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8高三数学复习两个平面垂直



9.5 两个平面垂直 【教学目标】 掌握两平面垂直的判定和性质,并用以解决有关问题. 【知识梳理】 1.定义 两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 2.两个平面垂直的判定和性质 类别 语言表述 根据定义.证明两平 面所成的二面角是 判 直二面角. 定 如果一个平面经过另 一个平面的一条垂 线,那么这两个平面 互相垂直. 如果两个平面垂直, 性 质 那么它们所成二面角 的平面角是直角. 如果两个平面垂直, 那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线 垂直于另一个平面. 图 A B 示 字母表示 应 用 ? AOB 是 二 面 角 证 ? ? a ? ? 的平面角,且 ?AOB=90?,则??? 两 平 面
a?? ? ??? ? a? ? ? ?

?

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a

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A

垂 直

? ? ? , ? AOB 是二面
B 角 ? ? a ? ? 的平面角, 则?AOB=90?

证两条直 线垂直

? a O ? ? l
a

? ?? ? ? ? ? ? l? ? ? ?a ? ? a ?? ? ? a ?l ?

证直线和 平面垂直

重要提示 1.两个平面垂直的性质定理,即: “如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们 交线的直线垂直于另一个平面”是作点到平面距离的依据,要过平面外一点 P 作平面?的垂 线, 通常是先作(找)一个过点 P 并且和?垂直的平面?, 设???= l , 在?内作直线 a ?l , 则 a ??. 2.三种垂直关系的证明 (1)线线垂直的证明 ①利用 “两条平行直线中的一条和第三条直线垂直, 那么另一条也和第三条直线垂直” ; ②利用“线面垂直的定义” ,即由“线面垂直?线线垂直” ; ③利用“三垂线定理或三垂线定理的逆定理” . (2)线面垂直的证明 ①利用“线面垂直的判定定理” ,即由“线线垂直?线面垂直” ; ②利用 “如果两条平行线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于同一个平面” ; ③利用“面面垂直的性质定理” ,即由“面面垂直?线面垂直” ; ④利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面”. (3)面面垂直的证明 ①利用“面面垂直的定义” ,即证“两平面所成的二面角是直二面角; ②利用“面面垂直的判定定理” ,即由“线面垂直?面面垂直”. 【点击双基】 1、 在三棱锥 A-BCD 中,若 AD⊥BC,BD⊥AD,⊿BCD 是锐角三角形,那么必有……() A、平面 ABD⊥平面 ADC B、平面 ABD⊥平面 ABC

C、平面 ADC⊥平面 BCD D、平面 ABC⊥平面 BCD 2、直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=900,AC=AA1=a,则点 A 到平面 A1BC 的距离是( A 、a B 、 2 a C、 2 a 2 D、 3 a



3、设两个平面α、β,直线 l ,下列三个条件:① l ⊥α; ② l∥β;③α⊥β,若以其中 两个作为前提,另一个作为结论,则可构成三个命题,这三个命题中正确的个数是( ) A 、3 B 、2 C、 1 D、 0 4、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,截面 A1BD 与底面 ABCD 所成的二面角 A1-BD-A 的正切 值为 。 5、夹在互相垂直的两个平面之间长为 2a 的线段&这两个平面所成的角分别是 450 和 300, 过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线, 则两垂足间的距离为 。 【典例剖析】 例 1.如果???,???,???=a,那么 a??. 证明:如图,设???=m,???=n, 在平面?内任取一点 P(P?m,P?n), 过 P 作 PA?m 于 A,作 PB?n 于 B, ∵???,???,∴PA??,PB??. ∵???=a,∴a??,a??,∴PA?a,PB?a. PA、PB 是平面?内的两条相交直线.∴a?平面?. 【例 2 书】如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC,且∠SSB=∠ASC=600, A ∠BSC=900,求证:平面 ABC⊥平面 BSC。

?

?
B

a n A P m

?

B

O

C S E H C

【例 3 书】如图,在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC, S (1) 求证:AB⊥BC; (2) 若设二面角 S-BC-A 为 450,SA=BC,求两面角 S-SC-B 的大小。 A

【例 4 书】 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 若过面对角线 AB1 与另一面对角线 BC1 平行的平 B 面交上底面 A1B1C1 的一边 A1C1 于点 D, C1 (1) 确定 D 的位置,并证明你的结论; B1 A1 (2) 证明:平面 AB1D⊥平面 AA1D ; 1 (3) 若 AB:AA1= 2 ,求平面 AB1D 与平面 AB1A1 所成的角的大小。 C A B

补:例 5. 由一点 S 引不共面的三条射线 SA、 SB、 SC, 设?ASB=?, ?BSC=?, ?ASC=?,

其中?,?,?均为锐角,则平面 ASB?平面 BSC 的充要条件是 cos??cos?=cos?. A 证明:必要性. 如图(1)? 过点 A 作 AD?SB 于 D. ∵平面 ASB?平面 BSC? ∴AD?平面 BSC. S ? ? 过 D 作 DE?SC 于 E,连 AE,则 AE?SC. DB ? SE A SD E C 在 Rt△ADS 中,cos?= ;在 Rt△DES 中,cos?= ; SA SD (1) SE 在 Rt△AES 中,cos?= ,由此可得 SA SD SE SE ? cos??cos?= = =cos?. 必要性得证. SA SD SA 充分性.如图 2,过点 A 作 AA1?SB 于 A1,过点 A1 作 A1C1?SC 于 C1. SA 在 Rt△AA1S 中,cos?= 1 ; A SA SC 在 Rt△A1C1S 中,cos?= 1 ; SA1 S SA1 SC1 SC1 ? ? A1 B ? ∵cos?=cos??cos?= = , ? SA SA1 SA C1 C ∴SC1=SA?cos?. C1? (2) 过 A 作 AC1??SC,垂足为 C1?, 在 Rt△AC1?S 中,SC1?=SA?cos?. 由此得 SC1?=SC1,即 C1?与 C1 重合,故 SC?AC1. 而 SC?A1C1,且 AC1?A1C1=C1,∴SC?平面 AA1C1,∴SC?AA1. 又∵SB?AA1,SB?SC=S,∴AA1?平面 BSC, 而 AA1?平面 ASB,∴平面 ASB?平面 BSC.充分性得证. 【知识方法总结】 1. 证面面垂直一般先从现有的直线中找平面的垂线;否则用作辅助线解决之,要过平面外 一点 P 作平面?的垂线,通常是先作(找)一个过点 P 并且和?垂直的平面?,设???= l ,在?内 作直线 a ?l ,则 a ??. 2.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化条件和转化应用。 【作业】 优化设计



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