? ?2 ? 1 c ? x ? 1

满足 f (c 2 ) ?

9 8

2 ?1 8

例 9、设函数 f ( x) ? log

x2 ? 2 x ? 2 2 ax ?1 b

(b ? 0, b ? 1)

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)当 b ? 1时,求使 f ( x) ? 0 的所有 x 的值。

例 10、设函数 f ( x) ?

x 2 ? 1 ? ax ,其中 a ? 0

(1)解不等式 f ( x) ? 1; (2)求 a 的取值范围,使函数 f ( x) 在区间 [0, ??) 上是单调函数。

自主招生考试真题精解 1、 (2002 上海交大联读班、保送生)若不等式 0 ? x ? ax ? 5 ? 4 只有唯一实数解,则 a ?
2



?? x 2 f ( x ) ? 2、 (2007 武大)已知函数 ? ? ?x
(A) (??, 2) (B) ( ??, ? 2)

x?0 x?0

,不等式 f ( x) ? 2 ? 0 的解集为( (D) ( ?2, 2)
2



(C) (?2, 2)
?

例 3、 对于 x ? R , 当且仅当 n ? x ? n ? 1(n ? N ) 时, 规定 [ x] ? n , 则不等式 4[ x] ? 36[ x]

?45 ? 0 的解集为



含有参数的不等式
与含有参数的不等式有关的数学问题,大致有以下三种类型: 1. 解含有参数的不等式 2. 已知含有参数的不等式成立的条件,求参数的范围 3. 已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立、能成立、恰成立或部分成立,求参数的范 围。 一、解含有参数的不等式 含参数不等式的求解方法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键” 。 注意解完之后要写上: “综上,原不等式的解集是??” 。按参数讨论时,最后应按参数取值 分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求并集。 例 1. 解关于 x 的不等式 ax ? 5x ? 4 ? 0
2

例 2. 解关于 x 的不等式

x?a ? x ,其中 a ? 0 x

例 3. 设 y ? log 1 [a 2 x ? 2(ab) x ? b2 x ? 1],(a ? 0, b ? 0) ,求使 y 为负值的 x 的取值范
2

围。

二、已知不等式成立的条件,求参数的范围 例 1. 记函数 f ( x) ?

2?

x?3 的定义域为 A,g ( x) ? lg[( x ? a ? 1)(2a ? x)](a ? 1) 的 x ?1

定义域为 B (1) 求 A (2) 若 B ? A ,求实数 a 的取值范围

例 2. 设 A ? {x |1 ? x ? 3} ,又设 B 是关于 x 的不等式组 ? 确定 a, b 的取值范围,使得 A ? B

? x2 ? 2x ? a ? 0 ? 的解集,试 2 ? ? x ? 2bx ? 5 ? 0

三、含参数的不等式的成立问题 不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题的解题思路 (1)恒成立问题(关键词:对所有,任意,恒) 不等式 f ( x) ? A 在区间 D 上恒成立 ? 函数 f ( x) 在区间 D 上的最小值大于 A 不等式 f ( x) ? B 在区间 D 上恒成立 ? 函数 f ( x) 在区间 D 上的最大值小于 B (2)能成立问题(关键词:有解,存在,解集非空,能) 在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ( x) ? A 成立, 即 f ( x) ? A 在区间 D 上能成立 ? 函 数 f ( x) 在区间 D 上的最大值大于 A; 在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ( x) ? B 成立, 即 f ( x) ? B 在区间 D 上能成立 ? 函 数 f ( x) 在区间 D 上的最小值小于 B。 (3)恰成立问题(关键词:定义域、值域、方程有解) 不等式 f ( x) ? A 在区间 D 上恰成立 ? f ( x) ? A 的解集为 D; 不等式 f ( x) ? B 在区间 D 上恰成立 ? f ( x) ? B 的解集为 D。 例 1. 已知不等式 ( x ? y )( ? ( A. ) 2 B. 4 C. 6 D. 8

1 x

a 则正实数 a 的最小值为 ) ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立, y

例 2. (1)对于二次函数 y ? ax ? bx ? c 有 x ? ?1 时 y ? 0 ,问是否存在实数 a, b, c 使
2

得不等式 x ? y ?

1 2 ( x ? 1) 对一切实数 x 恒成立,并证明你的结论 2

(2)已知对任意 x ? R ,总有 ?3 ?

x 2 ? tx ? 2 ? 2 ,求实数 t 的取值范围 x2 ? x ? 1

例 3. 若不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 对满足 ?2 ? m ? 2 的所有 m 都成立, 求实数 x 的取值
2

范围。

例 4. 已知两个函数 f ( x) ? 8 x ? 16 x ? k , g ( x) ? 2 x ? 5 x ? 4 x ,其中 k 为实数,
2 3 2

(1)若对任意的 x ?[?3,3] ,都有 f ( x) ? g ( x) 成立,求 k 的取值范围 (2)若对任意的 x1 , x2 ? [?3,3] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 k 的取值范围 (3)若对任意的 x1 ? [?3,3] ,总存在 x0 ? [?3, 3] ,使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,求 k 的 取值范围

例 5. 若关于 x 的不等式 x ? ax ? a ? 0 的解集为 (??, ??) ,则实数 a 的取值范围
2



;若关于 x 的不等式 x ? ax ? a ? ?3 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是
2

例 6. 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? 存在单调递减区间,求 a 的取值范围

1 2 若b ? 2 , 且 hx () ? f( x) g? ( x) ax ? bx, a ? 0 , 2

例 7. (1)已知 f ( x) ? 的取值范围。 (2)已知 f ( x) ? 的取值范围

x2 ? 2x ? a 对任意的 x ?[1, ??], f ( x) ? 0 恒成立,试求实数 a x

x2 ? 2x ? a ,当 x ?[ 1 , ??] 时, f ( x) 的值域是 [0, ??] ,试求实数 a x

例 8. 已知适合不等式 x ? 4 x ? a ? x ? 3 ? 5 的 x 的最大值为 3, 试求实数 a 的取值范
2

围,并解不等式。

自主招生考试真题解析 1. (复旦 2004 自主招生)若 x ? (a ? 1) x ? a ? 0 的所有整数解之和为 27,则实数 a 的
2

取值范围是



x 2 ? ax ? b ? 1 恒成立? 2. (北大 2006 自主招生)当实数 a, b 满足何条件时,可使 2 x ? 2x ? 2

3.(北大 2009 自主招生)已知对任意实数 x ,有 a cos x ?bcos2 x ? ? 1 。求 a ? b 的最 大值

4. (2009 浙大) 已知 a ? 成立的充要条件是 c ?

1 求证, 对于任意 x ? [0,1] , 使 f (x ) 1 ? , f ( x) ? ?a 2 x 2 ? ax ? c , 2

3 。 4

不等式证明的基本方法
不等式的证明因题而异,技巧性很强。基本方法有比较法、综合法、分析法、反证法、 数学归纳法。 例 1. (1)已知 x, y 都是实数,比较 x ? y 与 4 x ? 2 y ? 5 的大小
2 2

(2)已知 a ? 0, a ? 1, m ? n ? 0 。比较 a m ?

1 1 与 a n ? n 的大小 m a a
n n n ?1

(3)设 x, y 为不相等的正数, n ? N ,且 n ? 2 ,求证: x ? y ? x

y ? xy n?1

例 2. 若 0 ? ? ? ? ? A. a ? b

,sin ? ? cos ? ? a,sin ? ? cos ? ? b ,则( 4 B. a ? b C. ab ? 1 D. ab ? 2

?



例 3. 已知 ?1 ? a ? b ? 3, 2 ? a ? b ? 4 ,则 2a ? 3b 的取值范围是( A. (?



13 17 , ) 2 2

B. (?

7 11 , ) 2 2

C. (? ,

7 13 ) 2 2

D. (? ,

9 13 ) 2 2

例 4. 设 f ( x) ? log x 3 ? 2, g ( x) ? 2log x 2 ? 1 , (其中 x ? 0 且 x ? 1 ) , 试比较 f ( x) 与

g ( x) 的大小。

例 5. (1)已知 a ? 0, b ? 0 ,比较 a b 与 a b 的大小
a b b a

( 2 ) 已 知 函 数 f ( x) ? tan x, x ? (0,

?

x ?x 1 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? f ( 1 2 ) 2 2

) , 若 x1 , x2 ? (0, ) 且 x1 ? x2 。 证 明 2 2

?

例 6. 已知函数 f ( x) ? ax ? c 满足 ?4 ? f (1) ? 1, ?1 ? f (2) ? 5, 求 f (3) 的取值范围。
2

例 7. 阅读下面证明过程:
2 ? a 2 ? b 2 ?( a ? b ) 2 ?2 a b?( a? )b ?( 2a ? 2 b )

? 2 (a 2 ? b 2 ) ? (a ? b 2 )
当 a ? b ? 1时,有 a 2 ? b 2 ?

1 2
2 2 2

(1) 当 a ? b ? c ? 1时, 按照上述方法, 你能证明关于 a ? b ? c 的一个怎样的不等式? 请给出不等式的推导过程。 (2) 当 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 时,你能把上述结论推广到怎样的一个不等式?

例 8. (1)已知 x ? R ,求证:

1 x2 ? x ? 1 3 ? ? 2 x2 ? 1 2

(2)已知 a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 1,求证: (a ? )(b ? ) ? (3)设 a, b ? R 且 a ? b ,求证:

1 a

1 b

25 4

1 1 ? 2 ? a ?b a ?1 b ?1
2

例 9. (1)已知 a, b, c, d ? R 且 a ? b ? c ? d ? 1, ac ? bd ? 1 。求证: a, b, c, d 中至少 有一个是负数; (2) (2) 设 abcd ,,, 都是小于 1 的正数, 求证: 4a(1 ? b), 4b(1 ? c), 4c(1 ? b), 4d (1 ? a)

这 4 个数不可能都大于 1。

例 10、求证:当 n ? 2 时, n ! ? (

n ?1 n ) 。 2

自主招生考试真题选讲 1、 (复旦 2009 自主招生) 若 x ? y ? 1,0 ? a ? b ? 1 , 则下列各式中一定成立的是 ( (A) x ? y
a b



(B) x ? y
a

b

(C) a ? b
x

y

(D) a ? b
x

y

2、 (复旦 2004 保送)比较 log 24 与 log 25 的大小并说明理由。

25

26

3、 (上海交大 2005 自主招生)已知函数 y ? 求实数 a, b 的值。

ax 2 ? 8 x ? b 的最大值为 9,最小值为 1, x2 ? 1

4、 (北大 2006 自主招生)对于任意的正整数 n , x1 , x2 ,? , xn 均为非负实数,且

x1 ? x2 ? ? ? xn ?

1 1 ,使用数学归纳法证明: (1 ? x1 )(1 ? x2 )? (1 ? xn ) ? 成立。 2 2

5、 (同济 2004 自主招生)求证:对于任何实数 a 与 b ,三个数: a ? b , a ? b , 1 ? a 中 至少有一个不小于

1 。 2

第四讲

不等式证明的常用技巧

不等式的证明除了一些基本方法以外,还有一些常用技巧,如换元法、放缩法、构造 法(如构造函数、方程、向量、几何等) 、求导法等。 例 1. (1)已知 1 ? x ? y ? 2 ,求证:
2 2

1 ? x 2 ? xy ? y 2 ? 3 2
p? q? r ? 3

(2)设 p, q, r ?[0,1] 且 p ? q ? r ? 1 ,求证:

(3)设 a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 1,求证: 2a ? 1 ? 2b ? 1 ? 2 2 (4)设 x ? 1,求证: x ? (5)设 x ? 0 ,求证:

x2 ?1 ? 1

2? x 1 ? (1 ? x) 2 ? 2 2 1? x

例 2. (1)已知 a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 1,求证: a ? b ?
4 4

1 8
2 2 2 2

(2)已知实数 x, y, z, s 满足 x ? y ? z ? s ? a(a ? 0) ,求证: x ? y ? z ? s ? (3)设 x ? 2 y ? 3z ? 12 ,求证: x ? 2 y ? 3z ? 24
2 2 2

a2 4

例 3. (1)求证:

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? 1(n ? 2, n ? N ) n n ?1 n ? 2 n
1 1 1 ? ??? ? ?2 n 2 3 n

(2)求证: 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

(3)求证:

1 1 1 7 ? 2 ??? 2 ? 2 1 2 n 4
n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? (n ? 1) ? 2 2

(4)求证:

自主招生考试真题选讲 1、 (2009 清华) 设 x, y 为实数, 且 x ? y ? 1, 求证: 对于任意正整数 n , x
2n

? y 2n ?

1 2
2 n ?1



2、 (2004 复旦)求证: 1 ?

1 2
3

?

1 3
3

?? ?

1 n3

? 3。

3、 (2008 南大)若正数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1,求证:(a ? )(b ? )(c ? ) ?

1 a

1 b

1 c

1000 。 27

4、 (2008 浙大) x ? 0, y ? 0, a ? x ? y , b ?

x 2 ? xy ? y 2 , c ? m xy 。问:是否存在

正数 m ,使得对于任意正数 x, y ,可使 a, b, c 为三角形的三边构成三角形?如果存在,求 出 m 的值;如果不存在,请说明理由。

几个重要不等式
1、平均值不等式 一般地,对于 n 个正数 a1 , a2 , a3 ,? , an ,称

Hn ?

n 1 1 1 ? ?? ? a1 a2 an

为 a1 , a2 , a3 ,? , an 的调和平均值;

Gn ? n a1 ? a2 ? a3 ? an 为 a1 , a2 , a3 ,?, an 的几何平均值;

An ?
Qn ?

a1 ? a2 ? ? ? an 为 a1 , a2 , a3 ,? , an 的算术平均值; n
2 2 a12 ? a2 ? ? ? an 为 a1 , a2 , a3 ,? , an 的平方平均值。 n

这四个平均值有以下关系:H n ? Gn ? An ? Qn , 其中等号当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 时 成立。 特别地, 2、柯西不等式 代数形式:对任意实数 ai , bi , i ? 1, 2,?, n , ( 向量形式: ? ? ? ? ? ? 根式形式: 3、排序不等式

? aibi )2 ? (? ai2 )(? bi2 )
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn , i1 , i2 ,?, in 是1, 2,?, n 的任一 设有两个有序实数组:
排列,则有

a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? a1bi1 ? a2bi2 ? ? ? anbin ? a1bn ? a2bn ?1 ? ? ? anb1
当且仅当 a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn 时,等号成立。 例题精讲 例 1. (1)已知 x ?

5 1 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 的最大值; 4 4x ? 5
1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值; x y
x2 ? k ? 1 x2 ? k
的最小值。

(2)已知 x ? 0, y ? 0 ,且

(3)设 k 为常数,求函数 y ?

例 2. (1)已知 a, b, c ? R . 求证 a 3 ? b3 ? c3 ?

?

1 2 (a ? b2 ? c 2 )(a ? b ? c) 3
2 2 2 2 2 2

(2)已知 a, b, c, d ? R , m ? 0, n ? 0 ,且 m ? a ? b , n ? c ? d ,求证:

mn ? ac ? bd
(3)设 a, b, c ? R ,求证 a ? b ? c ? abc(a ? b ? c)
4 4 4

(4) 已知三角形 ABC 中, 三内角满足 sin A ? sin B ? 5sin C 。 求证: sin C ?
2 2 2
2 2 2 2 2

3 5

例 3. (1)比较 (a1 ? a2 )(b1 ? b2 ) 与 (a1b1 ? a2b2 ) 的大小,猜测一般的结论,并加 以证明。 (2) a, b, c ? R , (a ? b ? c)( (3) a, b, c ? R ,
? ?

1 1 ? )?4 a?b c

a2 b2 c2 1 ? ? ? (a ? b ? c) b?c c?a a ?b 2
?

(4)设 x1 , x2 , ?, xn ? R ,求证:

x 2 x2 x12 x2 2 ? ? ? ? n ?1 ? n ? x1 ? x2 ? ? ? xn x2 x3 xn x1

自主招生考试例题选讲 1、 (2009 清华)设 a, b, c 为正实数,求证: 种排列。

a b c ? ? ? 3 ,其中 x, y, z 为 a, b, c 的一 x y z

2、 (2007 北大)已知 a ? 0, b ? 0 ,求证:

1 1 1 ? ?? ? ? a ? b a ? 2b a ? nb

n 1 n ?1 (a ? b)(a ? b) 2 2

不等式的应用
不等式贯穿于高中数学的各个部分,在高考和自主招生考试中,涉及运用不等式的性 质、定理和方法,研究函数性态(函数的定义域、值域,函数的单调性等) ,一元二次方程 根的分布, 方程(组)解的讨论, 函数的最值,解析几何中直线和圆锥曲线位置关系的研究, 实际应用等方面的问题,都与不等式有密切的关系。 一、不等式在函数与方程中的应用 例 1、 (1)若 f ( x) ? log a
x ( ? x 2 ? log 2 a)

对 x ? (0, ) 都有意义,求 a 的取值范围。

1 2

1 ? 2 x ? 3x ? a ? 4 x (2)设 f ( x) ? lg ( a ? R), x ?( ??,1] ,求使 f ( x) 有意义的 a 的范围。 4

2 例 2、 若方程 ax ? 4ax ? 1 ? 0 的两个正根 ? , ? 满足 lg ? ? lg ? ? 1 , 求 a 的取值范围。

例 3、当 m 为何值时,方程 4 x ? (m ? 2) x ? m ? 5 ? 0 的两根都大于 1?
2

例 4、设 f ( x) 是定义在 [?1,1] 上的奇函数, g ( x) 得图像与 f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,而当 x ? [2,3] 时, g ( x) ? ? x ? 4 x ? c(c 为常数) , (1)求 f ( x) 的表达式; (2)对
2

任意的 x1 , x2 ? [0,1] ,若 x1 ? x2 ,求证: f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? min 2 x2 ? x1 ,1 。 (注: min 2 x2 ? x1 ,1 表示 2 x2 ? x1 与 1 中的较小者。 )

?

?

?

?

二、数列中的不等式 例 1、正项数列 ? an ? 满足 a1 ? 5, an ?1 ? (1) an ? 4 ; (2) an ?1 ? 4 ?

(an ? 4) 2 ,求证: 4an

1 1 n?1 (3) an ? 4 ? ( ) , (n ? 2) 。 (an ? 4) ; 4 4



2 、 设 数 列

? an ?

满 足 a1 ? 1, an ? an ?1 ?

1 (n ? 2, n ? N ) , 求 证 : an ?1

an ? 3n ? 2 (n ? 2, n ? N )

例 3、已知正项数列 ? an ? 满足 a1 ? a(0 ? a ? 1), an ?1 ?

an ,求证: 1 ? an

(1) an ?

a a a a ; (2) 1 ? 2 ? ? ? n ? 1 。 1 ? (n ? 1)a 2 3 n ?1

例 4、 已知函数 f ( x) ?

x?2 数列 ? xn ? 满足 xn ?1 ? f ( xn )(n ? 1, 2,?, n) , , x ? (0, ??) , x ?1

且 x1 ? 1 ,求证: (1)当 an ? xn ? 2 时, an ?1 ? an ; (2)若 ? xn ? 的前 n 项和为 S n ,则

Sn ?

2 。 2

三、三角不等式 在 ?ABC 中,证明下列不等式: (1) sin A ? sin B ? sin C ?

3 3 2

(2) sin

A B C 3 ? sin ? sin ? 2 2 2 2

(3) cos A ? cos B ? cos C ?

3 2

(4) cos A ? cos B ? cos C ?

1 8

(5) sin A ? sin B ? sin C ?

3 3 8

(6) sin

A B C 1 ? sin ? sin ? 2 2 2 8 9 4

(7) cos

A B C 3 3 ? cos ? cos ? 2 2 2 8

(8) sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? (10) cos 2

3 4 A B C 3 (11) sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ? 2 2 2 4
(9) cos 2 A ? cos 2 B ? cos 2 C ?

A B C 9 ? cos 2 ? cos 2 ? 2 2 2 4

(12)若 ?ABC 为锐角三角形,则 tan A ? tan B ? tan C ? 3 3

四、几何不等式

五、利用不等式解决实际应用问题 1、某厂要加工 A、B 两种不同型号的零件,其中 A 型 1800 个,B 型 640 个。现有工 人 100 名,每人每小时可加工 A 型零件 5 个或加工 B 型零件 4 个。现将工人分成两组(每 组至少有一人) ,每组工人只加工一种零件。问:要使加工这两种零件所需的时间之和最短, 应怎样分组?

2、



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基本不等式说课稿
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2014《步步高》高考数学第一轮复习07 基本不等式
2014《步步高》高考数学第一轮复习07 基本不等式_高考_高中教育_教育专区。§ 7.4 2014 高考会这样考 题. 复习备考要这样做 基本不等式 1.利用基本不等式求最...
基本不等式学案
基本不等式学案_数学_高中教育_教育专区。基本不等式学案目标: (1)掌握基本不等式 (2)注意使用基本不等式的条件与注意点 过程: 一、引入:图一是在北京召开的第...
高中数学基本不等式的巧用
分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调 性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用...
基本不等式总复习教案
第四节基本不等式 [知识能否忆起] a+b 一、基本不等式 ab≤ 2 1.基本不等式成立的条件:a>0,b>0. 2.等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 二、...
基本不等式及其应用
基本不等式证明方法 ,当且仅当 a=b 时等号成立。 3.基本不等式的应用 ①利用基本不等式证明不等式或比较大小; ②利用基本不等式求最值或求范围; ③利用基本...
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