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【数学】3.2.3 直线的一般式方程课件(人教A版必修2)1



(一)填空 名称 已知条件 标准方程 适用范围 点斜式 (x0,y0) , k y-y0=k(x-x0) 有斜率的直线 斜截式 k,y轴上截距b 有斜率的直线 y=kx+b
两点式 截距式
(x1,y1)(x2,y2)

y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1

不垂直于x,y轴 的直线
不垂直于x,

y轴 的直线 不过原点的直线

x轴上截距a y轴上截距b

x y + =1 a b

( 过点 x0 , y0)与x轴垂直的直线可表示成 x ? x0 ,
( 过点 x0 , y0) 与y轴垂直的直线可表示成

y ? y0。

(二)填空 1.过点(2,1),斜率为2的直线的 y-1=2(x-2) 方程是____________ 2.过点(2,1),斜率为0的直线方 y=1 程是___________ 3.过点(2,1),斜率不存在的直线 x=2 的方程是_________
思考1:以上三个方程是否都是二元一次方程?
所有的直线方程是否都是二元一次方程?

思考2:对于任意一个二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 (A,B不同时为零) 能否表示一条直线?
A C B?0 时,方程变为 y=- xB B C A 表示过点(0,- ),斜率为- 的直线 B B C (A ? 0) B=0 时,方程变为 x=A 表示垂直于x轴的一条直线

总结: 由上面讨论可知, (1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的 二元一次方程表示, (2)任一关于x,y的二元一次方程都表示一条直 线.

1.直线的一般式方程
我们把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0 (A,B不同时为零) 叫做直线的一般式方程,简称一般式

2.二元一次方程的系数和常数项对直线 的位置的影响

探究:在方程 Ax ? By ? C ? 0中, 1.当 A ? 0,B ? 0,C ? 0 时,方程表示的直线与x轴 平行 ; 2.当 A ? 0,B ? 0,C为任意实数时,方程表示的直线与x轴垂直;

3.当
4.当 5.当

A ? 0,B ? 0,C ? 0

重合 时,方程表示的直线与x轴______ ;
时,方程表示的直线与y轴重合 ; 时,方程表示的直线过原点.

A ? 0,B ? 0,C ? 0

C ? 0, A, B不同时为0

3.一般式方程与其他形式方程的转化
(一)把直线方程的点斜式、两点式和截距式 转化为一般式,把握直线方程一般式的特点

例1 根据下列条件,写出直线的方程,并把它化成一般式:
4 1.过点A(6,-4),斜率为- ; 3 4 y+4=- (x-6)?4x+3y-12=0 3

2.经过点P(3,-2),Q(5,-4);
y+2 x-3 = ?x+y-1=0 -4+2 5-3

3 3.在x轴,y轴上的截距分别是 ,-3; 2 x y ? ? 1 ? 2x-y-3=0 3 ?3 2

注:对于直线方程的一般式,一般作如下 约定:一般按含x项、含y项、常数项顺序 排列;x项的系数为正;x,y的系数和常数 项一般不出现分数;无特别说明时,最好 将所求直线方程的结果写成一般式。

(二)直线方程的一般式化为斜截式,以及已知 直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法

例2 把直线 化成斜截式,求出 直线的斜率以及它在y轴上的截距。
3 解:将直线的一般式方程化为斜截式: y ? ? x ? 3 , 5

3 它的斜率为: ? ,它在y轴上的截距是3 5

思考:若已知直线 的截距.

l : 3x ? 5 y ? 15 ? 0 ,求它在x轴上

求直线的一般式方程 Ax ? By ? C ? 0(在A, B都不为零时) 的斜率和截距的方法:
A (1)直线的斜率 k=- B (2)直线在y轴上的截距b C C y?? 令x=0,解出 值,则 b ? ? B B (3) 直线与x轴的截距a C C 令y=0,解出 x ? ? 值,则 a ? ? A A

拓展训练题:
设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数a的取值范围.

解析:(1)当直线过原点时,该直线在 x 轴 y 轴上的截 距都为零,当然相等,此时a=2,方程为3x+y=0.若 a ? 2 , 即l不过原点时,由于 l 在两坐标轴上的截距相等,

a-2 有 ? a - 2 ,即 a+1=1, ∴a=0 , l 的方程为 x+y+2=0. a ?1
所以, l 的方程为3x+y=0 或 x+y+2=0

拓展训练题:
设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数a的取值范围.

(2)将l的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, ∴欲使l不经过第二象限,
??(a ? 1) ? 0 当且仅当 ? ?a ? 2 ? 0

??(a ? 1) ? 0 或 ? ,∴ a ? -1 ?a ? 2 ? 0

综上所述,a的取值范围是 (-?, -1] .

小结
斜率和一点坐标 斜率k和截距b

点斜式 斜截式 两点式

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

y ? kx ? b
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

两点坐标

点斜式
两个截距

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

截距式

x y ? ?1 a b

化成一般式

Ax ? By ? C ? 0



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