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1.1 平行线等分线段定理 课件(人教A版选修4-1)



第一讲

相似三角形的判定及有关性质
1.1 平行线等分线段定理

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1.理解平行线等分线段定理及推论. 2.掌握任意等分线段的方法. 3.能利用平行线等分线段定理解决简单几何问题.
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平行线 在 1.平行线等分线段定理:如果一组________

一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截 得的线段也相等. 2.推论 1:经过三角形一边的中点与另一边平
平分 第三边. 行的直线必________
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3.推论 2:经过梯形一腰的中点,且与底边平
平分 另一腰. 行的直线________

4. 如图所示, D、 E、 F 分别△ABC 三边的中点, 则与△DEF 全等的三角形有________ 个. 3
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题型1

作线段的等分点

例1 已知线段AB,求作AB的五等分点.
分析:本题是平行线等分线段定理的实际应用.只要作射 线 AM, 在 AM 上任意截取 5 条相等线段, 设分别为 AA1、 A1A2、 A2A3、A3A4、A4A5,连接端点 A5 与点 B,再过其他端点作 BA5 的平行线,分别交 AB 于 C、D、E、F,则 AB 就被这些平行 线分成五等分了.
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解析:(1)作射线 AM. (2)在射线 AM 上截取 AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5. (3)连接 A5B,分别过 A1、A2、A3、A4 作 A5B 的平行线 A1C、A2D、A3E、A4F,分别交 AB 于 C、D、E、F,那么 C、 D、E、F 就是所求作的线段 AB 的五等分点. 如下图所示.
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题型2

证明线段间关系

例2 如图,已知在△ABC中,D是AC的中点,
DE∥BC,交AB于点E,EF∥AC交BC于点F,求证:BF =CF.
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分析:D 是 AC 的中点,利用定理知 E 是 AB 的中点, 再利用定理得 F 是 BC 的中点. 证明:在△ABC 中, ∵D 是 AC 的中点,DE∥BC, ∴E 是 AB 的中点(推论 1). 又∵EF∥AC 且交 BC 于点 F, ∴F 是 BC 的中点(推论 1). ∴BF=FC. 点评:应用定理证明线段间关系,常与三角形中位线、 梯形中位线有关.
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变 式训 练

1.如图,AD 是△ABC 的高,E 为 AB 的中点, 1 EF⊥BC 与点 F,若 DC= BD,则 FC 是 BF 的 3 ________倍.
变 式 训 练

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5 答案: 3

题型3

求线段的长

例 3 如下图所示,AD 是 BC 边上的中线,点 E 是 AD 1 的中点,BE 的延长线交 AC 于点 F.求证:AF= AC. 3
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证明:如下图,过点 D 作 DG∥BF 交 AC 于点 G.

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在△BCF 中,点 D 是 BC 的中点,DG∥BF, ∴点 G 为 CF 的中点,即 CG=GF.

在△ADG 中, 点 E 是 AD 的中点, BF∥DG, ∴点 F 是 AG 的中点,即 AF=FG. 1 ∴AF= AC. 3 点评: 利用定理找出所求线段与已知线段的 联系.
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变 式训 练

1 2 .如图所示, AE∥BF∥CG∥DH , AB = BC = CD , AE 2

=12,DH=16,AH 交 BF 于点 M. 1 (1)证明:BM= DH. 4
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变 式 训 练 (2)求 BM 与 CG 的长.

(1)证明:如图,

取 BC 的中点 P,作 PQ∥DH 交 EH 于点 Q,则 PQ 是梯形 ADHE 的中位线. 1 ∵AE∥BF∥CG∥DH, AB= BC=CD, AE=12, DH=16, 2 AB 1 BM AB ∴AD= , DH=AD, 4 1 BM 1 即DH = ,BM= DH. 4 4

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1 (2)解析:由(1)得 BM= DH=4, 4 由于 PQ 是梯形的中位线, 1 1 故 PQ= (AE+DH)= ×(12+16)=14, 2 2 1 1 同理,CG= (PQ+DH)= ×(14+16)=15. 2 2

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1.应用平行线等分线段定理要注意其条件是:a、b、 c 互相平行,构成一组平行线,m 与 n 可以平行,也可以 相交,但它们必须与已知的平行线 a、b、c 相交,即被平 行线 a、b、c 所截. 2.利用平行线等分线段定理解题要注意弄清题目所 给的条件,常见的题型多与三角形中位线、梯形中位线有 关,因此取中点、作平行线是常用技巧.另外,要注意灵 活运用三角形、 平行四边形、 等腰梯形的有关定理及性质.
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3.注意证明线段的和、差时,通常采用 的方法是作辅助线截取的方法. 4.平行线等分线段定理应在有线段的中 点时应用,在没有线段的中点时构造线段的 中点来应用.
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