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高考数学专题二函数第练函数模型及其应用练习(新)-课件



【步步高】 (浙江专用)2017 年高考数学 专题二 函数 第 13 练 函数 模型及其应用练习
训练目标 训练题型 (1)函数模型应用;(2)审题及建模能力培养. 函数应用题. (1)抓住变量间的关系,准确建立函数模型;(2)常见函数模型:一次函数、二 解题策略 次函数模型;指数、对数函数模型;y=ax+ 型函数模型.

b x

/>1.某农家旅游公司有客房 300 间,每间日房租为 20 元,每天都客满.公司欲提高档次,并 提高租金,如果每间客房日增加 2 元,客房出租数就会减少 10 间.若不考虑其他因素,旅社 将房间租金提高到多少时,每天客房的租金总收入最高?

2. (2015·广东江门普通高中调研测试)某农户建造一间背面靠墙的小房, 已知墙面与地面垂 直,房屋所占地面是面积为 12 m 的矩形,房屋正面每平方米的造价为 1 200 元,房屋侧面 每平方米的造价为 800 元,屋顶的造价为 5 200 元.如果墙高为 3 m,且不计房屋背面和地 面的费用,问怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少?
2

1

3.铁路运输托运行李,从甲地到乙地,规定每张客票托运费计算方法为:行李质量不超过 50 kg,按 0.25 元/kg 计算;超过 50 kg 而不超过 100 kg 时,其超过部分按 0.35 元/kg 计算, 超过 100 kg 时,其超过部分按 0.45 元/kg 计算.设行李质量为 x kg,托运费用为 y 元. (1)写出函数 y=f(x)的解析式; (2)若行李质量为 56 kg,托运费用为多少?

4.(2015·湖北曾都、枣阳、襄阳、宜城一中期中)国庆期间襄阳某体育用品专卖店抓住商机 大量购进某特许商品进行销售,该特许产品的成本为 20 元/个,每日的销售量 y(单位:个) 与单价 x(单位:元)之间满足关系式 y=

a 2 +4(x-50) ,其中 20<x<50,a 为常数.当销 x-20

售价格为 40 元/个时,每日可售出该商品 401 个. (1)求 a 的值及每日销售该特许产品所获取的总利润 L(x); (2)试确定单价 x 的值,使所获得的总利润 L(x)最大.

5. (2015·湖州上学期期末质量检测)一种药在病人血液中的含量不低于 2 克时, 它才能起到 有效治疗的作用. 已知每服用 m(1≤m≤4 且 x∈R)个单位的药剂, 药剂在血液中的含量 y(克) 10 ? ?4+x,0≤x<6, 随着时间 x(小时)变化的函数关系式近似为 y=mf(x),其中 f(x)=? x ?4-2,6≤x≤8. ? (1)若病人一次服用 3 个单位的药剂,则有效治疗时间可达多少小时?
2

(2)若病人第一次服用 2 个单位的药剂,6 个小时后再服用 m 个单位的药剂,要使接下来的 2 小时中能够持续有效治疗,试求 m 的最小值.

答案解析 1.解 设客房日租金每间提高 2x 元,则每天客房出租数为 300-10x,由 x>0,且 300-10x >0 得:0<x<30,设客房租金总收入为 y 元, 则有:y=(20+2x)(300-10x)=-20(x-10) +8 000(0<x<30). 由二次函数性质可知当 x=10 时,ymax=8 000. 所以当每间客房日租金提高到 20+10×2=40(元)时,客房租金总收入最高,为每天 8 000 元. 2.解 设房屋地面长为 y m,宽为 x m,总造价为 z 元(x,y,z>0),则 xy=12,z=3y×1 200 +2×3x×800+5 200. 12 12×3 600 ∵y= ,∴z= +4 800x+5 200.
2

x

x

∵x>0,y>0,∴z≥2 当

12×3 600 ×4 800 x+5 200=34 000.

x

12×3 600 =4 800x,即 x=3 时,z 取最小值,最小值为 34 000 元.

x

答 房屋地面长 4 m,宽 3 m 时,总造价最低,最低总造价为 34 000 元. 3.解 (1)设行李质量为 x kg,托用费用为 y 元, ①若 0<x≤50,则 y=0.25x; ②若 50<x≤100,则 y=12.5+(x-50)×0.35; ③若 x>100,则 y=30+0.45×(x-100). 所以,由①②③可知 0.25x,0<x≤50, ? ? y=?12.5+0.35×(x-50),50<x≤100, ? ?30+0.45×(x-100),x>100. (2)因为 50 kg<56 kg≤100 kg, 所以 y=12.5+6×0.35=14.6(元). 故若行李质量为 56 kg,托运费用为 14.6 元.

3

4.解 (1)由 y=

a

x-20

+4(x-50) ,取 x=40,y=401,得
2

2

401= +4(40-50) ,解得 a=20. 40-20 所以 y= [ 20

a

x-20

+4(x-50) ,则每日销售该特许产品所获取的总利润为 L(x)=y(x-20)=

2

20 2 +4(x-50) ](x-20) x-20
2

=20+4(x-50) (x-20)(20<x<50). (2)由 L(x)=20+4(x-50) (x-20)=4x -480x +18 000x-199 980, 得 L′(x)=12x -960x +18 000=12(x-30)(x-50). 当 x∈(20,30)时,L′(x)>0,L(x)为增函数; 当 x∈(30,50)时,L′(x)<0,L(x)为减函数. 所以当 x=30 时,L(x)max=16 020. 所以当销售单价为 30 元/个时,所获得的总利润 L(x)最大. 30 ? ?4+x,0≤x<6, (1)因为 m=3,所以 y=? 3x ?12- 2 ,6≤x≤8. ?
2 3 2 2

5.解

30 当 0≤x<6 时,由 ≥2,解得 x≤11,此时 0≤x<6; 4+x 3x 20 20 当 6≤x≤8 时,由 12- ≥2,解得 x≤ ,此时 6≤x≤ . 2 3 3 20 综上所述,0≤x≤ . 3 故若一次服用 3 个单位的药剂,则有效治疗时间可达 20 小时. 3

1 10 10m (2)方法一 当 6≤x≤8 时,y=2×(4- x)+m[ ]=8-x+ , 2 4+(x-6) x-2 因为 8-x+ 即 m≥ 10m ≥2 对 6≤x≤8 恒成立, x-2 对 6≤x≤8 恒成立, )max,6≤x≤8.
2

x2-8x+12
10

等价于 m≥( 令 g(x)=

x2-8x+12
10 10

x2-8x+12

(x-4) -4 ,则函数 g(x)= 在[6,8]上是单调增函数, 10

4

当 x=8 时,函数 g(x)=

x2-8x+12
10

6 取得最大值 , 5

6 6 所以 m≥ ,所以所求 m 的最小值为 . 5 5 1 10 10m 方法二 当 6≤x≤8 时,y=2×(4- x)+m[ ]=8-x+ , 2 4+(x-6) x-2 注意到 y1=8-x 及 y2= 则 y=8-x+ 10m (1≤m≤4 且 m∈R)均在[6,8]上单调递减, x-2

10m 在[6,8]上单调递减, x-2

10m 5m 5m 6 故 y≥8-8+ = ,由 ≥2,得 m≥ . 8-2 3 3 5 6 所以所求 m 的最小值为 . 5

5



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