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人教版选修2-1 导学案



南溪中学

高二上期数学◆选修 2-1◆导学案

第一章_常用逻辑用语_ § 1.1.1 命题及四种命题
编写人:盛军 审定人:张春燕

学习目标
1. 掌握命题、真命题及假命题的概念; 2. 四种命题的内在联系, 能根据一个命题来构造它 的逆命题、否命题和逆否命题.

(2)条件

p : 结论 q : 变式:将下列命题改写成“若 p ,则 q ”的形式, 并判断真假: (1)垂直于同一条直线的两条直线平行; (2)负数的立方是负数; (3)对顶角相等.

学习过程
一、课前准备 复习 1:什么是陈述句? . 复习 2:什么是定理?什么是公理? .

二、新课导学 学习探究 1.在数学中,我们把用 、 、或 表达的,可以 的 叫做命题.其中 的语句叫做真命题, 的语句叫做假命题 练习:下列语句中: (1)若直线 a // b ,则直线 a 和直线 b 无公共点; (2) 2 ? 4 ? 7 (3)垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ; (5)两个全等三角形的面积相等; (6) 3 能被 2 整除. 其中真命题有 ,假命题有 2.命题的数学形式: “若 p ,则 q ” ,命题中的 p 叫 做命题的 , q 叫做命题的 . 典型例题 例 1:下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命 题? (1)空集是任何集合的子集; (2)若整数 a 是素数,则 a 是奇数; (3)指数函数是增函数吗? (4)若空间有两条直线不相交,则这两条直线平 行;
(5) (?2)2 ? 2 ; (6) x ? 15 . 命题有 ,真命题有 假命题有 . 例 2 指出下列命题中的条件 p 和结论 q : (1)若整数 a 能被 2 整除,则 a 是偶数; (2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直平 分. 解: (1)条件 p : 结论 q :
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动手试试 1.判断下列命题的真假: (1) 能被 6 整除的整数一定能被 3 整除; (2) 若一个四边形的四条边相等,则这个四边 形是正方形; (3) 二次函数的图象是一条抛物线; (4) 两个内角等于 45? 的三角形是等腰直角三 角形.

2.把下列命题改写成“若 p ,则 q ”的形式,并判 断它们的真假. (1) 等腰三角形两腰的中线相等; (2) 偶函数的图象关于 y 轴对称; (3) 垂直于同一个平面的两个平面平行.

小结:判断一个语句是不是命题注意两点: (1)是 否是陈述句; (2)是否可以判断真假. 3.四种命题的概念 (1)对两个命题,如果一个命题的条件和结论分 别是另一个命题的结论和条件,那么我们这 样的两个命题叫做 ,其中一个命题 叫做 原命题为: “若 p ,则 q ” ,则逆命题为: “ ”. (2) 一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 条件的否定和结论的否定, 我们把这样的两个 命题叫做 ,其中一个命题叫做命题, 那么另一个命题叫做原命题的 .

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若原命题为: “若 p ,则 q ” ,则否命题为: “ ” (3)一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的 结论的否定和条件的否定, 我们把这样的两 个命题叫做 ,其中一个命题叫做命 题 , 那 么 另 一 个 命 题 叫 做 原 命 题 的 .若原命题为: p , q ” “若 则 , 则否命题为: “ ” 练习:下列四个命题: (1)若 f ( x) 是正弦函数,则 f ( x) 是周期函数; (2)若 f ( x) 是周期函数,则 f ( x) 是正弦函数; (3)若 f ( x) 不是正弦函数,则 f ( x) 不是周期函 数; (4)若 f ( x) 不是周期函数,则 f ( x) 不是正弦函 数. (1) (2)互为 (1) (3)互为 (1) (4)互为 (2) (3)互为 例 3 命题: “已知 a 、 b 、 c 、 d 是实数,若子 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d ”.写出逆命题、 否命题、逆否命题.

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.下列语名中不是命题的是( ). 2 A. x ? 0 B.正弦函数是周期函数 C. x ?{1, 2,3, 4,5} D. 12 ? 5 2.设 M 、 N 是两个集合,则下列命题是真命题的 是( ). A.如果 M ? N ,那么 M ? N ? M B.如果 M ? N ? N ,那么 M ? N C.如果 M ? N ,那么 M ? N ? M D. M ? N ? N ,那么 N ? M 3.下面命题已写成 “若 p , q ” 则 的形式的是 ( ) . A.能被 5 整除的数的末位是 5 B.到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平 分线上 C.若一个等式的两边都乘以同一个数, 则所得的结 果仍是等式 D.圆心到圆的切线的距离等于半径 4.下列语句中: (1) 2 ? 2 是有理数(2) 2100 是个 大数(3)好人一生平安(4) 968 能被 11 整除, 其中是命题的序号是 5.将“偶函数的图象关于 y 轴对称”写成“若 p , 则 q ”的形式,则 p : ,q:

变式:设原命题为“已知 a 、 b 是实数,若 a ? b 是 无理数,则 a 、 b 都是无理数” ,写出它的逆 命题、否命题、逆否命题.

课后作业
1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并 判断它们的真假 (1)若 a, b 都是偶数,则 a ? b 是偶数; (2)若 m ? 0 ,则方程 x2 ? x ? m ? 0 有实数根.

动手试试 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并 判断它们的真假: (1)若一个整数的末位数是 0,则这个整数能被 5 整除; (2)若一个三角形的两条边相等,则这个三角形 的两个角相等; (3)奇函数的图像关于原点对称.

2.把下列命题改写成“若 p ,则 q ”的形式,并写 出它们的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它 们的真假: (1)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等; (2)矩形的对角线相等.

三、总结提升: 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的 问题是什么?

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§ 1.1.2 四种命题间的相互关系
编写人:盛军 审定人:龙定洪

学习目标
1.掌握四种命题的内在联系; 2. 能分析逆命题、否命题和逆否命题的相互关系, 并能利用等价关系转化.

学习过程
一、课前准备 复习 1:四种命题 命题 原命题

表述形式 若 p ,则 q (1) 逆命题 (2) 否命题 (3) 逆否命题 请填(1)(2) (3)空格. 复习 2:判断命题“若 a ? 0 ,则 x2 ? x ? a ? 0 有实 根”的逆命题的真假.

二、新课导学 学习探究 1:分析下列四个命题之间的关系 (1)若 f ( x) 是正弦函数,则 f ( x) 是周期函数; (2)若 f ( x) 是周期函数,则 f ( x) 是正弦函数; (3)若 f ( x) 不是正弦函数,则 f ( x) 不是周期函 数; (4)若 f ( x) 不是周期函数,则 f ( x) 不是正弦函 数. (1) (2)互为 (1) (3)互为 (1) (4)互为 (2) (3)互为 通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如 下关系:

通过上例真假性可总结如: 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 假 假 四上表可知四种命题的真假性之间有如下关 系: (1) . (2) . 练习:判断下列命题的真假. (1)命题“在 ?ABC 中,若 AB ? AC ,则 ?C ? ?B ” 的逆命题; (2)命题“若 ab ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 ”的否命题; (3)命题“若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 ab ? 0 ”的逆否命 题; (4)命题“若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 a2 ? b2 ? 0 ”的逆 命题.

反思: (1)直接判断(2)互为逆否命题的两个命 题等价来判断.

典型例题
例 1 证明:若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? y ? 0 .

变式:判断命题“若 x2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”是 真命题还是假命题? 2、四种命题的真假性 例 1 以“若 x2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 2 ”为原命题, 写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并判 断这些命题的真假并总结其规律性. 练习: 证明: a2 ? b2 ? 2a ? 4b ? 3 ? 0 , a ? b ? 1. 若 则
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例 2 已 知 函 数 f ( x) 在 (??, ??) 上 是 增 函 数 , a, b ? R , 对 于 命 题 “ 若 a ? b ? 0 , 则 f ( a) ? f ( b) ? ?( a) .” b) f ? ?( f (1) 写出逆命题,判断其真假,并证明你的结论. (2) 写出其逆否命题,并证明你的结论.

C.若 x, y 至少有一个不大于 0,则 xy ? 0 D.若 x, y 至少有一个小于 0,或等于 0,则 xy ? 0 2. 命题 “正数 a 的平方根不等于 0” 是命题 “若 a 不 是正数,则它的平方根等于 0”的( ). A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.等价命题 3. 用反法证明命题“ 2 ? 3 是无理数”时,假设 正确的是( ). A.假设 2 是有理数 C.假设 2 或 3 是有理数 D.假设 2 ? 3 是有理数 4. 若 x ? 1 ,则 x 2 ? 1 的逆命题是 否命题是 5.命题“若 a ? b ,则 2a ? 2b ? 1 ”的否命题为 B.假设 3 是有理数

动手试试 1.求证:若一个三角形的两条边不等,这两条边所 对的角也不相等.

课后作业
1. 已知 a, b 是实数,若 x2 ? ax ? b ? 0 有非空解集, 则 a2 ? 4b ? 0 ,写出该命题的逆命题、否命题、逆 否命题并判断其真假.

2.命题“如果 x ? a2 ? b2 ,那么 x ? 2ab ”的逆否命 题是( ) 2 2 A.如果 x ? a ? b ,那么 x ? 2ab B.如果 x ? 2ab ,那么 x ? a2 ? b2 C.如果 x ? 2ab ,那么 x ? a2 ? b2 D.如果 x ? a2 ? b2 ,那么 x ? 2ab 2. 证 明 : 在 四 边 形 A B C 中 , 若 D AB ? CD ? AC ? CD ,则 AB ? AC .

三、总结提升: 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的 问题是什么?

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 命题“若 x ? 0 且 y ? 0 ,则 xy ? 0 ”的否命题是 ( ). A.若 x ? 0, y ? 0 ,则 xy ? 0 B.若 x ? 0, y ? 0 ,则 xy ? 0
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§ 1.2.1 学习目标

充分条件与必要条件
审定人:盛军

编写人:龙定洪

1. 理解必要条件和充分条件的意义; 2. 能判断两个命题之间的关系.

试试:用符号“ ? ”与“ ”填空: 2 2 (1) x ? y x? y; (2) 内错角相等 两直线平行; (3) 整数 a 能被 6 整除 a 的个位数字为 偶数; (4) ac ? bc a ?b.

学习过程
一、课前准备 复习 1:请同学们画出四种命题的相互关系图.

典型例题 例 1 下列“若 p ,则 q ”形式的命题中,哪些命题 中的 p 是 q 的充分条件?
(1)若 x ? 1 ,则 x2 ? 4x ? 3 ? 0 ; (2)若 f ( x) ? x ,则 f ( x) 在 (??, ??) 上为增函数; (3)若 x 为无理数,则 x 2 为无理数.

复习 2:将命题“线段的垂直平分线上的点到这条 线段两个端点的距离相等”改写为“若 p ,则 q ” 的形式,并写出它的逆命题、否命题、逆否命题并 判断它们的真假. 练习:下列“若 P ,则 q ”的形式的命题中,哪些 命题中的 p 是 q 的充分条件? (1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线平行; (2)若 x ? 5 ,则 x ? 10

二、新课导学 学习探究 探究任务:充分条件和必要条件的概念 问题: 1. 命题“若 x ? a2 ? b2 ,则 x ? 2ab ” (1)判断该命题的真假; (2)改写成“若 p ,则 q ”的形式,则 P: q: (3)如果该命题是真命题,则该命题可记为: 读着: 2. 1.命题“若 ab ? 0 ,则 a ? 0 ” (1)判断该命题的真假; (2)改写成“若 p ,则 q ”的形式,则 P: q: (3)如果该命题是真命题,则该命题可记为: 读着: 新知:一般地, “若 p ,则 q ”为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q .我们就说,由 p 推出 q , 记 作 p?q , 并 且 说 p 是 q 的 ,q是 p 的
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例 2 下列“若 p ,则 q ”形式的命题中哪些命题中 的 q 是 p 必要条件? (1)若 x ? y ,则 x 2 ? y 2 ; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形面积相 等; (3)若 a ? b ,则 ac ? bc

练习:下列“若 p ,则 q ”形式的命题中哪些命题 中的 q 是 p 必要条件? (1)若 a ? 5 是无理数,则 a 是无理数; (2)若 ( x ? a)( x ? b) ? 0 ,则 x ? a .

小结:判断命题的真假是解题的关键.

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动手试试 练 1. 判断下列命题的真假. (1) x ? 2 是 x2 ? 4x ? 4 ? 0 的必要条件; (2)圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆 的切线的必要条件; (3) sin ? ? sin ? 是 ? ? ? 的充分条件; (4) ab ? 0 是 a ? 0 的充分条件.

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分 条件?( ). A.平行四边形对角线相等 B.四边形两组对边相等 C.四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直 2. x, y ? R ,下列各式中哪个是“ xy ? 0 ”的必要条 件?( ). A. x ? y ? 0 B. x2 ? y 2 ? 0
C. x ? y ? 0 D. x3 ? y3 ? 0 3.平面 ? // 平面 ? 的一个充分条件是( ). A.存在一条直线 a, a // ? , a // ? B.存在一条直线 a, a ? ? , a // ? C.存在两条平行直线 a, b, a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? D.存在两条异面直线 a, b, a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? 4. p : x ? 2 ? 0 , q : ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 , p 是 q 的 条件. 5. p :两个三角形相似; q :两个三角形全等, p 是q的 条件.

练 2. 下列各题中, p 是 q 的什么条件? (1) p : x ? 1 , q : x ? 1 ? x ? 1 ; (2) p : | x ? 2 |? 3 , q : ?1 ? x ? 5 ; (3) p : x ? 2 , q : x ? 3 ? 3 ? x ; (4) p :三角形是等边三角形, q :三角形是等腰 三角形.

课后作业
1. 判断下列命题的真假 (1) a ? b ”是“ a2 ? b2 ”的充分条件; “ (2) | a ? b ”是“ a2 ? b2 ”的必要条件. “ || |

三、总结提升 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究 的问题是什么?

2. 已知 A ? {x | x 满足条件 p} , B ? {x | x 满足条件 q} . (1)如果 A ? B ,那么 p 是 q 的什么条件? (2)如果 B ? A ,那么 p 是 q 的什么条件?

知识拓展 设 A, B 为两个集合,集合 A ? B ,那么 x ? A 是 条件, x ? B 是 x ? A 的 条件. x?B的

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§ 1.2.2
编写人:龙定洪

充要条件
审定人:盛军

学习目标
1. 理解充要条件的概念; 2. 掌握充要条件的证明方法, 既要证明充分性又要 证明必要性.

典型例题 例 1 下列各题中,哪些 p 是 q 的充要条件?
(1) p : b ? 0 , q :函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 是偶函 数; (2) p : x ? 0, y ? 0, q : xy ? 0 (3) p : a ? b , q : a ? c ? b ? c

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P11~ P12,找出疑惑之处) 复习 1:什么是充分条件和必要条件?

复习 2: p :一个四边形是矩形 q :四边形的对角 线相等. p 是 q 的什么条件?

变式: 下列形如 “若 p , q ” 则 的命题是真命题吗? 它的逆命题是真命题吗?哪些 p 是 q 的充要条件? (1) p : b ? 0 , q :函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 是偶函 数; (2) p : x ? 0, y ? 0, q : xy ? 0 (3) p : a ? b , q : a ? c ? b ? c

二、新课导学 学习探究 探究任务一:充要条件概念 问题:已知 p :整数 a 是 6 的倍数, q :整数 a 是 2 和 3 的倍数.那么 p 是 q 的什么条件? q 又是 p 的什么条件?

新知:如果 p ? q ,那么 p 与 q 互为

小结:判断是否充要条件两种方法 (1) p ? q 且 q ? p ; (2)原命题、逆命题均为真命题; (3) 用逆否命题转化. 练习:在下列各题中, p 是 q 的充要条件? (1) p : x2 ? 3x ? 4 , q : x ? 3x ? 4 (2) p : x ? 3 ? 0 , q : ( x ? 3)( x ? 4) ? 0 (3) p : b2 ? 4ac ? 0(a ? 0) ,

试试: 下列形如 “若 p , q ” 则 的命题是真命题吗? 它的逆命题是真命题吗? p 是 q 的什么条 件? (1)若平面 ? 外一条直线 a 与平面 ? 内一条直线 平行,则直线 a 与平面 ? 平行; (2)若直线 a 与平面 ? 内两条直线垂直,则直线 a 与平面 ? 垂直.

q : ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
(4) p : x ? 1 是方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的根 q:a?b?c ?0 例 2 已知:? O 的半径为 r ,圆心 O 到直线的距离 为 d .求证: d ? r 是直线 l 与 ? O 相切的充要条 件.

反思:充要条件的实质是原命题和逆命题均为真命 题.

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变式:已知: ? O 的半径为 r ,圆心 O 到直线的距 离为 d ,证明: (1)若 d ? r ,则直线 l 与 ? O 相切. (2)若直线 l 与 ? O 相切,则 d ? r

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列命题为真命题的是( ). 2 2 A. a ? b 是 a ? b 的充分条件 B. | a |?| b | 是 a2 ? b2 的充要条件
C. x 2 ? 1 是 x ? 1 的充分条件 D. ? ? ? 是 tan ? ? tan ? 的充要条件 2.“ x ? M ? N ”是“ x ? M ? N ”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 3. 设 p : b ? 4ac ? 0(a ? 0) , q : 关 于 x 的 方 程
ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有 实 根 , 则 p 是 q 的 ( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 2 x2 ? 5x ? 3 ? 0 的一个必要不充分条件是 ( ) . 1 1 A. ? ? x ? 3 B. ? ? x ? 0 2 2 1 C. ?3 ? x ? D. ?1 ? x ? 6 2 5. 用充分条件、必要条件、充要条件填空. (1). x ? 3 是 x ? 5 的 (2). x ? 3 是 x2 ? 2x ? 3 ? 0 的 ( 3).两个三角形全等是两个三角形相似的

小结:证明充要条件既要证明充分性又要证明必要 性.

动手试试 练 1. 下列各题中 p 是 q 的什么条件?
(1) p : x ? 1 , q : x ? 1 ? x ? 1 ; (2) p : | x ? 2 |? 3 , q : ?1 ? x ? 5 ; (3) p : x ? 2 , q : x ? 3 ? 3 ? x ; (4) p :三角形是等边三角形, q :三角形是等腰 三角形.

练 2. 求圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 经过原点的充要条 件.

课后作业
1. 证明: a ? 2b ? 0 是直线 ax ? 2 y ? 3 ? 0 和直线 x ? by ? 2 ? 0 垂直的充要条件.

2. 求 证 : ?ABC 是 等 边 三 角 形 的 充 要 条 件 是 这里 a2 ? b2 ? c2 ? a b? a c? ,c a, b, c 是 ?ABC 的 b 三边.

三、总结提升 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的 问题是什么?

知识拓展 设 A 、 B 为 两 个 集 合 , 集 合 A? B 是 指 ,则“ x ? A ”与“ x ? B ”互为 x? A ? x? B 件.
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§ 简单的逻辑联结词 1.3
编写人:颜越西 审定人:李涛

学习目标
1. 了解“或” “且” “非”逻辑联结词的含义; 2. 掌握 p ? q, p ? q, ?p 的真假性的判断; 3. 正确理解 ?p 的意义,区别 ?p 与 p 的否命题; 4. 掌握 p ? q, p ? q, ?p 的真假性的判断,关键在于 p 与 q 的真假的判断.

反思: p ? q 的真假性的判断,关键在于 p 与 q 的 真假的判断. 探究任务二:“或“的意义 问题:下列三个命题有什么关系? (1) 27 是 7 的倍数; (2)27 是 9 的倍数; (3)27 是 7 的倍数或是 9 的倍数.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P14~ P16,找出疑惑之处) 复习 1:什么是充要条件? 新知:1.一般地,用逻辑联结词“或”把命题 p 和命 题 q 联结起来就得到一个新命题,记作 “ ” ,读作“ ”. 2.规定: p p?q q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 试试:判断下列命题的真假: (1) 47 是 7 的倍数或 49 是 7 的倍数; (2) 等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直.

复习 2: 已知 A ? {x | x 满足条件 p} , B ? {x | x 满足条 件 q} (1)如果 A ? B ,那么 p 是 q 的什么条件; (2) 如果 B ? A ,那么 p 是 q 的什么条件; (3) 如果 A ? B ,那么 p 是 q 的什么条件.

二、新课导学 学习探究 探究任务一:“且“的意义 问题:下列三个命题有什么关系? (1)12 能被 3 整除; (2)12 能被 4 整除; (3)12 能被 3 整除且能被 4 整除.

反思: p ? q 的真假性的判断,关键在于 p 与 q 的 真假的判断. 探究任务三:“非“的意义 问题:下列两个命题有什么关系? (1) 35 能被 5 整除; (2)35 不能被 5 整除;

新知:1.一般地,用逻辑联结词“且”把命题 p 和命 题 q 联结起来就得到一个新命题,记作 “ ” ,读作“ ”. 2.规定: p p?q q 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假

新知:1.一般地,对一个命题的全盘否定就得到一个 新命题,记作“ ” 读作 , “ ”或“ ”. 2.规定: p ?p 真 假 假 真

试试:写出下列命题的否定并判断他们的真假: (1)2+2=5; (2)3 是方程 x2 ? 9 ? 0 的根; (3) (?1) 2 ? ?1

试试:判断下列命题的真假: (1)12 是 48 且是 36 的约数; (2)矩形的对角线互相垂直且平分.

反思: ?p 的真假性的判断,关键在于 p 的真假的 判断.

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典型例题 例 1 将下列命题用“且”联结成新命题并判断他们 的真假: (1) p :平行四边形的对角线互相平分, q :平行 四边形的对角线相等; (2) p :菱形的对角线互相垂直, q :菱形的对角 线互相平分; (3) p :35 是 15 的倍数, q :35 是 7 的倍数

知识拓展 阅读教材第 18 页,理解逻辑联结词“且” “或” “非”与集合运算“交” “并” “补”的关系.

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. “ p 或 q 为真命题”是“ p 且 q 为真命题”的 ( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.命题 P : ?ABC 中,?C ? ?B 是 sin C ? sin B 的 在 充要条件;命题 q :a ? b 是 ac2 ? bc 2 的充分不必 要条件,则( ). A. p 真 q 假 B. p 假 q 假 C.“ p 或 q ”为假 D.“ p 且 q ”为真 3.命题: (1)平行四边形对角线相等; (2)三角形 两边的和大于或等于第三边; (3)三角形中最小 角不大于 60? ; (4)对角线相等的菱形为正方形. 其中真命题有( ). A.1 B.2 C.3 D.4 4.命题 p :0 不是自然数,命题 q : ? 是无理数, 在命题“ p 或 q ” p 且 q ” “ “非 p ” “非 q ”中假 命题是 , 真命题是 . 5. 已知 p : | x2 ? x |? 6 , q : x ? Z , p ? q, ?q 都是 假命题,则 x 的值组成的集合为

变式:用逻辑联结词“且”改写下列命题,并判断 他们的真假: (1)1 既是奇数,又是素数; (2)2 和 3 都是素数.

小结: p ? q 的真假性的判断,关键在于 p 与 q 的 真假的判断. 例 2 判断下列命题的真假 (1) 2 ? 2 ; (2) 集合 A 是 A ? B 的子集或是 A ? B 的子集; (3) 周长相等的两个三角形全等或面积相等的两 个三角形全等.

变式:如果 p ? q 为真命题,那么 p ? q 一定是真命 题吗?反之, p ? q 为真命题,那么 p ? q 一 定是真命题吗?

课后作业
1. 写出下列命题,并判断他们的真假: (1) p ? q ,这里 p : 4 ?{2,3} , q : 2 ?{2,3} ; (2) p ? q ,这里 p : 4 ?{2,3} , q : 2 ?{2,3} ; (3) p ? q ,这里 p :2 是偶数, q :3 不是素数; (4) p ? q ,这里 p :2 是偶数, q :3 不是素数.

小结: p ? q 的真假性的判断,关键在于 p 与 q 的 真假的判断. 例 3 写出下列命题的否定,并判断他们的真假: (1) p : y ? sin x 是周期函数; (2) p : 3 ? 2 (3)空集是集合 A 的子集.

2.判断下列命题的真假: (1) 5 ? 2 且 7 ? 3 (2) 7 ? 8 (3) 3 ? 4 或 3 ? 4 小结: ?p 的真假性的判断,关键在于 p 的真假的 判断. 三、总结提升

学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的 问题是什么?

§ 1.4.1-1.4.2 全称量词与存在量词
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高二上期数学◆选修 2-1◆导学案

编写人:蒲湘云

审定人:盛军

学习目标
1. 掌握全称量词与存在量词的的意义; 2. 掌握含有量词的命题: 全称命题和特称命题真假 的判断.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P21~ P23,找出疑惑之处) 复习 1:写出下列命题的否定,并判断他们的真假: (1) 2 是有理数; (2)5 不是 15 的约数 (3) 8 ? 7 ? 15 (4)空集是任何集合的真子集

“ ”表示,含有 的命题,叫做全称命题.其基本形式为: ?x ? M , p( x) ,读作: 2. 短语“ ” “ ” 在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号 “ ”表示,含有 的 命题,叫做特称称命题. 其基本形式 ?x0 ? M , p( x0 ) ,读作: 试试: 判断下列命题是不是全称命题或者存在命题, 如果是,用量词符号表示出来. (1)中国所有的江河都流入大海; (2)0 不能作为除数; (3)任何一个实数除以 1,仍等于这个实数; (4)每一个非零向量都有方向.

复习 2:判断下列命题的真假,并说明理由: (1) p ? q ,这里 p :? 是无理数, q :? 是实数; (2) p ? q ,这里 p :? 是无理数, q :? 是实数; (3) p ? q ,这里 p : 2 ? 3 , q : 8 ? 7 ? 15 ; (4) p ? q ,这里 p : 2 ? 3 , q : 8 ? 7 ? 15 . 反思: 注意哪些词是量词是解决本题的关键,还应注 意全称命题和存在命题的结构形式.

典型例题 例 1 判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数都是奇数; (2) ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ; (3)对每一个无理数 x , x 2 也是无理数. 二、新课导学 学习探究 探究任务一:全称量词的意义 问题:1.下列语名是命题吗?(1)与(3)(2)与 , (4)之间有什么关系? (1) x ? 3 ; (2) 2 x ? 1 是整数; (3)对所有的 x ? R, x ? 3 ; (4)对任意一个 x ? Z , 2 x ? 1 是整数.

变式:判断下列命题的真假: (1) ?x ? (5,8), f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 2 ? 0 (2) ?x ? (3, ??), f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 2 ? 0

2. 下列语名是命题吗?(1)与(3)(2)与(4) , 之间有什么关系? 小结:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定 (1) 2x ? 1 ? 3 ; 集合 M 中每一个元素 x 验证 p ( x) 成立; 但要判定全 (2) x 能被 2 和 3 整除; 称命题是假命题,却只要能举出集合 M 中的一个 (3)存在一个 x0 ? R ,使 2 x0 ? 1 ? 3 ; x ? x0 ,使得 p( x0 ) 不成立即可. (4)至少有一个 x0 ? Z , x0 能被 2 和 3 整除. 例 2 判断下列特称命题的真假: 新知:1.短语“ ” “ ” (1) 有一个实数 x0 ,使 x0 2 ? 2 x0 ? 3 ? 0 ; 在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号
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(2) 存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3) 有些整数只有两个正因数.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

变式:判断下列命题的真假: (1) ?a ? Z , a2 ? 3a ? 2 (2) ?a ? 3, a2 ? 3a ? 2

小结:要判定特称命题“ ?x0 ? M , p( x0 ) ” 是真命 题只要在集合 M 中找一个元素 x0 ,使 p( x0 ) 成立即可;如果集合 M 中,使 P( x) 成立的 元素 x 不存在,那么这个特称命题是假命题.

动手试试 练 1. 判断下列全称命题的真假: (1)每个指数都是单调函数; (2)任何实数都有算术平方根; (3) ?x ?{x | x 是无理数}, x 2 是无理数.

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列命题为特称命题的是( ). A.偶函数的图像关于 y 轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线都是平行线 D.存在实数大于等于 3 2.下列特称命题中真命题的个数是( ). (1) ?x ? R, x ? 0 ;(2)至少有一个整数它既不是合 数也不是素数; (3) ?x ?{x | x 是无理数}, x 2 是 无理数. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个 3.下列命题中假命题的个数( ). 2 (1) ?x ? R, x ? 1 ? 1 ; (2) ?x ? R,2x ? 1 ? 3 ; (3) ?x ? Z , x 能被 2 和 3 整除; (4) ?x ? R, x2 ? 2x ? 3 ? 0 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个 4.下列命题中 (1)有的质数是偶数; (2)与同一个平面所成的 角相等的两条直线平行; (3)有的三角形三个内角 成等差数列; (4)与圆只有一个公共点的直线是圆 的切线,其中全称命题是 特称命题是 . 5. 用符号“ ? ”与“ ? ”表示下列含有量词的命题. (1)实数的平方大于等于 0: (2)存在一对实数使 2x ? 3 y ? 3 ? 0 成立:

课后作业
练 2. 判定下列特称命题的真假: (1) ?x0 ? R, x0 ? 0 ; (2)至少有一个整数,它既不是合数,也不是素 数; (3) ?x0 ?{x | x 是无理数}, x0 2 是无理数. 1. 判断下列全称命题的真假: (1)末位是 0 的整数可以被子 5 整除; (2)线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点 距离相等; (3)负数的平方是正数; (4)梯形的对角线相等.

三、总结提升 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的 问题是什么?
2. 判断下列全称命题的真假: (1)有些实数是无限不循环小数; (2)有些三角形不是等腰三角形; (3)有的菱形是正方形.

知识拓展 数理逻辑又称符号逻辑,是用数学的方法研究 推理过程的一门学问. 德国启蒙思想家 莱布尼茨 (1646—1716)是数理逻辑的创始人。

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为(
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§ 1.4.3 含一个量词的命题的否定
). 编写人:龙定洪 审定人:蒲湘云

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学习目标
1. 掌握对含有一个量词的命题进行否定的方法, 要 正确掌握量词否定的各种形式; 2. 明确全称命题的否定是存在命题, 存在命题的否 定是全称命题.

它的否定 ?p : ?x ? M , p( x) . 试试:1.写出下列命题的否定: (1) ?n ? Z , n ? Q ; (2)任意素数都是奇数; (3)每个指数函数都是奇数.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P24~ P25,找出疑惑之处) 复习 1:判断下列命题是否为全称命题: (1)有一个实数 ? , tan ? 无意义; (2)任何一条直线都有斜率;

2. 写出下列命题的否定: (1) 有些三角形是直角三角形; (2)有些梯形是等腰梯形; (3)存在一个实数,它的绝对值不是正数.

复习 2:判断以下命题的真假: 1 (1) ?x ? R, x2 ? x ? ? 0 4 (2) ?x ? Q, x 2 ? 3

反思:全称命题的否定变成特称命题.

典型例题 例 1 写出下列全称命题的否定: (1) p :所有能被 3 整除的数都是奇数; (2) p :每一个平行四边形的四个顶点共圆; 二、新课导学 学习探究 探究任务一:含有一个量词的命题的否定 问题:1.写出下列命题的否定: (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3) ?x ? R, x2 ? 2 x ? 1 ? 0 . 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化? 2.写出下列命题的否定: (1)有些实数的绝对值是正数; (2)某些平行四边形是菱形; (3) ?x0 ? R, x02 ? 1 ? 0 . 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?
(3) p :对任意 x ? Z , x 2 的个位数字不等于 3.

变式:写出下列全称命题的否定,并判断真假. 1 (1) p : ?x ? R, x2 ? x ? ? 0 4 (2) p :所有的正方形都是矩形.

新知:1.一般地,对于一个含有一个量词的全称命 题的否定有下面的结论: 全称命题 p : ?x ? p, p( x) , 它的否定 ?p : ?x0 ? M , ?p( x0 ) 2. 一般地, 对于一个含有一个量词的特称命题的否 定有下面的结论: 特称命题 p : ?x0 ? M , p( x0 ) ,
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例 2 写出下列特称命题的否定: (1) p : ?x0 ? R, x02 ? 2 x0 ? 2 ? 0 ; (2) p :有的三角形是等边三角形; (3) p :有一个素数含有三个正因数.

变式:写出下列特称命题的否定,并判断真假. (1) p : ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 ;

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(2) p :至少有一个实数 x ,使 x3 ? 1 ? 0 .

自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 命题“原函数与反函数的图象关于 y ? x 对称” 的否定是( ). A. 原函数与反函数的图象关于 y ? ?x 对称 B. 原函数不与反函数的图象关于 y ? x 对称 C.存在一个原函数与反函数的图象不关于 y ? x 对称 D. 存在原函数与反函数的图象关于 y ? x 对称 2.对下列命题的否定说法错误的是( ). A. p :能被 3 整除的数是奇数; ?p :存在一个 能被 3 整除的数不是奇数 B. p :每个四边形的四个顶点共圆; ?p :存在 一个四边形的四个顶点不共圆 C. p :有的三角形为正三角形; ?p :所有的三 角形不都是正三角形 D. p : ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 ;

小结:全称命题的否定变成特称命题.

动手试试 练 1. 写出下列命题的否定: (1) ?x ? N , x3 ? x2 ; (2) 所有可以被 5 整除的整数,末位数字都是 0; (3) ?x0 ? R, x02 ? x0 ? 1 ? 0 ; (4) 存在一个四边形,它的对角线是否垂直.

?p : ?x ? R, x2 ? 2 x ? 2 ? 0 练 2. 判断下列命题的真假,写出下列命题的否定: 3.命题“对任意的 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定是 (1)每条直线在 y 轴上都有截矩; ( ). (2)每个二次函数都与 x 轴相交; A. 不存在 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 (3)存在一个三角形,它的内角和小于 180? ; (4)存在一个四边形没有外接圆. B. 存在 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0
C. 存在 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 D. 对任意的 x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 4. 平行四边形对边相等的否定是 5. 命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是 .

课后作业
三、总结提升 学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的 问题是什么?
1. 写出下列命题的否定: (1)若 2x ? 4 ,则 x ? 2 ; (2)若 m ? 0, 则 x2 ? x ? m ? 0 有实数根; (3)可以被 5 整除的整数,末位是 0; (4)被 8 整除的数能被 4 整除; (5)若一个四边形是正方形,则它的四条边相等.

2. 把下列命题写成含有量词的命题: (1)余弦定理; (2)正弦定理.

知识拓展 英国数学家布尔(G.BOOL)建立了布尔代数,并 创造了一套符号系统,利用符号来表示逻辑中的各 种概念.他不建立了一系列的运算法则,利用代数的 方法研究逻辑问题,初步奠定了数理逻辑的基础.

学习评价 第一章 常用逻辑用语(复习)
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编写人:龙定洪

审定人:盛军

学习目标
1. 命题及其关系 (1)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题,会 分析四种命题间的相互关系; (2)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 2. 简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或” “且” “非”的含义. 3. 全称量词与存在量词 (1) 理解全称量词与存在量词的意义; (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 5.否命题与命题的否定有什么不同?

6.什么是全称量词和存在量词?

学习过程
一、课前准备 复习 1: 7.怎样否定含有一个量词的命题?

二、新课导学 典型例题
例 1 命题“若 x 2 ? 1 ,则 ?1 ? x ? 1 ”的逆否命题是 ( ) 2 A.若 x ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1 B.若 ?1 ? x ? 1 ,则 x 2 ? 1 C.若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1 D.若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1 变式:命题“若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 1 ”的逆否 命题是 . 2.有哪四种命题?他们之间的关系是怎样的? 小结:弄清四种命题之间的关系是解决此类问题的 关键. 例 2 下列各小题中,p 是 q 的充要条件的是 (
2

复习 2: 1.什么是命题?其常见的形式是什么?什么是真命题? 什么是假命题?

) .

3.什么是充分条件、必要条件和充要条件?

(1)p :m ? ?2 或 m ? 6 ;q :y ? x ? mx ? m ? 3 有两个不同的零点 f (? x) (2) p : ? 1 ; q : y ? f ( x) 是偶函数 f ( x) (3) p : cos ? ? cos ? ; q : tan ? ? tan ? (4) p : A ? B ? A ; q : c 痧B ? U A U A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4) 变 式 : 设 命 题 p : | 4 x ? 3|? 1 , 命 题 q :

4 你学过哪些逻辑联结词?四逻辑联结词联结而成 的命题的真假性怎样?

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x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 ,若 ?p 是 ?q 的必要不 充分条件,求实数 a 的取值范围.

自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 下列语句不是命题的有( ). ① x2 ? 3 ? 0 ;②与一条直线相交的两直线平行 吗?③ 3 ? 1 ? 5 ;④ 5x ? 3 ? 6 A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 2. 给出命题:p: 3 ? 1 ,q: 4 ?{2,3} ,则在下列三 个复合命题: 且 q” “p 或 q” “非 p”中, “p 真命题 的个数为( A.0 B.3 ). C.2 D.1 ) .

小结:处理充分、必要条件的问题首先要分清条件 和结论,有时利用逆否命题与原命题等价的性对解 题很有帮助. 例 3 给出下列命题: p :关于 x 的不等式 x2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0 的解集是

3. 若 a、b、c 是常数,则“ a ? 0且b2 ? 4ac ? 0 ”是 “对任意 x ? R , a 2 ?x ? ? 0 ” ( 有 x b c 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

R , q :函数 y ? lg(2a 2 ? a) x 是增函数. (1) 若 p ? q 为真命题,求 a 的取值范围. (2) 若 p ? q 为真命题,求 a 的取值范围.

C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 4. 已知 a,b 是两个命题,如果 a 是 b 的充分条件, 那么 ? a 是 ? b 的 条件. 5. “ tan ? ? tan ? ”的 条件 是 “? ? ? ”

课后作业
1. 写出命题“若 x2 ? 7 x ? 8 ? 0 ,则 x ? ?8 或 x ? 1 ”

动手试试
练 1. 如果命题“p 且 q”与命题“p 或 q”都是假 命题,那么 ( ) A.命题“非 p”与命题“非 q”的真值不同 B.命题 p 与命题“非 q”的真值相同 C.命题 q 与命题“非 p”的真值相同 D.命题“非 p 且非 q”是真命题 练 2. 若命题 p 的逆命题是 q, 命题 p 的否命题是 r, 则q是r的 ( A.逆命题 C.逆否命题 三、总结提升 ) B.否命题 D.以上结论都不正确

的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断它 们的真假。

2. 写出下列命题的否定: (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)有些实数的绝对值是正数.

学习小结 这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的 问题是什么? 知识拓展
已知函数 f ( x) ? 4 x2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p 2 ? p ? 1 在 区间 [?1,1] 的所有的 x ,都有 f ( x ) ? 0 恒成立,求 p 的取值范围.

学习评价
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第二章 圆锥曲线与方程

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§ 2.1.1 曲线与方程(1)
编写人:盛军 审定人:张春燕

1. P( a 在曲线 x2 ? 2 xy ? 5 y ? 0 上, a=___ . 点 ,1 则 ) 2.曲线 . b=
x2 ? 2 xy ? by ? 0 上 有 点 Q( 1 , 2 , 则 )

学习目标
1.理解曲线的方程、方程的曲线; 2.求曲线的方程.

学习过程
一、课前准备 (预习教材理 P34~ P36,找出疑惑之处) 复习 1:画出函数 y ? 2 x2 (?1 ? x ? 2) 的图象.

新知:根据已知条件,求出表示曲线的方程.

典型例题 例 1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数 k (k ? 0) 的点的轨迹方程式是 xy ? ?k .

复习 2:画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的 平分线,并写出其方程. 变式:到 x 轴距离等于 5 的点所组成的曲线的方程 是 y ? 5 ? 0 吗?

二、新课导学 学习探究 探究任务一: 到两坐标轴距离相等的点的集合是什么?写 出它的方程.
问题:能否写成 y ? x ,为什么?

例 2 设 A, B 两点的坐标分别是 (?1, ?1) , (3,7) ,求 线段 AB 的垂直平分线的方程.

新知:曲线与方程的关系:一般地,在坐标平面内 的一条曲线 C 与一个二元方程 F ( x, y) ? 0 之间, 如果具有以下两个关系: 1. 曲线 C 上的点的坐标, 都是 的解; 2.以方程 F ( x, y) ? 0 的解为坐标的点,都是 的点, 变 式:已 知等 腰三角 形三 个顶点 的坐 标分别 是 那么,方程 F ( x, y) ? 0 叫做这条曲线 C 的方程; A(0,3) , B(?2,0) , C (2,0) .中线 AO ( O 为原点) 曲线 C 叫做这个方程 F ( x, y) ? 0 的曲线. 所在直线的方程是 x ? 0 吗?为什么? 注意:1? 如果??,那么??; 2? “点”与“解”的两个关系,缺一不可; 3? 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念, 相对不同角度的两种说法; 4? 曲线与方程的这种对应关系, 是通过坐标 平面建立的. 试试:
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反思: BC 边的中线的方程是 x ? 0 吗? 小结:求曲线的方程的步骤:

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①建立适当的坐标系,用 M ( x, y) 表示曲线上的任 意一点的坐标; ②写出适合条件 P 的点 M 的集合 P ? {M | p(M )} ; ③用坐标表示条件 P ,列出方程 f ( x, y) ? 0 ; ④将方程 f ( x, y) ? 0 化为最简形式; ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线 上. 动手试试 练 1.下列方程的曲线分别是什么? x2 x?2 (1) y ? (2) y ? 2 (3) y ? a loga x x x ? 2x

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 与曲线 y ? x 相同的曲线方程是( ) .
A. y ?
x2 x

B. y ? x 2

C. y ? 3 x 3 D. y ? 2log2 x 2.直角坐标系中,已知两点 A(3,1) , B(?1,3) ,若 ???? ??? ? ??? ? 点 C 满足 OC = ? OA + ? OB ,其中 ? , ? ? R , ? + ? = 1 , 则点 C 的轨迹为 ( ) . A.射线 B.直线 C. 圆 D. 线段 3. A(1,0) , B(0,1) ,线段 AB 的方程是( ) . A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 (0 ? x ? 1) C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0 (0 ? x ? 1) 5 4. 已知方程 ax 2 ? by 2 ? 2 的曲线经过点 A(0, ) 和点 3 ,b = . B(1,1) ,则 a = 5 . 已 知 两 定 点 A(?1,0) , B(2,0) , 动 点 p 满 足 PA 1 . ? ,则点 p 的轨迹方程是 PB 2

课后作业
练 2.离原点距离为 2 的点的轨迹是什么?它的方 程是什么?为什么? 1. 点 A(1, ?2) , B(2, ?3) , C(3,10) 是否在方程
x 2 ? xy ? 2 y ? 1 ? 0 表示的曲线上?为什么?

三、总结提升

学习小结 1.曲线的方程、方程的曲线;
2.求曲线的方程的步骤: ①建系,设点; ②写出点的集合; ③列出方程; ④化简方程; ⑤验证.

2 求和点 O(0,0) , A(c,0) 距离的平方差为常数 c 的 点的轨迹方程.

知识拓展
求轨迹方程的常用方法有:直接法,定义法,待定 系数法,参数法,相关点法(代入法) ,交轨法等.

§ 2.1.2 曲线与方程(2)
编写人:盛军 审定人:张春燕

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
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学习目标
1. 求曲线的方程; 2. 通过曲线的方程,研究曲线的性质.

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学习过程
一、课前准备 (预习教材理 P36~ P37,找出疑惑之处) 复习 1:已知曲线 C 的方程为 y ? 2 x2 ,曲线 C 上 有点 A(1, 2), A 的坐标是不是 y ? 2 x2 的解?点 . (0.5,t )在曲线 C 上,则 t =___

复习 2: 曲线 (包括 直线 )与其 所对 应的方 程 f ( x, y) ? 0 之间有哪些关系?

变式:现有一曲线在 x 轴的下方,曲线上的每一点 到 x 轴的距离减去这点到点 A(0, 2) ,的距离的差是 2 ,求曲线的方程.

二、新课导学 学习探究 引入: 圆心 C 的坐标为 (6,0) , 半径为 r ? 4 , 求此圆 的方程.
小结:点 P(a, b) 到 x 轴的距离是 点 P(a, b) 到 y 轴的距离是 点 P(1, b) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是 问题:此圆有一半埋在地下,求其在地表面的部分 的方程. 例 2 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F ,点 F 到 l 的距离是 2 ,一条曲线也在 l 的上方,它上面的每 一点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2 ,建立 适当的坐标系,求这条曲线的方程. 探究:若 AB ? 4 ,如何建立坐标系求 AB 的垂直平 分线的方程. ; ; .

典型例题 例 1 有一曲线,曲线上的每一点到 x 轴的距离等于 这点到 A(0,3) 的距离的 2 倍,试求曲线的方程.

动手试试 练 1. 有一曲线,曲线上的每一点到 x 轴的距离等于 这点到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离的 2 倍,试求曲线的 方程.

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高二上期数学◆选修 2-1◆导学案

5 7 过点 A(0,? 3), B(0, 4) , C (4,0) , D( , ? ) 中的 3 4 ( ). A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 2.已知 A(1,0) , B(?1,0) ,动点满足
MA ? MB ? 2 ,则点 M 的轨迹方程是(

).

A. y ? 0(?1 ? x ? 1) C. y ? 0( x ? ?1)

B. y ? 0( x ? 1) D. y ? 0( x ? 1)

3. 曲线 y ? ? 1 ? x 2 与曲线 y ? x ? 0 的交点个数一 定是( ) . A. 0 个 B. 2 个 C.4 个 D.3 个 ? ? 4.若定点 A(1, 2) 与动点 P( x, y) 满足 OP ? OA ? 4 ,则 点 P 的轨迹方程是 . 5.由方程 x ? 1 ? y ? 1 ? 1 确定的曲线所围成的图 形的面积是 .

练 2. 曲线上的任意一点到 A(?3,0) , B(3,0) 两点距 离的平方和为常数 26 ,求曲线的方程.

课后作业
1.以 O 为圆心, 2 为半径,上半圆弧的方程是什 么?在第二象限的圆弧的方程是什么?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 求曲线的方程; 2. 通过曲线的方程,研究曲线的性质. 知识拓展 圆锥曲线的统一定义: 到定点的距离与到定直线的距离之比为常数 e 的点的轨迹是圆锥曲线. 0 ? e ? 1 :椭圆; e ? 1 : 抛物线; e ? 1 : 双曲线.

2. 已知点 C 的坐标是 (2, 2) , 过点 C 的直线 CA 与 x 轴交于点 A , 过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 轴交于点 B . 设点 M 是线段 AB 的中点, 求点 M y 的轨迹方程.

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.方程 (3x ? 4 y ? 12) ?log2 ( x ? 2 y) ? 3? ? 0 的曲线经
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§ 2.2.1 椭圆及其标准方程(1)
编写人:张春燕 审定人:颜越西

学习目标
1.从具体情境中抽象出椭圆的模型; 2.掌握椭圆的定义; 3.掌握椭圆的标准方程.

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则椭圆的标准方程是



学习过程
一、课前准备 (预习教材理 P38~ P40,文 P32~ P34 找出疑惑之处) 复习 1:过两点 (0,1) , (2,0) 的直线方程 . 复习 2:方程 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 表示以 心, 为半径的 . 为圆

典型例题 例 1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴ a ? 4, b ? 1 ,焦点在 x 轴上;
⑵ a ? 4, c ? 15 ,焦点在 y 轴上; ⑶ a ? b ? 10, c ? 2 5 .

二、新课导学 学习探究 取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一个点处,套上 铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖画出的轨迹 是一个 . 如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在 图板的两个点处,套上铅笔,拉紧绳子, 移动笔尖, P 画出的轨迹是什么曲线?
思考:移动的笔尖(动点) 满足的几何条件是什么?
F1 F2

经过观察后思考:在移动笔尖的过程中,细绳 的 保持不变,即笔尖 等 于常数. 新知1: 我们把平面内与两个定点 F1 , F2 的距离

x2 y ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆, 4 m 则实数 m 的范围 .

变式:方程

之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫做椭圆, 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做 椭圆的焦距 . 反思:若将常数记为 2a ,为什么 2a ? F1 F2 ? 当 2a ? F1 F2 时,其轨迹为 当 2a ? F1 F2 时,其轨迹为 ; . 小结:椭圆标准方程中: a2 ? b2 ? c2 ; a ? b . 例 2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ?2,0 ? ,

?5 3? (2,0) ,并且经过点 ? , ? ? ,求它的标准方程 . ?2 2?

试试: 已知 F1 (?4, 0) , F2 (4,0) ,到 F1 , F2 两点的距 离之和等于 8 的点的轨迹是 .

小结:应用椭圆的定义注意两点: ①分清动点和定点; ②看是否满足常数 2a ? F1 F2 . 新知2:焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程 x2 y 2 其中 b2 ? a2 ? c2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b 若焦点在 y 轴上,两个焦点坐标 , 变式:椭圆过点 准方程.

? ?2,0 ? , (2,0) , (0,3) ,求它的标

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小结:由椭圆的定义出发,得椭圆标准方程 .

动手试试
x2 ? y2 ? 1 3 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个 焦点在 BC 边上,则 ?ABC 的周长是( ) .

数 2a ,则点 M 的轨迹为( ) . A.椭圆 B.圆 C.无轨迹 D.椭圆或线段或无轨迹 2 2 2.如果方程 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 那么实数 k 的取值范围是( ) . A. (0, ??) B. (0, 2) C. (1, ??) D. (0,1)
x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离 100 36 等于 6,那么点 P 到另一个焦点 F2 的距离是( ) . A.4 B.14 C.12 D.8 4.椭圆两焦点间的距离为 16 ,且椭圆上某一点到 两焦点的距离分别等于 9 和 15 ,则椭圆的标准方程 是 . 5.如果点 M ( x, y) 在运动过程中,总满足关系式

练 1. 已知 ?ABC 的顶点 B 、 C 在椭圆

3.如果椭圆

A. 2 3

B.6

C. 4 3

D.12

x 2 ? ( y ? 3)2 ? x 2 ? ( y ? 3)2 ? 10 , 点 M 的 轨 迹


x2 y ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 9 m 求实数 m 的范围.

,它的方程是



练 2 .方程

课后作业
1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴焦点在 x 轴上,焦距等于 4 ,并且经过点
P 3, ?2 6 ;

?

?

⑵焦点坐标分别为 ? 0, ?4 ? , ? 0, 4 ? , a ? 5 ; ⑶ a ? c ? 10, a ? c ? 4 .

三、总结提升 学习小结 1. 椭圆的定义: 2. 椭圆的标准方程:
彗星 太阳
x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 2 ,求 n 的值. 4 n

知识拓展 1997 年初, 中国科学院紫金山天文台发布了一 条消息,从 1997 年 2 月中旬起,海尔· 波普彗星将逐 渐接近地球, 4 月以后,又将渐渐离去,并预测 3000 过 年后,它还将光临地球上空 1997 年 2 月至 3 月间, 许多人目睹了这一天文现象 天文学家是如何计算 出彗星出现的准确时间呢?原来, 海尔· 波普彗星运 行的轨道是一个椭圆,通过观察它运行中的一些有 关数据,可以推算出它的运行轨道的方程,从而算 出它运行周期及轨道的的周长.
王新敞
奎屯 新疆

2. 椭圆

王新敞
奎屯

新疆

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.平面内一动点 M 到两定点 F1 、 F2 距离之和为常
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§ 2.2.1 椭圆及其标准方程(2)
编写人:张春燕 审定人:颜越西

学习目标
1.掌握点的轨迹的求法; 2.进一步掌握椭圆的定义及标准方程.

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高二上期数学◆选修 2-1◆导学案

学习过程
一、课前准备 (预习教材理 P41~ P42,文 P34~ P36 找出疑惑之处) x2 y 2 复习 1:椭圆上 ? ? 1 一点 P 到椭圆的左焦点 25 9 F1 的距离为 3 ,则 P 到椭圆右焦点 F2 的距离 是 .

小结:椭圆与圆的关系:圆上每一点的横(纵)坐 标不变,而纵(横)坐标伸长或缩短就可得到椭圆. 例 2 设点 A, B 的坐标分别为 ? ?5,0 ? , ? 5,0 ? ,.直线
4 AM , BM 相交于点 M ,且它们的斜率之积是 ? , 9 求点 M 的轨迹方程 .

复习 2:在椭圆的标准方程中, a ? 6 , b ? 35 ,则椭 圆的标准方程是 .

二、新课导学 学习探究
问题:圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 的圆心和半径分别是什 么?

问题:圆上的所有点到 于 (半径) ;

(圆心)的距离都等

变式: A, B 的坐标是 ? ?1,0 ? , ?1,0 ? , 点 直线 AM , BM 相交于点 M , 且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率 的商是 2 ,点 M 的轨迹是什么?



反之,到点 (?3,0) 的距离等于 2 的所有点都在 上.

典型例题
例 1 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴 的垂线段 PD , D 为垂足.当点 P 在圆上运动时,线 段 PD 的中点 M 的轨迹是什么?

DM 3 变式: 若点 M 在 DP 的延长线上,且 ? , DP 2 则点 M 的轨迹又是什么?

动手试试 练 1. 求到定点 A ? 2,0 ? 与到定直线 x ? 8 的距离之比

2 的动点的轨迹方程. 2

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练 2.一动圆与圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 外切,同时与 圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 91 ? 0 内切,求动圆圆心的轨迹方 程式,并说明它是什么曲线.

C.第三象限 D.第四象限 2. ?ABC 的个顶点坐标 A(?4,0) 、B(4,0) , ABC 若 ? 的周长为 18 ,则顶点 C 的轨迹方程为( ) . 2 2 2 2 x y y x A. B. ? ?1 ? ? 1 ( y ? 0) 25 9 25 9 x2 y 2 x2 y 2 C. ? ? 1 ( y ? 0) D. ? ? 1 ( y ? 0) 16 9 25 9 3.设定点 F1 (0, ?2) , F2 (0, 2) ,动点 P 满足条件 4 PF1 ? PF2 ? m ? (m ? 0) , 则 点 P 的 轨 迹 是 m ( ) . A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段 4. y 轴相切且和半圆 x2 ? y 2 ? 4(0 ? x ? 2) 内切的 与 动圆圆心的轨迹方程是 . 5. 设 F1 , F2 为 定 点 , | F1 F2 |= 6 , 动 点 M 满 足
| MF1 | ? | MF2 |? 6 ,则动点 M 的轨迹是



课后作业
三、总结提升 学习小结 1. ①注意求哪个点的轨迹,设哪个点的坐标,然后 找出含有点相关等式;
②相关点法:寻求点 M 的坐标 x, y 与中间 x0 , y0 的 关系,然后消去 x0 , y0 ,得到点 M 的轨迹方程. 1.已知三角形 ? ABC 的一边长为 6 ,周长为 16 , 求顶点 A 的轨迹方程.

知识拓展 椭圆的第二定义: 到定点 F 与到定直线 l 的距离的比是常数 e (0 ? e ? 1) 的点的轨迹. 定点 F 是椭圆的焦点; 定直线 l 是椭圆的准线; 常数 e 是椭圆的离心率.

2. M 与定点 F (0, 2) 的距离和它到定直线 y ? 8 的 点 距离的比是 1: 2 ,求点的轨迹方程式,并说明轨迹 是什么图形.

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 若关于 x, y 的方程 x sin ? ? y cos ? ? 1 所表示的 曲线是椭圆,则 ? 在( ) . A.第一象限 B.第二象限
2 2

§ 2.2.2 椭圆及其简单几何性质(1)
编写人:张春燕 审定人:颜越西

学习目标
1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确 地画出它的图形; 2.根据几何条件求出曲线方程,并利用曲线的方 程研究它的性质,画图.

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对称性: 椭圆关于

轴、 ) , (

轴和 ) , (

都对称; ) ; ;

学习过程
一、课前准备 (预习教材理 P43~ P46,文 P37~ P40 找出疑惑之处) x2 y 2 复习 1: 椭圆 ? ? 1 上一点 P 到左焦点的距离 16 12 是 2 ,那么它到右焦点的距离是 . 顶点: ( ) , ( 长轴, 其长为 离心率: e ?
c = a

;短轴,其长为 .

反思:

b c 或 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗? a b

x2 y 2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 典型例题 5 m 例 1 求椭圆 16 x2 ? 25 y 2 ? 400 的长轴和短轴的长、 则 m 的取值范围是 . 离心率、焦点和顶点的坐标.

复习 2: 方程

二、新课导学 学习探究
问题 1:椭圆的标准方程 有哪些几何性质呢? 图形:
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,它 a 2 b2

范围: x : 对称性: 椭圆关于 顶点: ( ) , ( 轴、

y:
轴和 ) , ( 都对称; ) ; ;

变式:若椭圆是 9 x 2 ? y 2 ? 81 呢?

) , (

长轴, 其长为 离心率:刻画椭圆

;短轴,其长为

程度. c 椭圆的焦距与长轴长的比 称为离心率, a c 记 e ? ,且 0 ? e ? 1 . a

试试:椭圆 图形:

y 2 x2 ? ? 1 的几何性质呢? 16 9

小结:①先化为标准方程,找出 a, b ,求出 c ; ②注意焦点所在坐标轴. 例 2 点 M ( x, y) 与定点 F (4, 0) 的距离和它到直线 25 4 的距离的比是常数 ,求点 M 的轨迹. l:x? 4 5

范围: x :

y:

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高二上期数学◆选修 2-1◆导学案

是( A. 3

) . B. 或 3

小结:到定点的距离与到定直线的距离的比为常数 (小于 1)的点的轨迹是椭圆 .

动手试试 练 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程: 1 ⑴焦点在 x 轴上, a ? 6 , e ? ; 3 3 ⑵焦点在 y 轴上, c ? 3 , e ? ; 5 ⑶经过点 P(?3,0) , Q(0, ?2) ; 3 ⑷长轴长等到于 20 ,离心率等于 . 5

5 15 25 C. 15 D. 15 或 3 3 2. 若椭圆经过原点, 且焦点分别为 F1 (1,0) , 2 (3,0) , F 则其离心率为( ) . 3 2 1 1 A. B. C. D. 4 3 2 4 2 3.短轴长为 5 ,离心率 e ? 的椭圆两焦点为 3 过 则 F1 , F2 , F1 作直线交椭圆于 A, B 两点, ?ABF2 的 周长为( ) . A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 x2 y 2 4. 已知点 P 是椭圆 ? 且以点 P ? 1 上的一点, 5 4 及焦点 F1 , F2 为顶点的三角形的面积等于 1 , 则点 P 的坐标是 . 5.某椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18 ,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方 程是 .

课后作业
1.比较下列每组椭圆的形状,哪一个更圆,哪一 个更扁? x2 y 2 ⑴ 9 x 2 ? y 2 ? 36 与 ? ?1 ; 16 12 x2 y 2 ⑵ x 2 ? 9 y 2 ? 36 与 ? ?1 . 6 10

三、总结提升

2.求适合下列条件的椭圆的标准方程: 学习小结 ⑴经过点 P(?2 2,0) , Q (0, 5) ; 1 .椭圆的几何性质: ⑵长轴长是短轴长的 3 倍,且经过点 P(3,0) ; 图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率; ⑶焦距是 8 ,离心率等于 0.8 . 2 .理解椭圆的离心率.

知识拓展 (数学与生活)已知水平地面上有一篮球,在斜平 行光线的照射下,其阴影为一椭圆,且篮球与地面 的接触点是椭圆的焦点.

§ 2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)
编写人:张春燕 审定人:颜越西

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1.若椭圆
x2 y 2 10 ,则 m 的值 ? ? 1 的离心率 e ? 5 5 m

学习目标
1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质; 2.椭圆与直线的关系.

学习过程
一、课前准备

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高二上期数学◆选修 2-1◆导学案

(预习教材理 P46~ P48,文 P40~ P41 找出疑惑之处) x2 y 2 复习 1: 椭圆 ? ?1 的 16 12 焦点坐标是( ) ( ) ; 长轴长 离心率 、短轴长 . ;

变式:若图形的开口向上,则方程是什么? 复习 2:直线与圆的位置关系有哪几种?如何判 定?

二、新课导学 学习探究 问题 1:想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢?
问题 2:椭圆与直线有几种位置关系?又是如何确 定?

小结:①先化为标准方程,找出 a, b ,求出 c ; ②注意焦点所在坐标轴.
x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : 25 9 椭圆上是否存在一点, 它到直线 l 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 。 的距离最小?最小距离是多少?

例 2 已知椭圆

反思:点与椭圆的位置如何判定?

典型例题 例 1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面 (椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部 分. 过对称轴的截口 BAC 是椭圆的一部分, 灯丝位 于椭圆的一个焦点 F1 上,片门位于另一个焦点 F2 上,由椭圆一个焦点 F1 发出的光线,经过旋转椭圆 面反射后集中到另一个焦点 F2 ,已知 BC ? F1F2 , F1 B ? 2.8cm , F1 F2 ? 4.5cm ,试建立适当的坐标 系,求截口 BAC 所在椭圆的方程.

变式:最大距离是多少?

动手试试 练 1 已知地球运行的轨道是长半轴长 a ? 1.50 ? 108 km ,离心率 e ? 0.0192 的椭圆,且太 阳在这个椭圆的一个焦点上,求地球到太阳的最大 和最小距离.

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x2 ? y 2 ? 1 的左焦点 F1 作倾斜角为 2 直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点, AB 求 60? 的直线 l , 的长.

练 2.经过椭圆

长轴的垂线交椭圆于点 P ,若△F1PF2 为等腰直角 三角形,则椭圆的离心率是( ) . 2 2 ?1 A. B. C. 2 ? 2 D. 2 ? 1 2 2 x2 y 2 3. 已知椭圆 ? 右焦点分别为 F1 , F2 , ? 1 的左、 16 9 点 P 在椭圆上,若 P、F1、F2 是一个直角三角形的 三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( ) . 9 7 9 9 A. B. 3 C. D. 7 4 5 4.椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比 数列,则其离心率为 . 2 2 x y 5. 椭圆 ? 过原点 O ? 1 的焦点分别是 F1 和 F2 , 45 20 作直线与椭圆相交于 A, B 两点, ?ABF2 的面积是 若 . 20 ,则直线 AB 的方程式是

课后作业
1. 求下列直线 3x ? 10 y ? 25 ? 0 与椭圆 的交点坐标.
x2 y 2 ? ?1 25 4

三、总结提升 学习小结 1 .椭圆在生活中的运用;
2 .椭圆与直线的位置关系: 相交、相切、相离(用 ? 判定) .

知识拓展 直线与椭圆相交,得到弦,
弦长 l ? 1 ? k 2 x1 ? x2
2 ? (1 ? k 2 ) ?? x1 ? x2 ? ? 4x1 x2 ? ? ? 其中 k 为直线的斜率, ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 是两交点坐 标.

x2 y 2 3 ? ? 1 ,一组平行直线的斜率是 4 9 2 ⑴这组直线何时与椭圆相交? ⑵当它们与椭圆相交时,这些直线被椭圆截得的线 段的中点是否在一直线上?

2.若椭圆

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: x2 y 2 1.设 P 是椭圆 ? ? 1 , P 到两焦点的距离之 16 12 差为 ,则 ?PF1 F2 是( ) . A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 2.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆 、F
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§ 2.3.1 双曲线及其标准方程
编写人:颜越西 审定人:盛军

学习目标
1.掌握双曲线的定义; 2.掌握双曲线的标准方程.

学习过程
一、课前准备 (预习教材理 P52~ P55,文 P45~ P48 找出疑惑之处) 复习 1:椭圆的定义是什么?椭圆的标准方程是什 么?

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高二上期数学◆选修 2-1◆导学案

例 1 已知双曲线的两焦点为 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,双
x2 y 2 ? ? 1 中,a, b, c 有 a 2 b2 何关系?若 a ? 5, b ? 3 ,则 c ? ? 写出符合条件的椭 圆方程.

曲线上任意点到 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于 6 , 求双曲线的标准方程.

复习 2:在椭圆的标准方程

二、新课导学 学习探究 问题 1:把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的 差”,那么点的轨迹会怎样?
如图 2-23,定点 F1 , F2 是两个按钉, MN 是一 个细套管,两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管, 点 M 移动时, MF1 ? MF2 是常数,这样就画出一条曲线; 由 MF2 ? MF1 是同一常数,可以画出另一支.

x2 y 2 ? ? 1 的左支上一点 P 到左 16 9 焦点的距离为 10, 则点 P 到右焦点的距离为 .

变式:已知双曲线

例 2 已知 A, B 两地相距 800m ,在 A 地听到炮弹爆 炸声比在 B 地晚 2s ,且声速为 340m / s ,求炮弹爆 炸点的轨迹方程. 新知 1:双曲线的定义: 平面内与两定点 F1 , F2 的距离的差的 于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹叫做双曲线。 两定点 F1 , F2 叫做双曲线的 两焦点间的距离 F1 F2 叫做双曲线的 反思:设常数为 2a ,为什么 2a ? F1 F2 ? , . 等

2a ? F1 F2 时,轨迹是

; . .

2a ? F1 F2 时,轨迹
点 C 的轨迹是

试试:点 A(1, 0) , B(?1,0) ,若 AC ? BC ? 1 ,则

新知 2:双曲线的标准方程: x2 y 2 ? ? 1,(a ? 0, b ? 0, c 2 ? a 2 ? b2 ) (焦点在 x 轴) a 2 b2 其焦点坐标为 F1 (?c,0) , F2 (c,0) . 思考:若焦点在 y 轴,标准方程又如何?

变式:如果 A, B 两处同时听到爆炸声,那么爆炸点 在什么曲线上?为什么?

小结:采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置.

典型例题
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动手试试 练 1:求适合下列条件的双曲线的标准方程式:

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(1)焦点在 x 轴上, a ? 4 , b ? 3 ; (2)焦点为 (0, ?6),(0,6) ,且经过点 (2, ?5) .

A. ?25 B. 25 C. ?1 D. 1 3.双曲线的两焦点分别为 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,若 ) . a ? 2 ,则 b ? ( A. 5 B. 13 C. 5 D. 13 4.已知点 M (?2,0), N (2,0) ,动点 P 满足条件
| PM | ? | PN |? 2 2 . 则动点 P 的轨迹方程


2 2


x y ? ? 1 表示双曲线,则 m 的 2 ? m m ?1 .

5.已知方程 取值范围

练 2.点 A, B 的坐标分别是 (?5,0) , (5,0) ,直线 4 AM , BM 相交于点 M ,且它们斜率之积是 , 9 试求点 M 的轨迹方程式,并由点 M 的轨迹方程判 断轨迹的形状.

课后作业
1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 x 轴上, a ? 2 5 ,经过点 A(?5, 2) ; (2)经过两点 A(?7, ?6 2) , B(2 7,3) .

三、总结提升 学习小结 1 .双曲线的定义; 2 .双曲线的标准方程. 知识拓展 GPS(全球定位系统): 双曲线的一个重要应用. 在例 2 中,再增设一个观察点 C ,利用 B , C 两 处测得的点 P 发出的信号的时间差,就可以求出另 一个双曲线的方程,解这两个方程组成的方程组, 就能确定点 P 的准确位置.

2.相距 1400m A, B 两个哨所,听到炮弹爆炸声的 时间相差 3s ,已知声速是 340m / s ,问炮弹爆炸点 在怎样的曲线上,为什么?

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 , 则点 P 的轨迹是( ) . A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线 2 2 2.双曲线 5 x ? ky ? 5 的一个焦点是 ( 6,0) ,那么 实数 k 的值为( ) .
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§ 2.3.2 双曲线的简单几何性质(1)
编写人:颜越西 审定人:盛军

学习目标
理解并掌握双曲线的几何性质.

学习过程
一、课前准备: (预习教材理 P56~ P58,文 P49~ P51 找出疑惑之处) 复习 1:写出满足下列条件的双曲线的标准方程: ① a ? 3, b ? 4 ,焦点在 x 轴上; ②焦点在 y 轴上,焦距为 8, a ? 2 .

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离心率: e ? 渐近线:

c ? 1. a

y 2 x2 . ? ? 1 的渐近线方程为: a 2 b2 新知:实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线.

双曲线

复习 2:前面我们学习了椭圆的哪些几何性质?

典型例题
x2 y 2 虚半轴的长、 ? ? 1 的实半轴长、 49 25 焦点坐标、离心率及渐近线的方程.

例 1 求双曲线

二、新课导学: 学习探究 问题 1:由椭圆的哪些几何性质出发,类比探究双 x2 y 2 曲线 2 ? 2 ? 1 的几何性质? a b
变式:求双曲线 9 y 2 ? 16 x 2 ? 144 的实半轴长和虚半 轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

范围: x : 对称性: 双曲线关于

y:
轴、 轴及 都对称. 例 2 求双曲线的标准方程: ⑴实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上; ⑵离心率 e ? 2 ,经过点 M (?5,3) ; 2 9 ⑶渐近线方程为 y ? ? x ,经过点 M ( , ?1) . 3 2

顶点: ( )( , ) . 实轴, 其长为 ; 虚轴,其长为 . c 离心率: e ? ? 1 . a 渐近线: x2 y 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为: ? ? 0 . a b a b 问题 2:双曲线 图形: 范围: x : 对称性: 双曲线关于 顶点: ( )( , 实轴, 其长为
y 2 x2 ? ? 1 的几何性质? a 2 b2

动手试试
x2 y 2 ? ? 1 的焦点为顶点,以椭圆 8 5 的顶点为焦点的双曲线的方程.

练 1.求以椭圆

y:
轴、 轴及 都对称.

) ; 虚轴,其长为



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4.双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 1 的渐近线方程是 . 5.经过点 A(3, ?1) ,并且对称轴都在坐标轴上的等 轴双曲线的方程是 .

课后作业
1.求焦点在 y 轴上,焦距是 16, e ? 练 2.对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个 焦点是 F1 (?6,0) ,求它的标准方程和渐近线方程. 标准方程.
4 的双曲线的 3

2.求与椭圆

三、总结提升: 学习小结 双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、 渐近线. 知识拓展
x2 y 2 ? ? 1 有相同的渐近线的双曲 a 2 b2 x2 y 2 线系方程式为 2 ? 2 ? ? (? ? 0) a b
e?

x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点,且离心率 49 24

5 的双曲线的方程. 4

与双曲线

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: x2 y 2 1. 双曲线 ? . ? 1 实轴和虚轴长分别是( ) 16 8 A. 8 、 4 2 B. 8 、 2 2 C.4、 4 2 D.4、 2 2 2 2 2.双曲线 x ? y ? ?4 的顶点坐标是( ) . A.(0, ?1) B.(0, ?2) C.(?1,0) D. ?,2 ) (0
x2 y 2 3. 双曲线 ? . ? 1 的离心率为( ) 4 8 A.1 B. 2 C. 3 D.2
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§ 2.3.2 学习目标

双曲线的简单几何性质(2)
审定人:盛军

编写人:颜越西

1.从具体情境中抽象出椭圆的模型; 2.掌握椭圆的定义; 3.掌握椭圆的标准方程.

学习过程
一、课前准备 (预习教材理 P58~ P60,文 P51~ P53 找出疑惑之处) 复习 1:说出双曲线的几何性质?

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复习 2:双曲线的方程为 其顶点坐标是( 渐近线方程

x2 y 2 ? ?1, 9 14 ),( );



二、新课导学 ※ 学习探究
探究 1:椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 64 的焦点是?

探究 2:双曲线的一条渐近线方程是 x ? 3 y ? 0 , 则可设双曲线方程为?

例 2 点 M ( x, y) 到定点 F (5,0) 的距离和它到定直线 16 5 l : x ? 的距离的比是常数 ,求点 M 的轨迹. 4 5

问题:若双曲线与 x2 ? 4 y 2 ? 64 有相同的焦点,它 的一条渐近线方程是 x ? 3 y ? 0 ,则双曲线的方程 是?

x2 y 2 倾斜角为 30? 的 ? ? 1 的右焦点, 3 6 直线交双曲线于 A, B 两点,求 A, B 两点的坐标.

例 3 过双曲线

典型例题 例 1 双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的一部分绕 其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为 12m ,上 口半径为 13m ,下口半径为 25m ,高为 55m ,试选 择适当的坐标系,求出此双曲线的方程.

变式:求 AB ? 思考: ?AF1 B 的周长?

动手试试
练 1.若椭圆
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x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 的焦 4 a a 2

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点相同,则 a =____.

点为 F1, 2, 是两曲线的一个交点, PF1 ? PF2 F P 则 的值为( 21 A. 2 2.以椭圆 ) . B. 84 C. 3 D. 21

练 2 .若双曲线
y??

x2 y 2 ? ?1 的 渐 近 线 方 程 为 4 m

x2 y 2 离心率为 2 的 ? ? 1 的焦点为顶点, 25 16 双曲线的方程( ) . 2 2 x y x2 y 2 A. B. ? ?1 ? ?1 16 48 9 27 x2 y 2 x2 y 2 C. ? ?1或 ? ? 1 D. 以上都不对 16 48 9 27 3.过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的直线,

3 x ,求双曲线的焦点坐标. 2

交双曲线于 P 、 ,F1 是另一焦点, 若∠ PF1Q ? Q 则双曲线的离心率 e 等于( ) .

?
2



A. 2 ? 1 B. 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 2 4.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 , 这双曲线的方程为_______________. x2 y2 5. 方程 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线, 4 ? k 1? k 则 k 的取值范围 .

课后作业
三、总结提升 学习小结 1.双曲线的综合应用:与椭圆知识对比,结合;
2.双曲线的另一定义; 3. (理)直线与双曲线的位置关系. 已知双曲线的焦点在 x 轴上,方程为
x2 y 2 ? ?1 , a 2 b2 两顶点的距离为 8 ,一渐近线上有点 A(8,6) ,试求 此双曲线的方程.

知识拓展
双曲线的第二定义: 到定点的距离与到定直线的距离之比大于 1 的点的轨迹是双曲线.

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: x2 y 2 x2 y 2 1. 若椭圆 ? ? 1 和双曲线 ? ? 1 的共同焦 25 16 4 5
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§ 2.4.1 抛物线及其标准方程
编写人:盛军 审定人:颜越西

学习目标
掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形.

学习过程

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一、课前准备 (预习教材理 P64~ P67,文 P56~ P59 找出疑惑之处) 复习 1:函数 y ? 2 x 2 ? 6 x ? 1 的图象是 , 它的顶点坐标是( ) ,对称轴是 .

典型例题
例 1 (1)已知抛物线的标准方程是 y 2 ? 6 x ,求它 的焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点是 F (0, ?2) ,求它的标准方 程.

复习 2:点 M 与定点 F (2, 0) 的距离和它到定直线 x ? 8 的距离的比是 1: 2 ,则点 M 的轨迹是什么图 形?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1:若一个动点 p( x, y) 到一个定点 F 和一条定 直线 l 的距离相等,这个点的运动轨迹是怎么样的 呢?
新知 1:抛物线 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的 距离 的点的轨迹叫做抛物线. 点 F 叫做抛物线的 直线 l 叫做抛物线的 ; . 变式:根据下列条件写出抛物线的标准方程: ⑴焦点坐标是(0,4); 1 ⑵准线方程是 x ? ? ; 4 ⑶焦点到准线的距离是 2 .

新知 2:抛物线的标准方程 定点 F 到定直线 l 的距离为 p ( p ? 0 ) . 建立适当的坐标系,得到抛物线的四种标准形式: 图形 标准方程
y 2 ? 2 px

焦点坐标 ?p ? ? ,0 ? ?2 ?

准线方程 p x?? 2

试试: 抛物线 y 2 ? 20 x 的焦点坐标是( 准线方程是 1 抛物线 x 2 ? ? y 的焦点坐标是( 2 准线方程是
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) , ; ) , .

例 2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示, 卫星波 束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收 天线,经反射聚集到焦点处,已知接收天线的口径 为 4.8m ,深度为 0.5m ,试建立适当的坐标系,求 抛物线的标准方程和焦点坐标.

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当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1.对抛物线 y ? 4 x2 ,下列描述正确的是( ) . A.开口向上,焦点为 (0,1) 1 B.开口向上,焦点为 (0, ) 16 C.开口向右,焦点为 (1, 0) 1 D.开口向右,焦点为 (0, ) 16 2.抛物线 x2 ? 8 y ? 0 的准线方程式是( ) . A. x ? 2 B. x ? ?2 C. y ? 2 D. y ? ?2

动手试试 练 1.求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1) 焦点坐标是 F (?5,0 ) ; (2) 焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上.

3.抛物线 y 2 ? 10 x 的焦点到准线的距离是( ) . 5 15 A. B. 5 C. D. 10 2 2 4. 抛物线 y 2 ? 12 x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐 标是 . 2 5. 抛物线 x ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4, 则点 A 与 抛物线焦点的距离为 .

课后作业
1.点 M 到 F (0,8) 的距离比它到直线 y ? ?7 的距离 大 1,求 M 点的轨迹方程. 练2 . 抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上一点 M 到焦点距 p 离是 a (a ? ) , 则点 M 到准线的距离是 , M 点 2 的横坐标是 .

2.抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上一点 M 到焦点 F 的

三、总结提升 学习小结 1.抛物线的定义; 2.抛物线的标准方程、几何图形. 知识拓展 焦半径公式: 设 M 是抛物线上一点, 焦点为 F , 则线段 MF 叫做抛物线的焦半径. 若 M ( x0 , y0 ) 在 抛 物 线 y 2 ? 2 p x上 , 则 p M F? 0x ? 2

距离 MF ? 2 p ,求点 M 的坐标.

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
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§ 2.4.2 抛物线的简单几何性质(1)
编写人:盛军 审定人:颜越西

学习目标
1.掌握抛物线的几何性质; 2.根据几何性质确定抛物线的标准方程.

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高二上期数学◆选修 2-1◆导学案

学习过程
一、课前准备 (预习教材理 P68~ P70,文 P60~ P61 找出疑惑之处) 复习 1: 准线方程为 x=2 的抛物线的标准方程是 .

典型例题 例 1 已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原 点,并且经过点 M (2, ?2 2) ,求它的标准方程.

复习 2:双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有哪些几何性质? 16 9

二、新课导学 学习探究 探究 1:类比椭圆、双曲线的几何性质,抛物线又 会有怎样的几何性质?
新知:抛物线的几何性质 图 形 标 准 方 程 焦 点

变式:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经 过点 M (2,? 2 2 )的抛物线有几条?求出它们的标 准方程.

p (0, ? ) 2

小结:一般,过一点的抛物线会有两条,根据其开 口方向,用待定系数法求解. 例 2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F ,且与抛物线相交于 A , B 两点,求线段 AB 的 长 .

准 线 顶 点 对 称 轴 离 心 率
(0,0) (0,0)

y??

p 2

x轴

变式:过点 M (2,0) 作斜率为 1 的直线 l ,交抛物线 试试:画出抛物线 y ? 8 x 的图形, 顶点坐标( ) 、焦点坐标( ) 、 准线方程 、对称轴 、 离心率 .
2

y 2 ? 4 x 于 A , B 两点,求 AB .

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1 B. y 2 ? x x 2 C. y 2 ? 2 x D. y 2 ? 4 x 2. 顶点在原点, 焦点是 F (0,5) 的抛物线方程 ( ).
A. y 2 ? A. y 2 ? 20 x B. x 2 ? 20 y 1 1 C. y 2 ? D. x 2 ? x y 20 20 3.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线 l ,交抛物线于 若线段 AB 中点的横坐标为 3 , AB 则 A ,B 两点, 小结:求过抛物线焦点的弦长:可用弦长公式,也 可利用抛物线的定义求解. 等于( ) . A.10 B. 8 C. 6 2 4.抛物线 y ? ax (a ? 0) 的准线方程是 D. 4 .

动手试试 练 1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程: ⑴顶点在原点,关于 x 轴对称,并且经过点 M (5 , ?4) ; ⑵顶点在原点,焦点是 F (0,5) ; ⑶焦点是 F (0, ?8) ,准线是 y ? 8 .

5.过抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点作直线交抛物线于
A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点,如果 x1 ? x2 ? 6 ,则

AB =



课后作业
1. 根据下列条件,求抛物线的标准方程,并画出 图形: ⑴顶点在原点,对称轴是 x 轴,并且顶点与焦点的 距离等到于 6 ; ⑵顶点在原点,对称轴是 y 轴,并且经过点 P(?6, ?3) .

三、总结提升 学习小结 1.抛物线的几何性质 ; 2.求过一点的抛物线方程; 3.求抛物线的弦长. 知识拓展 抛物线的通径:过抛物线的焦点且与对称轴垂直 的直线,与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径. 其长为 2 p .
2 M 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一点, 是抛物线的焦点, F
?xFM ? 60? ,求 FA .

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.下列抛物线中,开口最大的是( ) .

§ 2.4.2 抛物线的简单几何性质(2)
编写人:盛军 审定人:颜越西

学习目标
1.掌握抛物线的几何性质; 2.抛物线与直线的关系.

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高二上期数学◆选修 2-1◆导学案

学习过程
一、课前准备 (预习教材理 P70~ P72,文 P61~ P63 找出疑惑之处) 复习 1:以原点为顶点,坐标轴为对称轴,且过点 ) . P(?2,3) 的抛物线的方程为( 9 9 4 A. y 2 ? x B. y 2 ? ? x 或 x 2 ? ? y 4 3 4 4 9 4 C. x 2 ? y D. y 2 ? ? x 或 x 2 ? y 2 3 3

复习 2:已知抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) 的焦点恰好是 椭圆
x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,则 p = 16 12



例 2 已知抛物线的方程 y 2 ? 4 x ,直线 l 过定点 P(?2,1) ,斜率为 k k 为何值时,直线 l 与抛物线
y 2 ? 4 x :只有一个公共点;有两个公共点;没有 公共点?

二、新课导学 学习探究
探究 1:抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点的横坐标为 6,这点到焦点距离为 10,则: ① 这点到准线的距离为 ② 焦点到准线的距离为 ③ 抛物线方程 ④ 这点的坐标是 ; ; ; ; . 小结: ① 直线与抛物线的位置关系: 相离、 相交、 相切 ; ②直线与抛物线只有一个公共点时, 它们可能相切,也可能相交.

⑤ 此抛物线过焦点的最短的弦长为

典型例题 例 1 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A , B 两 点,通过点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线 于点 D ,求证:直线 DB 平行于抛物线的对称轴.
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动手试试
练 1. 直线 y ? x ? 2 与抛物线 y 2 ? 2 x 相交于 A , B 两点,求证: OA ? OB .

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1. 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点的直线交抛物线于

A , B 两点,则 AB 的最小值为(
A.

) .

p B. p C. 2 p D. 无法确定 2 2.抛物线 y 2 ? 10 x 的焦点到准线的距离是( ) . 5 15 A. B. 5 C. D. 10 2 2 3.过点 (0,1) 且与抛物线 y 2 ? 4 x 只有一个公共点的 直线有( ) . A. 条 B.2 条 C.3 条 D.0 条 1 2 4.若直线 x ? y ? 2 与抛物线 y ? 4 x 交于 A 、 B 两 点,则线段 AB 的中点坐标是______.

5.抛物线上一点 (?5, 2 5) 到焦点 F ( x,0) 的距离是 . 6 ,则抛物线的标准方程是 2.垂直于 x 轴的直线交抛物线 y 2 ? 4 x 于 A , B 两 点,且 AB ? 4 3 ,求直线 AB 的方程.

课后作业
1. 已知顶点在原点, 焦点在 x 轴上的抛物线与直线
y ? 2 x ? 1 交于 P , Q 两点, PQ = 15 ,求抛物线

的方程.

三、总结提升 学习小结 1.抛物线的几何性质 ;
2.抛物线与直线的关系.

2. 从抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上各点向 x 轴作垂线 段,求垂线段中点的轨迹方程,并说明它是什么曲 线.

知识拓展
过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线交 1 1 抛物线于 M , N 两点,则 为定值,其 ? MF NF 值为
2 . p

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
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第二章 圆锥曲线与方程(复习)
编写人:盛军 审定人:张春燕

学习目标
1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程; 2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质;

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3.能解决直线与圆锥曲线的一些问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材理 P78~ P81,文 P66~ P69 找出疑惑之处) 复习 1:完成下列表格: 椭圆 双曲线 抛物线 定义

变式:若曲线 范围是

图形

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值 k 1? k .

标准方程 小结:掌握好每类标准方程的形式. 顶点坐标 对称轴 焦点坐标 离心率 (以上每类选取一种情形填写) 复习 2: ① 若椭圆 x 2 ? my 2 ? 1 的离心率为 半轴长为__________; ②双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 , 则双曲线的方程为 ; ③以椭圆 程为
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为焦点的抛物线方 25 16 . x2 y 2 ? ? 1 有相同焦点,且经 27 36 过点 ( 15, 4) ,求双曲线的方程.
3 ,则它的长 2

x2 y 2 =1 ? a 2 b2 (a ? b ? 0) 的左、右两个焦点. 3 ⑴若椭圆 C 上的点 A(1, )到 F1、F2 两点的距 2 离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; ⑵设点 K 是 (1) 中所得椭圆上的动点, 求线段 F1 K 的中点的轨迹方程.

例 2 设 F1 , F2 分别为椭圆 C:

二、新课导学 典型例题
例 1 当 ? 从 0? 到 180? 变化时,方程 x 2 ? y 2 cos ? ? 1 表示的曲线的形状怎样变化?

变式:双曲线与椭圆

动手试试 练 1.已知 ?ABC 的两个顶点 A , B 坐标分别是 (?5, 0) , (5,0) ,且 AC , BC 所在直线的斜率之积 等于 m (m ? 0) ,试探求顶点 C 的轨迹.
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x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ?1 25 9 25 ? k 9 ? k ) . (k ? 9) 的( A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 2.与圆 x2 ? y 2 ? 1 及圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 都外切 的圆的圆心在( ) . A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D.一个圆上 3.过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点作直线 l ,交抛物线于

1.曲线

若线段 AB 中点的横坐标为 3 , AB 则 A ,B 两点, 等于( ) . A.10 B. 8 C. 6 D. 4 2 2 4.直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 4 没有公共点, 则 k 的取值范围 . 5.到直线 y ? x ? 3 的距离最短的抛物线 y 2 ? 4 x 上 的点的坐标是 .

练 2.斜率为 2 的直线 l 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 交于 3 2 A , B 两点,且 AB ? 4 ,求直线 l 的方程.

课后作业
1.就 m 的不同取值,指出方程 (m ? 1) x 2 ? (3 ? m) y 2 ? (m ? 1)(3 ? m) 所表示的曲线 的形状.

三、总结提升 学习小结 1.椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程; 2.椭圆、双曲线、抛物线的几何性质; 3.直线与圆锥曲线. 知识拓展 圆锥曲线具有统一性: ⑴它们都是平面截圆锥得到的截口曲线; ⑵它们都是平面内到一个定点的距离和到一条定 直线(不经过定点)距离的比值是一个常数的点的 轨迹,比值的取值范围不同形成了不同的曲线; ⑶它们的方程都是关于 x , y 的二次方程.

x2 与过点 M (0, ?1) 的直线 l 相交于 2 A , B 两点, O 为原点,若 OA 和 OB 的斜率之和 为 1 ,求直线 l 的方程.

2. 抛物线 y ? ?

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

第二章 空间向量与立体几何
§3.1.1 空间向量及其运算
编写人:盛军 审定人:张春燕

学习目标
1. 理解空间向量的概念,掌握其表示方法;

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2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及 它们的运算律; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的 立体几何中的问题.

? ? ? ? a ? b, a ? b.

a

.

b

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P84~ P86,找出疑惑之处) 复习 1:平面向量基本概念: 具有 和 的量叫向量, 叫向量的 模(或长度) ; 叫零向量,记 着 ; 叫单位向量. AC 5 ? 叫相反向量, a 的相反向量记着 . 2. 点 C 在线段 AB 上,且 CB ? 2 ,则 ???? ??? ? ??? ? ??? ? 叫 相 等 向 量 . 向 量 的 表 示 方 法 AC ? BC ? AB , AB . 有 , , 和 共三种方法. 反思:空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗? ⑴加法交换律:A. + B. = B. + a; 复习 2:平面向量有加减以及数乘向量运算: ⑵加法结合律:(A. + b) + C. =A. + (B. + c); 1. 向 量 的 加 法 和 减 法 的 运 算 法 则 有 ⑶数乘分配律:λ(A. + b) =λA. +λb. 法则 和 法则. 2. 实数与向量的积: 实数 λ 与向量 a 的积是一个 量,记作 ,其 长度和方向规定如下: (1)|λa|= . (2)当 λ>0 时,λa 与 A. ; 当 λ<0 时,λa 与 A. ; 当 λ=0 时,λa= . 3. 向量加法和数乘向量,以下运算律成立吗? 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb

典型例题 例 1 已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' (如图) , 化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量:
???? ???? ? ⑴ AB ? BC ; ???? ???? ???? ? ? ⑵ AB ? AD ? AA '; ???? ???? 1 ????? ? ⑶ AB ? AD ? CC ' 2 ? ? 1 ???? ???? ???? ⑷ ( AB ? AD ? AA ' ). 2

二、新课导学 学习探究 探究任务一:空间向量的相关概念 问题: 什么叫空间向量?空间向量中有零向量, 单位向量,相等向量吗?空间向量如何表 示? 新知:空间向量的加法和减法运算:

???? ???? ? ? ??? ???? ???? ? 变式:在上图中,用 AB, AD, AA' 表示 A'C , BD ' 和 ???? ? DB' .

空间任意两个向量都可以平移到同一平面内,变为 两个平面向量的加法和减法运算,例如右图中, ??? ? ??? ? OB ? , , AB ? 试试:1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求
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小结:空间向量加法的运算要注意:首尾相接的若 干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量 的终点的向量,求空间若干向量之和时,可通过平 移使它们转化为首尾相接的向量. 例 2 化简下列各式: ??? ???? ??? ????? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ⑴ AB ? BC ? CA ; ⑵ AB ? MB ? BO ? OM ; ??? ???? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ???? ? ⑶ AB ? AC ? BD ? CD; ⑷ OA ? OD ? DC .

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变式:化简下列各式: ??? ???? ??? ??? ? ? ? ⑸ OA ? OC ? BO ? CO ; ??? ???? ???? ? ⑹ AB ? AD ? DC ; ???? ??? ???? ???? ? ? ⑺ NQ ? QP ? MN ? MP .

小结:化简向量表达式主要是利用平行四边形法则 或三角形法则,遇到减法既可转化成加法,也可按 减法法则进行运算,加法和减法可以转化.

动手试试 练 1. 已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' , M 为 A 1 C 1 与 B 1 D 1 的交点,化简下列表达式:
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
???? ????? AA1 ? A1 B1 ; 1 ????? 1 ????? A1 B1 ? A1 D1 ; 2 2 ???? 1 ???? 1 ????? ? AA1 ? A1 B1 ? A1D1 2 2 ??? ??? ???? ????? ???? ? ? ? AB ? BC ? CC1 ? C1 A1 ? A1 A .

1. 下列说法中正确的是( ) ? ? ? ? A. 若∣ a ∣=∣ b ∣,则 a , b 的长度相同,方 向相反或相同; ? ? ? ? B. 若 a 与 b 是相反向量,则∣ a ∣=∣ b ∣; C. 空间向量的减法满足结合律; ??? ???? ???? ? D. 在四边形 ABCD 中,一定有 AB ? AD ? AC . 2. 长 方 体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中 , 化 简 ? ????? ????' ?????' ? AA ' ? A' B ? A' D = ?? ?? ? ? ? ? ? 3. 已知向量 a , b 是两个非零向量, a0 , b0 是与 a , ? 那么下列各式正确的是 ( ) b 同方向的单位向量, ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? A. a0 ? b0 B. a0 ? b0 或 a0 ? ?b0 ?? ? ? ? C. a0 ? 1 D. ∣ a 0 ∣=∣ b 0 ∣ ???? ??? ???? ? 4. 在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD ,则四边形 是( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边 形 5. 下列说法正确的是( ) A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动 C. 如果两个向量不相同, 那么它们的长度不相等 D. 同向且等长的有向线段表示同一向量

课后作业
1. 在三棱柱 ABC-A'B'C'中,M,N 分别为 BC,B'C' 的中点,化简下列式子: ???? ????? ?????' ????' ???? ? ⑴ AM + BN ⑵ A ' N - MC + BB

三、总结提升 学习小结 1. 空间向量基本概念; 2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内 的平移,而空间向量研究的是空间的平移,它们的 共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动 相同的长度” ,空间的平移包含平面的平移.

2. 如图,平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 M 为 ??? ? ???? ? ???? ? ? AC 与的 BD 的交点, AB ? a , AD ? b , A1 A ? c , ????? 则下列向量中与 B1 M 相等的是( ) 1? 1? ? A. ? a ? b ? c 2 2 1? 1? ? B. a? b?c 2 2 1? 1? ? C. a? b?c 2 2 1? 1? ? D. ? a ? b ? c 2 2

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
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§3.1.2 空间向量的数乘运算(一)
编写人:盛军 审定人:张春燕

学习目标
1. 掌握空间向量的数乘运算律, 能进行简单的代数

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式化简; 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推 论; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的 立体几何中的问题.

? ? 反思:充分理解两个向量 a, b 共线向量的充要条件 ? ? 中的 b ? 0 ,注意零向量与任何向量共线.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P86~ P87,找出疑惑之处) 复习 1:化简: ? ? ? ? ⑴ 5( 3a ? 2b )+4( 2b ? 3a ) ;

典型例题 例 1 已知直线 AB,点 O 是直线 AB 外一点,若 ??? ? ??? ? ??? ? 且 试判断 A,B,P 三点是 OP ? xOA ? yOB , x+y=1, 否共线?

? ? ? ? ? ? ⑵ 6 a ? 3b ? c ? ?a ? b ? c .

?

? ?

?

变式:已知 A,B,P 三点共线,点 O 是直线 AB 外一 ??? 1 ??? ??? ? ? ? 点,若 OP ? OA ? tOB ,那么 t= 2 复习 2:在平面上,什么叫做两个向量平行? ? ? ? ? 在平面上有两个向量 a, b , 若 b 是非零向量,则 a ? 与 b 平行的充要条件是 例 2 已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' ,点 M 是 棱 AA ' 的 中 点 , 点 G 在 对 角 线 A ' C 上 , 且 ? ? ??? ? ??? ? ???? ? ? CG:GA ' =2:1,设 CD = a ,CB ? b, CC ' ? c , 试用向量 ? ? ? ??? ????' ???? ???? ? ? a, b, c 表示向量 CA, CA , CM , CG .

二、新课导学 学习探究 探究任务一:空间向量的共线 问题:空间任意两个向量有几种位置关系?如何判 定它们的位置关系?
新知:空间向量的共线: 1. 如果表示空间向量的 所在的 直线互相 或 ,则这些向量叫共线向 量,也叫平行向量. 2. 空间向量共线:
? ? ? ? ? ? 定理:对空间任意两个向量 a, b ( b ? 0 ) a // b 的 , 充要条件是存在唯一实数 ? ,使得

推论:如图,l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量的直线, 对空间的任意一点 O, P 在直 点 线 l 上的充要条件是

变式 1:已知长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' ,M 是对角 线 AC ' 中点,化简下列表达式: ???? ??? ? ⑴ AA' ? CB ; ???? ????? ????? ? ⑵ AB' ? B'C ' ? C ' D' ? 1 ???? 1 ??? 1 ???? ⑶ AD ? AB ? A' A 2 2 2

??? ? ? ??? ? ? ? ? 试试:已知 AB ? a ? 5b, BC ? ?2a ? 8b, ??? ? ? ? CD ? 3 a ? b ,求证: A,B,C 三点共线.

?

?

变式 2:如图,已知 A, B, C 不共线,从平面 ABC 外 任一点 O ,作出点 P, Q, R, S ,使得: ??? ??? ? ? ??? ? ???? ⑴ OP ? OA ? 2 AB ? 2 AC ???? ??? ? ??? ? ???? ⑵ OQ ? OA ? 3 AB ? 2 AC

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??? ??? ? ? ??? ? ???? ⑶ OR ? OA ? 3 AB ? 2 AC ??? ??? ? ? ??? ? ???? ⑷ OS ? OA ? 2 AB ? 3 AC .

1. 下列说法正确的是( ) ? ? ? ? ? ? A. a 与非零向量 b 共线, b 与 c 共线, a 与 c 共线 则 B. 任意两个相等向量不一定共线 C. 任意两个共线向量相等 ? ? ? ? D. 若向量 a 与 b 共线,则 a ? ? b 2. 正方体 ABCD? A B' C' D'中,点 E 是上底面 ' ???? ???? ???? ??? ? A' B ' C ' D ' 的中心,若 BB ' ? x AD ? y AB ? z AA' , 则 x= ,y= ,z= . 3. 若点 P 是线段 AB 的中点,点 O 在直线 AB 外, ??? ? ??? ? ??? ? 则 OP ? OB . OA + 4. 平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' , O 为 A 1 C 与 B 1 D ???? ? 1 ??? ???? ???? 的交点,则 ( AB ? AD ? AA' ) ? AO 3 5. 已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' , 是 AC 与 M ????? ??? ? ???? ? ????' ? ? BD 交点,若 AB ? a, AD ? b, AA ? c ,则与 B ' M 相 等的向量是( ) 1? 1? ? 1? 1? ? A. ? a ? b ? c ; B. a ? b ? c; 2 2 2 2 1? 1? ? 1? 1? ? C. a ? b ? c ; D. ? a ? b ? c . 2 2 2 2

小结:空间向量的化简与平面向量的化简一样,加 法注意向量的首尾相接,减法注意向量要共起点, 并且要注意向量的方向.

动手试试 练 1. 下列说法正确的是( ) ? ? ? ? ? A. 向量 a 与非零向量 b 共线, 与 c 共线, a 与 则 b ? c 共线; B. 任意两个共线向量不一定是共线向量; C. 任意两个共线向量相等; ? ? ? ? D. 若向量 a 与 b 共线,则 a ? ? b .
? ? ?? ? ? ? ? 2. 已 知 a ? 3 m ? 2 n, b ? ( x ? 1)m ? 8, a ? 0 , 若 n ? ? a // b ,求实数 x.

课后作业:

三、总结提升 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律; 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内 的平移,而空间向量研究的是空间的平移,它们的 共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动 相同的长度” ,空间的平移包含平面的平移.

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
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§3.1.2 空间向量的数乘运算(二)
编写人:盛军 审定人:张春燕

学习目标
1. 掌握空间向量的数乘运算律, 能进行简单的代数 式化简;

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2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推 论; 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的 立体几何中的问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P86~ P87,找出疑惑之处)

? ? 复习 1:什么叫空间向量共线?空间两个向量 a, b , ? ? ? 典型例题 若 b 是非零向量,则 a 与 b 平行的充要条件是 例 1 下列等式中, M,A,B,C 四点共面的个数是 ) 使 ( ???? ??? ??? ???? ? ? ? ? ① OM ? OA ? OB ? OC; 复习 2:已知直线 AB,点 O 是直线 AB 外一点,若 ???? 1 ??? 1 ??? 1 ???? ? ? ? ? ② OM ? OA ? OB ? OC; ??? 1 ??? 2 ??? ? ? ? 5 3 2 OP ? OA ? OB ,试判断 A,B,P 三点是否共线? ???? ???? ???? ? ? 3 3 ③ MA ? MB ? MC ? 0; ???? ??? ??? ???? ? ? ? ? ④ OM ? OA ? OB ? OC ? 0 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

反思:若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满 ??? ? ??? ? ??? ? ???? 足关系式 OP ? xOA ? yOB? zOC,且点 P 与 A,B,C 共面,则 x ? y ? z ? .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:空间向量的共面 ??? 问题:空间任意两个向量不共线的两个向量 a,b 有 怎样的位置关系?空间三个向量又有怎样 的位置关系?
新知:共面向量: 2. 空间向量共面: 同一平面的向量. 变式:已知 A,B,C 三点不共线,O 为平面 ABC 外一 ??? 1 ??? 7 ??? ? ? ? ???? 点,若向量 OP ? OA ? OB ? ?OC ? ? ? R ? , 5 3 则 P,A,B,C 四点共面的条件是 ? ?

? ? ?? 定理:对空间两个不共线向量 a, b ,向量 p 与向量 ? ? a, b 共面的充要条件是存在 , 使得 .

推论:空间一点 P 与不在同一直线上的三点 A,B,C 共面的充要条件是: ⑴ 存在 ,使 ⑵ 对空间任意一点 O,有

例 2 如图,已知平行四边形 ABCD,过平面 AC 外 一点 O 作射线 OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取 OE OF OG OH 点 E,,F,G,H,并且使 ? ? ? ? k, OA OB OC OD 求证:E,F,G,H 四点共面.

试试:若空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C 满 ??? 1 ??? 1 ??? 1 ???? ? ? ? 足关系式 OP ? OA ? OB ? OC ,则点 P 与 A,B,C 2 3 6 共面吗?
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变式:已知空间四边形 ABCD 的四个顶点 A,B,C,D 不共面,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,AD 的中点, 求 A 证:E,F,G,H 四点共面.

E B

H
D G
C

F

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当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

???? ? 1. 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 D1 A 、 ???? ? ????? ) D1C 、 A1C1 是( A. 有相同起点的向量 B.等长向量 C.共面向量 D.不共面向量. 2. 正方体 ABCD? A B' C' D'中,点 E 是上底面 ' ???? ???? ???? ??? ? A' B ' C ' D ' 的中心,若 BB ' ? x AD ? y AB ? z AA' , 则 x= ,y= ,z= . 3. 若点 P 是线段 AB 的中点,点 O 在直线 AB 外, ??? ? ??? ? ??? ? 则 OP ? OB . OA +

小结:空间向量的化简与平面向量的化简一样,加 法注意向量的首尾相接,减法注意向量要共起点, 并且要注意向量的方向.

4. 平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' , O 为 A 1 C 与 B 1 D ???? ? 1 ??? ???? ???? 的交点,则 ( AB ? AD ? AA' ) ? AO . 3 5. 在下列命题中:①若 a、b 共线,则 a、b 所在的 动手试试 直线平行;②若 a、b 所在的直线是异面直线,则 练 1. 已知 A, B, C 三点不共线,对平面外任一点, a、b 一定不共面;③若 a、b、c 三向量两两共面, ??? 1 ??? 2 ??? 2 ???? ? ? ? 则 a、b、c 三向量一定也共面;④已知三向量 a、 满足条件 OP ? OA ? OB ? OC , 试判断: P 与 点 5 5 5 b、c,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p A, B, C 是否一定共面? =xa+yb+zc.其中正确命题的个数为 ( ). A.0 B.1 C. 2 D. 3

课后作业:

? ? ? ? ? ? ? ? 1. 若 a ? 3m ? 2n ? 4 p, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp , ? ? ? ? a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x, y .

? ? ? ? ? ? ? ? 练 2. 已知 a ? 3m ? 2n, b ? ( x ? 1)m ? 8n , a ? 0 ,若 ? ? a // b ,求实数 x.

三、总结提升 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律; 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内 的平移,而空间向量研究的是空间的平移,它们的 共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动 相同的长度” ,空间的平移包含平面的平移.

?? ?? ? ??? ?? ?? ? ? 2. 已 知 两 个 非 零 向 量 e1 , e2 不 共 线 , AB ? e1 ? e2 , ???? ?? ?? ???? ? ?? ?? ? AC ? 2e1 ? 8e2 , AD ? 3e1 ? 3e2 . 求 证 : A, B, C, D共 面.

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
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§3.1.3 空间向量的数量积
编写人:颜越西 审定人:盛军

学习目标

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1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法; 2. 掌握两个向量的数量积的计算方法, 并能利用两 个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问 题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P90~ P92,找出疑惑之处) ? ? 复习 1:什么是平面向量 a 与 b 的数量积? 复习 2:在边长为 1 的正三角形⊿ABC 中,求 ??? ??? ? ? AB ? BC .

4) 空间向量数量积运算律: ? ? ? ? ? ? (1) (? a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) . ? ? ? ? (2) a ? b ? b ? a (交换律) . ? ? ? ? ? ? ? (3) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律 反思: ? ? ? ? ? ? ⑴ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 吗?举例说明.

⑵ 若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 吗?举例说明. ⑶ 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 吗?为什么? 典型例题 例 1 用向量方法证明:在平面上的一条直线,如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这 条斜线垂直.
? ?

? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

二、新课导学 学习探究 探究任务一:空间向量的数量积定义和性质 问题:在几何中,夹角与长度是两个最基本的几何 量,能否用向量的知识解决空间两条直线的 夹角和空间线段的长度问题?
新知: ? ? 1) 两个向量的夹角的定义:已知两非零向量 a, b , ??? ? ??? ? ? ? 在空间 一点 O , O ? B b ? , ?A B 叫 作 A aO, 则 O ? ? 做向量 a 与 b 的夹角,记作 . 试试: ? ? ?? a, b ?? ⑴ 范围: ? ? ? ? ? ? ? ? ? a, b? =0 时, a 与 b ; ? a, b? =π 时, a 与 b ? ? ? ? ⑵ ? a, b ??? b , a ? 成立吗? ? ? ? ? ⑶ ? a, b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作 2) 向量的数量积: ? ? 已知向量 a, b ,则 ? ? ? ? 记作 a ? b ,即 a ? b ?

变式 1:用向量方法证明:已知: m, n 是平面 ? 内 的两条相交直线,直线 l 与平面 ? 的交点为 B ,且 l ? m, l ? n . 求证: l ? ? .

.

? ? 叫做 a, b 的数量积,

例 2

如图,在空间四边形 ABCD 中, AB ? 2 ,

.

规定:零向量与任意向量的数量积等于零.

BC ? 3 , BD ? 2 3 , CD ? 3 , ?ABD ? 30? , ?ABC ? 60? ,求 AB 与 CD 的夹角的余弦值
王新敞
奎屯 新疆

D
反思: ⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量? ? ? ? ⑵ 0?a ? (选 0 还是 0 ) ? ? ⑶ 你能说出 a ? b 的几何意义吗? 3) 空间向量数量积的性质: ? ? ? ? ? ? (1)设单位向量 e ,则 a ? e ?| a | cos ? a, e ? . ? ? ? ? (2) a ? b ? a ? b ? . ? ? (3) a ? a ? = .
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A
变式:如图,在正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中,若 B

C

AB= 2 BB 1 ,则 AB 1 与 C 1 B 所成的角为( ) A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°

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高二上期数学◆选修 2-1◆导学案

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列命题中: ? ? ? ? ? ①若 a ? b ? 0 ,则 a , b 中至少一个为 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ②若 a ? 0 且 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ? ? ? ? ? ? ③ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
? ? ? ? ?2 ?2 ④ (3a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? 9 a ? 4 b

例 3 如图,在平行四边形 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,
AB ? 4, AD ? 3 , AA' ? 5 , ?BAD ? 90? , ?BAA' = ?DAA' =60°,求 AC ' 的长.

正确有个数为( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 ?? ?? ? ? 2. 已知 e1 和 e2 是两个单位向量,夹角为 ,则下 3 ?? ?? ? 面向量中与 2e2 ? e1 垂直的是( ) ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? A. e1 ? e2 B. e1 ? e2 C. e1 D. e2 3.已知 ?ABC 中, A, ?B, ?C 所对的边为 a, b, c , ? ??? ??? ? ? 且 a ? 3, b ? 1 , ?C ? 30? ,则 BC ? CA = ? ? ? ? ? ? 4. 已知 a ? 4 ,b ? 2 , a 和 b 不共线, a ? ? b 且 当 ? ? 与 a ? ? b 的夹角是锐角时,? 的取值范围是 . ? ? ? ? ?? ?? ? ? 5. 已知向量 a, b 满足 a ? 4 , b ? 2 , a ? b ? 3 , ? ? 则 a ? b ? ____

动手试试

练 1. 已知向量 a, b ? ? 则 a ? b ? ____.

?? ?? ? ?

? ? ? ? 满足 a ? 1 ,b ? 2 ,a ? b ? 3 ,

课后作业:
1. 已 知 空 间 四 边 形 ABCD 中 , A B? C D , D AC ? BD ,求证: AD ? BC .

A
? ? 2 ? ? 练 2. 已知 a ? 2 2 , b ? , a?b ? ? 2 , 2 ? ? a 与b 的夹角大小为_____.

C



B

2. 已知线段 AB、 在平面 ? 内,BD⊥AB, 线段 AC ? ? , BD 如果 AB=a,BD=b,AC=c,求 C、D 间的距离.

三、总结提升 学习小结 1..向量的数量积的定义和几何意义. 2. 向量的数量积的性质和运算律的运用. 知识拓展 向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题,求 两条直线的夹角和线段长度的新方法.

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为(
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§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
编写人:张春燕 审定人:颜越西

).

学习目标

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1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理 和坐标表示; 2. 掌握空间向量的坐标运算的规律;

???? ⑸设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB =

.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P92-96 找出疑惑之处) 复习 1:平面向量基本定理: ??? ?? 对平面上的任意一个向量 P , a,b 是平面上两个 向量,总 ??? ?? 是存在 实数对 ? x, y ? ,使得向量 P 可以用 a,b 来 ??? 表示,表达式为 ,其中 a,b 叫 ? ? ?? 做 . 若 a ? b ,则称向量 P 正交分解. 复习 2:平面向量的坐标表示: 平面直角坐标系中,分别取 x 轴和 y 轴上的 向量 ?? ? i, j 作为基底,对平面上任意向量 a ,有且只有一对 ? ? ? 实数 x,y,使得 a ? xi ? y j , ,则称有序对 ? x, y ? ? ? 为向量 a 的 ,即 a = .

⑹向量的直角坐标运算: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑵a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑶λa= (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (? ? R) ; ⑷a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 . 试试: ? ? ? ? ? 1. 设 a ? 2i ? j ? 3k ,则向量 a 的坐标为 . ???? 2. 若 A (1,0, 2) ,B (3,1, ?1) ,则 AB = . 3. 已知 a= (2, ?3,5) ,b= (?3,1, ?4) ,求 a+b,a- b,8a,a·b

二、新课导学 学习探究 探究任务一:空间向量的正交分解 ? 问题:对空间的任意向量 a ,能否用空间的几个向 量唯一表示?如果能,那需要几个向量?这几个向 量有何位置关系?
新知:
? ⑴ 空间向量的正交分解:空间的任意向量 a ,均 ?? ? ?? ? ?? ? 可分解为不共面的三个向量 ?1 a1 、 ?2 a2 、 ?3 a3 , ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ? ? 使 a ? ?1 a1 ? ?2 a2 ? ?3 a3 . 如果 a1 , a2 , a3 两两 , 这种分解就是空间向量的正交分解.

典型例题

? ? ? 例 1 已知向量 a, b, c 是空间的一个基底,从向量 ? ? ? ? ? ?? ? a, b, c 中选哪一个向量,一定可以与向量 p ? a ? b, ? ? ? q ? a ? b 构成空间的另一个基底?

??? ??? ???? ? ? ? ? ? 变式: 已知 O,A,B,C 为空间四点, 且向量 OA, OB, OC (2)空间向量基本定理:如果三个向量 a, b, c , ?? 不构成空间的一个基底,那么点 O,A,B,C 是否共 对空间任一向量 p ,存在有序实数组 {x, y, z} ,使得 面? ? ? ? ? ? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc . 把 的一个基底, a, b, c 都叫做 基向量.

反思:空间任意一个向量的基底有

个.

⑶单位正交分解: 如果空间一个基底的三个基向量互 相 , 长度都为 , 则这个基底叫做单位正交基 底,通常用{i,j,k}表示. ⑷空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量 a,且设 i、j、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正 方向的单位向量, 则存在有序实数组 {x, y, z} , 使得 ? ? ? ? a ? xi ? y j ? zk ,则称有序实数组 {x, y, z} 为向量 a ? ? 的坐标,记着 p ? .
第 51 页

小结:判定空间三个向量是否构成空间的一个基底 的方法是:这三个向量一定不共面. 例 2 如图,M,N 分别是四面体 QABC 的边 OA,BC ??? ??? ???? ? ? 的中点,P,Q 是 MN 的三等分点,用 OA, OB, OC

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高二上期数学◆选修 2-1◆导学案

??? ? ???? 表示 OP 和 OQ .

自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
? ???? 1. 若 a,b,c 为空间向量的一组基底,则下列各项

?

?

中,能构成基底的是( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A. a, a ? b, a ? b B. b, a ? b, a ? b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. c, a ? b, a ? b D. a ? 2b, a ? b, a ? b 2. 设 i、j、k 为空间直角坐标系 O-xyz 中 x 轴、y ??? ? ? ? ? 轴、z 轴正方向的单位向量,且 AB ? ?i ? j ? k ,则 变式:已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' ,点 G 点 B 的坐标是 ? ??? ? ???? ? ???? ? ? OC 是侧面 BB'C 'C 的中心, OA ? a , ? b, OO' ? c , 3. 在三棱锥 OABC 中,G 是 ?ABC 的重心(三条中 且 ? ? ? ??? ??? ???? ? ? 试用向量 a, b, c 表示下列向量: 线的交点) ,选取 OA, OB, OC 为基底,试用基底表 ???? ???? ???? ? ???? ???? ⑴ OB' , BA' , CA' ; ⑵ OG . 示 OG = 4. 正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱长为 2, A 为坐 以 ? ??? ???? ????' ? 标原点,以 AB,AD,AA 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向 建立空间直角坐标系,E 为 BB1 中点,则 E 的坐标 是 . 5. 已知关于 x 的方程 x 2 ? ? t ? 2 ? x ? t 2 ? 3t ? 5 ? 0 有 ? ? ? ? ? 2 两个实根, c ? a ? tb ,且 a ? ? ?1,1,3 ?, b ? ?1,0, ? ? , ? 当 t= 时, c 的模取得最大值.

课后作业
动手试试
? ? ? 练 1. 已知 a ? ? 2, ?3,1?, b ? ?2,0,3 ?, c ? ?0,0,2 ? ,求: ? ? ? ? ? ? ⑴a? b?c ; ⑵ a ? 6b ? 8c .

??? ??? ? ? 1. 已 知 A ? ? 3, 5,? 7 B ? ? ? 2, 4, 3求 AB, BA, 线 段 ? , ?,

AB 的中点坐标及线段 AB 的长度.

?

?

练 2. 正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱长为 2,以 A ? ??? ???? ???? ? 为坐标原点,以 AB,AD,AA ' 为 x 轴、y 轴、z 轴正 ? ???? ???? 方向建立空间直角坐标系,则点 D1 , AC , AC ' 的坐 标分别是 , , .

? ? ? 2. 已 知 a, b, c 是 空 间 的 一 个 正 交 基 底 , 向 量 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? a ? b, a ? b, c 是另一组基底,若 p 在 a, b, c 的坐标是 ? ? ? ? ? ?? ?1, 2,3? ,求 p 在 a ? b, a ? b, c 的坐标.

三、总结提升 学习小结 1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理; 2. 空间向量坐标表示及其运算 知识拓展 建立空间直角坐标系前,一定要验证三条轴的垂直 关系,若图中没有建系的环境,则根据已知条件, 通过作辅助线来创造建系的图形.

学习评价
第 52 页

§3.1.5

空间向量运算的坐标表示

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高二上期数学◆选修 2-1◆导学案

编写人:颜越西

审定人:张春燕

学习目标
1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距 离公式、中点坐标公式; 2. 会用这些公式解决有关问题.

4. 线段中点的坐标公式: 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 点 A( x1 , y1 , z1 ) , . B( x2 , y2 , z2 ) ,则线段 AB 的中点坐标为:

典型例题 例 1. 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E1 , F1 一、课前准备 分别是 A1 B1 , C1 D1 的一个四等分点,求 BE1 与 DF1 所 (预习教材 P95~ P97,找出疑惑之处) 复习 1: 设在平面直角坐标系中, (1,3) , (?1, 2) , 成的角的余弦值. A B 则线段︱AB︱= .

学习过程

? ? 复习 2:已知 a ? ? ?3, 2,5? , b ? ?1,5, ?1? ,求:

⑴a+B.

⑵3a-b;

⑶6A. ;

⑷a·b.

二、新课导学 学习探究 探究任务一:空间向量坐标表示夹角和距离公式 问题:在空间直角坐标系中,如何用坐标求线段的 长度和两个向量之间的夹角? 新知: 1. 向量的模:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,则|a|=
2. 两个向量的夹角公式: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) , 由向量数量积定义: a·b=|a||b|cos<a,b>, 又由向量数量积坐标运算公式: b= a· 由此可以得出:cos<a,b>= 变 式 : 如 上 图 , 在 正 方 体 A B C D 1A 1B 1 1中 , ? C D AB B1 E1 ? D1 F1 ? 1 1 ,求 BE1 与 DF1 所成角的余弦值. 3



试试: ① 当 cos<a、b>=1 时,a 与 b 所成角是 ; ② 当 cos < a 、 b > = - 1 时 , a 与 b 所 成 角 是 ; ③ 当 cos<a、 b>=0 时, 与 b 所成角是 a , 例 2. 如图,正方体 ABCD ? A B C D 中,点 E,F 分 1 1 1 1 即 a 与 b 的位置关系是 ,用符合表示 别是 BB1 , D1 B1 的中点,求证: EF ? DA1 . 为 . 反思: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴ a//B. ? a 与 b 所成角是 ? a 与 b 的坐 标关系为 ; ⑵ a⊥b ? a 与 b 的坐标关系为 ;

3. 两点间的距离公式: 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 点 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则线段 AB 的长度为:
AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2 .
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变 式 : 如 图 , 正 方 体

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点 求 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 是 AB 的中点, DB1 与 CM 所成角的余弦值.

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 若 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则
a1 a2 a3 ? ? b1 b2 b3

小结:求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在 合适的直角坐标系中找出两个向量的坐标,然后再 用公式计算.

? ? 是 a // b 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不不要条件 ? ? ? ? 2. 已知 a ? ? 2, ?1,3 ?, b ? ? ?4, 2, x ? ,且 a ? b ,

??? ? ??? ? ??? ? 3. 已知 A ?1, 0, 0 , ? 0, 1,1 OA ? ? OB 与 OB 的夹 ? B ? ?,

则 x=

.

动手试试 练 1. 已知 A(3,3,1)、B(1,0,5),求: ⑴线段 AB 的中点坐标和长度; ⑵到 A、 两点距离相等的点 P( x, y, z ) 的坐标 x、 B y、 钝角,则 x 的取值范围是( ) z 满足的条件. A. x ? ?4 B. ?4 ? x ? 0 C. 0 ? x ? 4 D. x ? 4 ? ? 5. 已知 a ? ?1, 2, ? y ? , b ? ? x,1, 2 ? , 且
? ? ? ?? ? (a ? 2b) //(2a ? b) ,则( 1 A. x ? , y ? 1 3 1 C. x ? 2, y ? ? 4

角为 120°,则 ? 的值为( ) 6 6 6 A. ? B. C. ? D. ? 6 6 6 6 ? ? ? ? 4. 若 a ? ? x, 2,0 ? , b ? ? 3, 2 ? x, x 2 ? ,且 a, b 的夹角为


1 B. x ? , y ? ?4 2

D. x ? 1, y ? ?1

练 2. 如图,正方体的棱长为 2,试建立适当的空间 直角坐标系,写出正方体各顶点的坐标,并和你的 同学交流.

课后作业:
1. 如图,正方体 ABCD ? A' B'C ' D' 棱长为 a , ⑴ 求 A' B, B 'C 的夹角;⑵求证: A' B ? AC ' .

三、总结提升 学习小结 1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公 式、中点坐标公式; 2. 解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建 立合适的空间直角坐标系,写出向量的坐标,然 后再代入公式进行计算. 知识拓展 在平面内取正交基底建立坐标系后,坐标平面内的 任意一个向量,都可以用二元有序实数对表示,平 面向量又称二维向量.空间向量可用三元有序实数 组表示, 空间向量又称三维向量.二维向量和三维向 量统称为几何向量.
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2. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 M,N 分别 为棱 A1 A, B1 B 的中点,求 CM 和 D1 N 所成角的余弦 值.

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§3.1 学习目标

空间向量及其运算(练习)

编写人:盛军 审定人:颜越西 1. 熟练掌握空间向量的加法,减法,向量的数乘运 算,向量的数量积运算及其坐标表示; 2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点 间距离公式、中点坐标公式,并能熟练用这些公式 解决有关问题.

8. 单位正交分解:如果空间一个基底的三个基向量 互相 ,长度都为 , 则这个基底叫做单位正交 基底,通常用{i,j,k}表示. 9.空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系 O-xyz 和向量 a,且设 i、j、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正 方向的单位向量, 则存在有序实数组 {x, y, z} , 使得 ? ? ? ? a ? xi ? y j ? zk ,则称有序实数组 {x, y, z} 为向量 a ? ? 的坐标,记着 p ? .
???? 10. 设 A ( x1 , y1 , z1 ) , ( x2 , y2 , z2 ) , AB = B 则

学习过程
一、课前准备: (阅读课本 p115) 复习: 1. 具有 和 的量叫向量, 叫向量 的模; 叫零向量,记 着 ; 具有 叫单位向量. 2. 向 量 的 加 法 和 减 法 的 运 算 法 则 有 法则 和 法则. 3.实数 λ 与向量 a 的积是一个 量,记作 ,其 长度和方向规定如下: (1)|λa|= . (2)当 λ>0 时,λa 与 A. ; 当 λ<0 时,λa 与 A. ; 当 λ=0 时,λa= . 4. 向量加法和数乘向量运算律: 交换律:a+b= 结合律:(a+b)+c= 数乘分配律:λ(a+b)= 5.① 表示空间向量的 所在的直 线互相 或 ,则这些向量叫共线向量, 也叫平行向量. ? ? ②空间向量共线定理:对空间任意两个向量 a, b ? ? ? ? ( b ? 0 ) a // b 的充要条件是存在唯一实数 ? , , 使得 ; ③ 推论: l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向 ? 量 a 的直线,对空间的任意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是 6. 空间向量共面: ①共面向量:

.

11. 向量的直角坐标运算: 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a+b= ; ⑵a-b= ⑶λa= ; ⑷a·b=



动手试试 1.在下列命题中:①若 a、b 共线,则 a、b 所在的 直线平行;②若 a、b 所在的直线是异面直线,则 a、b 一定不共面;③若 a、b、c 三向量两两共面, 则 a、b、c 三向量一定也共面;④已知三向量 a、 b、c,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p =xa+yb+zc.其中正确命题的个数为( ) A.0 B. 1 C. 2 D. 3
???? ? 2.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, 向量 D1 A 、 ???? ? ????? D1C 、 A1C1 是( ) A.有相同起点的向量 B.等长向量 C.共面向量 D.不共面向量

3.已知 a=(2,-1,3) ,b=(-1,4,-2) , c=(7,5,λ ) ,若 a、b、c 三向量共面,则实 数 λ=( ) 62 63 64 65 A. B. C. D. 7 7 7 7 4.若 a、b 均为非零向量,则 a ? b ?| a || b | 是 a 与 b 共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 5.已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ,B(4, -3, , 7) C (0, 1) 则 BC 边上的中线长为 5, , ( ) A.2 B.3 C.4 D.5
? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? 6. a ? 3i ? 2 j ? k , b ? i ? j ? 2k , 则 5a ? 3b ? ( ) A.-15 B.-5 C.-3 D.-1

同一平面的向量. ? ? ?? ②定理:对空间两个不共线向量 a, b ,向量 p 与向 ? ? 量 a, b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 , 使 得 . ③推论: 空间一点 P 与不在同一直线上的三点 A,B,C 共面的充要条件是: ⑴ 存在 ,使 ⑵ 对空间任意一点 O,有 ? ? 7. 向量的数量积: a ? b ?
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.

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典型例题

学习评价
自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
??? ? ??? ? 1. 直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, CA ? a ,CB ? b , 若 ???? ? ???? ) CC1 ? c , 则 A1 B ? ( A. a ? b ? c B. a ? b ? c C. ?a ? b ? c D. ?a ? b ? c ?? ? ?? ? ? ? ? 2. m ? a, m ? b, 向量n ? ? a ? ? b(? , ? ? R且? 、

??? ????? ? ? ? 例 1 如图,空间四边形 OABC 中,OA ? a,OB ? b , ???? ? 点 且 OC ? c , M 在 OA 上, OM=2MA,点 N 为 BC 的 ???? ? 中点,则 MN ? .

变 式 : 如 图 , 平 行 六 面 体 ABCD ? A' B'C ' D' 中 , ???? ? ??? ?????? ? ? AB ? a AD b , AA' ? c , 点 P, M , N 分 别 是 , ? CQ 4 ' CA' , CD ,'C D' 的中点,点 Q 在 CA' 上,且 ? , QA' 1 ? ? ? 用基底 a, b, c 表示下列向量: ???? ???? ??? ? ???? ? ⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .

) ?? ? ?? ? A. m // n B. m 与 n 不平行也不垂直 ?? ? C. m ? n , D.以上情况都可能. ? ? ? ? ? ? ? 3. 已知 a + b + c = 0 ,| a |=2,| b |=3,| c |= 19 , ? ? ? ? 则向量 a 与 b 之间的夹角 ? a, b ? 为( ) A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 ? ? ? ? ? ? 4.已知 a ? ?1,1, 0? ,b ? ? ? 1, 0, 2? ,且 ka ? b 与 2a ? b 互 相垂直,则 k 的值是( ) 1 3 7 A. .1 B. C. D. 5 5 5 5. 若 A(m+1,n-1,3), B. (2m,n,m-2n), C(m+3,n-3,9)三点共线,则 m+n=

? ? 0)则 (

课后作业
例 2 如 图 , 在 直 三 棱 柱 ABC — A1B1C1 中 ,
6 , 点 M 是 CC1

如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 点 E, F , G 分别是 DD1 , BD, BB1 的中点. ⑴ 求证: EF ? CF ; ⑵ 求 EF 与 CG 所成角的余弦; ⑶ 求 CE 的长.

?A B C ? 9 0 ?, C B ? 1, C A? 2 , A A? 1

的中点,求证: AM ? BA1 .

变式:正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱长为 2,底面 边长为 1,点 M 是 BC 的中点,在直线 CC1 上求一 点 N,使得 MN ? AB1

§3.2 立体几何中的向量方法(1)
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高二上期数学◆选修 2-1◆导学案

编写人:颜越西 审定人:盛军

学习目标
1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念; 2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决 平行、垂直、夹角等立体几何问题.

? ? ? ? 1. 如 果 a, b 都 是 平 面 ? 的 法 向 量 , 则 a, b 的 关 系 . ? ? 2.向量 n 是平面 ? 的法向量,向量 a 是与平面 ? 平 ? ? 行或在平面内,则 n 与 a 的关系是 .

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P102~ P104,找出疑惑之处) 复习 1: 可以确定一条直线;确 定一个平面的方法有哪些?

反思: 1. 一个平面的法向量是唯一的吗? 2. 平面的法向量可以是零向量吗?

⑸ 向量表示平行、垂直关系:

复习 2:如何判定空间 A,B,C 三点在一条直线上?

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ,平面 ? , ? 的 ? ? 法向量分别为 u, v ,则 ? ? ? ? ① l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ? ? ? ? ② l ∥? ? a ? u ? a ?u ? 0 ? ? ? ? ③ ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv.

复习 3:设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) , a·b=

典型例题 例 1 已知两点 A ?1, ?2,3? , B ? 2,1, ?3? ,求直线 AB 与坐标平面 YOZ 的交点.

二、新课导学 学习探究 探究任务一: 向量表示空间的点、直线、平面 问题:怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中 的位置?
新知: ⑴ 点:在空间中,我们取一定点 O 作为基点,那 ??? ? 么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量 OP 来表 ??? ? 示,我们把向量 OP 称为点 P 的位置向量. ⑵ 直线: ① 直线的方向向量:和这条直线平行或共线的非 零向量. ② 对于直线 l 上的任一点 P ,存在实数 t ,使得 ??? ? ??? ? AP ? t AB,此方程称为直线的向量参数方程. ⑶ 平面: ① 空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两个不共线 ? ? 向量确定.对于平面 ? 上的任一点 P , a, b 是平面 ? 内两个不共线向量,则存在有序实数对 ( x, y ) ,使得 ??? ? ? ? OP ? xa ? yb . ② 空间中平面 ? 的位置还可以用垂直于平面的 直线的方向向量表示空间中平面的位置. ? ⑷ 平面的法向量: 如果表示向量 n 的有向线段所在 ? 直线垂直于平面 ? , 则称这个向量 n 垂直于平面 ? , ? ? 记作 n ⊥ ? ,那 么向量 n 叫做平面 ? 的法向量.

变式:已知三点 A ?1, 2,3? , B ? 2,1, 2 ? , P ?1,1, 2 ? ,点 Q 在 ??? ??? ? ? OP 上运动(O 为坐标原点),求当 QA ? QB 取得最 小值时,点 Q 的坐标.

试试: .
第 57 页

小结:解决有关三点共线问题直接利用直线的参数 方程即可. 例 2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理: 一

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高二上期数学◆选修 2-1◆导学案

个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这 两个平面平行.

自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
? ? 1. 设 a ? ? 2, ?1, ?2 ? , b ? ? 6, ?3, ?6 ? 分别是直线 l1 , l2 的

方向向量,则直线 l1 , l2 的位置关系是 . ? ? 2. 设 u ? ? ?2, 2,5 ? , v ? ? 6, ?4, 4 ? 分别是平面 ? , ? 的 法向量,则平面 ? , ? 的位置关系是 . ? 3. 已知 n ? ? ,下列说法错误的是( ) ? ? A. 若 a ? ? ,则 n ? a B.若 a // ? ,则 n ? a ?? ?? ? ?? ? ?? C.若 m ? ? , ,则 n // m D.若 m ? ? , , n ? m 则 4.下列说法正确的是( ) A.平面的法向量是唯一确定的 B.一条直线的方向向量是唯一确定的 C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量 ?? ?? D.若 m 是直线 l 的方向向量, l // ? ,则 m // ? ? ? ?? ? ? ?? ? , 3 1 5. 已 知 A B ? ?1, 0 , ?1 A C ?? 0 , ??, , 能 做 平 面

变 式 : 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 A ? 3 , 0 , B , ? 0 ?C 4 ,? ,试求平面 ABC 的一个 0 , 0 , 0 , 0 , 2 ? ? 法向量.

小结:平面的法向量与平面内的任意向量都垂直.

动手试试

ABC 的法向量的是( ) ? 1 ? A. ?1, 2,1? B. ?1, ,1? C. ?1,0,0? ? 3 ?

D.

? 2,1,3?

? ? 练 1. 设 a, b 分别是直线 l1 , l2 的方向向量,判断直线
l1 , l2 的位置关系: ? ? ⑴ a ? ?1, 2, ?2 ? , b ? ? ?2,3, 2 ? ; ? ? ⑵ a ? ? 0,0,1? , b ? ? 0,0,3? .

课后作业

???? ? 1. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求证: DB1 是平

面 ACD1 的一个法向量.

? ? 练 2. 设 u, v 分别是平面 ? , ? 的法向量,判断平面 ? , ? 的位置关系: ? ? ⑴ u ? ?1, 2, ?2 ? , v ? ? ?2, ?4, 4 ? ; ? ? ⑵ u ? ? 2, ?3,5 ? , v ? ? ?3,1, ?4 ? .

三、总结提升 学习小结 1. 空间点,直线和平面的向量表示方法 2. 平面的法向量求法和性质. 知识拓展: 求平面的法向量步骤: ? ⑴设平面的法向量为 n ? ( x, y, z ) ; ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标; ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程组; ⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

??? ? ???? 2.已知 AB ? ? 2, 2,1? , AC ? ? 4,5,3? ,求平面 ABC 的

一个法向量.

学习评价
第 58 页

§3.2 立体几何中的向量方法(2)

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高二上期数学◆选修 2-1◆导学案

编写人:颜越西 审定人:盛军

学习目标
1. 掌握利用向量运算解几何题的方法, 并能解简单 的立体几何问题; 2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间 图形中的角度的计算方法.

变式 1:上题中平行六面体的对角线 BD1 的长与棱 长有什么关系?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P105~ P107,找出疑惑之处. ? ? ? ? ?? ? ? 复习 1: 已知 a ? b ? 1 , a ? 1, b ? 2 , m ? 2 ? , 且 a b ?? 求m.

变式 2:如果一个平行六面体的各条棱长都相等, 并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ? , 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱 长吗?

复习 2:什么叫二面角?二面角的大小如何度量? 二面角的范围是什么?

二、新课导学 学习探究 探究任务一:用向量求空间线段的长度 问题:如何用向量方法求空间线段的长度?
新知:用空间向量表示空间线段,然后利用公式 ? ?2 a ? a 求出线段长度. 试 试 : 在 长 方 体 A B C D ' A 'B 'C 中 , 已 知 ? 'D ' ' AB ? 1, BC ? 2, CC ? 1 ,求 AC 的长. 探究任务二:用向量求空间图形中的角度 例 2 如图, 甲站在水库底面上的点 A 处, 乙站在水 坝斜面上的点 B 处.从 A,B 到直线 l (库底与水坝 的交线)的距离 AC, BD 分别为 a, b ,CD 的长为 c , AB 的长为 d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.

反思:用向量方法求线段的长度,关键在于把未知 量用已知条件中的向量表示.

变式:如图, 60? 的二面角的棱上有 A, B 两点,直 线 AC, BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且 都垂直于 AB, 已知 AB ? 4, AC ? 6, BD ? 8,求 CD 的 长.

典型例题 例 1 如图,一个结晶体的形 状为平行六面体,其中,以 顶点 A 为端点的三条棱长都 相等,且它们彼此的夹角都 是 60°,那么以这个顶点为 端点的晶体的对角线的长与 棱长有什么关系? 动手试试
第 59 页

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高二上期数学◆选修 2-1◆导学案

练 1. 如图, 已知线段 AB 在平面 α 内, 线段 AC ? ? , 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). 线段 BD⊥AB,线段 DD ' ? ? ,?DBD ' ? 30? ,如果 A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 AB=a,AC=BD=b,求 C、D 间的距离. 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知 A ?1,02 ? , B ? ?1,1,3 ? ,则 AB ? . ? ? ? ? 1 2. 已知 cos a, b ? ? ,则 a, b 的夹角为 . 2 3. 若 M 、 N 分 别 是 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱 A' B ', BB' 的中点,那么直线 AM , CN 所成的角的余弦为( )
3 10 3 2 B. C. D. 2 10 5 5 4. 将锐角为 60? 边长为 a 的菱形 ABCD 沿较短的对 角线折成 60? 的二面角, AC, BD 间的距离是 则 ( )

A.

练 2. 如图,M、N 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱 BB ' 、 B ' C ' 的中点.求异 面直线 MN 与 CD ' 所成的角.

3 3 3 3 A. a B. C. a D. a a 2 4 2 4 5. 正 方 体 A B C?D ' A B 中 棱 长 为 a , ' ' C D ' ? ???? 1 ????' ? AM ? AC , N 是 BB' 的中点,则 MN 为( ) 3 21 6 15 15 A. B. a D. a a a C. 6 3 6 6

课后作业
1. 如图,正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱长为 1, M , N 分别是 BB' , B'C ' 的中点,求:

⑴ MN , CD ' 所成角的大小; ⑵ MN , AD 所成角的大小; ⑶ AN 的长度.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 求出空间线段的长度:用空间向量表示空间线 ? ?2 段,然后利用公式 a ? a ;
2. 空间的二面角或异面直线的夹角, 都可以转化为 ? ? ? ? a ?b 利用公式 cos a, b ? ? ? 求解. a?b

知识拓展 解空间图形问题时,可以分为三步完成: (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向 量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何 问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助); (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题; (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.

学习评价
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§3.2 立体几何中的向量方法(3)

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高二上期数学◆选修 2-1◆导学案

编写人:颜越西 审定人:盛军

学习目标
1. 进一步熟练求平面法向量的方法; 2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离 和两异面直线间距离的计算方法; 3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.

学习过程
一、课前准备 复习 1:已知 A ?1,2,0 ?, B ?0,1,1 ?, C ?1,1, 2 ? ,试求平 面 ABC 的一个法向量.

反思:当点到平面的距离不能直接求出的情况下, 可以利用法向量的方法求解.

典型例题 例 1 已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,求 点 B 到平面 EFG 的距离.

复习 2:什么是点到平面的距离?什么是两个平面 间距离?

二、新课导学 学习探究 探究任务一:点到平面的距离的求法 问题: 如图 A ??, 空间一点 P 到平面 ? 的距离为 d ,

? ??? ? ? 已知平面 ? 的一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线, ??? ? ? 能否用 AP 与 n 表示 d ?

变 式 : 如 图 , ABCD 是 矩 形 , PD ? 平 面 A B C ,D ? DC ? a , AD ? 2a , M 、N 分 别 是 PD AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P

?P 分析:过 P 作 PO ⊥ ? 于 O, ? ? n 连结 OA,则 ? ??? ? ??? d=| PO |= | PA | ?cos ?APO. ? ??? ? A? ? ?O ∵ PO ⊥ ? , n ? ? , ??? ? ? ∴ PO ∥ n . ??? ? ? ∴cos∠APO=|cos ? PA, n? | ??? ? ? ??? ? ∴D. =| PA ||cos ? PA, n? | ???? ? ? ??? ? ? ??? ? ? | PA |? | n | ? | cos? PA, n? | | PA ? n | ??? ? = = ?? |n| |n|
新知:用向量求点到平面的距离的方法: 设 A ??, 空间一点 P 到平面 ? 的距离为 d ,平面 ? ? 的一个法向量为 n ,则 ??? ? ? | PA ? n | ? D. = ?? |n|

N D C

M A

B

小结:求点到平面的距离的步骤: ⑴ 建立空间直角坐标系,写出平面内两个不共线向 量的坐标;⑵ 求平面的一个法向量的坐标; ⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的 试试:在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, 坐标;⑷ 代入公式求出距离. 探究任务二:两条异面直线间的距离的求法 求点 C ' 到平面 A' BCD' 的距离.
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高二上期数学◆选修 2-1◆导学案

例 2 如图,两条异面直线 a, b 所成的角为 ? ,在直 线 a, b 上分别取点 A , E 和 A, F ,使得 AA ? a ,且 求公垂线 AA' AA' ? b .已知 A' E ? m, AF ? n, EF ? l , 的长.
'

用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法.

'

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
) .

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,平 面 ABB' A' 的一个法向量为 ; 2. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,异 面直线 A' B 和 CB' 所成角是 ; 3. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,两 个平行平面间的距离是 ; 4. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,异 面直线 A' B 和 CB' 间的距离是 ; 5. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, O 点 ' ' ' ' ' ' 是底面 A B C D 中心, 则点 O 到平面 ACDB 的距离 是 .
变式:已知直三棱柱 ABC ─A1 B1C1 的侧棱 AA1 ? 4 , 底面 △ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?BCA ? 90 , E 是 且 AB 的中点,求异面直线 CE 与 AB1 的距离.
?

课后作业
1. 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1, M 点 是棱 AA1 中点,点 O 是 BD1 中点,求证: OM 是异 面直线 AA1 与 BD1 的公垂线,并求 OM 的长.

小结:用向量方法求两条异面直线间的距离,可以 ? 先找到它们的公垂线方向的一个向量 n ,再在两条 直线上分别取一点 A, B ,则两条异面直线间距离 ? ??? ? n ? AB ? 求解. d ? ?? n

2. 如图,空间四边形 OABC 各边以及 AC, BO 的长 都是 1, D, E 分别是边 OA, BC 的中点, 点 连结 DE . ⑴ 计算 DE 的长; ⑵ 求点 O 到平面 ABC 的距离.

三、总结提升 学习小结 1.空间点到直线的距离公式 2.两条异面直线间的距离公式

知识拓展
第 62 页

第三章

空间向量(复习)

编写人:盛军 审定人:颜越西

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高二上期数学◆选修 2-1◆导学案

学习目标
1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算; 2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好 的工具.

?? ? ?? ? ?? ? 500kg ,在它的顶点处分别受力 F1 、 F2 、 F3 ,每 个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是 ?? ? ?? ? ?? ? 60? ,且 F1 ? F2 ? F3 ? 200 kg .这块钢板在这些力

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P115-116,找出惑之处) 复 习 1 : 如 图 , 空 间 四 边 形 OABC 中 , ??? ? ??? ? ???? ? ? ? 且 OA ? a, OB ? b, OC ? c .点 M 在 OA 上, OM=2MA,

的作用下将会怎样运动?这三个力最小为多大时, 才能提起这块钢板?

???? ? N 为 BC 中点, MN ? 则

变式:上题中,若不建立坐标系,如何解决这个问 题?

??? ? ? 复习 2:平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D' 中, AB ? a ???? ? ????' ? AD ? b, AA ? c ,点 P,M,N 分别是 CA' , CD' , C ' D'

的中点,点 Q 在 CA' 上,且 CQ : QA' ? 4 :1 ,用基底 ? ? ? a, b, c 表示下列向量: ???? ???? ??? ? ???? ? ⑴ AP ; ⑵ AM ; ⑶ AN ; ⑷ AQ .

?

?

小结:在现实生活中的问题,我们可以转化我数学 中向量的问题来解决,具体方法有坐标法和直接向 量运算法,对能建立坐标系的题,尽量使用坐标计 算会给计算带来方便. 例 2 如图,在直三棱柱 ABC ? 中点,求证: AM ? BA1 .
1

A 1 B 1中 , C

?A B C?9 0 ?, C B? 1 , C A 21, A A ,点6 是 CC1 的 ? ? M

主要知识点: 1. 空 间 向量 的运算 及其坐 标运算: 空间向量是平面向量的推 广, 有关运算方法几乎一样, 只是“二维的”变成 “三维 的”了.
2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具 ①平行与垂直的判断 ②角与距离的计算

变式:正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 1,棱 长为 2,点 M 是 BC 的中点,在直线 CC1 上求一点 N,使 MN ? AB . 例3 如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E,F 分 别在 BB1 , DD1 上,且 AE ? A1 B , AF ? A1 D .

典型例题 例 1 如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为
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高二上期数学◆选修 2-1◆导学案

⑴ 求证: A1C ? 平面 AEF ;

⑵ 当 AB ? 4, AD ? 3, AA1 ? 5 时,求平面 AEF 与平 面 D1 B1BD 所成的角的余弦值.

自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1.
? ? ? 已 知 a ? ?1 ,? b 1 ? ?, 0 ? ,, 且 1 ? ? ? ? (k ? a ) ? b ( ,则 k= b) ; ?a 2 ? ? ? ? 2. 已知 a ? ?1 ? t , 2t ? 1,0 ? , b ? ? 2, t , t ? ,则 b ? a 的最 , 0 ,

小值是( A.
5

) B.
6

动手试试 练 1. 如图, 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 a ,
侧棱长为 2a . ⑴试建立适当的坐标系,写出点 A, B, A1 , C 1 的坐标 ⑵求 AC1 的侧面 ABB1 A1 所成的角.

C. 2 D. 3 ??? ? ??? ? 3.空间两个单位向量 OA ? ? m, n,0 ? , OB ? ? 0, n, p ? 与 ???? ? OC ? ?1,1,1? 的夹角都等于 ,则 cos ?AOB ? 4 4.将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角后, 异面直线 AB, CD 所成角的余弦值为 . 5. 正 方 体 A B C ? 1 A B 的 D 长 为 a , D 1 1 C 棱 1 ???? 1 ???? ? ? AM ? AC1 ,N 是 BB1 的中点,则 MN =( ) 3 21 6 15 15 A. C. D. a a a B. a 6 3 6 6

课后作业
1. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E, F , G 分别为 DD1 , BD, BB1 的中点. ⑴ 求证: EF ? CF ; ⑵ 求 EF 与 CG 所成角的余弦 值; ⑶ 求 CE 的长.

? 练 2. 已知点 A(1,-2,0),向量 a ? ? ?3, 4,12 ? ,求点 B ??? ? ? ??? ? ? 的坐标,使得 AB // a ,且 AB ? 2a .

三、总结提升 学习小结 1. 空间向量的运算与平面向量的方法相同; 2. 向量的数量积和平面的法向量是向量解决立体 几何问题常用的方法. 知识拓展

?? ?? ? ? 若二面角两个面的法向量分别是 n1 , n2 , 二面角为 ? ?? ?? ? ? 则 cos ? ? ? cos n1 , n2 ,而

? ? n ?n ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?1 ?2 . | n1 || n2 |

学习评价
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