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江苏省张家港市崇真中学2014届高三9月周考1数学试题



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崇真中学 2013-2014 学年第一学期高三数学周考 1
姓名: 学号: 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 2 4} 4 6} 1.已知集合 A ? {1, , , B ? {2 , , ,则 A ? B ? ▲ . 2.设 i 是虚数单位,则复数(1-i)2-

>2013.9

3.若 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S8 ? S3 ? 20 ,则 S11 的值为 1)若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? 2).若 m ? ? , n ? ? , l ? m, l ? n ,则 l ? ? 3).若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n ; 4) 若 m ? ? , m // n ,则 n ? ? 5.如图给出的是计算

4 ? 2i 等于 1 ? 2i

4.已知直线 m 、 n 、 l 不重合,平面 ? 、 ? 不重合,下列命题正确的有

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值的一个程序框图, 2 4 6 20

其 中

判断框内应填入的条件是 6.已知向量 a, b,其中| a | ? 2 ,| b | ? 2 ,且( a-b )⊥a,则向 量 a 和 b 的夹角是

( 7 . 函 数 f ( x) ? A s i n?x ? ? ) 的 图 象 如 下 图 所 示 , 为 了 得 到
g ( x) ? ? A c o s x 的图像,可以将 f (x) 的图像向右平 ?
移 个单位长度

第4题

?x ? y ? 2 ? 0 ? 8. 已知实数 x, y 满足条件 ?0 ? x ? 3 , 则目标函数 z ? 2 x ? y 的 ?y ? 0 ? 9.从某地高中男生中随机抽取 100 名同学,将他们的体重

范围

(单位:kg)数据绘制成如下的频率分布直方图.由图中数 据可知体重的平均值为 kg;若要从体重在[ 60 ,

70),[70 ,80) , [80 , 90]三组内的男生中,用分层抽样的 方法选取 12 人参加一项活动,再从这 12 人选两人当正、副 队长,则这两人体重不在同一组内的概率为 10.已知集合 A ? ? x | ?1 ? x ? 5? ,B ? ? x | ___ .

? x?2 ? ? 0? ,在 ? 3? x ? 集合 A 任取一个元素 x ,则事件“ x ? A ? B ”的概率是 . 2 2 x y 11.已知 F 、 F2 是椭圆 + =1 的左右焦点,弦 AB 过 F1,若 ?ABF2 的周长为 8 ,则椭圆 1 k ? 2 k ?1
的离心率为 . 12.等边三角形 ABC 中, P 在线段 AB 上,且 AP ? ? AB ,若 CP ? AB ? PA ?PB ,则实数 ? 的值 是 .
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??? ?

??? ?

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

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13.数列 {an } 的前 n 项和是 Sn ,若数列 {an } 的各项按如下规则排列:

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 , , , , , , , , , , , ?, 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6
若存在整数 k ,使 Sk ? 10 , Sk ?1 ? 10 ,则 ak ? 14. 若函数 f ? x ? ? 的取值范围是 .

1 3 x ? a 2 x 满足: 对于任意的 x1 , x2 ??0,1? 都有 | f ? x1 ? ? f ? x2 ? |? 1恒成立, a 则 3


二、解答题:(本大题共 6 道题,计 90 分) 15.(本小题满分 14 分)已知 f ( x) ? 3sin ? x cos ? x ? 3 cos
2

? x ? 2sin 2 (? x ?

?
12

)?

? ? 0 )的最小正周期为 ? 。 (Ⅰ )求 f ( x ) 的单调递增区间;试卷
求角 C

3 (其中 2

(Ⅱ )在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 2, f ( A) ? 1 ,

16.(本小题满分 14 分) 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1,FD⊥平面 ABCD,EB⊥平面 ABCD,FD=BE=1,M 为 BC 边 上的动点. (Ⅰ)证明:ME∥平面 FAD; (Ⅱ)试探究点 M 的位置,使平面 AME⊥平面 AEF.

F E D M A B

C

17.(本题满分 15 分)如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位 长度为 1 千米.某炮位于坐标原点. 已知炮弹发 射后的轨迹在方程 y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 20

表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的 射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)
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其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

18.(本题满分 15 分) 已知圆 O : x2 ? y 2 ? 8 交 x 轴于 A, B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,直线 l : x ? ?4 为准线的椭 圆. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ) M 是直线 l 上的任意一点, OM 为直径的圆 K 与圆 O 相交于 P, Q 两点, 若 以 求证: 直线 PQ 必过定点 E ,并求出点 E 的坐标;

2 19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? 2 x, g ( x) ? a x ? x .

?

?

(Ⅰ)若 a ?

1 ,求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间; 2

(Ⅱ)若 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求 a 的取值范围.

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20.(本题满分 16 分) 正整数).

已知等差数列 ?an ? 的首项为 a ,公差为 b ,等比数列 ?bn ? 的首项为 b ,公比为 a (其中 a , b 均为

(Ⅰ) 若 a1 ? b1 , a2 ? b2 ,求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 a1 , a3 , an1 , an2, ,ank, (3 ? n1 ? n2 ? ? ? nk ? ?) 成等比数列,求数列 ? ?

?nk ? 的通项公式;
a 、 b 的值.

(Ⅲ) 若 a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ,且至少存在三个不同的 b 值使得等式 am ? t ? bn ?t ? N ? 成立,试求

答案:1、 ?1,2,4,6? 6、

2、-4i. 8、[-2,6]

3、44 4、4) 9、64.5

5、i>10 10、 10.

?
4

7、

5? 12

2 3
14. ? ?

1 6

11



1 2

12.

2? 2 2

13.

5 7

2 ? ? 2 3, 3 3 ? ? 3 ?

15、(I) f ( x) ?

3 3 ? 3 sin 2? x ? (1 ? cos 2? x) ? 1 ? cos 2(? x ? ) ? 2 2 12 2

? ? 3 3 ? ? sin 2? x ? cos ? x ? cos(2? x ? ) ? 1 试卷 ? 3 sin(2? x ? ) ? cos(2? x ? ) ? 1 6 6 2 2 6
? 2sin(2? x ? ) ? 1 3

?

? T ? ? , ? ? 0?T ? ,

? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 3
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?

2? ?? ? ? , 2?

1 5?     k Z ] ? 12

故所求递增区间为 [k? ?

?

12

,k ? ?

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(II) f ( A) ? 2sin(2 A ?

?

??

?
3

? 2A ?

?
3

?

即A ?

?
6

5? 3

) ? 1 ? 1    ? sin(2 A ? ) ? 0 试卷 试卷 3 3
试 卷

?

?2A ?

?

   或A ?

2? 3

3

? 0   或2A ?

?
3

??





又a ? b    A ? B,    故A ? ?


2? ?  舍 去,? A ? 3 6

a b 2 ? 3? ,试卷 ? 得 sin B ? ,    B ? 或B ? ? sin A sin B 2 4 4

若 B?

?
4

,则 C ?

7? 3? ? ,则 C ? .若 B ? . 12 4 12

16、解:(Ⅰ )∵ FD⊥平面 ABCD,EB⊥平面 ABCD ∴FD∥EB 又 AD∥BC 且 AD∩FD=D,BC∩BE=B ∴平面 FAD∥平面 EBC,ME ? 平面 EBC ∴ME∥平面 FAD ……………………4 分

2)M 在 BC 的中点时, 平面 AME⊥平面 AEF.

17.解:(1)在 y ? kx ?

1 1 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 中,令 y ? 0 ,得 kx ? (1 ? k 2 ) x2 =0 。 20 20

由实际意义和题设条件知 x > 0,k > 0 。 ∴ x=

20k 20 20 = ? =10 ,当且仅当 k =1 时取等号。 2 1 1? k ?k 2 k

∴炮的最大射程是 10 千米。 (2)∵ a > 0 ,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 ,使 ka ? 即关于 k 的方程 a 2 k 2 ? 20ak ? a 2 ? 64=0 有正根。 由 ?= ? ?20a ? ? 4a 2 a 2 ? 64 ? 0 得 a ? 6 。
2

1 (1 ? k 2 )a2 =3.2 成立, 20

?

?

此时, k =

20a ?

? ?20a ?

2

? 4a 2 ? a 2 ? 64 ?

2a 2

> 0 (不考虑另一根)。

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。 18.解:(Ⅰ)设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,则: a 2 b2

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?a ? 2 2 ?a ? 2 2 x2 y 2 ? 2 ? ? ? 1。 ,从而: ? ,故 b ? 2 ,所以椭圆的标准方程为 ?a 8 4 ?4 ?c ? 2 ? ? ?c

m ? m2 ? (Ⅱ)设 M (?4, m) ,则圆 K 方程为 ? x ? 2? ? ? y ? ? ? ?4 2? 4 ?
2

2

与圆 O : x2 ? y 2 ? 8 联立消去 x2 , y 2 得 PQ 的方程为 4 x ? my ? 8 ? 0 , 过定点 E ? ?2,0 ? 。 19.解:(Ⅰ) F ( x) ? ln x ? 2 x ? 15 分

1 2 1 x ? x ,其定义域是 (0, ??) 2 2 1 1 (2 x ? 1)( x ? 2) F '( x) ? ? 2 ? x ? ? ? x 2 2x 1 令 F '( x) ? 0 ,得 x ? 2 , x ? ? (舍去)。 3分 2
当 0 ? x ? 2 时, F '( x) ? 0 ,函数单调递增; 当 x ? 2 时, F '( x) ? 0 ,函数单调递减; 即函数 F ( x) 的单调区间为 (0, 2) , (2, ??) 。 (Ⅱ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 F '( x) ? ? 6分 8分 10 分

(2 x ? 1)(ax ? 1) , 2x

当 a ? 0 时, F '( x) ? 0 , F ( x) 单调递增, F ( x) ? 0 不可能恒成立, 当 a ? 0 时,令 F '( x) ? 0 ,得 x ? 当0 ? x ? 当x?

1 1 , x ? ? (舍去)。 a 2

1 时, F '( x) ? 0 ,函数单调递增; a

1 时, F '( x) ? 0 ,函数单调递减; 13 分 a 1 1 故 F ( x) 在 (0, ??) 上的最大值是 F ( ) ,依题意 F ( ) ? 0 恒成立, a a 1 1 即 ln ? ? 1 ? 0 , a a 1 1 又 g (a) ? ln ? ? 1 单调递减,且 g (1) ? 0 , a a 1 1 故 ln ? ? 1 ? 0 成立的充要条件是 a ? 1 , a a
所以 a 的取值范围是 [1, ??) 。
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16 分

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20.解:(Ⅰ)由 a1 ? b1 , a2 ? b2 得: ? 解得: a ? b ? 0 或 a ? b ? 2 ,

?a ? b , ?a ? b ? ab

? a, b ? N ? , ? a ? b ? 2 ,从而 an ? 2n, bn ? 2n

4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 a1 ? 2, a3 ? 6 ,? a1 , a3 , an1 , an2, ,ank, 构成以 2 为首项, 3 为公比的等比数列, ? ? 即: ank ? 2 ? 3k ?1 又 ank ? 2nk ,故 2nk ? 2 ? 3k ?1 ,? nk ? 3k ?1 (Ⅲ) 由 a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 得: a ? b ? a ? b ? ab ? a ? 2b , 由 a ? b ? ab 得: a ? b ?1? ? b ;由 ab ? a ? 2b 得: a ?b ?1? ? 2b , 而 a, b ? N , a ? b ,即: b ? a ? 1 ,从而得: 1 ? 1 ?
*

6分

1 b 2b 2 ? ?a? ? 2? ?4, b ?1 b ?1 b ?1 b ?1

? a ? 2,3 ,当 a ? 3 时, b ? 2 不合题意,故舍去,
所以满足条件的 a ? 2 . 又? am ? 2 ? b(m ?1) , bn ? b ? 2n?1 ,故 2 ? b ? m ?1? ? t ? b ? 2
n ?1 即: 2 ? m ? 1 b ? 2 ? t

12 分
n?1

, 13 分 14 分

?

?

①若 2

n ?1

? m ? 1 ? 0 ,则 t ? ?2 ? N ,不合题意;

②若 2

n ?1

? m ? 1 ? 0 ,则 b ?

2?k n ?1 ,由于 2 ? m ? 1 可取到一切整数值,且 b ? 3 ,故要至 2 ? m ?1
n ?1

少存在三个 b 使得 am ? t ? bn ?t ? N ? 成立,必须整数 2 ? t 至少有三个大于或等于 3 的不等的因数, 故满足条件的最小整数为 12,所以 t 的最小值为 10 ,此时 b ? 3 或 4 或 12。

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