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2.2.3 向量数乘运算及其几何意义(知识梳理+练习+答案)



第二章 平面向量

必修 4

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 知识梳理: 1、相反向量: 规定与 a __________________________的向量,叫做 a 的相反向量,记作_____________, 向量 a 与 ?a 互为相反向量,于是___________________________。 任 一 向 量 与 其 相 反 向 量 的 和 是 ___________ , 即

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a ? ( ?a )
2、向量的减法

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_

_

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_ a? _

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? _a ?_

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_
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_

_

_

, (

)

_

_

我们定义,减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量,即 a ? 么 a =______________, b =_________________, a ? 3、向量减法的几何意义: 已知 a ,b ,在平面内任取一点 O, 作 OA ?

b 是互为相反的向量,那

?

?

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b =________________________。
?
? ? ? ?

?

?

?

?? ?

a,OB ? b ,则__________= a ? b ,即 a ? b

? ???

可以表示为从向量_________________的终点指向向量_____________的终点的向量, 如果向 量 a 的终点,到 b 的终点作向量那么得向量是__________________ 练习题: 一、选择题。 → → → → → 1、 若 3 x —2( x — a ) = 0 ,则 x =( ) → A. 2 a → B. -2 a C. 2→ a 5 2→ D. - a 5

?

?

1 → → → → 2、 将 [2(2 a +8 b )—4(4 a —2 b )]化简成最简形式为( ) 12 → → A. 2 a — b → → B. 2 b — a → → C. a — b → → D. b — a

3、 下面给出四个命题: → → → → → → ① 对于实数 m 和向量 a , b ,恒有 m( a — b )=m a —m b ; → → → → ② 对于实数 m,n 和向量 a ,恒有(m—n) a =m a —n a ; → → → → ③ 若 m a = m b ( m ∈ R), 则有 a = b ; → → → → ④ 若 m a = n b (m, n ∈ R, a ≠ 0 ), 则 m = n. 其中正确命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 → → → → → → 4、若AB = 3 a , CD = —5 a , 且|AD|=|BC|, 则四边形 ABCD 是( ) A. 平行四边形 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 非等腰梯形 → → → → → → → → → → → 5 、 已知向量 a , b , 且 AB = a +2 b , BC = — 5 a +6 b , CD =7 a — 2 b , 则一定共线的三点是 ( ) A. A、B、D B. A、B、C C. B、C、D D. A、C、D

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第二章 平面向量

必修 4

→ → → → 6、 已知 O 是Δ ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边的中点,且 2OA+OB+OC = 0 ,那么( ) → → → → → → → → A. AO=OD B. AO=2OD C. AO=3OD D. 2AO=OD 二、填空题。 → → → → → 7、若 O 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点,AB=4 e 1, BC=6 e 2, 则OA= → → → → → → → → → → 8、若 a = m +2 n , b =3 m —4 n ,且 m , n 共线,则 a 与 b 的关系是 → → → → → → → → → 9、在Δ ABC 中,BC= a , CA= b , AB= c ,三边 BC,CA,AB 的中点依次是 D,E,F,则AD+BE+CF= → → → → → 10、若AP=t AB (t ∈ R), O 为平面上任意一点,则OP= (用OA,OB表示) 三、解答题。 11、已知向量 e1与e 2 不共线,AB ? 2e1 ? 3e 2 , BC ? 6e1 ? 23e 2 , CD ? 4e1 ? 8e 2 ,求证:A、B、 D 三点共线。

12、设两个非零向量 a , b 不共线, (1)若 AB ? a ? b, BC ? 2a ? 8b, CD ? 3(a ? b) ,求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka ? b与a ? kb 共线。

13、若 a , b 都是非零向量,在什么条件下 a ? b与a ? b 共线?

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第二章 平面向量

必修 4

参考答案 一、选择题 1 B 二、填空题 → → 7、-2 e1 -3 e2 8、共线 → 9、 0 → → 10、(1-t)OA+t OB 三、解答题 11、证明:∵ AD ? AB ? BC ? CD ? 2e1 ? 3e 2 ? 6e1 ? 23e 2 ? 4e1 ? 8e 2 2 B 3 C 4 A 5 A 6 D

? 12e1 ? 18e 2 ? 6(2e1 ? 3e 2 ) ? 6AB
∴向量 AD和AB 共线。 又∵ AB和AD 有共同的起点 A, ∴A、B、D 三点共线。 12、 (1)证明:∵ AB ? a ? b, BC ? 2a ? 8b, CD ? 3(a ? b) , ∴ BD ? BC ? CD ? 2a ? 8b ? 3(a ? b) ? 5(a ? b) ? 5AB , ∴ AB, BD 共线,又∵ AB, BD 有公共点 B,∴A、B、D 三点共线。 (2)∵ ka ? b与a ? kb 共线, ∴存在实数 ? ,使 ka ? b ? ?(a ? kb) ? ?a ? ?kb ,

?k ? ? ,? k ? ?1 。 ? ?1 ? ?k
13 、 解 : 若 a ? b ? 0 , 满 足 a ? b与a ? b 共 线 , 此 时 a ? ?b , 若 a ? b ? 0 , 满 足 a ? b与a ? b共线 ,此时, a ? b, a ? b与a ? b 中至少有一个不为 0,不妨设 a ? b ? 0 。 ∵ a ? b与a ? b 共线, ∴存在实数 ? ,使 a ? b ? ?(a ? b) 。 ∴ (1 ? ?)a ? (1 ? ?)b 。 ∵ a ? 0, b ? 0,?? ? ?1,?b ?

1? ? a。 1? ?

∴ a // b 。 综上知,当 a // b 时, a ? b与a ? b 共线。

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第二章 平面向量

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