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直线与椭圆的位置关系 - 问题


椭圆的简单几何性质(三)
1-----直线与椭圆的位置关系
2-----弦长公式

问题1:直线与圆的位置关系有哪几种?

怎么判断它们之间的位置关系? 几何法: d>r
d=r d<r

直线与椭圆的位置关系

种类: 相切 相离 相交 (( 没有交点 一个交点 二个交点 )) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)

2.直线与椭圆的位置关系
x y 设椭圆的方程为: 2 ? 2 ? 1 a b y ? kx ? b 直线的方程为:
2 2

? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 ?a b 联立椭圆与直线的方程得: ? y ? kx ? b ?

通常消去方程组中的一个变量,得到关于另一 变量的一元二次方程. (1)△>0?直线与椭圆相交?有两个公共点; (2)△=0 ?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点; (3)△<0 ?直线与椭圆相离?无公共点.

x 2 ? y ?1 例题1:判断 2 与直线 y ? x ? 2 的位置关系;并求椭圆上的点到 y ? x ? 2 的最短距离和最长距离

2

3.弦长问题
x2 y 2 若直线 l : y ? kx ? m与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 a b 交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )则|AB|叫做弦长。

弦长公式: AB ? (x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2
y1 ? kx1 ? m, y2 ? kx2 ? m
AB ? (x1 ? x2 ) ? (kx1 ? m ? kx 2 ? m)
2 2

? (x1 ? x2 ) 2 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

x2 2 ? y ?1 例题2 已知 2 与直线

y ? x?m

4 相交于A、B两点,且 AB ? 3

求m值

例题3: 中心在原点一个焦点为 F1 (0, 50) 的椭圆 的截直线 y ? 3x ? 2 所得弦的中点横坐标

1 2

, 求椭圆的方程.

x y ? ? 1 中,求通过 例题4:在椭圆 2 4 点M(1,1)且被这一点平分的弦所 在 的直线方程

2

2

例题5 已知 y ? 1 ? x 交椭圆 mx ? ny ? 1
2 2

于M、N两点,弦MN的中点为P,O为坐标 m 2 原点,若 kop ? ,则 的值为 n 2 _______

综合:已知椭圆

mx ? ny ? 1 与直线
2 2

x ? y ? 1 相交于 AB 两点, 是的 AB 中 c
点.若 AB ? 2 2 , 求椭圆方程.
c

oc 斜率为

2 (O为原点), 2


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