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8高三数学基本不等式2



基本不等式 第二课时 (1)教学目标 (a)知识与技能:能够运用基本不等式解决生活中的应用问题 (b)过程与方法:本节课是基本不等式应用举例的延伸。整堂课要围绕如何引导学生分析 题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。3 道例题的安排从易到难、从简单到复 杂,适应学生的认知水平。教师要根据课堂情况及时提出针对性问题,同时通过学生的解题 过程进一步发现学生的思维漏洞,纠正数学表达中的错误 (c)情感与价值:进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性 (2)教学重点、教学难点 教学重点:正确运用基本不等式 教学难点:注意运用不等式求最大(小)值的条件 (3)学法与教学用具 列出函数关系式是解应用题的关键, 也是本节要体现的技能之一。 对例题的处理可让学生思 考, 然后师生共同对解题思路进行概括总结, 使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和 步骤。 直尺和投影仪 (4)教学设想 1、 设置情境 提问:前一节课我们已经学习了基本不等式,我们常把

a ?b 叫做正数 a、b 的算术平均数, 2

把 ab 叫做正数 a、b 的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。

2、 新课讲授 例 1、 (1)用篱笆围一个面积为 100 m 2 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所 用的篱笆最短,最短的篱笆是多少? (2)一段长为 36 m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面 积最大。最大面积是多少? 分析: (1)当长和宽的乘积确定时,问周长最短就是求长和宽和的最小值 (2)当长和宽的和确定时,求长与宽取何值时两者乘积最大
解: (1)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y m,则 xy 由 可得

? 100, 篱笆的长为 2( x ? y )m

x ?y ? xy , 2
x ? y ? 2 100

2( x

? y ) ? 40

等号当且仅当 x ? y 时成立,此时 x ? y ? 10 ,因此,这个矩形的长、宽为 10 m 时,所用 篱笆最短,最短篱笆为 40m (2)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y m,则 2( x

? y )=36, x ? y =18,矩形菜园的面积为

xy


m2,

xy ?

x ? y 18 ? ? 9, 可得 2 2

xy ? 81 ,

可得等号当且仅当 x ? y 时成立,此时x ? y ? 9 因此,这个矩形的长、宽都为 9 m 时,菜园的面积最大,最大面积为 81 m 2 例 2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池,其容积为 4800 m
3

, 深为 3 m。如果池底每平

方米的造价为 150 元, 池壁每平方米的造价为 120 元, 怎样设计水池能使总造价最低?最低 造价为多少元? 分析:若底面的长和宽确定了,水池的造价也就确定了,因此可转化为考察底面的长和宽各 为多少时,水池的总造价最低。 解:设底面的长为 x m,宽为 y m, 水池总造价为 z 元,根据题意,有

z ? 150 ?

4800 ? 120(2 ? 3x ? 2 ? 3 y ) 3

? 240000 ? 720( x ? y )

由容积为 4800 m , 可得

3

3xy ? 4800

因此

xy ? 1600

由基本不等式与不等式性质,可得

240000 ? 720( x ? y ) ? 240000 ? 720 ? 2 xy



z ? 240000 ? 720 ? 2 1600 z ? 297600

可得等号当且仅当 x ? y 时成立,此时 x ? y ? 40 所以,将水池的地面设计成边长为 40 m 的正方形时总造价最低,最低造价为 297600 元 3、 课堂练习 课本第 113 页练习第 2、3、4 题

4、归纳总结 利用基本不等式来解题时,要学会审题及根据题意列出函数表达式,要懂得利用基本不等式 来求最大(小)值 (5)评价设计 1、 课本第 113 页习题 3.4 第 2、3、4 题



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