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2014届福州高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)正弦定理和余弦定理的应用(含解析)



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第八节

正弦定理和余弦定理的应用

[知识能否忆起] 1.实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角: 在视线和水平线所成的角中, 视线在水平线上方的角叫仰角, 在水平线下方的角叫俯角 (如图 1).

(2)方位角: 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α(如图 2). (3)方向角: 相对于某一正方向的水平角(如图 3) ①北偏东 α° 即由指北方向顺时针旋转 α° 到达目标方向. ②北偏西 α° 即由指北方向逆时针旋转 α° 到达目标方向. ③南偏西等其他方向角类似.

(4)坡度: ①定义:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图 4,角 θ 为坡角). ②坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图 4,i 为坡比). 2.解三角形应用题的一般步骤 (1)审题,理解问题的实际背景,明确已知和所求,理清量与量之间的关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型; (3)选择正弦定理或余弦定理求解; (4)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位、近似计算要求.

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[小题能否全取] 1.从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α,β 之间的关系是( A.α>β C.α+β=90° 答案:B 2.若点 A 在点 C 的北偏东 30° ,点 B 在点 C 的南偏东 60° ,且 AC=BC,则点 A 在点 B 的( ) A.北偏东 15° C.北偏东 10° B.北偏西 15° D.北偏西 10° B.α=β D.α+β=180° )

解析:选 B 如图所示, ∠ACB=90° , 又 AC=BC, ∴∠CBA=45° , 而 β=30° , ∴α=90° -45° -30° =15° . ∴点 A 在点 B 的北偏西 15° . 3.(教材习题改编)如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的 同侧, 选定一点 C, 测出 AC 的距离为 50 m, ∠ACB=45° ∠CAB=105° , , 则 A、B 两点的距离为( A.50 2 m C.25 2 m 解析:选 A 由正弦定理得 AC· ∠ACB sin AB= = sin B 50× 1 2 2 2 ) B.50 3 m 25 2 D. m 2

=50 2(m).

4.(2011· 上海高考)在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75° ,∠CBA =60° ,则 A、C 两点之间的距离为________千米. 解析:如图所示,由题意知∠C=45° , AC 2 由正弦定理得 = , sin 60° sin 45° ∴AC= 2 3 · = 6. 2 2 2

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答案: 6 5.(2012· 泰州模拟)一船向正北航行,看见正东方向有相距 8 海里的两个灯塔恰好在一 条直线上.继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏东 60° ,另一灯塔在船的南偏东 75° , 则这艘船每小时航行________海里. 解析: 如图, 由题意知在△ABC 中, ∠ACB=75° -60° =15° B=15° , , ∴AC=AB=8. 在 Rt△AOC 中,OC=AC· 30° sin =4. 4 ∴这艘船每小时航行 =8 海里. 1 2 答案:8

解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦 定理或余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这 时需作出这些三角形, 先解够条件的三角形, 然后逐步求解其他三角形, 有时需设出未知量, 从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.

测量距离问题

典题导入 [例 1] 郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示, 城建部门 欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的 底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量 AD=BD=7 米,BC=5 米,AC=8 米,∠C=∠D. (1)求 AB 的长度; (2)若不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由). [自主解答] (1)在△ABC 中,由余弦定理得 AC2+BC2-AB2 82+52-AB2 cos C= = ,① 2AC· BC 2×8×5 在△ABD 中,由余弦定理得

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AD2+BD2-AB2 72+72-AB2 cos D= = ,② 2AD· BD 2×7×7 由∠C=∠D 得 cos C=cos D. 解得 AB=7,所以 AB 的长度为 7 米. (2)小李的设计使建造费用最低. 理由如下: 1 1 易知 S△ABD= AD· BDsin D,S△ABC= AC· BCsin C, 2 2 因为 AD· BD>AC· BC,且∠C=∠D, 所以 S△ABD>S△ABC. 故选择△ABC 的形状建造环境标志费用较低.

若环境标志的底座每平方米造价为 5 000 元,试求最低造价为多少? 解:因为 AD=BD=AB=7,所以△ABD 是等边三角形, ∠D=60° ,∠C=60° . 1 故 S△ABC= AC· BCsin C=10 3, 2 所以所求的最低造价为 5 000×10 3=50 000 3≈86 600 元.

由题悟法 求距离问题要注意: (1)选定或确定要求解的三角形,即所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若 有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理. 以题试法 1.如图所示,某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度, 在河段的一岸边选取两点 A、 观察对岸的点 C, B, 测得∠CAB=105° , ∠CBA=45° ,且 AB=100 m. (1)求 sin ∠CAB 的值; (2)求该河段的宽度. 解:(1)sin ∠CAB=sin 105° =sin(60° +45° ) =sin 60° 45° cos +cos 60° 45° sin

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6+ 2 3 2 1 2 × + × = . 2 2 2 2 4

(2)因为∠CAB=105° ,∠CBA=45° , 所以∠ACB=180° -∠CAB-∠CBA=30° . 由正弦定理,得 AB BC = , sin ∠ACB sin ∠CAB

AB· 105° sin 则 BC= =50( 6+ 2)(m). sin 30° 如图所示,过点 C 作 CD⊥AB,垂足为 D,则 CD 的长就是该河 段的宽度.在 Rt△BDC 中, CD=BC· 45° sin =50( 6+ 2)× 2 =50( 3+1)(m). 2

所以该河段的宽度为 50( 3+1)m.

测量高度问题

典题导入 [例 2] (2012· 九江模拟)如图, 在坡度一定的山坡 A 处测得山顶上 一建筑物 CD(CD 所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为 α, A 从 处向山顶前进 l 米到达 B 后,又测得 CD 对于山坡的斜度为 β,山坡 对于地平面的坡角为 θ. (1)求 BC 的长; (2)若 l=24,α=15° ,β=45° ,θ=30° ,求建筑物 CD 的高度. [自主解答] (1)在△ABC 中,∠ACB=β-α, 根据正弦定理得 BC AB = , sin ∠BAC sin ∠ACB

lsin α 所以 BC= . sin?β-α? 24×sin 15° lsin α (2)由(1)知 BC= = =12( 6- 2)米. sin 30° sin?β-α? π π 2π 3 在△BCD 中,∠BDC= + = ,sin ∠BDC= , 2 6 3 2 根据正弦定理得 BC CD = , sin ∠BDC sin ∠CBD

所以 CD=24-8 3米.

由题悟法

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求解高度问题应注意: (1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线 与水平线的夹角; (2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图; (3)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案,注意方程思想 的运用. 以题试法 2.(2012· 西宁模拟)要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰 角是 45° ,在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30° ,并测得水平面上的∠BCD=120° ,CD=40 m, 求电视塔的高度. 解:如图,设电视塔 AB 高为 x m, 则在 Rt△ABC 中,由∠ACB=45° BC=x.在 Rt△ADB 中,∠ADB 得 =30° , 则 BD= 3x. 在△BDC 中,由余弦定理得, BD2=BC2+CD2-2BC· cos 120° CD· , 即( 3x)2=x2+402-2· 40· 120° x· cos , 解得 x=40,所以电视塔高为 40 米.

测量角度问题

典题导入 [例 3] (2012· 太原模拟)在一次海上联合作战演习中, 红方一艘侦察艇发现在北偏东 45° 方向,相距 12 n mile 的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75° 方向前进,若侦察艇以每小时 14 n mile 的速度,沿北偏东 45° 方向拦截蓝方的小艇.若 +α 要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角 α 的正弦值.

[自主解答] 如图,设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇,

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则 AC=14x,BC=10x,∠ABC=120° . 根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120° , 解得 x=2. 故 AC=28,BC=20. 根据正弦定理得 BC AC = , sin α sin 120°

20sin 120° 5 3 解得 sin α= = . 28 14 5 3 所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时,角 α 的正弦值为 . 14 由题悟法 1.测量角度,首先应明确方位角,方向角的含义. 2.在解应用题时,分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,通过这 一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题, 解题中也要注意体会正、 余弦定理综合 使用的特点. 以题试法 3.(2012· 无锡模拟)如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB、CD 的高 度分别为 20 m、50 m,BD 为水平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看 建筑物 CD 的张角∠CAD 的大小是________. 解析:∵AD2=602+202=4 000,AC2=602+302=4 500. 在△CAD 中,由余弦定理得 AD2+AC2-CD2 2 cos ∠CAD= = ,∴∠CAD=45° . 2AD· AC 2 答案:45°

1.在同一平面内中,在 A 处测得的 B 点的仰角是 50° ,且到 A 的距离为 2,C 点的俯 角为 70° ,且到 A 的距离为 3,则 B、C 间的距离为( )

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A. 16 C. 18

B. 17 D. 19

解析:选 D ∵∠BAC=120° ,AB=2,AC=3. ∴BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos ∠BAC =4+9-2×2×3×cos 120° =19. ∴BC= 19. 2.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某 人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45° ,沿点 A 向北偏东 30° 前进 100 m 到 达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30° ,则水柱的高度是( A.50 m C.120 m B.100 m D.150 m )

解析:选 A 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60° ,AC=h,AB =100,BC= 3h, 根据余弦定理得, 3h)2=h2+1002-2· 100· 60° 即 h2+50h-5 000=0, ( h· cos , 即(h-50)(h +100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 3.(2012· 天津高考) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 8b =5c,C=2B,则 cos C=( 7 A. 25 7 C.± 25 ) 7 B.- 25 24 D. 25

解析:选 A 由 C=2B 得 sin C=sin 2B=2sin Bcos B,由正弦定理及 8b=5c 得 cos B= 4 sin C c 4 7 = = ,所以 cos C=cos 2B=2cos2 B-1=2×?5?2-1= . ? ? 2 sin B 2b 5 25 4.(2013· 厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,其 中 a 为最大边,如果 sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则角 A 的取值范围为( π A.?0,2? ? ? π π C.?6,3? ? ? π π B.?4,2? ? ? π π D.?3,2? ? ? )

解析:选 D 由题意得 sin2A<sin2B+sin2C, 再由正弦定理得 a2<b2+c2,即 b2+c2-a2>0. b2+c2-a2 则 cos A= >0, 2bc π ∵0<A<π,∴0<A< . 2

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π 又 a 为最大边,∴A> . 3 π π 因此得角 A 的取值范围是?3,2?. ? ? 5.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50° 方向直线航行,30 分钟 后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20° ,在 B 处观 察灯塔,其方向是北偏东 65° ,那么 B、C 两点间的距离是( A.10 2 海里 C.20 2 海里 B.10 3 海里 D.20 3 海里 )

解析:选 A 如图所示,由已知条件可得,∠CAB=30° ,∠ABC=105° , ∴∠BCA=45° . 1 又 AB=40× =20(海里), 2 20 BC ∴由正弦定理可得 = . sin 45° sin 30° 1 20× 2 ∴BC= =10 2(海里). 2 2 6.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的 高度为海拔 18 km,速度为 1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯 角为 30° ,经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75° ,则山顶的海 拔高度为(精确到 0.1 km)( A.11.4 C.6.5 ) B.6.6 D.5.6

1 50 000 解析:选 B ∵AB=1 000×1 000× = m, 60 3 AB 50 000 ∴BC= · 30° sin = m. sin 45° 3 2 50 000 ∴航线离山顶 h= ×sin 75° ≈11.4 km. 3 2 ∴山高为 18-11.4=6.6 km. 7.(2012· 南通调研)“温馨花园”为了美化小区,给居民提供更好的 生活环境,在小区内的一块三角形空地上(如图,单位:m)种植草皮, 已知这种草皮的价格是 120 元/m2,则购买这种草皮需要________元. 1 解析:三角形空地的面积 S= ×12 3×25×sin 120° =225,故共需 225×120=27 000 2 元.

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答案:27 000 8.(2012· 潍坊模拟)如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏 东 30° 的方向,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此 时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75° 的方向, 且与它相距 8 2 n mile.此船的航速 是________n mile/h. 解析:设航速为 v n mile/h, 1 在△ABS 中 AB= v,BS=8 2,∠BSA=45° , 2 1 v 2 8 2 由正弦定理得 = ,则 v=32. sin 30° sin 45° 答案:32 9.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶 部测得俯角分别为 45° 60° 和 ,而且两条船与炮台底部连线成 30° 角,则两条船相距 ________m. 解析:如图,OM=AOtan 45° =30(m), ON=AOtan 30° = 3 ×30=10 3(m), 3

在△MON 中,由余弦定理得, MN= 900+300-2×30×10 3× 3 2

= 300=10 3(m). 答案:10 3 10.如图,在△ABC 中,已知∠B=45° ,D 是 BC 边上的一点,AD= 10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. 解:在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, AD2+DC2-AC2 由余弦定理得 cos∠ADC= 2AD· DC = 100+36-196 1 =- ,∴∠ADC=120° , 2 2×10×6

∴∠ADB=60° . 在△ABD 中,AD=10,∠B=45° ,∠ADB=60° , AB AD 由正弦定理得 = , sin ∠ADB sin B AD· ∠ADB sin ∴AB= sin B

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3 10× 2 10sin 60° = = =5 6. sin 45° 2 2 11.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测 仪器的垂直弹射高度:A、B、C 三地位于同一水平面上,在 C 处进行 该仪器的垂直弹射,观测点 A、B 两地相距 100 米,∠BAC=60° ,在 2 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚 秒.在 A 地测得该仪器至最高点 17 H 时的仰角为 30° ,求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音的传播速度为 340 米/秒) 2 解:由题意,设 AC=x,则 BC=x- ×340=x-40, 17 在△ABC 中,由余弦定理得 BC2=BA2+CA2-2BA· cos ∠BAC, CA· 即(x-40)2=x2+10 000-100x,解得 x=420. 在△ACH 中,AC=420,∠CAH=30° ,∠ACH=90° , 所以 CH=AC· ∠CAH=140 3. tan 答:该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 3米. 12.(2012· 兰州模拟)某单位在抗雪救灾中,需要在 A,B 两地之间 架设高压电线,测量人员在相距 6 km 的 C,D 两地测得∠ACD=45° , ∠ADC=75° ,∠BDC=15° ,∠BCD=30° (如图,其中 A,B,C,D 在同一平面上),假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际 所需电线长度大约应该是 A, 之间距离的 1.2 倍, B 问施工单位至少应 该准备多长的电线? 解:在△ACD 中,∠ACD=45° ,CD=6,∠ADC=75° , 所以∠CAD=60° . CD AD 因为 = , sin ∠CAD sin ∠ACD CD×sin ∠ACD 所以 AD= = sin ∠CAD 6× 2 2 =2 6. 3 2

在△BCD 中,∠BCD=30° ,CD=6,∠BDC=15° , 所以∠CBD=135° . CD BD 因为 = , sin ∠CBD sin ∠BCD

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CD×sin ∠BCD 所以 BD= = sin ∠CBD

1 6× 2 =3 2. 2 2

又因为在△ABD 中,∠BDA=∠BDC+∠ADC=90° , 所以△ABD 是直角三角形. 所以 AB= AD2+BD2= ?2 6?2+?3 2?2= 42. 6 42 所以电线长度至少为 l=1.2×AB= (单位:km) 5 6 42 答:施工单位至少应该准备长度为 km 的电线. 5

1.某城市的电视发射塔 CD 建在市郊的小山上,小山的高 BC 为 35 m,在地面上有一点 A,测得 A,C 间的距离为 91 m,从 A 观测电视发 射塔 CD 的视角(∠CAD)为 45° ,则这座电视发射塔的高度 CD 为 ________米. 解析:AB= 912-352=84, 5 1+ 12 CD+35 BC 35 5 tan∠CAB= = = .由 =tan(45° +∠CAB)= = AB 84 12 84 5 1- 12 17 ,得 CD=169. 7 答案:169 2.2012 年 10 月 29 日,超级风暴“桑迪”袭击美国东部,如图,在灾 区的搜救现场, 一条搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现一个 生命迹象,然后向右转 105° ,行进 10 m 到达 C 处发现另一生命迹象,这 时它向右转 135° 后继续前行回到出发点,那么 x=________. 解析:∵由题知,∠CBA=75° ,∠BCA=45° , ∴∠BAC=180° -75° -45° =60° , ∴ x 10 10 6 = .∴x= m. sin 45° sin 60° 3

10 6 答案: m 3 3.(2012· 泉州模拟)如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相 距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时 把消息告知在甲船的南偏西 30° ,相距 10 海里的 C 处的乙船.

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(1)求处于 C 处的乙船和遇险渔船间的距离; (2)设乙船沿直线 CB 方向前往 B 处救援,其方向与 CA― →成 θ 角,求 f(x)=sin2θsin x + 3 2 cos θcos x(x∈R)的值域. 4 解:(1)连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102-2×20×10cos 120° =700. ∴BC=10 7,即所求距离为 10 7海里. (2)∵ sin θ sin 120° = , 20 10 7 3 . 7 4 . 7

∴sin θ=

∵θ 是锐角,∴cos θ= f(x)=sin2θsin x+ =

3 2 3 3 cos θcos x= sin x+ cos x 4 7 7

2 3 ? π? sin?x+6?, 7

2 3 2 3? ∴f(x)的值域为?- . ? 7 , 7 ?

1.如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行,乙船按固定 方向匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方 向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙 船航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里.问: 乙船每小时航行多少海里? 解:如图,连接 A1B2 由已知 A2B2=10 2, A1A2=30 2× ∴A1A2=A2B2. 又∠A1A2B2=180° -120° =60° , ∴△A1A2B2 是等边三角形, ∴A1B2=A1A2=10 2. 由已知,A1B1=20, ∴∠B1A1B2=105° -60° =45° , 在△A1B2B1 中,由余弦定理得 B1B2=A1B2+A1B2-2A1B1· 1B2· 45° A cos 2 1 2 20 =10 2, 60

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=202+(10 2)2-2×20×10 2× ∴B1B2=10 2.

2 =200, 2

10 2 因此,乙船的速度为 ×60=30 20

2(海里/时).

2.如图,扇形 AOB 是一个观光区的平面示意图,其中圆心角∠AOB 2π 为 ,半径 OA 为 1 km.为了便于游客观光休闲,拟在观光区内铺设一条 3 从入口 A 到出口 B 的观光道路,道路由弧 AC、线段 CD 及线段 DB 组成, 其中 D 在线段 OB 上,且 CD∥AO.设∠AOC=θ. (1)用 θ 表示 CD 的长度,并写出 θ 的取值范围; (2)当 θ 为何值时,观光道路最长? 解:(1)在△OCD 中,由正弦定理,得 CD OD CO 2 = = = , sin ∠COD sin ∠DCO sin ∠CDO 3 所以 CD= 2π 2 1 2 sin? 3 -θ?=cos θ+ sin θ,OD= sin θ, ? ? 3 3 3 2 sin θ<1, 3

因为 OD<OB,即 所以 sin θ<

3 π ,所以 0<θ< , 2 3 π 3 sin θ,θ 的取值范围为?0,3?. ? ? 3

所以 CD=cos θ+

(2)设观光道路长度为 L(θ), 则 L(θ)=BD+CD+弧 CA 的长 =1- 2 1 sin θ+cos θ+ sin θ+θ 3 3 π 1 sin θ+θ+1,θ∈?0,3?, ? ? 3 3 cos θ+1, 3

=cos θ-

L′(θ)=-sin θ-

π 3 由 L′(θ)=0,得 sin?θ+6?= , ? ? 2 π π 又 θ∈?0,3?,所以 θ= , ? ? 6 列表: θ L′(θ)

?0,π? ? 6?


π 6 0

?π,π? ? 6 3?


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L(θ)

增函数

极大值

减函数

π π 所以当 θ= 时,L(θ)达到最大值,即当 θ= 时,观光道路最长. 6 6

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