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第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式



第三章

三角函数、解三角形

第五节 两角和与差的正弦、余 弦和正切公式

sin 2α -2cos2α (1)化简: =________. ? ? π ? sin α - ? 4? ? (2)(2015· 广东卷)已知 tan α =2.
? π? ①求 tan?α + ?的值; 4? ?
<

br />sin 2α ②求 2 的值. sin α +sin α cos α -cos 2α -1

2sin αcos α-2cos2α 解析:(1)原式= =2 2cos α. 2 (sin α-cos α) 2 答案:2 2cos α π tan α +tan 2+1 4 (2)解:①原式= = =-3. π 1-2×1 1-tan α tan 4 2sin α cos α 2tan α ②原式= 2 = = sin α +sin α cos α -2cos2α tan2α +tan α -2 2×2 =1. 4+2-2

1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看 “ 角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的 拆分,从而正确使用公式. (2)二看 “ 函数名称” ,看函数名称之间的差异,从而确定使用 的公式,最常见的是“切化弦”. (3)三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向.

2.给值求值问题,解决的关键是把所求角用已知角表示. (1)当已知角有两个时,所求角一般表示为两个已知角的和或差 的形式. (2)当已知角有一个时,此时应着眼于所求角与已知角的和 或差的关系,然后应用诱导公式把所求角变成已知角.

(1)化简 2+2cos 8+2 1-sin 8=________; π π 4 (2)设 α 为锐角, 若 cos(α+ )= , 则 sin(2α+ )的值为________. 6 5 12 解 析 : (1) 2+2cos 8 + 2 1-sin 8 = 2(1+cos 8) +

2 1-2sin 4cos 4 = 2×2cos24 + 2 (sin 4-cos 4)2 =- 2cos 4 + 2(cos 4-sin 4)=-2sin 4. π 4 (2)∵α 为锐角,cos(α+ )= , 6 5 π 3 ∴sin(α+ )= , 6 5

π π π 24 ∴sin(2α+ )=2sin(α+ )cos(α+ )= , 3 6 6 25 π π 7 2 cos(2α+ )=2cos (α+ )-1= , 3 6 25 π π π ∴sin(2α+ )=sin(2α+ - ) 12 3 4 π π 2 = [sin(2α+ )-cos(2α+ )] 2 3 3 17 2 = . 50 答案:(1)-2sin4 17 2 (2) 50

(1)(2015· 四川卷)sin 15°+sin 75°的值是__________.
? ? π? π? (2)(2014· 课标全国Ⅰ卷)设 α∈?0, ?,β ∈?0, ?,且 tan α 2? 2? ? ?

1+sin β = ,则( cos β π A.3α -β= 2 π C.2α -β= 2

) π B . 3α + β = 2 π D.2α +β= 2

解 析 : (1)sin 15 ° + sin 75 ° = sin 15 ° + cos 15 ° = 2
? 2 ? 2 ? sin 15°+ cos 15°?= 2(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°) 2 ?2 ?

= 2sin 60°= 2×

3 6 = . 2 2

sin α 1+sin β (2)由已知,得 = , cos α cos β ∴sin αcos β=cos α+cos αsin β.

∴sin αcos β-cos αsin β=cos α.∴sin(α-β)=cos α,
?π ? ? ? π? π? ? ? ? ? ? ∴sin(α-β)=sin -α .∵α∈ 0, ,β∈ 0, ?, 2? 2? ?2 ? ? ?

π π π π ∴- <α-β< ,0< -α< , 2 2 2 2 π π ∴α-β= -α,∴2α-β= . 2 2 答案:(1) 6 2 (2)C

1. “给角求值”的求解思路是: (1)化为特殊角的三角函数值; (2)化为正、负相消的项,消去求值; (3)化分子、分母出现公约数进行约分求值. 2. “给值求角”的求解思路:(1)求角的某一三角函数值,(2)讨 论角的范围(第(2)小题易忽视角的范围致误),确定角的大小.其中求 角的某一三角函数值时, 应选择在该范围内是单调函数, 若角的范围
? π π? 是(0,π),选余弦较好;若角的范围为?- , ?,选正弦较好. 2? ? 2

π α 1 2 若 0<α< <β<π ,tan = ,cos(β- α)= .则(1)sin α = 2 2 2 10 ________;(2)β=________. α 2tan α 1 2 4 解析:(1)由 tan = ,得 tan α= = , 2 2 3 α 2 1-tan 2 3 ∴cos α= sin α,① 4 又 sin2α+cos2α=1,② π 4 由①、②联立,得 25sin α=16.∵0<α< ,∴sin α= . 2 5
2

3 4 (2)由(1)知,cos α= ,sin α= , 5 5 π 又 0<α< <β<π,∴0<β-α<π. 2 π 2 由 cos(β-α)= ,得 0<β-α< . 10 2 98 7 2 ∴sin(β-α)= = , 10 10 ∴sin β=sin[(β-α)+α]

=sin(β-α)cos α+cos(β-α)·sin α 7 2 3 2 4 25 2 2 = × + × = = . 10 5 10 5 50 2 π 3 由 <β<π得 β= π. 2 4 4 答案:(1) 5 3 (2) π 4

x x x (2015· 北京卷)已知函数 f(x)= 2sin cos - 2sin2 . 2 2 2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间 上的最小值.

π 2 2 2 解:(1)f(x)= sin x- (1-cos x)=sin(x+ )- , 2 2 4 2 所以 f(x)的最小正周期为 2π.

1.进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤 其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用. 2.把形如 y=ɑsin x+bcos x 化为 y= a2+b2sin(x+ φ),可进一 步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.

3 (2016· 陕 西 一 检 ) 已 知 f1(x) = sin( π + x)cos x , f2(x) = sin 2 xsin( π + x) , 若 设 f(x) = f1(x) - f2(x) , 则 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 是 ________. 解析: 因为 f1(x)=-cos2x, f2(x)=-sin2x, 所以 f(x)=sin2x-cos2x =-cos 2x, π 令 2x∈[2kπ, 2kπ+π](k∈ Z), 得 x∈[kπ, kπ+ ](k∈Z), 2 π 故 f(x)的单调递增区间为[kπ,kπ+ ](k∈Z). 2 π 答案:[kπ,kπ+ ](k∈ Z) 2



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