9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

一元二次不等式及其解法练习及同步练习题(含答案)



一元二次不等式及其解法练习
(一) 、一元二次不等式的解法 1、求解下列不等式

7 x1 0 ? (1) 、 3x ?
2

5 0 ? (2) 、 ?2 x ? x ?
2

4 0 ? (3) 、 ?x ? 4x ?
2

(4)

x

?2 ?0 x?5

2、求下列函数的定义域 (1) 、y?

x2 ? 4x ? 9

(2) y ?

?2 x 2 ? 12 x ? 18

2 3、已知集合 A ? x | x ? 16 ? 0 ,

?

?

B ? ? x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0? ,求 A ? B

含参数的一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的, 这类不等式可从分析两 个根的大小及二次系数的正负入手去解答, 但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点, 此现象出现 的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论, 而参数的讨论实际上就是参数的分类, 而参数该如何进行分类?下 面我们通过几个例子体会一下。 一.二次项系数为常数

2 x ? (m ?1) x ? m ? 0 例 1、解关于 x 的不等式:
解:原不等式可化为: (x-1) (x+m)>0 (两根是 1 和-m,谁大?) (1)当 1<-m 即 m<-1 时,解得:x<1 或 x>-m (2)当 1=-m 即 m=-1 时,不等式化为:

x2 ? 2x ? 1 ? 0 ?x ? 1

(3)当 1>-m 即 m>-1 时,解得:x<-m 或 x>1 综上,不等式的解集为:

?1?当m ? ?1时, ?x | x ? 1或x ? ?m? ?3?当m ? ?1时, ?x | x ? -m或x ? 1?
(不能因式分解)

?2?当m ? ?1时, ?x | x ? 1?
2

例 2:解关于 x 的不等式: x ? (a ? 2) x ? a ? 0. 解: ? ? ?a ? 2? ? 4a
2

(方程有没有根,取决于谁?)

?1?当? ? ?a ? 2?2 ? 4a ? 0即4 ? 2

3 ? a ? 4 ? 2 3时,解集为 R 3或a ? 4 ? 2 3

?2?当? ? ?a ? 2?2 ? 4a ? 0时a ? 4 ? 2
(i) 当a ? 4 ? 2 3时,解得: x?

3 ?1
1

(ii) 当a ? 4 ? 2 3时,解得: x ? - 3 ?1

?3?当? ? ?a ? 2?2 ? 4a ? 0即a ? 4 ? 2
两根为 x1 ?

3或a ? 4 ? 2 3时
( 2 ? a) ?

( 2 ? a) ?

?a ? 2?2 ? 4a
2

, x2 ?

?a ? 2?2 ? 4a
2

.

此时解得x : ?

( 2 ? a) ?

?a ? 2?2 ? 4a
2

或x ?

( 2 ? a) ?

?a ? 2?2 ? 4a
2

综上,不等式的解集为: (1)当 4 ? 2 3 ? a ? 4 ? 2 3 时, 解集为 R ; (2)当 a ? 4 ? 2 3 时,解集为( ? ?, 3 ? 1) ? ( 3 ? 1,?? ); (3)当 a ? 4 ? 2 3 时,解集为( ? ?,? 3 ? 1 ) ? ( ? 3 ? 1,?? ); (4)当 a ? 4 ? 2 3 或 a ? 4 ? 2 3 时, 解集为( ? ?, 二.二次项系数含参数 例 3、解关于 x 的不等式: ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0. 解:若 a ? 0 ,原不等式 ? ? x ? 1 ? 0 ? x ? 1.

(2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 (2 ? a) ? a 2 ? 8a ? 4 )?( ,?? ); 2 2

1 1 )( x ? 1) ? 0 ? x ? 或 x ? 1. a a 1 (?) 若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? )( x ? 1) ? 0. a 1 其解的情况应由 与 1 的大小关系决定,故 a
若 a ? 0 ,原不等式 ? ( x ? (1)当 a ? 1 时,式 (?) 的解集为 ? ;

1 ? x ? 1; a 1 (3)当 0 ? a ? 1 时,式 (?) ? 1 ? x ? . a
(2)当 a ? 1 时,式 (?) ? 综上所述,不等式的解集为: ①当 a ? 0 时,{ x x ?

1 或x ? 1 }; a

②当 a ? 0 时,{ x x ? 1}; ③当 0 ? a ? 1 时,{ x 1 ? x ?

1 }; a
2

④当 a ? 1 时, ? ; ⑤当 a ? 1 时,{ x

1 ? x ? 1 }. a
2

例 4、解关于 x 的不等式: ax ? ax ? 1 ? 0. 解: ax ? ax ? 1 ? 0.
2

(1)当 a ? 0 时, 原式可化为? 1 ? 0 ? x ? R. (2)当 a ? 0 时, 此时 ? ? a 2 ? 4a >0 两根为 x1 ?

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a , x2 ? . 2a 2a

解得:

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a ?x? 2a 2a
2

(3)当 a<0 时, 原式可化为: x ? x ?

1 ?0 a

此时 ? ?

a?4 a
1 ; 2

①当 ? ? 0 即 ? 4 ? a ? 0 时,解集为 R; ②当 ? ? 0 即 a ? ?4 时,解得: x ? ?

③当 ? ? 0 即 a ? ?4 时解得: x ?

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a 或 x? 2a 2a

综上, (1)当 a ? 0 时,解集为(

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a , ); 2a 2a
1 1 ) ? ( ? ,?? ); 2 2

(2)当 ? 4 ? a ? 0 时,解集为 R ; (3)当 a ? ?4 时,解集为( ? ?,?

(4)当 a ? ?4 时,解集为( ? ?,

? a ? a 2 ? 4a ? a ? a 2 ? 4a )?( ,?? ). 2a 2a

上面四个例子,尽管分别代表了四种不同的类型,但它们对参数 a 都进行了讨论,看起来比较复杂,特别是 对参数 a 的分类,对于初学者确实是一个难点,但通过对它们解题过程的分析,我们可以发现一个规律:参数 a 的分类是根据不等式中二次项系数等于零和判别式 ? ? 0 时所得到的 a 的值为数轴的分点进行分类,如: 解关于 x 的不等式: (a ? 1) x ? 3ax ? 3 ? 0
2 2

解: (a ? 1) x ? 3ax ? 3 ? 0
2 2

(?)

a 2 ? 1 ? 0 ? a ? 1 或 a ? ?1 ;
3

? ? 9a 2 ? 4 ? (a 2 ? 1) ? 3 ? 0 ? a ? 2 或 a ? ?2 ;

? 当 a ? ?2 时, a 2 ? 1 ? 0 且 ? ? 0 , (?) 解集为 R ;
2 当 a ? ?2 时, a ? 1 ? 0 且 ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?,1 ) ? ( 1,?? ); 2 当 ? 2 ? a ? ?1 时, a ? 1 ? 0 且 ? ? 0 ,

? 3a ? 12 ? 3a 2 ? 3a ? 12 ? 3a 2 )?( (?) 解集为( ? ?, ,?? ); 2a 2 ? 2 2a 2 ? 2
当 a ? ?1 时, (?) ? ?3x ? 3 ? 0 ? x ? 1 , (?) 解集为( ? ?,1 );
2 当 ? 1 ? a ? 1 时, a ? 1 ? 0 且 ? ? 0 ,

(?) 解集为(

? 3a ? 12 ? 3a 2 ? 3a ? 12 ? 3a 2 , ); 2a 2 ? 2 2a 2 ? 2

当 a ? 1 时, (?) ? 3x ? 3 ? 0 ? x ? ?1 , (?) 解集为( ? 1,?? );
2 当 1 ? a ? 2 时, a ? 1 ? 0 且 ? ? 0 ,

(?) 解集为( ? ?,

? 3a ? 12 ? 3a 2 ? 3a ? 12 ? 3a 2 ) ( ,?? ); ? 2a 2 ? 2 2a 2 ? 2

2 当 a ? 2 时, a ? 1 ? 0 且 ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?,?1 ) ? ( ? 1,?? ); 2 当 a ? 2 时, a ? 1 ? 0 且 ? ? 0 , (?) 解集为 R .

综上,可知当 a ? ?2 或 a ? 2 时,解集为 R ;当 a ? ?2 时,( ? ?,1 ) ? ( 1,?? ); 当 ? 2 ? a ? ?1 或 1 ? a ? 2 时,解集为 ( ? ?,

? 3a ? 12 ? 3a 2 ? 3a ? 12 ? 3a 2 ) ( ,?? );当 a ? ?1 时,解集为( ? ?,1 ); ? 2a 2 ? 2 2a 2 ? 2 ? 3a ? 12 ? 3a 2 ? 3a ? 12 ? 3a 2 (?) 解集为( ? 1,?? ); , ); 当 a ? 1 时, 当a ? 2 2a 2 ? 2 2a 2 ? 2

(?) 解集为( 当 ? 1 ? a ? 1 时,

时,解集为( ? ?,?1 ) ? ( ? 1,?? ). 通过此例我们知道原来解任意含参数的一元二次不等式对参数进行分类讨论时只需求出二次项系数等于零 和判别式 ? ? 0 时所得到的参数的值,然后依此进行分类即可,这样这类问题便有了“通法” ,都可迎刃而解了。 (二) 、检测题 一、选择题

4

1、不等式 ?

?1 ?? 1 ? ? x ?? ? x ? ? 0 的解集为 ( ?2 ?? 3 ?
B、 ? x | x ?



A、 ? x |

? ?

1 1? ?x? ? 3 2?

? ?

1? ? 2?


C、 ? x | x ? ? )

? ?

1? 3?

D、 ? x | x ?

? ?

1 1? 或x? ? 3 2?

2、在下列不等式中,解集为 ? 的是 A、 2 x ? 3 x ? 2 ? 0
2 2

B、 x ? 4 x ? 4 ? 0

C、 4 ? 4 x ? x ? 0
2

D、 ?2 ? 3x ? 2 x ? 0
2

3、函数 y ?

x 2 ? 2 x ? 3 ? log 2 ? x ? 3? 的定义域为
B、 ? ?3, ?1?

( ) D、 ? ?3, ?1? ? ?3, ???

A、 ? ??, ?1? ? ?3, ???
2

C、 ? ??, ?1? ??3, ??? ( )

4、若 2 x ? 3x ? 0 ,则函数 f ? x ? ? x2 ? x ? 1

3 ,无最大值 4 19 C、有最小值 1,最大值 4
A、有最小值
2

B、有最小值

3 ,最大值 1 4

D、无最小值,也无最大值 ) D. ? ?2, 2?

5、若不等式 x ? mx ? 1 ? 0 的解集为 R ,则 m 的取值范围是( A. R B. ? ?2, 2 ? C. ? ??, ?2? ) C. ? ?3, 4?

? 2, ???

6、不等式 x2 ? ax ?12a2 ? 0 ? a ? 0? 的解集是( A. ? ?3a,4a ?
2

B. ? 4a, ?3a ?

D. ? 2a,6a ? ) D. 10

7、不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ? x ?

? ?

1 1? ? x ? ? ,则 a ? b ? ( 2 3?
C. ?10

A. ?14 二、填空题
2

B. 14

8、设 f ? x ? ? x ? bx ?1 ,且 f ?1? ? f ? 3? ,则 f ? x ? ? 0 的解集为



2 9、已知集合 A ? x | x ? x ? 2 ? 0 , B ? ? x | a ? x ? a ? 3? ,若 A ? B ? ? ,则实数 a 的取值范围是

?

?

x ?1 x?a ? 2 的解集为 ? 0 ? ? x ? a ?? x ? b ? ? 0 ,可以求得不等式 x x ?b 1 x 2 ? 7 x ?10 ? 成立的 x 的取值范围是 11、使不等式 2 。 4
10、利用 12、二次函数 y ? ax ? bx ? c ? x ? R ? 的部分对应值如下表:
2



x
y
2

?3

?2

?1 ?4

0

1

2 ?4

3

4

6

0

?6

?6

0

6

则不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是____________________________.
5

13、已知不等式 x2 ? px ? q ? 0 的解集是 x ?3 ? x ? 2 ,则 p ? q ? ________. 三、解答题 14、解关于 x 的不等式 x2 ? ? a ?1? x ? a ? 0

?

?

15、已知函数 f ? x ? ? x2 ? 5x ? 2 ,为使 ?4 ? f ? x ? ? 26 的 x 的取值范围。

16、已知不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A,不等式 x ? x ? 6 ? 0 的解集为 B,求 A ? B 。
2 2

17、已知 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2, 当x ?[?1,??)时,f ( x) ? a恒成立, 求 a 的取值范围。

18、设不等式 mx2 ? 2x ? m ?1 ? 0对 m ? 2 的一切 m 的值均成立,求 x 的取值范围。 19、解下列不等式 (1) 2 x
2

? ax ? 2 ? o

(2) x 2 ? (a ? a 2 ) x ? a 2 ? 0

1.下列不等式的解集是?的为( ) 2 A.x +2x+1≤0 B. x2≤0 1 1 1 C.( )x-1<0 D. -3> 2 x x 2 2.若 x -2ax+2≥0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A.(- 2, 2] B.(- 2, 2) C.[- 2, 2) D.[- 2, 2] 3.方程 x2+(m-3)x+m=0 有两个实根,则实数 m 的取值范围是________. 4.若函数 y= kx2-6kx+?k+8?的定义域是 R,求实数 k 的取值范围. 一、选择题 1.已知不等式 ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是 R,则( ) A.a<0,Δ>0 B.a<0,Δ<0 C.a>0,Δ<0 D.a>0,Δ>0 x2 2.不等式 <0 的解集为( ) x+1 A.(-1,0)∪(0,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-1,0) D.(-∞,-1) 3.不等式 2x2+mx+n>0 的解集是{x|x>3 或 x<-2},则二次函数 y=2x2+mx+n 的表达式是( A.y=2x2+2x+12 B.y=2x2-2x+12 2 C.y=2x +2x-12 D.y=2x2-2x-12 b 1 . c o m m 4.不等式 x2+mx+ >0 恒成立的条件是________. 2
6

)



更多相关文章:
一元二次不等式及其解法练习及同步练习题(含答案)
一元二次不等式及其解法练习及同步练习题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。高一数学一元二次不等式练习题 3.2 一元二次不等式及其解法练习(一) 、一元二次...
一元二次不等式及其解法练习及同步练习题(含答案)
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 一元二次不等式及其解法练习及同步练习题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 180份文档 2014...
一元二次不等式及其解法练习题及答案解析(1)必修5
暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 一元二次不等式及其解法练习题及答案解析(1)必修5_高一数学_数学_高中教育_教育专区。1.若 16-x2≥0,则( ) A.0≤x...
一元二次不等式的解法随堂练习(含答案)
一元二次不等式的解法随堂练习(含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。一...一元二次不等式的解法 (时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1. [2013...
一元二次不等式解法习题及答案
一元二次不等式解法习题及答案_幼儿读物_幼儿教育_教育专区。一元二次不等式解法,习题及答案一元二次不等式解法练习 1 例1 若 0<a<1,则不等式 (x-a)(x...
2015高考数学(人教版)一轮复习课时训练:6.2 一元二次不等式及其解法(含答案解析)
2015高考数学(人教版)一轮复习课时训练:6.2 一元二次不等式及其解法(含答案解析)_高中教育_教育专区。2015高考数学(人教版)一轮复习课时训练:6.2 一元二次不...
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案 1 若 0<a<1,则不等式 (x-a)(x- ) < 0解是 a [ ] A.a<x< 1 1 C.x> 或x<a a a 1 1 B. <...
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案 1 例1 若 0<a<1,则不等式 (x-a)(x- ) < 0解是 a [ ] A.a<x< 1 a 1 B. <x 或x<a a 1 D....
一元二次不等式解法习题及答案[1] 2
一元二次不等式解法习题及答案[1] 2_高二数学_数学_高中教育_教育专区。一元二次不等式解法练习 1 例1 若 0<a<1,则不等式 (x-a)(x- ) < 0解是...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图