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山东省菏泽市2014-2015学年高二数学上学期期末考试试卷 文(B)



高二数学试题(文)
第Ⅰ卷(选择题部分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的 4 个选项中只有一个 是正确的,请将所选选项的字母填写在答题卷相应的位置上) 1. 下列结论正确的是( A.若 ac ? bc ,则 a ? b C.若 a ? b , c ? 0 ,则 a ? c ? b ? c 2.若命题“ p ? q ”为假,且

“ ?p ”为假,则( A.p 或 q 为假 3.不等式 B.q 假 ) C. ?x x ? ?2或x ? 3? D. ?x ?2 ? x ? 3? ) ) B.若 a 2 ? b 2 ,则 a ? b D.若 a < b ,则 a ? b ) C.q 真 D.不能判断 q 的真假

x ?3 ? 0 的解集为( x?2

A. ?x ?2 ? x ? 3?

B. ?x ?2 ? x ? 3?

4.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3 ? a9 ? 2a52 , a2 ? 2 ,则 a1 的值是( A. ? 2 B.
2 2

C. 2 )

D.2

5. 若不等式 x 2 ? ax ? a ? 1 有解,则 a 的取值范围为( A.a<2 B.a=2

C.a>2

D.a ? R )

6.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,且 c cos A ? b ,则△ABC 是( A.锐角三角形 7.下列命题错误 的是( .. B.钝角三角形 ) C.直角三角形 D.斜三角形

A. 命题“若 m ? 0 , 则方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实数根”的逆否命题是“若方程 x 2 ? x ? m ? 0 没 有实数根,则 m ? 0 ”; B.“ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件; C.命题“若 xy ? 0 ,则 x,y 中至少有一个为 0”的否命题是“若 xy ? 0 ,则 x,y 中至多 有一个为 0”; D.对于命题 p: ?x ? R ,使 x 2 ? x ? 1 ? 0 ;则 ?p : ?x ? R ,均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 . 8. 在△ABC 中,若 C ? 90? ,三边为 a , b, c, 则
a?b 的范围是( c



-1-

A. ( 2, 2)

B. (1,

2]

C. (0,

2]

D. [

2 , 2

2]

?x ? y ? 3 ? 0 ? 9.若直线 y ? 2 x 上存在点(x,y)满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值为( ?x ? m ?



A.

1 2

B.1

C.

3 2

D.2

10.如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A, a 2 b2

B,左、右焦点分别是 F1,F2,若 AF1 , F1 F2 , F1 B 成 等比数列,则此椭圆的离心率为( A.
1 4

) D. 5 ? 2

B.

1 2

C.

5 5

第Ⅱ卷(非选择题部分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请把下列各题的正确答案填写在答题 卷相应的位置上) 11. 若关于 x 的不等式 x 2 ? 4 x ? a 2 ? 0 的解集是空集,则实数 a 的取值范围是
?y ? 0 ? 12. 设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?x ? y ? 3 ? 0 ?





x2 y 2 . ? ? 1 ,点 P (2,1) 在 C 的渐近线上,则 C 的率心率为 a 2 b2 2 14. 已知双曲线 C 经过点 3, 2 2 ,渐近线方程为 y ? ? x ,则双曲线的标准方程为________. 3

13.已知双曲线 C:

?

?

15.若 x ? (1, ??) ,则 y ? x ?

2 的最小值是 x ?1

.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分,须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,且 c 2 ? a 2 ? b 2 ? ab . (1)求角 C 的值; (2)若 b=2,△ABC 的面积 S ?
3 3 ,求 a 的值. 2

-2-

17. (本小题满分 12 分) 已知命题 P:不等式 a 2 ? 4a ? 3 ? 0 的解集; 命题 Q:使 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对任意实数 x 恒成立的实数 a, 若 P ? Q 是真命题,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 在数列{an}中,a1=2, an ?1 =4an-3n+1, n ? N * . (1)令 bn ? an ? n ,求证数列{bn}为等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

19. (本小题满分 12 分)
1 1 已知等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,前 n 项和为 Sn,且 S1 , S3 , S5 成等差数列. 2 3

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;
bn ? 的前 (2)若数列{bn}为递增的等比数列,且集合 ?b1 , b2 , b3 ? ? ?a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ? ,设数列 ?an ?

n 项和为 Tn ,求 Tn .

20. (本小题满分 13 分)
-3-

在平面直角坐标系中,已知点 A(1, 0) ,点 B 在直线 l : x ? ?1上运动,过点 B 与 l 垂直的直 线和线段 AB 的垂直平分线相交于点 M. (1)求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)过(1)中轨迹 E 上的点 P (1, 2) 作轨迹 E 的切线,求切线方程.

21. (本小题满分 14 分) 如图,已知椭圆
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 a 2 b2 2 ,F1、F2 为其左、右焦点,过 F1 的直 2

线 l 交椭圆于 A、B 两点,△F1AF2 的周长为 2( 2 ? 1) . (1)求椭圆的标准方程; (2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) ;

高二数学(文)参考答案 一、选择题:D 二、填空题: 11. ?? ?,?2? ? ?2,???
2 2 ?1

B

A

C

D

C

C

B

B

C

12.

6

13.

1 5 2

14.

y 2 x2 ? ?1 4 9

15.

三、解答题: 16. 解: (1)∵ c ? a ? b ? ab ,
2 2 2

∴ cosC ?

a2 ? b2 ? c2 ab 1 ? ? , 2ab 2ab 2

???4 分 ???6 分

∴ C ? 60? ; (2)由 S ?

1 3 3 absin C ? 及 b ? 2 , C ? 60? 得 2 2

-4-

1 3 3 , ? 2a sin 60? ? 2 2
解得 a ? 3 .

???10 分 ???12 分

17.解不等式 a 2 ? 4a ? 3 ? 0 得, 1 ? a ? 3, 所以命题为; 1 ? a ? 3, ?????? ---------------------------------------??3 分 由不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对任意实数 x 恒成立; 得a ? 2 或?
?a ? 2 ? 0
2 ?? ? 4(a ? 2) ? 16(a ? 2) ? 0,

???????????????8 分

解得 ?2 ? a ? 2 ???????????????????????10 分 ∵ P ? Q 是真命题,∴ a 的取值范围是 ?2 ? a ? 3. ?????????12 分 18. (1)证明:由题设 an ?1 ? 4an ? 3n ? 1 ,得 an ?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) , n ? N * . 所 以 bn+1=4bn ; b1= a1 ? 1 ? 1 , 所 以 数 列 ?an ? n? 是 首 项 为 1 , 且 公 比 为 4 的 等 比 数 列. ??????????????????????????6 分

(2)解:由(1)可知 bn= an ? n ? 4n ?1 ,于是数列{an}的通项公式为 an ? 4n ?1 ? n . 所以数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ?
1 ? 4n n(n ? 1) 4n ?1 n(n ? 1) ? ? ? . 1? 4 2 3 2

?????12 分

1 1 1 19. 解: (1)设等差数列的公差为 d ,由 S1 , S3 , S5 成等差数列,得 S1 ? S5 ? S3 , 2 3 3 1 即 a1 ? ? 5a3 ? 3a2 ,????????????????????..2 分 3

即1?

5 ?1 ? 2d ? ? 3 ?1 ? d ? ,解得 d ? 1 ,∴ an ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n ????.6 分 3

(2)由 ?b1 , b2 , b3 ? ? ?a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ? ,即 ?b1 , b2 , b3 ? ? ?1, 2,3, 4,5? , ∵数列 ?bn ? 为递增的等比数列,∴ b1 ? 1, b2 ? 2, b3 ? 4 ,
?b ? ∴ bn ? b1 ? 2 ? ? b1 ?
n ?1

? 2n ?1 ,???????????????????..8 分

∴ Tn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ?? ? an ?1bn ?1 ? anbn 则 2Tn ? a1 ? 2b1 ? a2 ? 2b2 ? a3 ? 2b3 ? ?? ? an ?1 ? 2bn ?1 ? an ? 2bn , 即
2Tn ? a1b2 ? a2b3 ? a3b4 ? ?? ? an ?1bn ? anbn ?1





① ? ②得

?Tn ? a1b1 ? ? a2 ? a1 ? b2 ? ? a3 ? a2 ? b3 ? ? a4 ? a3 ? b4 ??? ? an ? an ?1 ? bn ?an bn ?1 ,
-5-

即 ?Tn ? 1 ? 2 ? 22 ? ?? ? 2n ?1 ? n ? 2n ? ∴ Tn ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 .

1 ? 2n ? n ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 2 n ? ?1 ? n ? 2n ? 1 , 1? 2

????????????????????12 分

20. 解: (1)依题意,得 MA ? MB ????????????????????1 分 ∴动点 M 的轨迹 E 是以 A(1,0) 为焦点,直线 l : x ? ?1 为准线的抛物线,???3 分 ∴动点 M 的轨迹 E 的方程为 y 2 ? 4 x . (2)设经过点 P 的切线方程为 y-2=k(x-1), 联立抛物线 y 2 ? 4 x 消去 x 得:ky -4y-4k+8=0,
2

?????????????5 分 ????????. 6 分 ?????????10 分

由△=16-4k(-4k+8)=0,得 k=1,?????????????????12 分 ∴所求切线方程为:x-y+1=0. ?????????????????13 分
c 2 ? ,由题意知 2 ? a ? c ? ? 2 a 2

21. 解: (1)设椭圆的半焦距为 c ,则

?

2 ?1 ,

?

二者联立解得 a ? 2 , c ? 1 ,则 b 2 ? 1 ,所以椭圆的标准方程为 (2)设直线 l 的方程为: x ? ky ? 1 ,与

x2 ? y 2 ? 1 .?.6 分 2

x2 ? y 2 ? 1 联立,消 x ,整理得: 2
2

?k

2

? 2? y 2 ? 2ky ? 1 ? 0 , ? ? ? ?2k ? ? 4 k 2 ? 2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 ,
2k ? 8k 2 ? 8 2 ? k 2 ? 1?

?

?

y1 ?

, y2 ?

2k ? 8k 2 ? 8 2 ? k 2 ? 1?

, ???????????????10 分

所以 S?AOB ? S?AOF ? S?BOF ?
? 2 k 2 ?1

1 8k 2 ? 8 k 2 ?1 1 1 ? 2 ,?12 分 OF1 y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? 2 k2 ? 2 k2 ? 2 2 2

?k

2

? 2?

2

? 2

k 2 ?1 ?? k 2 ? 1? ? 1? ? ?
? 2
2

? 2

k 2 ?1

?k

2

? 1? ? 2 ? k 2 ? 1? ? 1
2

? 2

1

? k 2 ? 1? ? k 21? 1 ? 2

1 2 1 ? (当且仅当 k 2 ? 1 ? 2 , 2?2 2 k ?1

即 k ? 0 时等号成立) ,所以 ?AOB 面积的最大值为 说明:若设直线 l 的方程为: y ? k ? x ? 1? ? k ? 0? ,则 x ?
2 8 ? 1 ? 整理得: ? 2 ? 2 ? y 2 ? y ? 1 ? 0 , ? ? 2 ? 8 ? 0 , k k ?k ?

2 . 2

????????.14 分

x2 1 y ? 1 ,与 ? y 2 ? 1 联立,消 x , 2 k

-6-

所以 S?AOB

1 1 ?1 ?1 2 2 1 1 k k ? 2 ? OF1 y1 ? y2 ? y1 ? y2 = 2 2 1 2 2 ?? 1 ? ? ?2 ? 1 ? 1 2 ? ? ?? k 2 k ? ? ??
? 2
1 2 1 ? 2 ? , 1 2?2 2 ? 1 ? ?2 ? 2 ? 1? ? 1 ?k ? ?1 2 k

当且仅当 k 2 ? 1 ?

2 1 ,即 k ? 0 时等号成立,由 k ? 0 ,则 S?AOB ? . 2 k ?1
2

当直线 l 的方程为: x ? ?1时,此时 AB ? 综上所述: ?AOB 面积的最大值为
2 . 2

1 2 2b2 . ? 2 , S?AOB ? OF1 AB ? 2 2 a

-7-



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