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湖南省长沙市第一中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案


长沙市第一中学 2016-2017 学年度高一第一学期期末考试 数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 U ? ? 1,2,3,4,5,6,7?, A ? ?2,4,5? ,则 CU A ? ( ) A. ? 1,3,6,7?
?

B. ? 1,3,5,7?

C. ?2,4,6?

D. ?

2.幂函数 y ? x ( ? 是常数)的图象( ) A.一定经过点 (0,0) C.一定经过点 (1,1) B.一定经过点 (?1,?1) D.一定经过点 (1,?1)

3.若直线 l1 : 2 x ? ay ? 1 ? 0 过点 (1,1) , l2 : x ? 2 y ? 0 ,则直线 l1 与 l2 ( ) A.平行 B. 相交但不垂直 C.垂直 D. 相交于点 (2,?1)

32、 77 ,则输出的 a、b、c 分别是 4.阅读如图的程序框图,若输入的 a、b、c 分别是 20、
( )

32、 77 A. 20、
1

20、 32 B. 77、
1 4
3.1

20、 77 C. 32、

32、 20 D. 77、

5.设 a ? 3 3 , b ? ( ) , c ? log 0.4 3 ,则 a, b, c 的大小关系为( ) A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. b ? a ? c
1

D. a ? b ? c

6.已知函数 f ( x) ? x ? x ? a 在区间 (0,1) 上有零点,则实数 a 的取值范围为( )
2

A. (??, ]

1 4

B. (??, )

1 4

C. (?2,0)

D. [?2,0]

? 2e x ?1 , x ? 2, 7.设 f ( x) ? ? ,则 f ( f (2)) 的值为( ) 2 ?log 3 ( x ? 1), x ? 2
A. 0 B. 1
2 2

C. 2

D. 3

8.已知圆 ( x ? a ) ? y ? 4 截直线 x ? y ? 4 ? 0 所得的弦的长度为 2 2 ,则 a 等于( ) A. ? 2 2 B. 6 C. 2 或 6 D. ? 2 或 ? 6

9.设 l 是一条直线, ?,? 是两个不同的平面,则以下命题正确的是( ) A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C. 若 l ∥ ? , ? ? ? ,则 l ? ? 10.函数 f ( x) ? x ln x 的大致图象是( ) B.若 l ∥ ? , ? ∥ ? ,则 l ? ? D.若 l ? ? , ? ∥ ? ,则 l ? ?

A.

B.

C.

D.

11.一个机器零件的三视图如图所示,其中侧视图是一个半圆与边长为 2 的正方形,俯视图 是一个半圆内切于边长为 2 的正方形,则该机器零件的体积为( )

2

A. 4 ?

?
3

B. 8 ?

?
3

C. 4 ? ?

8 3

D. 8 ? ?
2 2

8 3

12.点 P ( x, y ) 是直线 kx ? y ? 3 ? 0 上一动点, PA, PB 是圆 C : x ? y ? 4 y ? 0 的两条切 线, A, B 是切点,若四边形 PACB 面积的最小值为 2 ,则 k 的值为( ) A. 2 2 B. ? 2 2 C. 2 D. ? 2

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.若函数 y ? f ( x) 的定义域为 [0,3] ,则函数 g ( x) ?
2 2

f (3 x) 的定义域是 x ?1
2 2



14.若点 P 在圆 C1 : ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1 上,点 Q 在圆 C2 : ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4 上,则

PQ 的最小值是



15.已知在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,且点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 16.已知函数 f K ( x) 的定义域为实数集 R , 满足 f K ( x) ? ? .

?1, x ? K , ( K 是 R 的非空真子集) , ?0, x ? K

若在 R 上有两个非空真子集 M , N ,且 M ? N ? ? ,则 F ( x) ? 为 .

f M ( x) ? f N ( x) ? 1 的值域 f M ? N ( x) ? 1

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. (本小题满分 10 分) 设集合 A ? x ? 1 ? x ? 2 , B ? x 2a ? 1 ? x ? 2a ? 3 . (1)若 A ? B ,求 a 的取值范围; (2)若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? kx ? 2 x ? 4k .
2

?

?

?

?

(1)若函数 f ( x) 在 R 上恒小于零,求实数 k 的取值范围;

3

(2)若函数 f ( x) 在区间 [ 2,4] 上单调递减,求实数 k 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是平行四边形,

?BAD ? 60?,AB ? 2,PD ? 3,AD ? BD , O 为 AC 与 BD 的交点, E 为棱 PB 上一
点.

(1)证明:平面 EAC ? 平面 PBD ; (2)若 PE ? 2 EB ,求二面角 E ? AC ? B 的大小. 20. (本小题满分 12 分) 已知以点 A(?1,2) 为圆心的圆与直线 l1 : x ? 2 y ? 7 ? 0 相切,过点 B (?4,0) 的动直线 l 与圆

A 相交于 M , N 两点.
(1)求圆 A 的方程; (2)当 MN ? 2 11 时,求直线 l 的方程. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 的定义域为 R ,若对于任意的实数 x, y ,都有 f ( x) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) ,且

x ? 0 时,有 f ( x) ? 0 .
(1)判断并证明函数 f ( x) 的单调性; (2) 设 f (1) ? 1 , 若 f ( x) ? m ? 2am ? 1 对所有 x ? [?1,1], a ? [?2,2] 恒成立, 求实数 m 的
2

取值范围. 22. (本小题满分 12 分) 已知圆 O : x ? y ? 2 ,直线 l 过点 M ( , ) ,且 OM ? l , P ( x0 , y0 ) 是直线 l 上的动点,
2 2

3 3 2 2

4

线段 OM 与圆 O 的交点为点 N , N ? 是 N 关于 x 轴的对称点.

(1)求直线 l 的方程; (2)若在圆 O 上存在点 Q ,使得 ?OPQ ? 30 ,求 x0 的取值范围;
?

(3)已知 A, B 是圆 O 上不同的两点,且 ?ANN ? ? ?BNN ? ,试证明直线 AB 的斜率为定 值.

长沙市第一中学 2016-2017 学年度高一第一学期期末考试
5

数学参考答案 一、选择题
1.A 2.C 3.C 4.B 5.B 由题意知 2 ? a ? 1 ? 0 ? a ? 1 ,则 l1 : 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 k1k 2 ? ?1 ,故两直线垂直.

1 a ? 3 ? 1, b ? ( ) 3.1 ? (0,1), c ? log 0.4 3 ? 0,? c ? b ? a . 4
易知函数 f ( x ) ? x ? x ? a 的图象开口向上, 且对称轴为直线 x ? ?
2

1 3

6.C

1 .若函数 f ( x ) 2

在区间 (0,1) 上有零点,则只需满足 f (0) ? f (1) ? 0 ,即 a (a ? 2) ? 0 ,解得 ? 2 ? a ? 0 . 7.C 8.D 易知圆的圆心为 (?a ,0) ,半径为 2 ,又圆截直线 x ? y ? 4 ? 0 所得的弦的长度为

2 2,
则圆心到直线的距离为 d ?

4 ? 2 ? 2 ,则

?a ?4 2

? 2 ,解得 a ? ?2 或 ? 6 .

9.D

A 错,有可能 l ∥ ? ; B 错,有可能 l ∥ ? ; C 错,直线 l 与平面 ? 可能平行,可

能垂直,也可能相交但不垂直,还可能 l ? ? . 10.A 易知 f ( x ) ? x ln x 是奇函数,通过观察图象可排除选项 C、D ;取 x ? 1 ,则

f (1) ? 0 ,取 x ?
11.A

1 1 1 1 ,则 f ( ) ? ln ? 0 ,故排除选项 B . 2 2 2 2 1 ,且球的半径为 1 ,所以 4

此几何体为组合体,下面是正方体的一半,上面是球的

体积 V ? 12.D

1 3 1 4 ? ? 2 ? ? ? ?13 ? 4 ? . 2 4 3 3
2

如图, S PACB ? 2 S ?PAC ? PA ? AC ? 2 PA ? 2 PC ? AC

2

? 2 PC ? 4 ,
5 k 2 ?1


2

∴当 PC 最小时, 面积取最小值, 而 PC 最小即为点 C 到直线 l 的距离 d , 又d ?

∴ 2 d ? 4 ? 2 ? k ? 4 ? k ? ?2 .
2 2

6

二、填空题
13. [0,1) ∵函数 f ( x ) 的定义域为 [0,3] ,∴ ?
2

?0 ? 3 x ? 3, 解得 0 ? x ? 1 . ? x ?1 ? 0
2

14. 2

2 ? 2)? ( 2 ? 1) ? 5 , 据题意易求 C1C 2 ? ( 又两圆的半径分别为 1 和 2 , 故 PQ

的最小值为: C1C 2 ? 2 ? 1 ? 2 . 15. 60? 如图,取 BC 的中点 E ,连接 DE、AE、AD .

依题意知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为正三棱柱,易得 AE ? 平面 BB1C1C , 故 ?ADE 为 AD 与平面 BB1C1C 所成的角. 设各棱长为 1 ,则 AE ?

3 1 , DE ? , 2 2

3 AE ? 2 ? 3 ,则 ?ADE ? 60? . 从而 tan ?ADE ? 1 DE 2

1? 16. ?

当 x ? ( M ? N ) 时 , f M ? N ( x) ? 1 , 而 由 于 M ? N ? ? , 所 以

f M ( x) ? f N ( x) ? 1 , 此 时 F ( x) ? 1 ; 当 x ? ( M ? N ) 时 , f M ? N ( x) ? 0 ,

7

f M ( x ) ? f N ( x ) ? 0 ,此时 F ( x ) ? 1 ,所以函数 F ( x ) 的值域为 ? 1? .
三、解答题
17.解: (1)∵ A ? B ,∴ ?

?2a ? 1 ? ?1 1 ,解得 ? ? a ? 0 . 2 ? 2a ? 3 ? 2
3 或 a ? ?2 . 2

(2)∵ A ? B ? ? ,∴ 2a ? 1 ? 2 或 2a ? 3 ? -1 ,解得 a ? 18.解: (1)由题意得: ?

?k ? 0 ? k ? 0 1 ,解得 k ? ? . ?? 2 2 ?? ? 0 ?4 ? 16k ? 0

(2)因为函数 f ( x ) 在区间 [ 2,4] 上单调递减, ①若 k ? 0 ,则只需函数 f ( x ) 的对称轴

1 1 ? 4 ,解得 0 ? k ? ; k 4

②若 k ? 0 , f ( x ) ? ?2 x ? k 在区间 [ 2,4] 上单调递减; ③若 k ? 0 ,则只需函数 f ( x ) 的对称轴 综上可知实数 k 的取值范围是: k ?

1 ? 2 ,显然成立. k

1 . 4

19.解: (1)∵ PD ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ,∴ AC ? PD . ∵ AD ? BD, ?BAD ? 60 ,∴ ?ABD 为正三角形,四边形 ABCD 是菱形,
?

∴ AC ? BD ,又 PD ? BD ? D ,∴ AC ? 平面 PBD , 而 AC ? 平面 EAC ,∴平面 EAC ? 平面 PBD . (2)如图,连接 OE ,又(1)可知 EO ? AC ,又 AC ? BD , ∴ ?EOB 即为二面角 E ? AC ? B 的平面角, 过 E 作 EH ∥ PD ,交 BD 于点 H ,则 EH ? BD , 又 PE ? 2 EB, AB ? 2, PD ? 3 , EH ? 在 RT?EHO 中, tan ?EOH ?

3 1 , OH ? , 3 3

EH ? 3 ,∴ ?EOH ? 60? , OH

即二面角 E ? AC ? B 的大小为 60? .

8

20.解: (1)设圆 A 的半径为 r ,∵圆 A 与直线 l1 : x ? 2 y ? 7 ? 0 相切, ∴r ?

?1? 4 ? 7 5

? 2 5 ,∴圆 A 的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 20 .

(2)当直线 l 与 x 轴垂直时,易知直线 l 的方程为 x ? ?4 , 此时 MN ? 2 11 ,符合题意; 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,即

kx ? y ? 4k ? 0 ,设 MN 的中点为 Q ,则 AQ ? MN ,
∴ AQ ? ( ∴ AQ ?
2

1 2 MN ) ? r 2 ,又 MN ? 2 11 , r ? 2 5 , 2

20 ? 11 ? 3 ,又 AQ ?

? k ? 2 ? 4k k ?1
2

,∴

? k ? 2 ? 4k k ?1
2

?3? k ? ?

5 , 12

则直线 l 的方程为: y ? ?

5 ( x ? 4) ,即 5 x ? 12 y ? 20 ? 0 , 12

综上可知直线 l 的方程为: x ? ?4 或 5 x ? 12 y ? 20 ? 0 . 21.解: (1) f ( x ) 为单调递增函数,证明如下: 先证明 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,令 x ? y ? 0 ,则 f (0) ? f (0) ? f (0) ? f (0) ? 0 , 令 y ? ? x ,则 f ( x ) ? f (? x ) ? f (0) ? 0,? f (? x ) ? ? f ( x ) ,

f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,设 x1 ? x 2 ,
则 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x 2 ? x1 ) , 当 x ? 0 时,有 f ( x ) ? 0 ,所以 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ,

9

故 f ( x ) 在 R 上为单调递增函数. (2)由(1)知 f ( x ) 在 [-1,1] 上为单调递增函数, 所以 f ( x ) 在 [-1,1] 上的最大值为 f (1) ? 1 , 所以要使 f ( x ) ? m ? 2am ? 1 对所有 x ? [?1,1], a ? [?2,2] 恒成立,
2

只要 m 2 ? 2am ? 1 ? 1 ,即 m 2 ? 2am ? 0 恒成立, 令 g (a ) ? m ? 2am ? ?2am ? m ,则 ?
2 2

? g (?2) ? 0, ? 4m ? m 2 ? 0, 即? 2 ? g (2) ? 0 ?? 4 m ? m ? 0

解得 m ? 4 或 m ? ?4 . 故实数 m 的取值范围是 m ? 4 或 m ? ?4 . 22.解: (1)∵ OM ? l ,∴直线 l 上的斜率为 ? 1 , ∴直线 l 上的方程为: y ?

3 3 ? ?( x ? ) ,即 x ? y - 3 ? 0 . 2 2

(2) 如图可知, 对每个给定的点 P , 当 PQ 为圆 O 的切线时, 此时 OQ ? PQ , ?OPQ 最大,
2 2 若此时 ?OPQ ? 30 ,则 OP ? 2 OQ ? 2 2 ,故只需 OP ? 2 2 即可,即 x0 ? y0 ? 8,

?



x0 ? y0 ? 3 ? 0 ? y0 ? 3 ? x0











2 2 2 x0 ? (3 - x0 ) ? 8 ? 2 x0 ? 6 x0 ? 1 ? 0 ?

3? 7 3? 7 . ? x0 ? 2 2

(3)据题意可求 N (1,1) , ∵ N ? 是 N 关 于 x 轴 的 对 称 点 , ?ANN ? ? ?BNN ? , ∴ k AN ? ? k BN , 设 k AN ? k , 则

k BN ? -k ,
则直线 AN 的方程为: y ? 1 ? k ( x ? 1) ,直线 BN 的方程为: y ? 1 ? ? k ( x ? 1) ,

10

联立 ?

? y ? kx ? 1 ? k ,消去 y 得: (1 ? k 2 ) x 2 ? 2k (1 ? k ) x ? k 2 ? 2k ? 1 ? 0 , 2 2 x ? y ? 2 ?

∵ x A xN ?

k 2 ? 2k ? 1 k 2 ? 2k ? 1 k 2 ? 2k ? 1 ,同理可求 , , ? x ? x ? A B 1? k 2 1? k 2 1? k 2

k AB ?

y B ? y A - (xB ? x A ) ? 2k 4k ? ? ? 1, xB ? x A xB ? x A 3k

故直线 AB 的斜率为定值 1 .

11


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