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湖北省华中师大一附中2013届高三数学5月模拟考试试题 文(扫描版)


湖北省华中师大一附中 2013 届高三数学 5 月模拟考试试题 文(扫描 版)

-1-

答案 一、选择题 1 C 2 C 3 C 4 A 5 D 6 B 7 C 8 D 9 B 10 B

注:第五题选 C 也给分。 二、填空题 11.8

7 7 12. (? , ? ) 9 3

13.

2? 1 ? 6 6

14.5

15.

4 9

-2-

16.

1 2

1 ? 3n ?1 3n ?1 ? 1 ( , ) (n ? N * ) 2 2 三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (14,13) 18.解:(1) f ( x) ? 2sin 2 ?

? ?π ? ? x ? ? 3 cos 2 x ? 2 sin 2 ( ? x) ? 1 ? 1 ? 3 cos 2 x 4 ?4 ?

? ? cos( ? 2 x) ? 3 cos 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1????3分 2 3
∴ 函数 y ? f (x) 的最小正周期为 T ?

?

?

2? ? ? ???? 4分 2 5? 11? ] 和[ ,? ]???? 6分 12 12

f (x) 在 [0, ? ] 上的单调递增区间为 [0,

(2) 由(Ⅰ)可知, g ( x) ? af ( x) ? b ? 2a sin(2 x ? 又由 x ? [0,

?
3

)?a?b

?
2

] 可得, 2 x ?

?
3

? [?

? 2?
3 ,

? 3 ,1] ] ,从而 sin(2 x ? ) ? [? 3 2 3

?3a ? b ? 1- 3 ? ????10分 ? a ? 0 ,由已知条件可得 ? ?(1 ? 3)a ? b ? 3 ?
解得 ? 19. C D B F B 图(1) 解: (1)依题意知 DA ? AB, DA ? AE 且 AB I AE ? A ∴ AD ? 平面 ABFE ∵ AP ? 平面 ABFE ,∴ AP ? AD , ∵ P 为 EF 中点,∴ FP ? AB ? 2 2 结合 AB // EF ,知四边形 ABFP 是平行四边形 ∴ AP // BF , AP ? BF ? 2
? 2 2 2 而 AE ? 2, PE ? 2 2 ,∴ AP ? AE ? PE ∴ ?EAP ? 90 ,即 AP ? AE

?a ? -1 ? ????12分 ?b ? 4- 3 ?
C D

A P 图(2) E

A

E F

-3-

又 AD ? AE ? A

∴ AP ? 平面 ADE .

…………6 分

(2)过 F 点作 FQ ? AB 交 AB 于 Q 点,由(2)知△PAE 为等腰直角三角形, ∴ ?APE ? 45o ,从而 ?FBQ ? ?BFE ? 45 ,∴ FQ ? BF sin 45 ?
o
0

2,

又由(2)可知 AD ? FQ,? FQ ? 平面 ABCD, ∴ VF ? ABCD ?

1 1 8 FQ ? S四边形ABCD ? ? 2 ? 2 ? 2 2 ? .…………12 分 3 3 3

20.解: (1)? an?1 ? an ? nan an?1 ,

?

1 1 ? ? n 恒成立, an an ?1

令 n ? 1,2,?, n ? 1 ,然后累加可得:

1 1 n(n ? 1) , ? ? 1 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? a1 an 2 ? an ? 2 (n ? 2) ,…………4 分 4 ? n(n ? 1)

而 a1 ?

1 2 也合乎上式, ? an ? (n ? 1) .…………6 分 4 ? n(n ? 1) 2
an ?1 1 ?2 1 1 ? ? ? 2( ? ) …………10 分 1 1 ? 2an ?1 n ?1 n ? 2 n(n ? 1) an ?1

(2) bn ?

1 1 ?| bn |? 2( ? ), n n ?1
令 S n ? ? | bi | ,? Sn ? 2(1 ?
i ?1 n

1 2n .…………13 分 )? n ?1 n ?1

21.解: (1)? PF1 ? x 轴,

? F1 (?1,0), c ? 1, F2 (1,0),

3 5 | PF2 |? 22 ? ( ) 2 ? , 2a ?| PF1 | ? | PF2 |? 4, a ? 2, b 2 ? 3, 2 2

x2 y 2 ? ? 1.………………………………………………4 分 4 3 ??? ??? ? ? ??? ? (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 PA ? PB ? ? PO 得
椭圆 E 的方程为:

3 3 3 ( x1 ? 1, y1 ? ) ? ( x2 ? 1, y2 ? ) ? ? (1, ? ) 2 2 2
-4-

3 ? x1 ? x2 ? ? ? 2 ? 0, y1 ? y2 ? (2 ? ? ) ? 0 ……………………① 2
2 2 又 3x12 ? 4 y12 ? 12,3x2 ? 4 y2 ? 12.

两式相减得 3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ………② 以①式代入可得 AB 的斜率 k ?

y1 ? y2 1 ? 为定值.………………………………9 分 x1 ? x2 2

(3)设直线 AB 的方程为 y ?

1 x?t , 2

与 3x2 ? 4 y 2 ? 12 联立消去 y 并整理得 x2 ? tx ? t 2 ? 3 ? 0, ? ? 3(4 ? t 2 ) ? 0,??2 ? t ? 2

| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ?
点 P 到直线 AB 的距离为 d ?

1 15 ? 3(4 ? t 2 ) ? ? 4 ? t2 , 4 2

2|t ?2| 5



?PAB 的面积为 S ?

1 3 | AB | ?d ? ? 4 ? t 2 | t ? 2 | ,………………………………11 分 2 2

3 设 f (t ) ? S 2 ? ? (t 4 ? 4t 3 ? 16t ? 16)(?2 ? t ? 2) , 4
f ?(t ) ? ?3(t 3 ? 3t 2 ? 4) ? ?3(t ? 1)(t ? 2)2 ,由 f ?(t ) ? 0及 ? 2 ? t ? 2得t ? ?1 .
当 t ? (?2, ?1) 时, f ?(t ) ? 0 ,当 t ? (?,2 时, f ?(t ) ? 0,?当 t ? ?1 时 f (t ) 取得最大值 1)

81 . 4

9 ? S 的最大值为 . ……………………………………………………………………14 分 2
22.解: (1)依题意,知 f ( x) 的定义域为(0, +∞), 当a ?b?

1 1 1 时, f ( x) ? ln x ? x 2 ? x , 2 4 2 1 1 1 ?( x ? 2)( x ? 1) ……………………2 分 f ?( x) ? ? x ? ? x 2 2 2x

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1.(? x ? 0) 当 0 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减.

3 所以 f ( x) 的极大值为 f (1) ? ? ,此即为最大值……………………4 分 4
(2) F ( x) ? ln x ?

x ?a 1 a , x ? (0,3] ,则有 k ? F ?( x0 ) ? 0 2 ? ,在 x0 ? (0,3] 上恒成立, x0 2 x

-5-

1 2 x0 ? x0 ) max , x0 ? (0,3] 2 1 2 1 1 当 x 0 ? 1 时, ? x 0 ? x 0 取得最大值 ,所以 a ≥ ………8 分 2 2 2 2 (3)因为方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,
∴ a ≥ (? 所以 x2 ? 2m ln x ? 2mx ? 0 有唯一实数解, 设 g ( x) ? x 2 ? 2m ln x ? 2mx , 则 g ?( x) ?

2 x 2 ? 2mx ? 2m .令 g ?( x) ? 0, x 2 ? mx ? m ? 0. x

m ? m 2 ? 4m m ? m 2 ? 4m , , ? 0 (舍去) x2 ? 2 2 当 x ? (0, x2 ) 时, g ?( x) ? 0, g ( x)在(0, x2 ) 上单调递减, 当 x ? ( x2 , ??) 时, g ?( x) ? 0, g ( x)在( x2 , ??) 单调递增, 当 x ? x2 时, g ?( x2 ) ? 0, g ( x) 取最小值 g ( x2 ) .
因为 m ? 0, x ? 0, 所以 x1 ?
2 ? g ( x2 ) ? 0, ? x2 ? 2m ln x2 ? 2mx2 ? 0, ? 则? 即? 2 ……………………10 分 ? g ?( x2 ) ? 0, ? x2 ? mx2 ? m ? 0. ?

所以 2m ln x2 ? mx2 ? m ? 0 ,因为 m ? 0 ,所以 2ln x2 ? x2 ? 1 ? 0 (*) 设函数 h( x) ? 2ln x ? x ? 1,因为当 x>0 时, h( x) 是增函数,所以 h( x) ? 0 至多有一解.
2 ∵ h(1) ? 0 ,∴方程(*)的解为 x2 ? 1 ,即 m ? m ? 4m ? 1 ,

2

解得 m ? ………………………………14 分

1 2

-6-



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