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安徽省涡阳县第四中学2014-2015学年高二数学下学期第二次质量检测试题 文



涡阳四中 2014-2015 学年度下高二第二次质量检测 数 学 试 题(文科)
注意事项: 请将答案做在答题卡的相应的位置上,所有选择题的答案必须用 2B 铅笔涂在答题卡中 相应的位置,否则不予计分。 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1、若集合 A={-1,1},B={0,2},则集合 C ? z z ? x ? y, x

? A, y ? B 中的元素的个 数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 2、设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,5},则 A∩(CUB)等于( A. {2} B. {2,3} C. {3} D. {1,3} 3、下图可表示函数 y ? f ? x ? 图像的是 ( )

?

?



4、设点 P ? x, y ? ,则“ x ? 2且y ? ?1 ”是“点 P 在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上” 的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

)

5、下列函数中,定义域和值域都相同的是( A. y ? x 和 y ? 2
2 x

B. y ? sin x 和 y ? tan x D. y ? x 和 y ? x
2

C. y ? x 和 y ? log 2 x
3

?0, x ? 0 ? 6、已知函数 f ? x ? ? ?? , x ? 0 ,则 f ? f ( f (?1)) ? 的值等于( ?? 2 ? 1, x ? 0 ?
2 A. ? ? 1 2 B. ? ? 1



C.

?
2

D. 0 ( )

7、若 f ? 2x ?1? ? x ? 1,则 f ? x ? 的解析式为
2

A. f ? x ? ?

x ? 2x ? 5 4
2

B. f ? x ? ?

x ? 2x ? 5 4

1

C. f ? x ? ?

x2 ? 2 x ? 3 4

D. f ? x ? ?

x2 ? 2 x ? 3 4
)

8、命题 p:若 任意x ?[0, ??) , 则 (log3 2) x ? 1 , 则下列结论正确的是 ( A.是假命题, ?p : 存在x0 ?[0, ??) , (log3 2) x0 ? 1 B.是假命题, ?p : 任意x0 ?[0, ??) , (log3 2) x ? 1 C.是真命题, ?p : 存在x0 ?[0, ??) , (log3 2) x0 ? 1 D.是真命题, ?p : 任意x0 ?[0, ??) , (log3 2) x ? 1 9 、 设 函 数 f ? x? ? ?

? x2 ? bx ? c, x ? 0, ?2, x ? 0,
)

若 f ? ?4? ? 0, f ? ?2? ? ?2 , 则 关 于

x 的方程

x ? f ? x ? 解的个数为(
A.1 B.2

C.3
2 2

D.4

10 、 已 知 函 数 f ( x) ? ? x ? ax ? b ? b ? 1, (a, b ? R) , 对 任 意 实 数 x 都 有

f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成立 , 若当 x ? ?? 1,1? 时 , f ( x) ? 0 恒成立 , 则实数 b 的取值范围是
( ) B. b ? 2或b ? ?1 C. b ? 2 D. b ? ?1 A. ? 1 ? b ? 0

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题
2 2 2 11、已知 a, b, c ? R ,命题“若 a ? b ? c ? 3, 则 a ? b ? c ? 3 ”的否命题是

______________________.
x 12、函数 f ? x ? ? log 2 3 ? 1 的值域为__________________.

?

?

13、函数 f ? x ? ? log 3 ? x ? 1? ? 4 ? 2 的定义域是____________________.
x

14、已知命题 p:若 x=-1,则向量 a ? ? ?1, x ? 与 b ? ? x ? 2, x ? 垂直 ,则在命题 p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为_________. 15、具有性质: f ?

?

?

?1? ? ? ? f ? x ? 的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:(1) ? x?

2

? ? x, 0 ? x ? 1 ? 1 1 f ( x) ? x ? ;(2) f ? x ? ? x ? ;(3) f ( x) ? ?0, x ? 1 x x ? 1 ?? , x ? 1 ? x
(4) f ( x ) ?

1 1 (5) f ( x) ? ? x ? 2 ,其中满足“倒负”变换的函数是_________. x x

三、解答题(写出必要的解答与证明过程) 16、 (12 分)已知集合 A ? x | x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ,集合 B ? ?x | 2a ? x ? a ? 2?. (1)若 a ? ?1 ,求 A ? B 和 A ? B ; (2)若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

?

?

17、 (12 分)已知函数 f ? x ? ?

x ?1 , x ? [3,5] . x?2

(1)判断函数 f ( x) 的单调性并用定义证明你的结论. (2)求函数 f ( x) 的最大值和最小值.

18、 (12 分)已知 y ? f ( x)是R上的偶函数,当x ? 0时,f (x) ? x ? 2x,
2

(1)求当 x ? 0 时,函数 f ( x) 的表达式; (2)作出函数 f ( x) 的示意图象,并指出其单调区间.

19 、 ( 13 分 ) 设 命 题 p : 方 程 4 x ? 4(a ? 2) x ? 1 ? 0 无 实 数 根 ; 命 题 q : 函 数
2

的定义域是 R .如果命题 p或q 为真命题,求实数 a 的取值范围. y ? l n (x2 ? a x? 1)

3

20、已知函数 f ? x ? ? x ? 在 [ t , ??) 上是增函数. (1)已知 h( x ) ? x ? (2)已知 f ( x) ? 域.

t 有如下性质:如果常数 t ? 0 ,那么该函数 (0, t ] 上是减函数, x

4 x ? 1,8 ? ? ,求函数 h( x) 的最大值和最小值. , x

4 x 2 ? 12x ? 3 , x ? ?0,1? ,利用上述性质,求函数 f ( x) 的单调区间和值 2x ?1

21、 已知

1 2 ? a ? 1, 若函数 f ? x ? ? ax ? 2x 在 ?1, 3? 上的最大值为 M ? a ? , 最小值为 N ? a ? . 3

(1)求 N ? a ? 的表达式; (2)求 M ? a ? 的表达式并说出其最值.

4

涡阳四中高二下第二次质量检测数学试题 ( 文 科 )参考答案 一、 选择题 1.C 2.D 3.D 4.A. 5.D 6.C

7.A

8.C

9.B

10.B

10、 【解析】 由任意实数 x 都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 成立, 故函数 f ( x) 关于直线 x ? 1 对称, 所 以 a ? 2 , 则 f ( x) ? ? x2 ? 2x ? b2 ? b ? 1 ? 0 , 即 x2 ? 2 x ? b2 ? b ? 1 , 等 价 于

( x2 ? 2x)max ? b2 ? b ? 1,所以 3 ? b2 ? b ? 1 ,解得 b ? 2或b ? ?1 .
二:填空题 11.若 a ? b ? c 12.

? 3, 则 a 2 ? b2 ? c2 ? 3.

? 0, ?? ? 13. (-1,2].14.2 15.(1) , (3).

三:解答题 16.解析: (1) A ? {x | x ? ?1 或 x ? 5} , B ? {x | ?2 ? x ? 1} ??2 分 ∴ A ? B ? {x | ?2 ? x ? ?1} , A ? B ? {x | x ? 1或x ? 5} ;??6 分 (2)∵ A ? B ? B ,∴ B ? A ???7 分 ①若 B ? ? ,则 2a ? a ? 2 ,∴ a ? 2 ???9 分 ②若 B ? ? ,则 ?

?a ? 2 ?a ? 2 或? ,∴ a ? ?3 ???11 分 2 a ? 5 a ? 2 ? ? 1 ? ?

所以,综上, a ? 2 或 a ? ?3 .???12 分 17. 解析: (1) f(x)在[3,5]上递增.证明如下: 任取 x1,x2∈[3,5]且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= = = ∵x1,x2∈[3,5]且 x1<x2, ∴x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2), ∴函数 f(x)= 在 x∈[3,5]上为增函数.??????..8 分 = . -

(2)由(1)知,当 x=3 时,函数 f(x)取得最小值为 f(3)= ;

5

当 x=5 时,函数 f(x)取得最大值为 f(5)= .????????12 分 18. 解: (1)设 x ? (??,0), 则 - x ? (0,??),

? f (? x) ? (? x) 2 ? 2(? x) ? x 2 ? 2x
又因为 f ( x) 为偶函数, f (? x) ? f ( x)

? f ( x) ? x 2 ? 2 x
即:当 x ? 0 时,函数 f ( x) 的表达式是 f ( x) ? x 2 ? 2 x (2) ??????6 分

-1

1

???10 分 单调减区间为: ?- ? ,-1?, (0,1) ???11 分 单调增区间为: [?1,0],[1,??) ???12 分

(若用并集符号表述单调区间扣 2 分) 19. 解析:若 p 为真命题,则 ? ? 16?a ? 2? ? 16 ? 16 a 2 ? 4a ? 3 ? 0
2

?

?

解得 1 ? a ? 3 ??????????3 分
2 若 q 为真命题,则 ? ? a ? 4 ? 0 恒成立,解得 ?2 ? a ? 2 ????????6 分

又由题意知 p 和 q 至少有一个是真命题. 若 p 真 q 假: ?

?1 ? a ? 3 ?a ? ?2或a ? 2

此时求得 a 的范围为: 2 ? a ? 3 ????8 分

若 p 假 q 真: ?

?a ? 1或a ? 3 此时求得 a 的范围为: ?2 ? a ? 1 ????10 分 ? 2 ? a ? 2 ?
此时求得 a 的范围为: 1 ? a ? 2 ????12 分

若 p 真 q 真: ?

?1 ? a ? 3 ??2 ? a ? 2

综上所述: a 的范围为: ?2 ? a ? 3 ??????????13 分 (若利用“补集思想”求解也可以的) 20. 【解析】 (1)函数 h( x) 在 x ??1,2? 上单调递减,在 x ?? 2,8? 上单调递增,

6

17 17 h( x) max ? h ? 8 ? ? 因为 h ?1? ? 5 ? h ? 8 ? ? ,所以当 x ? 8 时, 2 , 2
当 x ? 2 时, h( x)min ? h ? 2? ? 4 ?????5 分 (2) y ? f ( x) ? 4 x ? 12x ? 3 ? 2 x ? 1 ?
2

2x ?1

4 ?8, 2x ?1
4 ? 8, u ? ?1,3? ,???8 分 u

设 u ? 2 x ? 1, x ? ?0,1?,1 ? u ? 3 ,则 y ? u ? 由已知性质得, 当 1 ? u ? 2, 即0 ? x ?

1 ? 1? 时, f ( x) 单调递减,所以递减区间为 ?0, ? ???9 分 2 ? 2?

当 2 ? u ? 3, 即

1 ?1 ? ? x ? 1 时, f ( x) 单调递增,所以递增区间为 ? ,1? ???10 分 2 ?2 ? 1 2 11 ,得 f ( x) 的值域为 ?? 4,?3????13 分 3

由 f (0) ? ?3, f ( ) ? ?4, f (1) ? ?
2

21. 解析:(1) f ? x ? ? ax ? 2x ? a ? x ? ∵

? ?

1? 1 ? ? a ? a ???1 分

2

1 1 ? a ? 1 ,∴ 1 ? ? 3 ???2 分 3 a 1 时,函数 f ? x ? 取得最小值. a

因为 x 在 ?1, 3? 范围内,所以当 x ? 即 N ?a? ? f ? (2)当 1 ?

1 ?1? ? ? ? ?????..4 分 a ?a?

1 1 ? 2 ,即 ? a ? 1 时, a 2

则 x ? 3 时,函数 f ? x ? 取得最大值; ∴ M ? a ? ? f ?3? ? 9a ? 6 ,???7 分 当2 ?

1 1 1 ? 3 ,即 ? a ? 时, a 3 2

则 x ? 1 时,函数 f ? x ? 取得最大值; ∴ M ? a ? ? f ?1? ? a ? 2 ?????10 分

7

1 1 ? a ? 2, ? a ? ? ? 3 2 综上,得 M ? a ? ? ? ?????.11 分 ?9a ? 6, 1 ? a ? 1 ? ? 2
故 M ? a ? 的最小值为-5/3;最大值为 3.????.13 分

8



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